2021北京八一學(xué)校初二（上）期中數(shù)學(xué)（教師版）

24/242021北京八一學(xué)校初二（上）期中數(shù)學(xué)一、選擇題（每題3分，共16分）1．（3分）冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)是世界規(guī)模最大的冬季綜合性運(yùn)動(dòng)會(huì)，每四年舉辦一屆．第24屆冬奧會(huì)將于2022年在北京和張家口舉辦．下列四個(gè)圖分別是四屆冬奧會(huì)圖標(biāo)中的一部分，其中是軸對(duì)稱圖形的為A． B． C． D．2．（3分）下列運(yùn)算正確的是A． B． C． D．3．（3分）已知：如圖，、分別在、上，若，，，，則的度數(shù)是A． B． C． D．4．（3分）下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是A． B． C． D．5．（3分）如圖，在中，，，的垂直平分線交于點(diǎn)，則的度數(shù)是)A． B． C． D．6．（3分）小聰在用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角時(shí)，具體過程是這樣的：已知：．求作：，使．作法：（1）如圖，以點(diǎn)為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)，；（2）畫一條射線，以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，交于點(diǎn)；（3）以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，與第（2）步中所畫的弧相交于點(diǎn)；（4）過點(diǎn)畫射線，則．小聰作法正確的理由是A．由可得△，進(jìn)而可證 B．由可得△，進(jìn)而可證 C．由可得△，進(jìn)而可證 D．由“等邊對(duì)等角”可得7．（3分）如果，那么代數(shù)式的值為A．14 B．9 C． D．8．（3分）已知長方形可以按圖示方式分成九部分，在，變化的過程中，下面說法正確的有①長方形的長寬之比可能為2；②圖中存在三部分的周長之和恰好等于長方形的周長；③當(dāng)長方形為正方形時(shí)，九部分都為正方形；④當(dāng)長方形的周長為60時(shí)，它的面積可能為100．A．②③ B．①③ C．②③④ D．①③④二、填空題（每題2分，共16分）9．（2分）直接寫出計(jì)算結(jié)果：．10．（2分）點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是．11．（2分）如果等腰三角形的一個(gè)底角是，那么頂角是度．12．（2分）分解因式：．13．（2分）如圖，在中，，平分，，，則的面積是．14．（2分）已知，，則．15．（2分）如圖，在中，，點(diǎn)在上（不與點(diǎn)，重合）．只需添加一個(gè)條件即可證明，這個(gè)條件可以是（寫出一個(gè)即可）．16．（2分）如圖，已知，在邊上順次取點(diǎn)，，，在邊上順次取點(diǎn)，，，使得，得到等腰△，△，△，△（1）若，可以得到的最后一個(gè)等腰三角形是；（2）若按照上述方式操作，得到的最后一個(gè)等腰三角形是△，則的度數(shù)的取值范圍是．三、解答題（17，18題每小題12分，19、20題每題4分，21題5分，22題4分，23題3分，24題5分，25題4分，26題6分，27題7分，共60分）17．（12分）計(jì)算：（1）．（2）．（3）．（4）．18．（6分）分解因式：（1）；（2）．19．（4分）如圖，點(diǎn)、、、在同一條直線上，，，，求證：．20．（4分）先化簡，再求值：，其中，．21．（5分）在直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)的位置如圖所示．（1）請(qǐng)畫出關(guān)于軸對(duì)稱的△（其中，，分別是，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，不寫畫法）；（2）直接寫出，，三點(diǎn)的坐標(biāo)：，，．（3）點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且滿足是等腰三角形，則所有符合條件的點(diǎn)有個(gè)．22．（4分）如圖，點(diǎn)、在的邊上，，．求證：．23．（3分）如圖，某地有兩所大學(xué)和兩條交叉的公路．圖中點(diǎn)，表示大學(xué)，，表示公路，現(xiàn)計(jì)劃修建一座物資倉庫，希望倉庫到兩所大學(xué)的距離相同，到兩條公路的距離也相同，你能確定出倉庫應(yīng)該建在什么位置嗎？請(qǐng)?jiān)趫D中畫出你的設(shè)計(jì)．（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）24．（5分）如圖，在中，，，是邊上一點(diǎn)，連接，，且，與交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）當(dāng)時(shí)，求證：平分．25．（4分）小明在學(xué)習(xí)有關(guān)整式的知識(shí)時(shí)，發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象：對(duì)于關(guān)于的多項(xiàng)式，由于，所以當(dāng)取任意一對(duì)互為相反數(shù)的數(shù)時(shí)，多項(xiàng)式的值是相等的．例如，當(dāng)，即或0時(shí)，的值均為3；當(dāng)，即或時(shí)，的值均為6．于是小明給出一個(gè)定義：對(duì)于關(guān)于的多項(xiàng)式，若當(dāng)取任意一對(duì)互為相反數(shù)的數(shù)時(shí)，該多項(xiàng)式的值相等，就稱該多項(xiàng)式關(guān)于對(duì)稱．例如關(guān)于對(duì)稱．