簡化量子力學(xué)基礎(chǔ)

簡化量子力學(xué)基礎(chǔ)第一頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日一課程的主要研究內(nèi)容研究材料的微觀結(jié)構(gòu)與組成粒子(原子、離子、電子)的運動規(guī)律及其相互之間的作用；研究材料在不同環(huán)境中表現(xiàn)出的現(xiàn)象與內(nèi)在本質(zhì)的聯(lián)系，掌握關(guān)于材料的微觀理論；解釋材料的聲、光、熱、電、磁等物理性能重點章節(jié)：量子力學(xué)基礎(chǔ)，晶體結(jié)合與晶體結(jié)構(gòu)，晶格振動，能帶理論。第二頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日二課程在學(xué)科中的地位與作用公共基礎(chǔ)課(大學(xué)物理等)學(xué)科基礎(chǔ)課(材料科學(xué)基礎(chǔ)等)材料的力學(xué)基礎(chǔ)材料物理基礎(chǔ)材料物理性能材料研究方法功能材料材料的力學(xué)性能工程材料第三頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日三課程的任務(wù)1精心選擇，適當(dāng)補充補充初等量子力學(xué)基礎(chǔ)補充固體物理基礎(chǔ)2緊扣典型，化繁為簡簡化繁雜的量子力學(xué)與數(shù)學(xué)推導(dǎo)簡化模型，從一維模型出發(fā)，推廣至三維模型3結(jié)合專業(yè)，明確目標結(jié)合材料科學(xué)中的具體問題明確課程的學(xué)習(xí)目標第四頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日四學(xué)習(xí)中要注意的幾個問題1抓好五個環(huán)節(jié)2及時補漏拾遺3轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)觀念第五頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日第一章振動與波振動諧振動位相與位相差阻尼振動受迫振動共振線性系統(tǒng)與疊加原理周期振動的傅立葉分析諧波質(zhì)點速度、相速度與群速度橫波與縱波波矢波的疊加原理線性介質(zhì)第六頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日第二章量子力學(xué)基礎(chǔ)及應(yīng)用§1量子力學(xué)的誕生§2波函數(shù)和薛定諤方程§3薛定諤方程的解§4量子力學(xué)中的力學(xué)量§5定態(tài)微擾理論第七頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日一經(jīng)典物理學(xué)的困難熱輻射固體低溫?zé)崛莨怆娦?yīng)原子的線狀光譜及其規(guī)律原子的行星模型第八頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日1熱輻射實驗表明：一切物體是以電磁波的形式向外輻射能量。輻射的能量與溫度有關(guān)，稱之為熱輻射。輻射和吸收的能量恰相等時稱為熱平衡。此時溫度恒定不變。單色輻出度單位時間、單位表面積、上所輻射出的，單位波長間隔中的能量。絕對黑體第九頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日經(jīng)典物理遇到的困難瑞利和瓊斯用能量均分定理電磁理論得出：只適于長波，有所謂的“紫外災(zāi)難”。實驗瑞利-瓊斯維恩理論值T=1646k維恩根據(jù)經(jīng)典熱力學(xué)得出：這一問題在普朗克提出量子理論之后得到了滿意的解釋第十頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日2光電效應(yīng)康普頓效應(yīng)光電效應(yīng)的實驗規(guī)律飽和光電流強度與入射光強度成正比。光電子的初動能與入射光強度無關(guān)，而與入射光的頻率有關(guān)。光電效應(yīng)具有瞬時性，或說響應(yīng)速度很快，10-9秒。經(jīng)典物理的困難1）光電效應(yīng)第十一頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日

*經(jīng)典認為光強越大，飽和電流應(yīng)該大，光電子的初動能也該大。但實驗上飽和電流不僅與光強有關(guān)而且與頻率有關(guān)，光電子初動能也與頻率有關(guān)。經(jīng)典理論的困難：*只要頻率高于紅限，既使光強很弱也有光電流；頻率低于紅限時，無論光強再大也沒有光電流。而經(jīng)典認為有無光電效應(yīng)不應(yīng)與頻率有關(guān)。

