2022年福建省漳州市高考數(shù)學(xué)第三次質(zhì)檢試卷（附答案詳解）

2022年福建省漳州市高考數(shù)學(xué)第三次質(zhì)檢試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.()分)

1.已知集合4=[-1,0,1,2},集合B={x\x>1},則An(CRB)=()

A.{-1,0,1}B.{-1,0}C.{0,1}D.(-00,1]

2.若復(fù)數(shù)z滿足|z+i|=z?i,則z=()

A.-iB.i

22C.2D.2

3.若Q=0.6°‘，b=log068,c=log080.2,則()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b

4.已知角a,0的頂點(diǎn)都為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊都與％軸的非負(fù)半軸重合，a,夕的終邊關(guān)于

y軸對稱，a的終邊過點(diǎn)(3,4),則sing+6)=()

5.對于給定向量五,3，有下列四個(gè)命題：甲：|磯=1；乙：正|=3;丙：|2+b|=5;

T：|a-b|=5.其中只有一個(gè)是假命題，則，與3的夾角為()

A.0B.7oC.oD.7Z

6.函數(shù)f(%)=噌攀的圖象大致為()

7.若直線，：y=^+m與拋物線C：y2=4x相切于點(diǎn)兒I與x軸交于點(diǎn)B,F為C的

焦點(diǎn)，則NB4F=()

A.30°B.60°C.120°D.150°

8.英國化學(xué)家、物理學(xué)家享利?卡文迪許被稱為第一個(gè)能測出地球質(zhì)量的人，卡文迪

許是從小孩玩的游戲(用一面鏡子將太陽光反射到墻面上，我們只要輕輕晃動(dòng)一下

手中的鏡子，墻上的光斑就會(huì)出現(xiàn)大幅度的移動(dòng)，如圖1)得到靈感，設(shè)計(jì)了卡文迪

許扭秤實(shí)驗(yàn)來測量萬有引力，由此計(jì)算出地球質(zhì)量，他在扭秤兩端分別固定一個(gè)質(zhì)

量相同的鉛球，中間用一根韌性很好的鋼絲系在支架上，鋼絲上有個(gè)小鏡子，用激

光照射鏡子，激光反射到一個(gè)很遠(yuǎn)的地方，標(biāo)記下此時(shí)激光所在的點(diǎn)，然后用兩個(gè)

質(zhì)量一樣的鉛球同時(shí)分別吸引扭秤上的兩個(gè)鉛球（如圖2）,由于萬有引力作用，根

秤微微偏轉(zhuǎn)，但激光所反射的點(diǎn)卻移動(dòng)了較大的距離，他用此計(jì)算出了萬有引力公

式中的常數(shù)G,從而計(jì)算出了地球的質(zhì)量.在該實(shí)驗(yàn)中，光源位于刻度尺上點(diǎn)P處，

從P出發(fā)的光線經(jīng)過鏡面（點(diǎn)M處）反射后，反射光線照射在刻度尺的點(diǎn)Q處，鏡面繞

M點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角后，反射光線照射在刻度尺的點(diǎn)Q'處，若APMQ是正三角

形.PQ=a,QQ'=b（如圖3）,則下列等式中成立的是（）

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）

9.已知數(shù)列｛時(shí)｝的前n項(xiàng)和為%=則下列說法正確的是（）

A.｛冊｝是遞增數(shù)列B.｛冊｝是遞減數(shù)列

C.an=12-2nD.數(shù)列｛S"的最大項(xiàng)為和S6

10.已知a,b是兩條不同的直線，a,￡是兩個(gè)不同的平面，下列命題正確的是（）

A.若?！碼l。，則a_L0

B.若a1夕，aua,則a_L/?