請(qǐng)結(jié)合小明的思考過程，運(yùn)用此定義解決下列問題：（1）多項(xiàng)式關(guān)于對(duì)稱；（2）若關(guān)于的多項(xiàng)式關(guān)于對(duì)稱，求的值；（3）整式關(guān)于對(duì)稱．26．（6分）課堂上，老師提出了這樣一個(gè)問題：如圖1，在中，平分交于點(diǎn)，且．求證：．小明的方法是：如圖2，在上截取，使，連接，構(gòu)造全等三角形來證明結(jié)論．（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截長法”，那么還可以用“補(bǔ)短法”通過延長線段構(gòu)造全等三角形進(jìn)行證明．輔助線的畫法是：延長至，使，連接．請(qǐng)補(bǔ)全小天提出的輔助線的畫法，并在圖1中畫出相應(yīng)的輔助線；（2）小蕓通過探究，將老師所給的問題做了進(jìn)一步的拓展，給同學(xué)們提出了如下的問題：如圖3，點(diǎn)在的內(nèi)部，，，分別平分，，，且．求證：．請(qǐng)你解答小蕓提出的這個(gè)問題；（3）小東將老師所給問題中的一個(gè)條件和結(jié)論進(jìn)行交換，得到的命題如下：如果在中，，點(diǎn)在邊上，，那么平分．小東判斷這個(gè)命題也是真命題，老師說小東的判斷是正確的．請(qǐng)你利用圖4對(duì)這個(gè)命題進(jìn)行證明．27．（7分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過點(diǎn)，且平行于軸．給出如下定義：點(diǎn)先關(guān)于軸對(duì)稱得點(diǎn)，再將點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱得點(diǎn)，則稱點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸和直線的二次反射點(diǎn)．（1）已知，，，則它們關(guān)于軸和直線的二次反射點(diǎn)，，的坐標(biāo)分別是；（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)是，其中，點(diǎn)關(guān)于軸和直線的二次反射點(diǎn)是點(diǎn)，求線段的長；（3）已知點(diǎn)，點(diǎn)，以線段為邊在軸上方作正方形，若點(diǎn)，關(guān)于軸和直線的二次反射點(diǎn)分別為，，且線段與正方形的邊有公共點(diǎn)，求的取值范圍．

2021北京八一學(xué)校初二（上）期中數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題（每題3分，共16分）1．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．【解答】解：、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．【分析】選項(xiàng)根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則判斷即可，同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；選項(xiàng)根據(jù)合并同類項(xiàng)法則判斷即可，合并同類項(xiàng)的法則：把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變；選項(xiàng)根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則判斷即可，同底數(shù)冪的除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減；選項(xiàng)根據(jù)冪的乘方與積的乘方運(yùn)算法則判斷即可，冪的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘；積的乘方法則：把每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘．【解答】解：．，故本選項(xiàng)不合題意；．，故本選項(xiàng)不合題意；．，故本選項(xiàng)不合題意；．，故本選項(xiàng)符合題意；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了合并同類項(xiàng)，同底數(shù)冪的乘除法以及冪的乘方與積的乘方，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．3．【分析】根據(jù)證，推出，求出的度數(shù)，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出，代入求出即可．【解答】解：在和中，，，，，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定和三角形的外角性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出的度數(shù)和得出．4．【分析】根據(jù)因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式乘積的形式，可得答案．【解答】解：、是整式的乘法，不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；、是整式的乘法，不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；、把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式乘積的形式，是因式分解，故此選項(xiàng)符合題意；、沒把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式乘積的形式，不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的意義．