*瞬時性。經(jīng)典認為光能量分布在波面上，吸收能量要時間，即需能量的積累過程。第十二頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日2）康普頓效應(yīng)實驗事實X射線7.1nm探測器C1C2A1A2WBS石墨晶體準直系統(tǒng)散射角I=0oI=45oI=90oI=135o0正常散射波長變長的散射稱為康普頓散射第十三頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日*波長的增加量與散射角有關(guān)。實驗結(jié)果：*當(dāng)散射角確定時，波長的增加量與散射物質(zhì)的性質(zhì)無關(guān)。*康普頓散射的強度與散射物質(zhì)有關(guān)。原子量小的散射物質(zhì)，康普頓散射較強，即正常峰較低。反之相反。經(jīng)典電磁理論的困難而無法解釋有的存在及其所存在的康普頓效應(yīng)的實驗規(guī)律。只能說明有正常散射存在，即散射光的頻率與入射光頻率相等。第十四頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日1)原子的核式結(jié)構(gòu)盧瑟福的核式模型或稱行星模型4原子的穩(wěn)定性和大小

粒子是快速運動的二次電離的氦原子。偶極振蕩要輻射電磁波，能量會逐漸減少，導(dǎo)致電子會落到原子核上。偶極輻射電磁波，應(yīng)為連續(xù)光譜。第十五頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日2)氫原子的線光譜當(dāng)m一定時，由不同的n構(gòu)成一個譜系；不同的m構(gòu)成不同的譜系。原子具有線光譜；實驗表明：各譜線間具有一定的關(guān)系每一譜線的波數(shù)都可表達為兩個光譜項之差。第十六頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日氫原子的線光譜稱為里德伯常數(shù)對于確定的組成一個線系。稱為巴耳末系第十七頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日賴曼系帕邢系布喇開系普豐德系原子具有線光譜；實驗表明：各譜線間具有一定的關(guān)系每一譜線的波數(shù)都可表達為兩個光譜項之差。第十八頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日5固體的低溫?zé)崛?819年，杜?。晏姘l(fā)現(xiàn)一切固體在溫度充分高的情況下，摩爾熱容都近似等于3R，這個實驗規(guī)律可由熱力學(xué)理論解釋。1872年，韋伯測出金剛石、石墨、硼、硅等固體物質(zhì)的摩爾熱容只有在溫度較高時接近這個值，在低溫條件下用能量均分定律解釋熱容遇到了很大困難。第十九頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日二量子理論的提出普朗克的量子理論

1900年12月14日柏林物理學(xué)會量子誕生之日愛因斯坦光的量子假說玻爾的氫原子理論第二十頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日1普朗克能量子假說輻射物體中包含大量諧振子的能量是取特定的分立值

存在著能量的最小單元（能量子=h);

h=6.62610-34焦耳。振子只能一份一份地按不連續(xù)方式輻射或吸收能量從理論上推出：分別是玻爾茲曼常數(shù)和光速。普朗克假說不僅圓滿地解釋了絕對黑體的輻射問題，還解釋了固體的比熱問題等等。它成為現(xiàn)代理論的重要組成部分。第二十一頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日實驗瑞利-瓊斯維恩理論值T=1646k瑞利-瓊斯普朗克理論值普朗克能量子假說普朗克的理論結(jié)果第二十二頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日2愛因斯坦的光子學(xué)說愛因斯坦在能量子假說的基礎(chǔ)上提出光子理論：認為光不僅在與物質(zhì)相互作用時（發(fā)射和吸收），具有粒子性，而且在傳播過程中也有粒子性。一個頻率為的光子具有能量它的能流密度：不僅取決于單位面積上的光子數(shù)

n

，還決定于頻率。由此，可解釋飽和光電流強度與光強成正比；可以解釋截止電壓與頻率成線性關(guān)系以及紅限頻率的存在。第二十三頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日3玻爾原子理論：定態(tài)假設(shè)：原子處于一系列不連續(xù)穩(wěn)定態(tài)。角動量量子化

