八下等腰三角形

第一節(jié)等腰三角形第一章三角形的證明1.全等三角形的定義、性質能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形（形狀、大小都相同）性質：全等三角形的對應邊相等、對應角相等。2.三角形全等的判定定理：①三邊對應相等的兩個三角形全等;（SSS）②兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等;（SAS）③兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等;（ASA）④兩角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等.（AAS）

知識回顧議一議,做一做(1)還記得我們探索過的等腰三角形的性質嗎?盡可能回憶出來.(2)你能利用已有的公理和定理證明這些結論嗎?如圖，先自己折紙觀察探索并寫出等腰三角形的性質，然后再小組交流，互相彌補不足.→→DCBADCBAD(C)BA等腰三角形的特征1.等腰三角形是軸對稱圖形。3.等腰三角形的兩個底角相等。2.等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合（也稱“三線合一”），它們所在的直線都是等腰三角形的對稱軸。定理:等腰三角形的兩個底角相等.(等邊對等角)已知：如圖,在△ABC中,AB=AC.求證：∠B=∠C.證明：取BC的中點D,連接AD.在△ABD和△ACD中

∵AB=AC,BD=CD,AD=AD∴△ABD≌△ACD(SSS)

∴∠B=∠C（全等三角形的對應角相等）CBAD一題多解證法一:等腰三角形的性質等腰三角形的性質已知：如圖,在△ABC中,AB=AC.求證：∠B=∠C.證明：作△ABC頂角∠A的角平分線AD.在△ABD和△ACD中

∵AB=AC,∠BAD=∠CAD,AD=AD∴△ABD≌△ACD(SAS)

∴∠B=∠C（全等三角形的對應角相等）CBAD一題多解證法二:定理:等腰三角形的兩個底角相等.(等邊對等角)等腰三角形的性質已知：如圖,在△ABC中,AB=AC.求證：∠B=∠C.證明：在△ABC和△ACB中

∵AB=AC,∠A=∠A,AC=AB,∴△ABC≌△ACB(SAS)

∴∠B=∠C（全等三角形的對應角相等）CBA一題多解證法三:點撥：此題還有多種證法，不論怎樣證，依據都是全等的基本性質。定理:等腰三角形的兩個底角相等.(等邊對等角)想一想CBAD在上面的圖形中,線段AD還具有怎樣的性質?為什么?由此你能得到什么結論?推論:等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合.(三線合一)

歸納總結1.等腰三角形定義有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。2.性質：①等腰三角形是軸對稱圖形，有一條對稱軸。②等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上高三條線重合（三線合一）；它們所在的直線都是等腰三角形的對稱軸。③等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）3.判定：①如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）②有兩個角相等的三角形是等腰三角形。

2.如圖,在△ABD中,C是BD上的一點，且AC⊥BD，AC=BC=CD，（1）求證：△ABD是等腰三角形;（2）求∠BAD的度數.大膽嘗試，練一練！想一想,做一做

在等腰三角形中作出一些線段(如角平分線、中線、高等)，你能發(fā)現其中一些相等的線段嗎?你能證明你的結論嗎?作圖觀察,我們可以發(fā)現：等腰三角形兩底角的平分線相等；兩腰上的高、中線也分別相等．我們知道，觀察或度量是不夠的，感覺不可靠．這就需要以公理和已證明的定理為基礎去證明它，讓人們堅定不移地去承認它，相信它．下面我們就來證明上面提到的線段中的一種：等腰三角形兩底角的平分線相等．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分線．例1.證明:等腰三角形兩底角的平分線相等.21EDCBA求證：BD=CE．證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB(等邊對等角)．∵∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，∴∠1=∠2．在△BDC和△CEB中，∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2．∴△BDC≌△CEB(ASA)．∴BD=CE(全等三角形的對應邊相等)．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分線．例1.證明:等腰三角形兩底角的平分線相等.43EDCBA求證：BD=CE．一題多解證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵∠3=∠ABC，∠4=∠ACB，∴∠3=∠4．在△ABD和△ACE中，∵∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A．∴△ABD≌△ACE(ASA)．∴BD=CE(全等三角形的對應邊相等)．大膽嘗試，練一練！已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的高．1.證明:等腰三角形兩腰上的高相等.求證：BD=CE．EDCBA分析：要證BD=CE，就需證BD和CE所在的兩個三角形的全等．大膽嘗試，練一練！已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的中線．2.證明:等腰三角形兩腰上的中線相等.求證：BD=CE．EDCBA分析：要證BD=CE，就需證BD和CE所在的兩個三角形的全等．