C.若aua,a//p,bu0,b//a,則〃/

D.若a10,al.,aCa,則a〃a

11.若函數(shù)/（x）=sin@x+以3>0）的圖象與g（x）=cos（2x+。）的圖象關(guān)于y軸對

稱，貝M）

A.3=2

B.。的值可以是g

C.函數(shù)f（x）在哈為單調(diào)遞減

D.將y=f（x）的圖象向右平移3個(gè)單位長度可以得到g（x）的圖象

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12.已知函數(shù)f(%)=2>i,g(%)=b外力若方程If。)-9。)1=f(%)+g(%)-有且

只有三個(gè)實(shí)根與，冷，%3，且貝廉)

2

A.X]G(0,2)B.x2=77C.x3e(2,4)D.xt+x2<2x3

三、填空題(本大題共4小題，共20.()分)

13.711除以6的余數(shù)是.

14.古時(shí)候“五花”常指金菊花、木棉花、水仙花、火棘花、土?；ū扔鞯奈宸N職業(yè),

“八門”則指巾、皮、彩、掛、平、團(tuán)、調(diào)、聊這八種職業(yè)，現(xiàn)從這13種職業(yè)中任

取兩種職業(yè)，則這兩種職業(yè)中至少有一種職業(yè)是“五花”的概率是

15.已知正方體ABCC-AiBiCiDi的棱長為4,M在棱為/上，且34M=MBr則直

線BM與平面4181c。所成角的正弦值為.

16.已知橢圓C：捺+、=19>8>0)的左、右焦點(diǎn)分別為居，尸2，點(diǎn)P在C上，直線

p「2與y軸交于點(diǎn)Q，點(diǎn)P在線段尸2(?上，的內(nèi)切圓的圓心為/,若為正

三角形，則4&PF2=,c的離心率的取值范圍是.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.已知等差數(shù)列｛a“｝的前n項(xiàng)和為無,at+a3=2,且56=3a6

(1)求｛斯｝的通項(xiàng)公式：

(2)若數(shù)列｛4｝滿足垢+i-=2",求｛5｝的前10項(xiàng)和.

18.漳州布袋木偶戲是傳統(tǒng)民俗藝術(shù)，2006年被列入首批國家非物質(zhì)文化產(chǎn)保護(hù)，據(jù)《

漳州府志》記載，漳州地區(qū)在宋代就已經(jīng)有布袋木偶戲了，清朝中葉后，布袋木偶

戲開始進(jìn)入興盛時(shí)期，一直到抗日戰(zhàn)爭前，漳州的龍溪、漳浦、海澄、長泰等縣，

幾乎鄉(xiāng)鄉(xiāng)都有布袋木偶戲，在傳承的基礎(chǔ)上，不斷創(chuàng)新和發(fā)展壯大，走向更廣闊的

世界，為了了解民眾對布袋木偶戲的了解程度，某單位隨機(jī)抽取了漳州地區(qū)男女各

100名市民，進(jìn)行問卷調(diào)查根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制出得分條形圖，如圖所示.

得分條形圖

(1)若被調(diào)查者得分低于60分，則認(rèn)為是不夠了解布袋木偶戲，否則認(rèn)為是相對了

解布袋木偶戲.根據(jù)條形圖，完成2x2聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷能否有90%的

把握認(rèn)為對布袋木偶戲的了解程度與性別有關(guān)？

(2)恰逢三八婦女節(jié)，該單位對參與調(diào)查問卷的女市民制定如下抽獎(jiǎng)方案：得分低

于60分的可以獲得1次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，得分不低于60分的可以獲得2次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次

抽獎(jiǎng)結(jié)果相互獨(dú)立，在一次抽獎(jiǎng)中，獲得一個(gè)木偶紀(jì)念品的概率為%獲得兩個(gè)木

偶紀(jì)念品的概率為g不獲得木偶紀(jì)念品的概率為g在這100名女市民中任選一

o2

人.記X為她獲得木偶紀(jì)念品的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

n{ad-bc')2

參考公式：K2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考數(shù)據(jù):

P(K2>fc0)0.1000.05000.0100.001

ko2.7063.8416.63510.828

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19.如圖，在三棱錐P-ABC的平面展開圖中，B,A,。三點(diǎn)共線，△ABC三個(gè)內(nèi)角4,

B,C所對的邊分別為a,b,c、S.2b=2asinAcosC+csin2A.

