2023年自考數(shù)學(xué)教育專業(yè)近世代數(shù)習(xí)題指導(dǎo)

自考《近世代數(shù)》練習(xí)1及答案一、判斷題(下列命題你認(rèn)為對(duì)的的在題后括號(hào)內(nèi)打“√”,錯(cuò)的打“×”；每小題1分,共10分)1、設(shè)、、都是非空集合，則到的每個(gè)映射都叫作二元運(yùn)算。(）2、設(shè)與都是非空集合，那么（）3、假如循環(huán)群中生成元的階是無限的，則與整數(shù)加群同構(gòu)。()4、只要是到的一一映射,那么必有唯一的逆映射。（）5、假如群的子群是循環(huán)群，那么也是循環(huán)群。(）６、群的子群是不變子群的充要條件為。（）7、假如環(huán)的階，那么的單位元。(）8、若環(huán)滿足左消去律,那么必然沒有右零因子。(）9、中滿足條件的多項(xiàng)式叫做元在域上的極小多項(xiàng)式。（）10、若域的特性是無限大，那么具有一個(gè)與同構(gòu)的子域，這里是整數(shù)環(huán),是由素?cái)?shù)生成的主抱負(fù)。（）二、單項(xiàng)選擇題(從下列各題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)對(duì)的答案,并將其號(hào)碼寫在題干后面的括號(hào)內(nèi)。答案選錯(cuò)或未作選擇者,該題無分。每小題１分，共１0分）1、設(shè)和都是非空集合，而是到的一個(gè)映射,那么（）①集合中兩兩都不相同；②的順序不能調(diào)換;③中不同的元相應(yīng)的象必不相同；④一個(gè)元的象可以不唯一。2、指出下列那些運(yùn)算是二元運(yùn)算（)①在整數(shù)集上，；②在有理數(shù)集上,；③在正實(shí)數(shù)集上,;④在集合上,。3、設(shè)是整數(shù)集上的二元運(yùn)算，其中（即取與中的最大者），那么在中（)①不適合互換律；②不適合結(jié)合律;③存在單位元；④每個(gè)元都有逆元。4、設(shè)為群,其中是實(shí)數(shù)集,而乘法，這里為中固定的常數(shù)。那么群中的單位元和元的逆元分別是（）①0和；②1和０;③和;④和。5、設(shè)和都是群中的元素且，那么（）①;②;③;④。6、設(shè)是群的子群，且有左陪集分類。假如6,那么的階(）①6；②24；③10；④12。7、設(shè)是一個(gè)群同態(tài)映射,那么下列錯(cuò)誤的命題是()①的同態(tài)核是的不變子群；②的不變子群的逆象是的不變子群；③的子群的象是的子群;④的不變子群的象是的不變子群。8、設(shè)是環(huán)同態(tài)滿射，,那么下列錯(cuò)誤的結(jié)論為()①若是零元，則是零元;②若是單位元,則是單位元；③若不是零因子,則不是零因子；④若是不互換的，則不互換。9、下列對(duì)的的命題是（）①歐氏環(huán)一定是唯一分解環(huán)；②主抱負(fù)環(huán)必是歐氏環(huán);③唯一分解環(huán)必是主抱負(fù)環(huán)；④唯一分解環(huán)必是歐氏環(huán)。１0、若是域的有限擴(kuò)域,是的有限擴(kuò)域,那么（)①；②;③；④。三、填空題（將對(duì)的的內(nèi)容填在各題干預(yù)備的橫線上，內(nèi)容填錯(cuò)或未填者，該空無分。每空1分,共１0分）1、設(shè)集合；,則有。2、假如是與間的一一映射，是的一個(gè)元，則。３、設(shè)集合有一個(gè)分類，其中與是的兩個(gè)類，假如，那么。4、設(shè)群中元素的階為，假如，那么與存在整除關(guān)系為。5、凱萊定理說：任一個(gè)子群都同一個(gè)同構(gòu)。6、給出一個(gè)５-循環(huán)置換,那么。７、若是有單位元的環(huán)的由生成的主抱負(fù)，那么中的元素可以表達(dá)為。8、若是一個(gè)有單位元的互換環(huán)，是的一個(gè)抱負(fù)，那么是一個(gè)域當(dāng)且僅當(dāng)是。9、整環(huán)的一個(gè)元叫做一個(gè)素元，假如。10、若域的一個(gè)擴(kuò)域叫做的一個(gè)代數(shù)擴(kuò)域，假如。