躍遷假設(shè)氫原子的計算：將守恒的角動量量子化帶入上式得：玻爾的基本假設(shè):第二十四頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日說明軌道、速度、能量都是量子化的。氫原子的能級公式：氫光譜的解釋：第二十五頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日n=4n=3n=2n=1r=a1r=4a1r=9a1r=16a1賴曼系巴耳末系帕邢系里德伯常數(shù)的理論值：第二十六頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日126534賴曼系巴耳末系帕邢系布喇開系En=hcR/n2hcR/25hcR/16hcR/9=-1.51eVhcR/4=-3.39eVhcR=13.6eVT=R/n2109677cm-12741cm-112186cm-16855cm-14387cm-1氫原子能級圖第二十七頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日對玻爾理論的評價：成功地解釋了原子的穩(wěn)定性、大小及氫原子光譜的規(guī)律性。為人們認識微觀世界和建立近代量子理論打下了基礎(chǔ)。構(gòu)造了經(jīng)典物理達到量子力學(xué)的橋梁——舊量子論。對應(yīng)原理：當(dāng)量子數(shù)n趨于無限大時，量子理論得出的結(jié)果與經(jīng)典理論的結(jié)果相一致，這是玻爾提出的。玻爾理論是經(jīng)典與量子的混合物，它保留了經(jīng)典的確定性軌道，另一方面又假定量子化條件來限制電子的運動。它不能解釋稍微復(fù)雜的問題，正是這些困難，迎來了物理學(xué)的大革命。第二十八頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日三量子力學(xué)的建立1德布羅意物質(zhì)波2薛定諤方程（波動力學(xué)）3海森堡矩陣力學(xué)第二十九頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日1德布羅意波物質(zhì)波的思想：微觀粒子和光一樣具有波粒二象性，與微觀粒子相聯(lián)系的波叫德布羅意波，或物質(zhì)波。1927年，戴維森和革末用有一定能量和動量的電子射向金屬鎳單晶表面，觀察到電子衍射現(xiàn)象，并證實了德布羅意關(guān)系的正確。第三十頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日2薛定諤方程（波動力學(xué)）薛定諤接受了物質(zhì)波的思想后，積極尋找物質(zhì)波的運動方程。將力學(xué)與光學(xué)進行類比。1926年找到了表示波函數(shù)時空變化的偏微分方程，完成了描述微觀粒子運動規(guī)律的數(shù)學(xué)框架。以該方程為主體形成的理論——波動力學(xué)——解釋了氫原子不連續(xù)能級，證實了波爾理論中的量子化條件。第三十一頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日3海森堡矩陣力學(xué)1925年海森堡考察了波爾理論對原子狀態(tài)的描述，認為觀測原子內(nèi)部的電子軌道實際上是不可能的，必須以頻率、光強等可觀測量來取代。提出用矩陣來表述微觀粒子的運動規(guī)律。（矩陣力學(xué)）1926年薛定諤證明了矩陣力學(xué)與波動力學(xué)實際上是一致的——統(tǒng)稱量子力學(xué)。1926年波恩提出波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，賦予量子理論明確的物理意義。1927年海森堡提出了不確定度關(guān)系。為微觀粒子的波粒二象性提供了嚴格的數(shù)學(xué)表達。1928年狄拉克提出了相對論波動方程，實現(xiàn)了相對論和量子力學(xué)的統(tǒng)一。至此，建立了量子力學(xué)理論的基礎(chǔ)。第三十二頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日§2波函數(shù)和薛定諤方程一微觀粒子的波粒二象性1德布羅意波的概念：物質(zhì)波

一切微觀粒子都具有波動性。從波動特性而言，應(yīng)有波長λ、頻率γ（ω）作為一個質(zhì)量為m的粒子，以速度v運動，具有能量E和動量p。2微觀粒子波動性與粒子性的聯(lián)系

第三十三頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日德布羅意波的波長直接由粒子的動量或能量來確定，而與空間坐標無關(guān)，這種關(guān)系對于經(jīng)典波而言是不存在的。這也是物質(zhì)波與經(jīng)典波的重要差別之一。第三十四頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日物質(zhì)波的提出例1：有一枚飛行的子彈，質(zhì)量m=10-2Kg，速度V=5.0102m/s，請計算對應(yīng)的德布羅意波長。太小測不到！第三十五頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日例2：試計算一個電子在V＝150v，V=104v的加速電壓下的德布羅意波長。(m=9.110-31Kg，

e=1.610－19C)第三十六頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日1德布羅意波的數(shù)學(xué)表達2德布羅意波的實驗證實3波函數(shù)的物理意義4統(tǒng)計詮釋對波函數(shù)提出的要求二德布羅意波的數(shù)學(xué)表達及物理意義第三十七頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日

波函數(shù)一維：三維：1德布羅意波的數(shù)學(xué)表達第三十八頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日例3用德布羅意波理論解釋波爾提出的圓周軌道量子化條件。