⑴求4BHC的大??；

(2)若b=4,c=2,且,求4F.

從以下三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充到題目中，并完成解答.

@AE=3,CFCB=20-,

②△BCD的面積為10,cos^AEB=y；

(3)BE//AC,CF=5.

20.如圖,在四棱柱4BC。-4/16。中,A41平面

4BC。、底面4BC0為梯形.AD//BC,BC=4,AB=

AD=DC=AAr=2,Q為4。的中點(diǎn)，平面a經(jīng)過直

線4c°CQ//a,aC平面40。出=直線I.

(1)請?jiān)趫D中畫出直線I,寫出畫法并說明理由；

H

(2)求平面a與平面ZDD14所成角的余弦值.

21.已知圓Ci：(x+2)2+y2=9,圓C2：(x-2)2+y2=i,動(dòng)圓p與圓圓C2都外

切.圓心P的軌跡為曲線C.

(1)求C的方程；

(2)已知4,B是C上不同的兩點(diǎn)，AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,且4B的中垂線為直線1,是

否存在半徑為1的定圓E,使得I被圓E截得的弦長為定值，若存在，求出圓E的方程；

若不存在，請說明理由.

己知函數(shù)/'(x)=2ex+sinx-2,x>0.

(1)求的單調(diào)區(qū)間與零點(diǎn)：

(2)若靖+ln(x+1)-1>af(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解:集合4={—1,0,1,2},集合B={x|x>l},

所以CRB={X|XW1},

所以4n(CRF)={-1,0,1,2}n{x\x<1}={-1,0,1).

故選：A.

先求得CRB,利用交集的運(yùn)算即可求得答案.

本題主要考查了補(bǔ)集、交集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：\z+i\=z-i,

z為純虛數(shù)，

設(shè)z=bi,br0,

\bi+i\=-b,即|b+l|=-b,解得b=—%

i.

???z=

-2i.

故選：C.

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，以及復(fù)數(shù)模公式，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，以及復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解：0<a=O.608<0.6°=1,

b=log0,68<log0,6l=0,

c—logo.gO.2>log080.8=1,

c>a>b,

故選：D.

利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解.

本題考查三個(gè)數(shù)大小的求法，注意對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的合理運(yùn)用.

4.【答案】B

【解析】解："a,/?的終邊關(guān)于y軸對稱，a的終邊過點(diǎn)(3,4),

”的終邊過點(diǎn)(—3,4),

一R2

由三角函數(shù)的定義可得，cosS=&萬力=Y，

??-sin(；+S)=cosR=—|.

故選:B.

由題意可得，夕的終邊過點(diǎn)(-3,4),再結(jié)合三角函數(shù)的定義，即可求解.

本題主要考查三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，四個(gè)命題中，只有一個(gè)是假命題，

若甲乙都是真命題，B|J|a|=1,\h\=3.則有3-l<|a-h|<3+1即2<|a-K|<4-

同理23|三+石|S4,丙丁都是假命題，不符合題意，

則甲乙中有一個(gè)是假命題，丙和丁都是真命題，即|@+1|=|4-3|=5，

變形可得片+片+2五不=片+天_2。石，則有日不=0，

則,13,2與用夾角為條

故選：D.

根據(jù)題意，分析可得命題丙、丁都是真命題，進(jìn)而由數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)分析可得答案.

本題考查命題真假的判斷，涉及向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】解：?."(X)=黨,f(x)關(guān)于x=1對稱，.??排除C、D選項(xiàng)；又/(0)=；<1,

???排除B選項(xiàng)，

故選：A.

通過函數(shù)對稱性，特殊點(diǎn)排除錯(cuò)誤選項(xiàng).

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本題考查函數(shù)得對稱性，特殊點(diǎn)，屬基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

【解析】解：拋物線C：y2=曲的焦點(diǎn)坐標(biāo)F(1,O),

直線1：y=+m代入拋物線C：y2=4x,化簡可得：y?_dgy+4bm=0，

因?yàn)橹本€與拋物線相切，所以4=(-4V3)2-4x4>/3m=0.

