一道課本最小值問題在中考中的應(yīng)用

一課最值題中中應(yīng)四川省廣元市寶輪中學(xué)

唐明友人教版八年級上冊課本有一個(gè)探究問題：如圖1要在燃?xì)夤艿纋上建一個(gè)站，分別向A，B兩供氣，泵站修在管道什么地方，可使所用的輸氣管線最短？作點(diǎn)關(guān)于l的稱點(diǎn)B，接AB，交l于C，則泵站建在1管道的點(diǎn)可輸氣管線AC+BC最。對此，課本上已給予證明，

A

恕不贅述。這是一類很常見的最小值問題，在中考中時(shí)有涉及，應(yīng)引起同學(xué)

C

們重視。本文例舉在各部分知識中的應(yīng)用，供同學(xué)們參考。一在角中應(yīng)例1.如圖2在邊三角形ABC中AB=2，

圖1

點(diǎn)E是AB的點(diǎn)是上找一點(diǎn)PBP+PE的值小的最小值為．分析與解：作點(diǎn)B關(guān)AD的稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn)合，連接CE交AD于一，由圖1知這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)，根據(jù)對稱性知：，此可得CE=3，

∴的小值為。例2.如圖3，在平面直角坐標(biāo)系，

B

圖

矩形OACB的點(diǎn)在原點(diǎn)，頂點(diǎn)A，分別軸、軸的正半軸上，OA=3,OB=4,D為OB的點(diǎn)。若邊OA的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)△的長最小時(shí)，求點(diǎn)E的坐。分析與解：因?yàn)镃D是線段，題相當(dāng)于在x軸上求一點(diǎn)E使的最小，問題歸結(jié)為圖1因此，作點(diǎn)D關(guān)軸的稱點(diǎn)D，連接CD交軸點(diǎn)E求出點(diǎn)的標(biāo)即可?！摺蜝C,∴eq\o\ac(△,Rt)DOE∽eq\o\ac(△,Rt)DBC,1

OED=1DB1∴OE=

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=1,∴點(diǎn)E的標(biāo)為（1,0）二在邊中應(yīng)例（已知前部分同例2）如圖4若F為OA上的個(gè)動點(diǎn)，且，四邊形CDEF的長最小時(shí)，求點(diǎn)E，的坐。分析與解：在四邊形CDEF中有兩邊CD和EF的長是定值，要使四邊形CDEF的長小，只需DE+GE的和小就可以了。因此，將在上向移動2個(gè)單圖在x軸找出點(diǎn)E,再把GE向平移2個(gè)位即符合題意。作點(diǎn)D關(guān)x軸對稱點(diǎn)D，CB上截取CG=2連接DGx1軸交于點(diǎn)E，過C作CF∥交x軸。

00000000000000∵∥，∥軸∴四邊形是平行四邊形，∴GE=CF，EF=GC=2。CD和EF為定值，∴此時(shí)得到的點(diǎn)使邊形的周長最小?！摺?，eq\o\ac(△,Rt)DOE∽eq\o\ac(△,Rt)BG，∴

OED=,BGD1∴OE=

DO)1=D631∴OF=OE+EF=

17+2=33故點(diǎn)E的標(biāo)為（

1，的標(biāo)為（，）3三在中應(yīng)例4.已知：如圖5，⊙O的直CD為4，弧AD的數(shù)為60，點(diǎn)是AD的中，在直徑CD上找點(diǎn)P，BP+AP的和小，并求BP+AP最小值。分析與解本題與圖1的法一樣據(jù)圓的對稱性點(diǎn)B于直徑CD的對點(diǎn)B，則點(diǎn)B仍圓上，連接AB交CD于，再連接OAOB、PB1∵點(diǎn)B是AD的中點(diǎn)，∴ABB=

11××60=1522又由軸對稱的性質(zhì)可得∠BOB=2∠BOD=2

12

×60=60,

A

B∴△是邊三角形，∴∠OBB=601

0

C

O

B

D∴∠A=60-15=45,

圖又∵∠B=∠AOB＋∠BOB=

12

×60＋=90∴等腰eq\o\ac(△,OB)eq\o\ac(△,)A是腰直角三角又CD=4，∴=22，∴BP+AP=AB=2

2故的小值為2四在次數(shù)的用

例5.如圖一函數(shù)

ykx

的圖象與x軸別交于點(diǎn)（4求該函數(shù)的解析式）O為標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)OA、AB的點(diǎn)分別為C、D上動點(diǎn)，求PCPD的小，并求取得最小值時(shí)P坐標(biāo)．分析與解：第（1）題，將點(diǎn)、的標(biāo)代入y＝kxb可得

22k＝，＝4∴解析式為：y＝－x＋4

B第（）題，由圖1可，設(shè)點(diǎn)C關(guān)軸對稱點(diǎn)為C，D連接交OB于，PCPD最小值就是的。1

連接，∵是ABO的中位線，D⊥軸

C

C

A

且CD=

11×4=2，=2OC=21=222

在eq\o\ac(△,Rt)中，CD＝

CC2DC2

＝2；此時(shí)又△DCC的位，故點(diǎn)P的標(biāo)為，五在次數(shù)的用例6.圖5知二次函數(shù)y

的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)（，和點(diǎn)（，-5該次數(shù)的解析式已知該函數(shù)圖象的對稱軸上存在一點(diǎn)使ABP的周長最小。請求出的標(biāo)．分析與解第（）題只需將A和B的標(biāo)代入二次數(shù)中求出=－5,二次函數(shù)的解析式為

x

。第（）題，因A、為點(diǎn)，即ABOAOB

為定值，要使△ABP的長最小，只最即可。由圖1，相當(dāng)于在函數(shù)圖像對稱軸求一點(diǎn)P使PA+PB的最小。令y=0，代入y=x

－－，得圖像與x軸的一交點(diǎn)的坐為5,0由于點(diǎn)A與C關(guān)對稱x對BC交直線x=2于PPAPB=+PC=BC從而的小值BC因此C與稱軸的點(diǎn)就是所求的點(diǎn)。。當(dāng)x=2時(shí)，y=2－5=－3設(shè)直線的析式為kx，據(jù)題意，可得∴的析式為yx

0.

解得

b∴點(diǎn)P的標(biāo)為（，－六在函最值的用2例7.請充分展開聯(lián)想，運(yùn)用數(shù)結(jié)合思想，嘗試解決下列問題：若y=(9),當(dāng)為何時(shí)y的最小，并求出這個(gè)最小值。

＋分析與解:將函數(shù)變形為y=

)

2

2

＋

(9)

2

2

，應(yīng)用勾股定理，兩個(gè)加數(shù)可以分別理解成是坐標(biāo)平面上點(diǎn)（1,0和點(diǎn)B（9，）的距離之和，求y的小值，根據(jù)圖1就是在軸求點(diǎn)D（x,0）使AD＋BD的最小。作出點(diǎn)A關(guān)x軸對稱點(diǎn)A，A的坐標(biāo)為0，-1B連接AB交x軸D，連接AD。

O

設(shè)直線BC的解析式為代入點(diǎn)點(diǎn)的坐，1列出方程解得k=,b=-1,3∴

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x-1,當(dāng)y=0時(shí)，x=3,即D的標(biāo)是（3,0）∴當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)y取得小值