電子的穩(wěn)定狀態(tài)，波繞原子核傳播一周后，首尾應(yīng)光滑的連接起來，這才能形成穩(wěn)定的波，否則疊合的波將因相互干涉而抵消。第三十九頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日電子駐波氫原子中電子的圓軌道運動，它所對應(yīng)的物質(zhì)波形成駐波，圓周長應(yīng)等于波長的整數(shù)倍。再根據(jù)德布羅意關(guān)系得出角動量量子化條件德布羅意關(guān)系與愛因斯坦質(zhì)能關(guān)系有著同樣重要意義。光速c是個“大”常數(shù)；普朗克常數(shù)h是個“小”常數(shù)。第四十頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日2

物質(zhì)波的實驗驗證戴維遜和革末的實驗是用電子束垂直投射到鎳單晶，電子束被散射。其強度分布可用德布羅意關(guān)系和衍射理論給以解釋，從而驗證了物質(zhì)波的存在。英國的G.P.湯姆孫做了高能電子穿過金屬薄片的實驗。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，投射的電子在屏上形成的花樣是一個明暗交替的同心圓環(huán)，而不是模糊角。這種花樣和透射晶體X射線在屏上形成的衍射花樣相像。湯姆孫證實了電子波動性的存在。原子、分子的波動性在1930年由施特恩和他的同事通過實驗得到證實。第四十一頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日電子不僅在反射時有衍射現(xiàn)象，湯姆遜實驗證明了電子在穿過金屬片后也象X射線一樣產(chǎn)生衍射現(xiàn)象。戴維遜和湯姆遜因驗證電子的波動性分享1937年的物理學(xué)諾貝爾獎金電子的衍射實驗證明了德布羅意關(guān)系的正確性。由于電子波長比可見光波長小10-310-5數(shù)量級，從而可大大提高電子顯微鏡的分辨率。我國已制成80萬倍的電子顯微鏡，分辨率為，能分辨大個分子,有著廣泛的應(yīng)用前景。第四十二頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日3波函數(shù)的物理意義（波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋）子彈的雙縫實驗聲波的雙縫實驗電子的雙縫實驗第四十三頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日第四十四頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日電子雙縫衍射的結(jié)果起初：感光時間較短，底片上出現(xiàn)一些點子，分布看起來沒什么規(guī)律。感光時間足夠長：底片上感光的點子越來越多，就會發(fā)現(xiàn)有些地方點子很密，有些地方幾乎沒有什么點子。最后：感光點子的密度分布將構(gòu)成一個有規(guī)律的花樣。與X光衍射光花樣完全相似，就強度分布而言，與經(jīng)典波相似，而與子彈在靶上的密度分布完全不同。第四十五頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日波函數(shù)的統(tǒng)計意義在底片上r點附近衍射花樣的強度正比于在r點附近感光點的數(shù)目正比于在r點附近出現(xiàn)的點子數(shù)目

正比于電子出現(xiàn)在r點附近的幾率電子在空間出現(xiàn)的概率分布顯示了電子運動的波動性。即德布羅意波或物質(zhì)波。是一種抽象的概率分布波，或叫概率波。電子衍射條紋就是概率波疊加的結(jié)果。粒子在空間r處附近單位體積內(nèi)出現(xiàn)的概率正比于該點波函數(shù)振幅絕對值的平方。

12第四十六頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日波函數(shù)的統(tǒng)計意義

是微觀粒子于t時刻在r點附近單位體積內(nèi)出現(xiàn)的概率，即概率密度。例4.與所描述的幾率波是否相同？為什么？第四十七頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日4統(tǒng)計詮釋對波函數(shù)提出的要求

取有限值

單值波函數(shù)及其各階微商的連續(xù)性要根據(jù)體系所處的勢場V(r)的性質(zhì)來分析。一般要求及其微商連續(xù)是不正確的。例如無限深方勢阱中波函數(shù)在全空間是連續(xù)的，但微商在勢阱邊界處就不連續(xù)。第四十八頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日例5有一微觀粒子，沿x軸方向運動，描述其運動的波函數(shù)為：1）將此波函數(shù)歸一化；2）求出粒子坐標的概率分布函數(shù)；3）求在何處找到粒子的概率密度最大。第四十九頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日三態(tài)的疊加原理1態(tài)的概念：