解得徵=百，此時(shí)y=2V5，則x=3,所以4(3,2遮)，

直線I：y=^x+V3,解得B(-3,0),|BF|=4,尸|=4,

△4BF是等腰三角形，所以tan/AFx=a色=g,

3-1

所以乙4Fx=60°.

所以/BAF=30°.

故選：A.

求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，求解切點(diǎn)坐標(biāo)，推出切線方程，求解B的坐標(biāo)，然后求解NB4F.

本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題.

8.【答案】C

【解析】解：過點(diǎn)M作MD1PQ,因?yàn)锳PMQ是正三角形.PQ=aQQ'=b,

則DQ'=：a+b,MD=*,Z,MQ'D=60°-2a,

所以tan△MQ'D=tan(60°-2Q)=黑=亳=溪，

°Q'2+"Q+2

則上則*也=與些幺=巫，解得￡加2&=9

l+tan60°tan2a1+V3tan2aa+2b2a+b

故選：c.

過點(diǎn)M作MDJ.PQ,則。Q，=)+b,MD=yd-^-MQ'D=60°-2a,所以tan(60。-

2a)=烏>,即可求解tan2a.

'a+2b

本題主要考查函數(shù)模型及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】BCD

【解析】解：根據(jù)題意，數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和為Sn=lln-n2,

當(dāng)n=1時(shí)，/=Si=10,

當(dāng)n>2時(shí)，即=Sn-Sn-i=lln-n2-[ll(n-1)-(n-l)2]=12-2n,

故a”=12—2n,

則｛an｝是首項(xiàng)為10,公差為-2的等差數(shù)列，

由此依次分析選項(xiàng)：

對于4,｛an｝是遞減數(shù)列，A錯(cuò)誤；

對于B,｛an｝是遞減數(shù)列，B正確；

對于C,an=12—2n,C正確；

對于D,｛即｝是遞減數(shù)列，由冊=12—2n=0,可得n=6,即該等差數(shù)列第6項(xiàng)為0,

第一項(xiàng)到第五項(xiàng)為正數(shù)，從第7項(xiàng)開始為負(fù)，所以Ss=S6最大，即數(shù)列｛S“｝的最大項(xiàng)為S5

和S6,。正確；

故選：BCD.

根據(jù)題意，求出數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式，可得數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，由此分析選項(xiàng)可得答

案.

本題考查數(shù)列的求和，涉及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】AD

【解析】解：a,b是兩條不同的直線，a,/?是兩個(gè)不同的平面，

對于4,若a〃a,al/?,則由面面垂直的判定定理得a10,故A正確；

對于B,若a10,aua,則平面a內(nèi)存在直線與平面口垂直，

但不是任意一條直線均與平面夕垂直，故B錯(cuò)誤；

對于C,根據(jù)面面平行的判定定理要求直線a,b相交，故C錯(cuò)誤；

對于D,若al/7,a1/??aa,則a_L￡,aa,則〃/a,a//a,故力正確.

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故選：AD.

根據(jù)空間中線面、面面的平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理分析判斷，能求出結(jié)果.

本題考查命題真假的判斷，考查空間中線面、面面的平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理

等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力，是中檔題.

11.【答案】AC

【解析】解：?.?函數(shù)f(x)=點(diǎn)K?》+§(3>0)的圖象與g(x)=cos(2x+0)的圖象關(guān)于

y軸對稱，

則它們的周期相同，即§=拳二3=2,故/'(x)=sin(2x+》故A正確；

由題意，可得g(x)=/(-%)，

BPcos(2x+0)=sin(—2x+-)=—sin(2x--)=cos(-+2%--)=cos(2x+-),

33236

???o可以是g(x)=cos(2x+》，故B錯(cuò)誤；

在哈方上，2x+^G[py],f(x)單調(diào)遞減，故C正確；

將y=的圖象向右平移看個(gè)單位長度，可以得到函數(shù)y=sin(2x-^+=)=Sin2x的

圖象，故。錯(cuò)誤，

故選：AC.