四、改錯(cuò)題(請(qǐng)?jiān)谙铝忻}中你認(rèn)為錯(cuò)誤的地方劃線,并將對(duì)的的內(nèi)容寫在預(yù)備的橫線上面。指犯錯(cuò)誤1分，更正錯(cuò)誤2分。每小題３分，共15分）1、假如一個(gè)集合的代數(shù)運(yùn)算同時(shí)適合消去律和分派律，那么在里，元的順序可以掉換。２、有限群的另一定義:一個(gè)有乘法的有限非空集合作成一個(gè)群，假如滿足對(duì)于乘法封閉；結(jié)合律成立、互換律成立。３、設(shè)和是環(huán)的抱負(fù)且,假如是的最大抱負(fù),那么。4、唯一分解環(huán)的兩個(gè)元和不一定會(huì)有最大公因子，若和都是和的最大公因子,那么必有。5、叫做域的一個(gè)代數(shù)元，假如存在的都不等于零的元使得。五、計(jì)算題（共1５分,每小題分標(biāo)在小題后）１、下列四個(gè)四元置換組成的群,試寫出的乘法表，并且求出的單位元及和的所有子群。２、設(shè)是模6的剩余類環(huán),且。假如、，計(jì)算、和以及它們的次數(shù)。六、證明題（每小題１０分，共40分）１、設(shè)和是一個(gè)群的兩個(gè)元且，又設(shè)的階,的階,并且,證明：的階。2、設(shè)為實(shí)數(shù)集，,令，將的所有這樣的變換構(gòu)成一個(gè)集合，試證明:對(duì)于變換普通的乘法,作成一個(gè)群。３、設(shè)和為環(huán)的兩個(gè)抱負(fù)，試證和都是的抱負(fù)。4、設(shè)是有限可互換的環(huán)且具有單位元1，證明：中的非零元不是可逆元就是零因子。近世代數(shù)試卷參考解答一、判斷題１2３4５6７891０××√√×√√√××二、單項(xiàng)選擇題123４５６7891０②④③④①②④③①④三、填空題1、。2、。３、。4、。5、變換群。6、。７、。8、一個(gè)最大抱負(fù)。9、p既不是零元,也不是單位,且q只有平凡因子。１0、E的每一個(gè)元都是Ｆ上的一個(gè)代數(shù)元。四、改錯(cuò)題1、假如一個(gè)集合的代數(shù)運(yùn)算同時(shí)適合消去律和分派律，那么在里,元的順序可以掉換。結(jié)合律與互換律２、有限群的另一定義：一個(gè)有乘法的有限非空集合作成一個(gè)群,假如滿足對(duì)于乘法封閉;結(jié)合律成立、互換律成立。消去律成立3、設(shè)和是環(huán)的抱負(fù)且,假如是的最大抱負(fù),那么。S=I或S=R4、唯一分解環(huán)的兩個(gè)元和不一定會(huì)有最大公因子,若和都是和的最大公因子，那么必有ｄ=d′。一定有最大公因子；d和d′只能差一個(gè)單位因子5、叫做域的一個(gè)代數(shù)元，假如存在的都不等于零的元使得。不都等于零的元《近世代數(shù)》練習(xí)2及答案一、(16分)敘述概念或命題正規(guī)子群;唯一分解環(huán)；代數(shù)數(shù);魯非尼-阿貝爾定理二、（１2分)填空題1.設(shè)有限域的階為81,則的特性。２.已知群中的元素的階等于50，則的階等于。3．一個(gè)有單位元的無零因子稱為整環(huán)。4.假如是一個(gè)國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)書號(hào),那么。三、（１0分）設(shè)是群。證明：假如對(duì)任意的，有,則是互換群。四、（１0分)證明：任何方陣都可唯一地表達(dá)成一個(gè)對(duì)稱矩陣與一個(gè)反對(duì)稱矩陣之和。五、(1５分)設(shè)是四元數(shù)體，對(duì)H中任意元，定義其共軛。1．證明：是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù);2.對(duì),,求，和。六、(15分)設(shè),是整數(shù)環(huán)的抱負(fù)，試求下列各抱負(fù),并簡(jiǎn)述理由。1．;2．;3.七、（1０分）設(shè)有置換，。１.求和;2.擬定置換和的奇偶性。八、（12分)求剩余類加群Z１２中每個(gè)元素的階。