微觀粒子的運動服從統(tǒng)計規(guī)律，因此微觀粒子的力學(xué)性質(zhì)將由一組力學(xué)量及它們的分布概率來表征。所謂微觀粒子的態(tài)就是這些力學(xué)量的可能值及分布概率所確定的物理狀態(tài)。各力學(xué)量的分布概率和它們的平均值也都可由得到。不同的表達了不同的運動狀態(tài)；隨時間的變化，表達了態(tài)的變化，描述了微觀粒子的運動過程。所以是描述微觀粒子運動狀態(tài)的函數(shù)，也稱態(tài)函數(shù)。第五十頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日2態(tài)的疊加原理：疊加性是一切類型的波動的共有特征。兩個概率波，相遇時：當(dāng)，是微觀體系可能存在的兩個狀態(tài)時，則他們的線性疊加也是體系的一個可能狀態(tài)。當(dāng)，，…，為體系可能的狀態(tài)時，它們的線性疊加也是體系的一個可能狀態(tài)。第五十一頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日四薛定諤方程1薛定諤方程的地位2建立薛定諤方程要滿足的物理條件1）波函數(shù)滿足線性疊加原理，因此它所滿足的方程應(yīng)是一個線性方程；2）方程應(yīng)具有各種粒子都滿足的普遍性質(zhì)，要求各系數(shù)只為普適量和表示粒子一般屬性的量如質(zhì)量等，而不包含表征特殊狀態(tài)的量如動量、能量等。3建立的思路1）自由粒子的薛定諤方程2）一維勢場中運動的薛定諤方程3）定態(tài)薛定諤方程第五十二頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日1）自由粒子2）一維勢場V(x)中運動的粒子3）定態(tài)薛定諤方程第五十三頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日§3薛定諤方程的解一一維無限深方勢阱中的粒子二一維線性諧振子三氫原子中的電子四多電子原子結(jié)構(gòu)第五十四頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日本節(jié)的研究目的及內(nèi)容了解微觀粒子在不同勢場下的行為得到有關(guān)量子力學(xué)現(xiàn)象的有趣預(yù)言一維定態(tài)薛定諤方程的解一維線性諧振子氫原子中的電子一維有限深方勢阱中的粒子一維無限深方勢阱中的粒子方勢壘的反射與透射效應(yīng)本節(jié)的研究方法建立粒子在不同勢場下的定態(tài)薛定諤方程求解討論詮釋物理意義獲得結(jié)論第五十五頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日一一維無限深方勢阱中的粒子引言確定勢場建立定態(tài)薛定諤方程求解討論結(jié)論重點:勢阱的意義

薛定諤方程的求解

阱內(nèi)能量及波函數(shù)的特征第五十六頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日1引言金屬塊中的導(dǎo)電電子的勢能一個離子三個離子排成一行許多密集離子排成一行有限深方勢阱無限深方勢阱第五十七頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日2確定勢場質(zhì)量為m的粒子，局限在0<x<a

范圍內(nèi)作一維運動。在這些范圍內(nèi)粒子勢能為零，而在此范圍外，勢能為無窮大。即有：具體的例子：匣子里的粒子理想氣體分子第五十八頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日3建立定態(tài)薛定諤方程

一維定態(tài)薛定諤方程：粒子的勢能：

則一維無限深方勢阱中的粒子滿足：第五十九頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日4求解A值可利用歸一化條件確定第六十頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日5討論1)束縛態(tài)在無限深方勢阱外，波函數(shù)，粒子被束縛于阱內(nèi)，故通常把無窮遠處為零的波函數(shù)所描寫的狀態(tài)稱為束縛狀態(tài)，一般來說，束縛態(tài)的能級是分立的。2)基態(tài)體系的最低能量的狀態(tài)稱為基態(tài)，在一維無限深勢阱中的基態(tài)是n=1的基本征態(tài)，粒子所具有的最小能量不為零。這與經(jīng)典理論結(jié)果完全不同，經(jīng)典理論認為粒子最低能量必須為零。3)粒子的運動方式量子力學(xué)僅提供了所有可能的運動方式第六十一頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日4）能量量子化

