一道課本最小值問題在中考中的應(yīng)用

一課最值題中中應(yīng)四川省廣元市寶輪中學(xué)

唐明友人教版八年級上冊課本有一個探究問題：如圖1要在燃氣管道l上建一個站，分別向A，B兩供氣，泵站修在管道什么地方，可使所用的輸氣管線最短？作點關(guān)于l的稱點B，接AB，交l于C，則泵站建在1管道的點可輸氣管線AC+BC最。對此，課本上已給予證明，

A

恕不贅述。這是一類很常見的最小值問題，在中考中時有涉及，應(yīng)引起同學(xué)

C

們重視。本文例舉在各部分知識中的應(yīng)用，供同學(xué)們參考。一在角中應(yīng)例1.如圖2在邊三角形ABC中AB=2，

圖1

點E是AB的點是上找一點PBP+PE的值小的最小值為．分析與解：作點B關(guān)AD的稱點，恰好與點合，連接CE交AD于一，由圖1知這點就是所求的點，根據(jù)對稱性知：，此可得CE=3，

∴的小值為。例2.如圖3，在平面直角坐標系，

B

圖

矩形OACB的點在原點，頂點A，分別軸、軸的正半軸上，OA=3,OB=4,D為OB的點。若邊OA的一個動點，當△的長最小時，求點E的坐。分析與解：因為CD是線段，題相當于在x軸上求一點E使的最小，問題歸結(jié)為圖1因此，作點D關(guān)軸的稱點D，連接CD交軸點E求出點的標即可?！摺蜝C,∴eq\o\ac(△,Rt)DOE∽eq\o\ac(△,Rt)DBC,1

OED=1DB1∴OE=

26

=1,∴點E的標為（1,0）二在邊中應(yīng)例（已知前部分同例2）如圖4若F為OA上的個動點，且，四邊形CDEF的長最小時，求點E，的坐。分析與解：在四邊形CDEF中有兩邊CD和EF的長是定值，要使四邊形CDEF的長小，只需DE+GE的和小就可以了。因此，將在上向移動2個單圖在x軸找出點E,再把GE向平移2個位即符合題意。作點D關(guān)x軸對稱點D，CB上截取CG=2連接DGx1軸交于點E，過C作CF∥交x軸。

00000000000000∵∥，∥軸∴四邊形是平行四邊形，∴GE=CF，EF=GC=2。CD和EF為定值，∴此時得到的點使邊形的周長最小。∵∥，eq\o\ac(△,Rt)DOE∽eq\o\ac(△,Rt)BG，∴

OED=,BGD1∴OE=

DO)1=D631∴OF=OE+EF=

17+2=33故點E的標為（

1，的標為（，）3三在中應(yīng)例4.已知：如圖5，⊙O的直CD為4，弧AD的數(shù)為60，點是AD的中，在直徑CD上找點P，BP+AP的和小，并求BP+AP最小值。分析與解本題與圖1的法一樣據(jù)圓的對稱性點B于直徑CD的對點B，則點B仍圓上，連接AB交CD于，再連接OAOB、PB1∵點B是AD的中點，∴ABB=

11××60=1522又由軸對稱的性質(zhì)可得∠BOB=2∠BOD=2

12

×60=60,

A

B∴△是邊三角形，∴∠OBB=601

0

C

O

B

D∴∠A=60-15=45,

圖又∵∠B=∠AOB＋∠BOB=

12

×60＋=90∴等腰eq\o\ac(△,OB)eq\o\ac(△,)A是腰直角三角又CD=4，∴=22，∴BP+AP=AB=2

2故的小值為2四在次數(shù)的用

例5.如圖一函數(shù)

ykx

的圖象與x軸別交于點（4求該函數(shù)的解析式）O為標原點，設(shè)OA、AB的點分別為C、D上動點，求PCPD的小，并求取得最小值時P坐標．分析與解：第（1）題，將點、的標代入y＝kxb可得

22k＝，＝4∴解析式為：y＝－x＋4

B第（）題，由圖1可，設(shè)點C關(guān)軸對稱點為C，D連接交OB于，PCPD最小值就是的。1

連接，∵是ABO的中位線，D⊥軸

C

C

A

且CD=

11×4=2，=2OC=21=222

在eq\o\ac(△,Rt)中，CD＝

CC2DC2

＝2；此時又△DCC的位，故點P的標為，五在次數(shù)的用例6.圖5知二次函數(shù)y

的圖象與坐標軸交于點（，和點（，-5該次數(shù)的解析式已知該函數(shù)圖象的對稱軸上存在一點使ABP的周長最小。請求出的標．分析與解第（）題只需將A和B的標代入二次數(shù)中求出=－5,二次函數(shù)的解析式為

x

。第（）題，因A、為點，即ABOAOB

為定值，要使△ABP的長最小，只最即可。由圖1，相當于在函數(shù)圖像對稱軸求一點P使PA+PB的最小。令y=0，代入y=x

－－，得圖像與x軸的一交點的坐為5,0由于點A與C關(guān)對稱x對BC交直線x=2于PPAPB=+PC=BC從而的小值BC因此C與稱軸的點就是所求的點。。當x=2時，y=2－5=－3設(shè)直線的析式為kx，據(jù)題意，可得∴的析式為yx

0.

解得

b∴點P的標為（，－六在函最值的用2例7.請充分展開聯(lián)想，運用數(shù)結(jié)合思想，嘗試解決下列問題：若y=(9),當為何時y的最小，并求出這個最小值。

＋分析與解:將函數(shù)變形為y=

)

2

2

＋

(9)

2

2

，應(yīng)用勾股定理，兩個加數(shù)可以分別理解成是坐標平面上點（1,0和點B（9，）的距離之和，求y的小值，根據(jù)圖1就是在軸求點D（x,0）使AD＋BD的最小。作出點A關(guān)x軸對稱點A，A的坐標為0，-1B連接AB交x軸D，連接AD。

O

設(shè)直線BC的解析式為代入點點的坐，1列出方程解得k=,b=-1,3∴

13

x-1,當y=0時，x=3,即D的標是（3,0）∴當x=3時，函數(shù)y取得小值