由題意，兩個(gè)函數(shù)的周期相同，且g(x)=/(-x),求得3和0,可得它們的解析式，再

根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論.

本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)y=4$譏(3X+0)的圖象變換規(guī)律，屬于中

檔題.

12.【答案】ABD

【解析】解：根據(jù)題意，令/(x)=g(x)，可得x=2,或x=4,

作出f(x),g(x)的圖像，如圖一所示，

由方程|/(x)-g(x)|=/(x)+g(x)-ax可得，2(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|]=^x,

所以，當(dāng)xw(0,2)時(shí)，/(x)>g(x)9

則有；[/(X)+g(x)-f(x)+g(x)]=凱即g(x)=凱

當(dāng)x6[2,4]時(shí)，/(x)Wg(x),

則有9，(x)+。(%)+/。)一9(x)]="，即/'(%)=",

當(dāng)%G(4,+8)時(shí)，/(x)>g(x),

則有T，(x)+g(x)—fQ)+g(%)]=1x,即g(x)=

設(shè)九(%)=|[/(x)+g(x)-1/(%)-g(x)|].

「g(x),x6(0,2)

所以h(x)=|f(x),xe[2,4],作出y=：x和h(x)圖像如圖二所示，

、g(x),xG(4,+oo)

?r

圖二

第12頁，共23頁

因?yàn)橹本€y=繞坐標(biāo)系原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)直線y=f%與/(x)=2Al相切時(shí)，直線y=與

九。)有三個(gè)交點(diǎn)，

如果直線y=繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，會(huì)有四個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)直線y=：X過(2,1)時(shí)，a=l,即y=此時(shí)也過點(diǎn)(4,2),

所以直線y=與/i(x)有兩個(gè)交點(diǎn)，

綜上，當(dāng)且僅當(dāng)直線"="與f(x)=25-1相切時(shí)，

直線y="與/i(x)有三個(gè)交點(diǎn)，

所以%16(0,2),x26(2,4),向€(4,+8),故A正確，C錯(cuò)誤，

因?yàn)?''(>:)=32Kbi2,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(%2*1)，

X2

所以"二=工2爭-】》2,解得外=白，故8正確，

n

x2212

因?yàn)榕ce(0,2),x26(2,4),x3e(4,+oo),

所以2<X]+刀2<6,2X3>8.

所以/+%2<2%3，故。正確，

故選：ABD.

根據(jù)/(x)，g(x)的圖像將方程|f(x)-5(x)|=f(x)+g(x)-ax轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)

問題，通過函數(shù)圖像判斷4C,。的正誤，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出血的值，進(jìn)而判

斷B的正誤.

本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，考查學(xué)生的推理運(yùn)算能力，屬于難題.

13.【答案】1

【解析】解：因?yàn)?】】=(1+6)11=1+凡?6+咯?62+小?63+…+C青.6%

所以展開式中1后面的各項(xiàng)都可以被6整除，

所以71i除以6的余數(shù)為1,

故答案為：1.

因?yàn)?11=(1+6)11=1+?6+CM?62+63+...+C^-6】i,由此即可求解.

本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】g

【解析】解：從這13種職業(yè)中任取兩種職業(yè)，共有仃3=78種，

這兩種職業(yè)中至少有一種職業(yè)是“五花”，共有鬣+廢x盤=50,

故這兩種職業(yè)中至少有一種職業(yè)是“五花”的概率是黑=

故答案為：||.

先求從這13種職業(yè)中任取兩種職業(yè)的方法數(shù)，再求這兩種職業(yè)中至少有一種職業(yè)是“五

花”的方法數(shù)，利用古典概型求概率.

本題主要考查古典概型的問題，熟記概率的計(jì)算公式即可，屬于基礎(chǔ).