束縛于勢阱中的粒子，它的能量只能取由n決定的一系列不連續(xù)的值，即能量量子化，這是一切束縛粒子狀態(tài)的特征。5）能級分布不均勻

能級越高，能級差越大，而能級密度越小。

6）量子化現(xiàn)象與勢阱寬度之間的關(guān)系

例題

當(dāng)a很小，能量量子化現(xiàn)象顯著，當(dāng)a較大時，能量量子化不顯著，能量基本連續(xù)7）波函數(shù)在全空間連續(xù)，但微商在x=0，a處不連續(xù)。第六十二頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日例6估算電子在下列無限深方勢阱中的能級差，勢阱寬度分別為：a1=10－9米，a2=10－2米。

M=9.1×10-31kg解：第六十三頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日8）粒子在阱中各處出現(xiàn)的幾率

第六十四頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日6小結(jié)一維無限深方勢阱中的粒子為束縛態(tài)基態(tài)能量不為零能量量子化粒子在阱壁上出現(xiàn)的幾率為零。在勢阱內(nèi)部找到粒子的幾率分布有起伏。第六十五頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日7二維、三維無限深方勢阱中的粒子第六十六頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日三維無限深方勢阱中的粒子波函數(shù)表面第六十七頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日無限深方勢阱有限深方勢阱第六十八頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日二一維諧振子1引言2確立勢函數(shù)3建立定態(tài)薛定諤方程4求解5分析與討論6結(jié)論重點:諧振子模型的意義

能量及波函數(shù)的特征

與經(jīng)典情況的區(qū)別

第六十九頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日1引言什么是諧振子為什么研究線性諧振子

任何體系在平衡位置附近的小振動，在選擇適當(dāng)?shù)淖鴺酥?，往往可以分解成若干彼此獨立的一維簡諧振動；簡諧振動往往還作為復(fù)雜運動的初步近似。第七十頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日2確立勢函數(shù)3建立定態(tài)薛定諤方程第七十一頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日4求解第七十二頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日5討論一維線性諧振子能量量子化條件：一維線性諧振子能級均勻分布；量子振子的概率密度與經(jīng)典振子概率密度的區(qū)別第七十三頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日經(jīng)典振子的概率密度

設(shè)經(jīng)典振子的振動周期為，在區(qū)間內(nèi)，振子出現(xiàn)在內(nèi)的時間為，則此時經(jīng)典振子的概率為第七十四頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日一維線性諧振子的概率密度第七十五頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日第七十六頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日經(jīng)典振子的概率密度的曲線是U形的，而量子的則在一定范圍內(nèi)起伏。n越大，起伏越密集；當(dāng)n較大時，兩種曲線接近，n很大時，即能量很大時，量子振子的行為可由經(jīng)典振子來代替；量子振子可能出現(xiàn)在經(jīng)典振子不可能出現(xiàn)的地方。第七十七頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日三氫原子中的電子引言確定勢場建立定態(tài)薛定諤方程求解討論結(jié)論重點:氫原子能量以及波函數(shù)的特征

氫原子核外電子的幾率分布

第七十八頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日1引言在自然界中，廣泛碰到物體在中心力場中運動的問題。例如，地球在太陽的萬有引力場中運動，電子在原子核的Coulomb場中運動等，無論在經(jīng)典力學(xué)中或在量子力學(xué)中，中心力場問題都占有特別重要的地位，Coulomb場(以及屏蔽Coulomb場)在原子結(jié)構(gòu)研究中占有持別重要地位。氫原子是最簡單的原子，其薛定諤方程可以嚴格求解，根據(jù)所得出的能級和能量本征函數(shù)，可以解釋氫原子光譜線的規(guī)律，氫原子理論還是了解復(fù)雜原子及分子結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。第七十九頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日2確定勢場設(shè)電子質(zhì)量遠遠小于原子核，假定原子核靜止，將坐標原點選在原子核上，則電子的勢能為：

電子在離核無窮遠處的勢能為零。中心力場球?qū)ΨQ勢場氫原子體系類氫體系Z為核電荷數(shù)第八十頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日3建立定態(tài)薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程為：