剛才，我們只是發(fā)現并證明了等腰三角形中比較特殊的線段(角平分線、中線、高)相等，還有其他的結論嗎?你能從上述證明的過程中得到什么啟示?把腰二等分的線段相等，把底角二等分的線段相等．如果是三等分、四等分……結果如何呢?想一想,做一做議一議1．在等腰三角形ABC中，(1)如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，那么BD=CE嗎?如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB呢?由此，你能得到一個什么結論?(2)如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE嗎?如果AD=AC，AE=AB呢?由此你得到什么結論?小結（1）在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，那么BD=CE.（2）在△ABC中，如果AB=AC，AD=AC，AE=AB，那么BD=CE.簡述為：（1）在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD=∠ACE，那么BD=CE.（2）在△ABC中，如果AB=AC，AD=AE，那么BD=CE.1.求證：等邊三角形三個內角都相等并且每個內角都等于60°.已知：如圖，在△ABC中，AB=BC=AC。求證：∠A=∠B=∠C=60°.證明：在ΔABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C(等邊對等角).

同理：∠C=∠A，∴∠A=∠B=∠C（等量代換）.

又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形內角和定理）∴∠A=∠B=∠C＝60°.大膽嘗試，練一練！CBA隨堂練習及時鞏固如圖,已知△ABC和△BDE都是等邊三角形,求證:AE=CDABCDE證明:∵△ABC和△BDE都是等邊三角形∴AB=BC,∠ABC=∠DBE=60°,BE=BD∴△ABE≌△CBD∴AE=CD.將不全等的兩個等邊三角形△ABC和等邊三角形△DEF任意擺放,請你畫出不少于5種的擺放示意圖,使得AE=CF,同時滿足在重合的一條直線上有且只有三個頂點(重合的頂點算一個),并說明理由.ABCEFABECFABCFE課時小結

1.等腰三角形中還有那些相等的線段？2.等邊三角形有哪些性質？3.本節(jié)課你學到的探索問題的方法是什么？想一想問題1.等腰三角形性質定理的內容是什么？這個命題的題設和結論分別是什么？問題2.我們是如何證明上述定理的？問題3.我們把性質定理的條件和結論反過來還成立么？

如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等？前面已經證明了等腰三角形的兩個底角相等，反過來，有兩個角相等的三角形是等腰三角形嗎?議一議已知：在△ABC中，∠B=∠C，求證：AB=AC．分析：只要構造兩個全等的三角形，使AB與AC成為對應邊就可以了.作角A的平分線，或作BC上的高，都可以把△ABC分成兩個全等的三角形．CBA定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形.(等角對等邊.)等腰三角形的判定定理：在△ABC中∵∠B＝∠C（已知），∴AB=AC（等角對等邊）.幾何的三種語言ACB練習1如圖，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，圖中一共有幾個等腰三角形？找出其中的一個等腰三角形給予證明．ABCD隨堂練習練習2：已知：如圖，∠CAE是△ABC的外角，

AD∥BC且∠1=∠2．求證：AB=AC．隨堂練習想一想小明說，在一個三角形中，如果兩個角不相等，那么這兩個角所對的邊也不相等．你認為這個結論成立嗎?如果成立，你能證明它嗎?我們來看一位同學的想法：如圖，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此時AB與AC要么相等，要么不相等．假設AB=AC，那么根據“等邊對等角”定理可得∠C=∠B，但已知條件是∠B≠∠C．“∠C=∠B”與已知條件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC你能理解他的推理過程嗎?CBA再例如，我們要證明△ABC中不可能有兩個直角，也可以采用這位同學的證法.假設有兩個角是直角，不妨設∠A=90°，∠B=90°，可得∠A+∠B=180°，但△ABC中∠A+∠B+∠C=180°“∠A+∠B=180°”與“∠A+∠B+∠C=180°”相矛盾，因此△ABC中不可能有兩個直角．上面的證法有什么共同的特點呢?