嚴(yán)格按照因式分解的定義去驗(yàn)證每個(gè)選項(xiàng)是正確解答本題的關(guān)鍵．5．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，得到，計(jì)算即可．【解答】解：，，，是的垂直平分線，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．6．【分析】先利用作法得到，，然后根據(jù)全等三角形的判定方法對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解答】解：由作圖得，，則根據(jù)“”可判斷△．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖基本作圖：基本作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．也考查了全等三角形的判定．7．【分析】直接利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式計(jì)算，再把已知代入得出答案．【解答】解：．當(dāng)時(shí)，原式．故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，完全平方公式，正確將原式變形是解題關(guān)鍵．8．【分析】假設(shè)長方形的長寬比是2，推導(dǎo)出與已知的矛盾，排除①，根據(jù)正方形定義和長方形的周長公式判斷②③，根據(jù)長方形的周長為60，推導(dǎo)出該長方形的面積大于100，從而說明④錯(cuò)誤．【解答】解：如圖：①長方形的長為，寬為，若該長方形的長寬之比為2，則，解得．這與題意不符，故①的說法不正確；②四邊形、、的周長之和等于長方形的周長，故②正確；③當(dāng)長方形為正方形時(shí)，，所以，所以九部分都為正方形，故③的說法正確；④當(dāng)長方形的周長為60時(shí)，即，整理，得，四邊形的面積為100，長方形的面積大于100，故④的說法不正確．綜上所述，正確的是：②③．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了長方形、正方形的周長和面積即等式的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握正方形的判定、長方形的周長公式和正方形的面積公式是解決本題的關(guān)鍵．二、填空題（每題2分，共16分）9．【分析】利用積的乘方的法則對(duì)式子進(jìn)行運(yùn)算即可．【解答】解：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查積的乘方，解答的關(guān)鍵是對(duì)積的乘方的法則的掌握．10．【分析】根據(jù)“關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”解答．【解答】解：點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了關(guān)于軸、軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：（1）關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；（2）關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．11．【分析】由已知等腰三角形的一個(gè)底角是，利用等腰三角形的性質(zhì)得另一個(gè)底角也是，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可求頂角的度數(shù)【解答】解：三角形是等腰三角形，兩個(gè)底角相等，等腰三角形的一個(gè)底角是，另一個(gè)底角也是，頂角的度數(shù)為．故填20．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；借助三角形的內(nèi)角定理求解有關(guān)角的度數(shù)問題是一種很重要的方法，要熟練掌握．12．【分析】原式利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式．故答案為：【點(diǎn)評(píng)】此題考查了因式分解運(yùn)用公式法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．13．【分析】直接利用角平分線的性質(zhì)得出到的距離，進(jìn)而利用三角形面積求法得出答案．【解答】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，平分，，，，．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及三角形面積求法，正確得出到的距離是解題關(guān)鍵．14．【分析】由，得．由，得，那么，從而解決此題．【解答】解：，．，．．．故答案為：7．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查完全平方公式以及整式的加減運(yùn)算，熟練掌握完全平方公式以及整式的加減運(yùn)算法則是解決本題的關(guān)鍵．15．【分析】由題意可得，，即添加一組邊對(duì)應(yīng)相等，可證與全等．【解答】解：，，添加，在與中，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，靈活運(yùn)用全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵．16．【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)求出即可判斷．（2）由題意要使得得到的最后一個(gè)等腰三角形是△，需要滿足：且，解不等式即可解決問題．【解答】解：（1），，，，△不存在，得到的最后一個(gè)等腰三角形是△．故答案為△．