第八十一頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日4求解：1）坐標變換

2）分離變量

3）各方程求解

第八十二頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日1）坐標變換(1)第八十三頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日2）分離變量(2)(3)(4)(5)第八十四頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日3）用解析法解各方程(3)(4)(5)Φ方程的解Θ方程的解R方程的解第八十五頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日磁量子數(shù)主量子數(shù)角量子數(shù)能量量子化條件波爾半徑第八十六頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日波函數(shù)徑向波函數(shù)球諧函數(shù)第八十七頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日一些徑向波函數(shù)第八十八頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日一些球諧函數(shù)第八十九頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日第九十頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日5討論1)維數(shù)與量子數(shù)的關(guān)系：氫原子中的電子是三維波動問題，三維薛定諤方程有3組量子數(shù)，3個量子數(shù)代表一個確定的運動狀態(tài)。量子數(shù)是在求解薛定諤方程的過程中自然產(chǎn)生的，其數(shù)學(xué)涵義就是本征值，而本征是固有的意思。也就是說，量子數(shù)是量子天然、固有的東西。

2)不同量子數(shù)的物理意義：

n：主量子數(shù)，反映了電子的能級和電子活動平均范圍的大小。主量子數(shù)n越小，越小，系統(tǒng)越穩(wěn)定，因此電子的活動平均范圍越小，即越靠近原子核。

l：角量子數(shù)，反映了電子軌道運動的形狀；

m：磁量子數(shù)，反映了電子軌道運動的角度。3)量子數(shù)之間的關(guān)系：當(dāng)n值一定時，允許的l、m值組合起來共有n2個，即一個n值可以對應(yīng)n2個不同的狀態(tài)。我們稱這n2個不同的狀態(tài)為簡并狀態(tài)，而能級n的簡并度為n2。第九十一頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日

簡并度：第九十二頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日6氫原子核外電子的幾率分布1)類氫問題核外只有1個電子，原子核的核電荷數(shù)，電子波函數(shù)可以很方便地通過氫原子波函數(shù)求得。只要將表2-1中所有的替換為，就能得到含Z個核電核的類氫問題的電子波函數(shù)。2)電子云：黑點較密處就是電子出現(xiàn)概率較大的地方。顯然，越靠近中心(即原子核)，電子出現(xiàn)的概率越大，因此黑點也越密。電子云有時稱為軌道。通常將l=0，1，2，3的軌道分別稱為s、p、d、f軌道。n=n時，軌道數(shù)為n2

個。第九十三頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日3)氫原子核外電子的概率分布電子波函數(shù)：稱為為徑向部分，而稱為角度部分。由于波函數(shù)的這種劃分，給幾何分析帶來很多方便。第九十四頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日第九十五頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日a）電子的徑向分布概率設(shè)電子在核外厚度為dr的球殼空間內(nèi)出現(xiàn)的概率為dω，則

稱為徑向概率密度或徑向分布函數(shù)。第九十六頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日l=0l=1第九十七頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日例7當(dāng)氫原子處于基態(tài)時，試求在何處電子的徑向概率密度最大？解：氫原子基態(tài)的波函數(shù)為：第九十八頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日b）電子的角度分布概率設(shè)電子在核外方向的立體角中出現(xiàn)的概率為dω，則角分布與

無關(guān)，即幾率分布對Z軸是旋轉(zhuǎn)對稱的

稱為角度概率密度或角度分布函數(shù),第九十九頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日l=0,m=0l=1,m=0,1l=2,m=0,1,2l=3,m=0,1,2,3第一百頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日第一百零一頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日4)S電子云的徑向分布概率與角度分布概率近處的概率密度雖然較大，但因球面積很小，電子出現(xiàn)的總概率反而不如適當(dāng)?shù)倪h處。

(1)隨著主量子數(shù)的增大，殼層離開原子核更遠。

(2)隨著主量子數(shù)的增大，殼層的厚度增大。

(3)殼層的概念對于非球?qū)ΨQ的p、d、f

等電子仍然適用，而且上述兩個規(guī)律仍然存在。

5)P電子云的徑向分布概率與角度分布概率第一百零二頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日7電子自旋1）提出電子自旋的實驗根據(jù)第一百零三頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日無磁場有磁場NS第一百零四頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日2）關(guān)于自旋的主要結(jié)論a自旋是一種獨立的運動形式，它不能用上述薛定諤方程描述。凡是電子都有自旋。b自旋運動也是量子化的，描述自旋的總自旋角動量L是一個特殊矢量，它在任意方向上的投影只可能取兩個值。如在z軸上為