在上面的證法中，都是先假設命題的結論不成立，然后由此推導出了與已知或公理或已證明過的定理相矛盾，從而證明命題的結論一定成立．我們把它叫做反證法．例1.證明:如果a1,a2,a3,a4,a5都是正數,且a1+a2+a3+a4+a5=1,那么,這五個數中至少有一個大于或等于1/5.用反證法來證:證明:假設這五個數全部小于1/5,那么這五個數的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1.這與已知這五個數的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.因此假設不成立,原命題成立,即這五個數中至少有下個大于或等于1/5.

隨堂練習11.用反證法證明：一個三角形中不能有兩個角是直角已知：△ABC．求證：∠A、∠B、∠C中不能有兩個角是直角．證明：假設∠A、∠B、∠C中有兩個角是直角，不妨設∠A=∠B=90°，則∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°．這與三角形內角和定理矛盾，所以∠A=∠B=90°不成立．所以一個三角形中不能有兩個角是直角．活動與探究1.如圖，BD平分∠CBA，CD平分∠ACB，且MN∥BC，設AB=12，AC=18，求△AMN的周長.

.分析：要求△AMN的周長，則需求出AM+MN+AN，而這三條邊都是未知的．由已知AB=12，AC=18，可使我們聯想到△AMN的周長需轉化成與AB、AC有關系的形式．而已知中的角平分線和平行線告訴我們圖形中有等腰三角形出現，因此，找到問題的突破口．NMCBAD（1）本節(jié)課學習了哪些內容？（2）等腰三角形的判定方法有哪幾種？（3）結合本節(jié)課的學習，談談等腰三角形性質和判定的區(qū)別和聯系．（4）舉例談談用反證法說理的基本思路課堂小結(1)一個等腰三角形滿足什么條件時便成為等邊三角形?(2)你認為有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形嗎?你能證明你的結論嗎?把你的證明思路與同伴交流．想一想

分析：有一個角是60°，在等腰三角形中有兩種情況：

(1)這個角是底角；(2)這個角是頂角．等邊三角形的判定定理有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．求證：三個角都相等的三角形是等邊三角形．已知：△ABC中，∠A=∠B=∠C．求證：△ABC是等邊三角形．證明：∵∠A=∠B，∴BC=AC(等角對等邊)．又∵∠A=∠C，∴BC=AB(等角對等邊)．∴AB=BC=CA，即△ABC是等邊三角形．隨堂練習CBA性質判定的條件等腰三角形(含等邊三角形)等邊對等角等角對等邊“三線合一”,即等腰三角形頂角平分線，底邊上的中線、高互相重合有一角是60°的等腰三角形是等邊三角形等邊三角形三個角都相等，且每個角都是60°三個角都相等的三角形是等邊三角形等邊三角形的性質和判定：用含30°角的兩個三角尺，你能拼成一個怎樣的三角形?能拼出一個等邊三角形嗎?說說你的理由．由此你能想到，在直角三角形中，30°角所對的直角邊與斜邊有怎樣的大小關系?你能證明你的結論嗎?做一做D(1)CBA(2)BCAD定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．求證：BC=AB．CBAD證明：延長BC至D，使CD=BC，連接AD．∵∠ACB=90°∴∠ACD=90°∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SAS)．∴AB=AD(全等三角形的對應邊相等)．∴△ABD是等邊三角形(有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形)．∴BC=BD=AB．等腰三角形的底角為15°腰長為2a，求腰上的高．[例題]已知：如圖，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°,CD是腰AB上的高；求：CD的長.CBAD解：∵∠ABC=∠ACB=15°∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°∴CD=AC=×2a=a(在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半)．一個問題“反過來”思考，就可能形成一個真命題．你能舉個例子嗎?例如“等邊對等角”反過來“等角對等邊”也是真命題；“等邊三角形的三個角都相等，并且每個角都等于60°”，反過來“三個角都相等的三角形是等邊三角形”．但有些命題“反過來”就不成立．例“對頂角相等”反過來“相等的角是對頂角”就不成立．想一想試一試

命題“在三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°”是真命題嗎？如果是，請你證明它．DCBA已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AB．求證：∠BAC=30°證明：延長BC至D，使CD=B