6【答案聯(lián)

【解析】解：如圖所示，以。為原點(diǎn)，DA,DC,DO1方向?yàn)閤軸，y軸，z軸正方向建立

空間直角坐標(biāo)系。-xyz,

所以有D(0,0,0),4式4,0,4),C(OAO),8(4,4,0),M(4,l,4),

則西=(4,0,4)，近=(0,4,0)，MB=(0,3,-4),

設(shè)平面4DC的法向量五=(%,y,z),

則由巧.±4y=o,

令％=1,得記=(1,0,—1),

設(shè)直線BM與平面A/iCD所成角為氏

第14頁，共23頁

則sin”|cos<n,MB>\=犒=段=誓，

故答案為：也.

5

作出正方體，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面4B1CD的法向量，利用向量的夾角公式,

計(jì)算即可.

本題主要考查線面角的計(jì)算，空間想象能力的培養(yǎng)等知識(shí)，屬于中等題.

16.【答案】60°（鴻）

解得1<e<?,

23

故答案為：60。，（1,^）.

設(shè)4為上頂點(diǎn)，點(diǎn)P位于第一象限，作8尸21&尸2交橢圓與點(diǎn)B,則4&PF2=NQ&P+

NFiQP=2（4QFJ+4居Q/）,即可求解4F$F2，又因?yàn)辄c(diǎn)P位于點(diǎn)4與點(diǎn)B之間，所以

N&BF2<60°<N&AF2，利用正切值即可求解離心率范圍.

本題考查橢圓的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題.

17.【答案】解：（1）設(shè)等差數(shù)列｛冊｝的公差為d,

由56=3念得，6。1+15d=3。1+15d,解得牝=0,

由+%=2得，2al+2d=2,

則有d=1,Qn=a1+（九一l）d=n-1,

所以｛冊｝的通項(xiàng)公式是an=n-1；

(2)由⑴知，%+]—(―1)%=2…，

=246

則Z?2+瓦=2°,/+星2,h6+b5=2,bQ+b7=2,b1Q+d=2',

所以數(shù)列｛%｝的前10項(xiàng)和為bi+Z>2+匕3+力4+…+d+^io=2。+2?+24+2“+

25

28=2°[1-(2)]=341.

1-22

【解析】(1)設(shè)出等差數(shù)列｛的；｝的公差，再根據(jù)已知列出方程組，求出公差及首項(xiàng)即可.

(2)由(1)求出與n+⑦九一1，利用并項(xiàng)求和計(jì)算作答.

本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列的并項(xiàng)求和，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)2x2列聯(lián)表如下:

不夠了解相對了解合計(jì)

男3565100

女2575100

合計(jì)60140200

???K2200X(35X75-25X65)2x2.381<2.706,

100x100x60x140

???沒有90%的把握認(rèn)為對布袋木偶戲的了解程度與性別有關(guān).

(2)在這100名女性市民中任選1人，得分低于60分的概率為急=

得分不低于60分的概率為1-

44

X的所有可能取值為0,1,2,3,4,

八、5

故P(X=0)=-1x-1+.-3x-1x-1=-1H.—3，

174242281616

P(X=l八)=1-X1-.+2X-3X-1X-1=1——,!■——3=1一

74343212123

C八，、日1

P(X=2c)=-1x-1+,-3x-1x-1+,2x-3x-1x-1=

2111

=3)=2X-XiXi=—,

'J46312

“、

P(X=4)=-3x-1x-1=—1,

1746648

故X的分布列為:

X01234

1111

P5

16341248

E(X)=0XA+1X|+2X1+3X±+4X^=^

第16頁，共23頁

【解析】(1)根據(jù)得分條形圖，即可求得列聯(lián)表，再結(jié)合獨(dú)立性檢驗(yàn)公式，即可求解.

(2)X的所有可能取值為0,1,2,3,4,分別求出對應(yīng)的概率，再結(jié)合期望公式，即可

求解.

本題主要考查了離散型隨機(jī)變量及其分布列，需要學(xué)生熟練掌握期望公式,屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)I3^J2b=2asinAcosC+csin2A,

所以由正弦定理，得2s出B=2sin2AcosC+2sinAcosAsinC.