（2）由題意要使得得到的最后一個(gè)等腰三角形是△，需要滿足：且，，故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．三、解答題（17，18題每小題12分，19、20題每題4分，21題5分，22題4分，23題3分，24題5分，25題4分，26題6分，27題7分，共60分）17．【分析】（1）利用單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式計(jì)算法則進(jìn)行計(jì)算；（2）利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式計(jì)算法則，再算加減即可；（3）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式計(jì)算法則進(jìn)行計(jì)算，然后再計(jì)算減法即可；（4）利用完全平方公式計(jì)算即可．【解答】解：（1）．（2）．（3）．（4）．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了整式的混合運(yùn)算，關(guān)鍵是掌握有乘方、乘除的混合運(yùn)算中，要按照先乘方后乘除的順序運(yùn)算，其運(yùn)算順序和有理數(shù)的混合運(yùn)算順序相似．18．【分析】（1）直接提公因式即可；（2）先提公因式，再應(yīng)用平方差公式．【解答】解：（1）原式；（2）原式．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確應(yīng)用乘法公式是解題關(guān)鍵．19．【分析】證明它們所在的三角形全等即可．根據(jù)等式的性質(zhì)可得．運(yùn)用證明與全等．【解答】證明：，，在與中，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定．全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．20．【分析】直接利用乘法公式以及單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算法則化簡，合并同類項(xiàng)，再把已知數(shù)據(jù)代入得出答案．【解答】解：，，當(dāng)，時(shí)，原式．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了整式的混合運(yùn)算—化簡求值，正確運(yùn)用乘法公式計(jì)算是解題關(guān)鍵．21．【分析】（1）由點(diǎn)的對(duì)稱性，作出圖形即可；（2）關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，縱坐標(biāo)不變，即可求解；（3）利用兩圓一線確定等腰三角形，作出圖形即可求解．【解答】解：（1）如圖（2）由圖可知，，，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為，故答案為：，，；（3）如圖：以為圓心，長為半徑做圓，此圓與坐標(biāo)軸有4個(gè)交點(diǎn)，以為圓心，長為半徑做圓，此圓與坐標(biāo)軸有4個(gè)交點(diǎn)，作線段的垂直平分線，此線與坐標(biāo)軸有2個(gè)交點(diǎn)，是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)有10個(gè)，故答案為10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱作圖，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，兩圓一線確定等腰三角形的方法是解題的關(guān)鍵．22．【分析】要證明線段相等，只要過點(diǎn)作的垂線，利用三線合一得到為及的中點(diǎn)，線段相減即可得證．【解答】證明：如圖，過點(diǎn)作于．，；，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，做題時(shí)，兩次用到三線合一的性質(zhì)，由等量減去等量得到差相等是解答本題的關(guān)鍵．23．【分析】到兩條公路的距離相等，在這兩條公路的夾角的平分線上；到兩所大學(xué)的距離相等，在這兩所大學(xué)兩個(gè)端點(diǎn)的連線的垂直平分線上，所畫兩條直線的交點(diǎn)即為所求的位置．【解答】解：則點(diǎn)為所求．【點(diǎn)評(píng)】用到的知識(shí)點(diǎn)為：到一個(gè)角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上；到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上．24．【分析】（1）根據(jù)證明與全等，進(jìn)而解答即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和角之間的關(guān)系解答即可．【解答】證明：（1），，，在與中，，，．（2）由（1）得，，．由（1）得，，．，，．，，，，．，，平分．【點(diǎn)評(píng)】此題考查全等三角形問題，關(guān)鍵是根據(jù)證明三角形全等，再利用全等三角形的性質(zhì)解答．25．【分析】（1）對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行配方，根據(jù)新定義判斷即可；（2）求出的對(duì)稱軸，令對(duì)稱軸即可；（3）對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行配方，根據(jù)新定義判定即可．【解答】解：（1），則多項(xiàng)式關(guān)于對(duì)稱，故答案為：2；（2），關(guān)于的多項(xiàng)式關(guān)于對(duì)稱，，；（3）原式，故關(guān)于對(duì)稱，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法的應(yīng)用，能夠?qū)Χ?/p>