mz

稱為自旋量子數(shù)，它只有1/2和-1/2兩個數(shù)值(而L本身的量子數(shù)S總是1/2)。也就是說，由于自旋只有兩種狀態(tài)，通常將它們分別稱為自旋向上或自旋向下。顯然，這里的向上、向下只有狀態(tài)不同的含義，而沒有方向的含義。c除電子外，原子核、中子等都有自旋運動，而且都是量子化的。第一百零五頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日四多電子原子結(jié)構(gòu)1屏蔽效應(yīng)1）概念2）被屏蔽電子與屏蔽電子3）屏蔽系數(shù)的變化規(guī)律a如果屏蔽電子在內(nèi)層，而被屏蔽電子在外層，且層數(shù)差大于等于2，則屏蔽系數(shù)。b當(dāng)層數(shù)差為1時，當(dāng)外層的被屏蔽電子為s電子或

p電子時，；當(dāng)外層的被屏蔽電子為d

電子或f電子時，。第一百零六頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日4）徐光憲規(guī)則a對原子的外層電子：n+0.7l數(shù)值越大，能級越高；

b對正離子的外層電子：n+0.4l數(shù)值越大，能級越高。

5）軌道膨脹2核外電子排布泡利不相容原理能量最低原理洪特規(guī)則3原子結(jié)構(gòu)與性能第一百零七頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日例8計算K的4s電子的能量，同時計算類氫問題的4s電子能量，計算結(jié)果說明了什么？解：類氫問題中4s電子的能量：。

第一百零八頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日§4量子力學(xué)中的力學(xué)量一力學(xué)量的算符二算符的基本數(shù)學(xué)性質(zhì)三力學(xué)量算符的性質(zhì)四算符的應(yīng)用第一百零九頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日一力學(xué)量的算符1經(jīng)典力學(xué)中的力學(xué)量的平均值

設(shè)力學(xué)量F在狀態(tài)中的觀測值如下：力學(xué)量值：出現(xiàn)次數(shù)：測量總次數(shù)：

F的平均值：第一百一十頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日如果為坐標x的連續(xù)函數(shù)(這里只考慮一維問題)，則稱為x點的概率密度，因此在dx區(qū)間內(nèi)，力學(xué)量出現(xiàn)的概率為，所以力學(xué)量的平均值為

對三維空間則有第一百一十一頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日2量子力學(xué)中坐標及坐標函數(shù)的力學(xué)量平均值量子力學(xué)中的概率密度為量子力學(xué)中坐標x、y、z的平均值，和以坐標為自變量的力學(xué)量的平均值如下坐標算符第一百一十二頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日根據(jù)海森堡原理，粒子的坐標和動量不可能同時準確測量。因此，上述公式不能用于求動量的平均值。三個動量分量平均值的表達式：動量算符動量平均值第一百一十三頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日動能T

和總能量E

的平均值動能算符(標量算符)總能量算符(標量算符)

薛定諤方程可寫成如下的簡單形式角動量算符（矢量算符）第一百一十四頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日例9當(dāng)粒子處于一維無限深方勢阱的基態(tài)時，試求：1）粒子坐標和坐標平方的平均值；2）動量和動量平方的平均值。第一百一十五頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日二算符的基本數(shù)學(xué)性質(zhì)1算符相等2算符相加3算符相乘4線性算符5厄米算符6算符的本征方程第一百一十六頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日算符的數(shù)學(xué)概念：對任意函數(shù)u，施加某種運算后得到一個新的函數(shù)v，用表示這一運算，則，稱為算符。第一百一十七頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日1算符相等設(shè)算符和分別作用在任意函數(shù)u上，若得到的兩個新函數(shù)和總是相等，則稱算符與相等，即=。第一百一十八頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日2算符相加3算符相乘1）不可對易算符2）可對易算符3）反對易算符第一百一十九頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日4線性算符設(shè)有算符，、為兩個任意函數(shù)，當(dāng)

稱為線性算符，其中、是任意常數(shù)。第一百二十頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日5厄米算符設(shè)u、v為兩個任意函數(shù)，如果算符滿足則稱算符為厄米算符。第一百二十一頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日例10證明動量算符是厄米算符。例11證明動能算符是厄米算符例12證明不是厄米算符第一百二十二頁，共一百三十五頁，2022年，8月28日6算符的本征方程設(shè)有算符，u為某一函數(shù)，為常數(shù)。若