所以2sinB=2sinAsin(A+C)=2sinAsinB,

又因?yàn)閟inBH0,所以sbiA=1,

又因?yàn)?6(0,兀)，所以=今

(2)選①，AE=3,CF-CB=20;

由展開圖可知4E=4D.CF=C。，BE=BF,

由(1)知力=今

又因?yàn)閎=4,c=2,貝IJBC=2遍，

因?yàn)锽,A,D三點(diǎn)共線，且4=］，所以

因?yàn)?AE=3,所以CF=CD=y/AD2+CA2=V32+42=5,

因?yàn)槭?CB=\CF\-\CB|coszBCF=20，

在ABCF中，由余弦定理可得

BF2=BC2+CF2-2BC-CF-cos乙BCF=20+25+2x20=5,

所以BF2+BC2=CF?,則

因?yàn)閟inZTlBC="=幺與

BC5

所以COS/JIB尸=cos(^+Z-ABC')=—sinZ-ABC=—管，

在中，由余弓玄定理得BF

44BF4/2=AB2+BF2_2AB,-cos^ABF=17,

所以4F=V17:

選②，△8。。的面積為10,85乙4七8=*

由展開圖可知4E=40,CF=CD,BE=BF,

由(1)知力=p

又因?yàn)閎=c=2,則BC=2遮，

因?yàn)?,A,。三點(diǎn)共線，且4=5,所以B0J.4C,

因?yàn)椤鰾CD的面積為10,

所以34c?80=Tx4x80=10,所以BD=5,

又因?yàn)?B=3,所以4。=3,則4E=3,

在AABE中，cosZ.AEB=—?則sin/AEB=：,

33

由正弦定理得一^=-^―，則sin/ABE=as?產(chǎn)=],

sinz.ABEs\nZ-AEBAB

因?yàn)橐?BEe(0,兀)，所以乙4BE=P

在R1ABE中，BE=>JAE2-AB2=V32-22=V5.所以BF=V^,

在R1￡MC中，CD=>/AD2+AC2=V32+42=5,所以CE=5,

F(P)

則4(0,0),B(0,-2),C(4,0),

設(shè)F(x,y),因?yàn)镃F=5,BF=4，

貝I」。-4)2+y2=25,/+⑶+2產(chǎn)=5,

由上述兩式以及x>0,得｛；=Lt，即F(l,—4),

所以|4F|=J/+(-41=V17；

選③，BEHAC,CF=5,

由展開圖可知4E=40,CF=CD,BE=BF,

由⑴知4

又因?yàn)閎=4,c=2,則BC=2近，

因?yàn)锽E〃AC,AC1AB,所以EBIAB,

因?yàn)镃F=CD=5,

第18頁，共23頁

在R1￡MC中4。=y/CD2-AC2=V52-42=3.所以4E=AD=3,

在Rt"BE中，BE=y/AE2-AB2=V32-22=遍，

所以8尸=有，所以8產(chǎn)+BC2=C?2,貝”CBF=1，

因?yàn)閟in/TlBC=—=亞^，

BC5

所以COSNABF=cos(^+/.ABC)=sinz.ABC=

在ZMBF中，由余弦定理得護(hù)=柳+BF2_2AB?BF?cos乙4BF=17,

所以AF=，I7.

【解析】(1)由正弦定理化邊為角，由兩角和的正弦公式，誘導(dǎo)公式變形可求得NB4C；

(2)選①，由勾股定理求得相應(yīng)線段長，由數(shù)量積的定義及余弦定理求出BF,可得

Z.CBF=p求出sin-lBC由誘導(dǎo)公式得COSNABF,在AABF中，由余弦定理得4F；

選②，由直角三角形求出相應(yīng)邊長，在△ABE中，由正弦定理求得NABE=］,再由勾

股定理得BF,CE,以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以前、力的方向?yàn)閤軸，y軸的正方向建立

平面直角坐標(biāo)系，設(shè)尸(x,y)，利用兩個(gè)距離求得F點(diǎn)坐標(biāo)，再計(jì)算出AF；

選③，利用直角三角形求得相應(yīng)邊長，求出$也448。，由誘導(dǎo)公式得COSZJIBF,然后應(yīng)

用余弦定理得4F.

本題考查了正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)取必。［中點(diǎn)P,連接P4則直線P4即為1.

證明如下：連接PC1，PQ,

在四棱柱4BCD-4避道［。1中，因?yàn)榱?。么必是平行四邊形?/p>

P,Q分別是4。1，AD的中點(diǎn)，所以PDJ/QD,PDr=QD.

所以四邊形PDiDQ是平行四邊形.所以PQ〃D】D,PQ=DR

因?yàn)?。iO〃GC,%D=CTC,所以PQ〃GC,PQ=CjC,

所以四邊形PQCC1是平行四邊形，所以CQ//QP.

又因?yàn)镃Q<4平面AC/,GPu平面AGP,

所以CQ〃平面/GP,

因?yàn)榻?jīng)過4cl且與CQ平行的平面有且只有一個(gè).

若經(jīng)過直線AC1有兩個(gè)不同的平面的,a2,使得CQ〃a「CQ//a2,

因?yàn)榈?、a?與平面4BCD有公共點(diǎn)4,所以的，a?與平面ABC。都相交，

設(shè)交線分別為k，；2＞則。n%=4又因?yàn)镃Q〃的，CQ//a2,

由線面平行的性質(zhì)定理可得CQ〃小CQ//l2,所以〃/%，這與，］^2=力矛盾.

所以平面AGP與平面a重合，

因?yàn)槠矫鍭GPn平面AD24=PA,所以直線P4即為八

(2)過點(diǎn)。作DF_LBC,垂足為F,又因?yàn)镈O11平面ABC。，

所以。4DF,兩兩互相垂直，

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以育，DF，珂的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直

角坐標(biāo)系D—xyz,

所以4(2,0,0),P(1,0,2),6(-1,遮2),PA=(1,0,-2),園=(-2,73,0).

設(shè)平面PAC1的法向量為元=(x,y,z),

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所以付出=X-2Z：￡,

(n?PC1=-2x+V3y=0

令x=2聒,得y=4z=遍，所以元=(28,4,b),

取平面P4D的一個(gè)法向量為南=(0,1,0),

所以cos低，而=二=—=

''/|n|-|m|V31X131

所以平面a與平面力所成角的余弦值為甯.

【解析】(1)取45中點(diǎn)P，連接P4則直線PA即為1,先證明四邊形PQCG是平行四邊

形，從而CQ〃GP,從而可證CQ〃平面AGP,再證明平面4Gp與平面a重合，從而得

證.

(2)過點(diǎn)。作。尸1BC,垂足為F,又因?yàn)??！?_1_平面48。。，所以。4DF,。/兩兩互

相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.

本題主要考查空間中的線面關(guān)系，空間向量及其應(yīng)用，面面角的相關(guān)計(jì)算等知識(shí)，屬于

中等題.

21.【答案】解:(1)圓G的圓心為G(—2,0),半徑為q=3,

圓C2的圓心為。2(2,0),半徑為七=1，

設(shè)動(dòng)圓P的半徑為R,因?yàn)閯?dòng)圓P與圓的，圓。2都外切，

所以|PC/=R+ri=R+3,\PC2\=R+r2=R+l,

所以［PC/-IPC2I=2<4=|GG|,

所以點(diǎn)P在以Ci，C2為焦點(diǎn)，以2為實(shí)軸長的雙曲線的右支上,

設(shè)雙曲線的方程為3-彳=l(a>0,/?>0),c=y/a2+b2,

所以2a=2,2c=4,所以a=l,c=2,b=—a2=

注意圓G與圓C2外切于點(diǎn)(L0),P不可能為(1,0),

所以C的方程為/-9=l(x>1).

(2)設(shè)4(3,yi),B(x2,y2')>4B的中點(diǎn)為M(x(),yo),

因?yàn)?,B是C上不同的兩點(diǎn)，4