《近世代數(shù)》練習(xí)2答案一、1.若H是群G的子群，且對(duì)每個(gè),有，那么H稱為是Ｇ的正規(guī)子群。2.設(shè)R是個(gè)整環(huán),若對(duì)于Ｒ中每個(gè)非零非單位的元都有唯一分解，則稱R為唯一分解環(huán)。3．有理數(shù)域上的代數(shù)元稱為代數(shù)數(shù)。４.假如(特性為0)，那么次的一般方程沒有根式解。二、1．３２.２5３．互換環(huán)4.６三、對(duì)于Ｇ中任意元x,ｙ,由于,所以(對(duì)每個(gè)x,從可得）。四、設(shè)A是任意方陣,令,,則B是對(duì)稱矩陣，而C是反對(duì)稱矩陣,且。若令有，這里和分別為對(duì)稱矩陣和反對(duì)稱矩陣，則,而等式左邊是對(duì)稱矩陣，右邊是反對(duì)稱矩陣,于是兩邊必須都等于0,即:,，所以,表達(dá)法唯一。五、１．2．，,六、１.；2．;3．七、1．,;2．兩個(gè)都是偶置換。八、元素01234567891011階112643１2212346１2近世代數(shù)練習(xí)3判斷題（每題１分，共10分）Ｇ的不變子群N的不變子群N1仍是G的不變子群。?(??）集合的元素間的一個(gè)等價(jià)關(guān)系決定該集合的分類。?（? )任何無零因子的互換環(huán)R都是一個(gè)域P的子環(huán)。 ( ?）任何主抱負(fù)環(huán)都是歐氏環(huán)。 （? )若一個(gè)群中，每個(gè)元的階都是2，則該群為ＡBel群。?（ ）一個(gè)環(huán)的單位必是單位元。?（ ）有理數(shù)域是整數(shù)環(huán)的商域。?( ?）域上的一元多項(xiàng)式環(huán)是歐氏環(huán)。 ( )在任意環(huán)中，任意兩個(gè)非零元的特性都相同。 (? ）整數(shù)環(huán)的特性必為無窮大。 ( ?）填空題（每空2分,共20分）稱環(huán)Ｒ0的元x為環(huán)R上的一個(gè)未定元,若由a0α0+ａ1α１＋a2α2+…+ａnαn=0（aiＲ)可以推出。若|A|=n,則|2Ａ|=。設(shè)A,B是兩個(gè)集合,其中A＝{１,2｝，B=｛ａ，ｂ,c},則?A×B＝{}。設(shè)R為整數(shù)環(huán),則素?cái)?shù)p生成最大抱負(fù)（p),從而剩余類環(huán)Ｒ/(p）是。唯一分解環(huán)的任何兩個(gè)元有最大公因子，且兩個(gè)最大公因子一定是。一個(gè)群的不變子群的象是象的。有限集的一個(gè)一一變換也叫。在兩個(gè)環(huán)的同態(tài)下，零元的象是象的。在一個(gè)互換環(huán)Ｒ中,主抱負(fù)(ａ）由集合{}構(gòu)成。整環(huán)Ｉ為主抱負(fù)環(huán)的充要條件是I的每一個(gè)抱負(fù)都是。選擇題(每題２分，共２0分)(每個(gè)題都給出了四個(gè)答案，但只有一個(gè)最佳答案，請(qǐng)將最佳答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)中，選錯(cuò)或選出的代號(hào)超過一個(gè)均不得分,每題２分，共20分）?；Q群G是指 ? ? （ ）。

A.ａb=ba對(duì)任意a、bG都不成立的群;?B.ａｂ＝ｂａ對(duì)某些ａ、bG成立的群；

C.aｂ=ｂａ對(duì)任意a、bG成立的群; D．其中心C為G的真子群的群。任何群中都 ??? （ ）。?Ａ.至少有一個(gè)單位元;????B.至多有一個(gè)單位元;?C．可以沒有單位元； ??D.有且只有一個(gè)單位元。設(shè)A，Ｂ是兩個(gè)集合,Ａ={ａ，b，c,d}，Ｂ={１,2,3｝，是兩個(gè)映射，

，?則 ? ( )。

A．是滿射；?B.是單射；?Ｃ.是滿射; D.是單射。設(shè)G是由1２個(gè)元素組成的循環(huán)群，a是G的生成元,則G的所有生成元素是()。?Ａ.{ｅ,a}；?Ｂ．{e,a，ａ2,a3,a４}； C.{a，ａ3,a6｝； D．{a，a5，a7,a11}。設(shè)H、K都是G的子群,則下列集合中必為G的子群的是 ( ）

A.HK; B．H∩K； C.Ｈ∪K;?D.G-H。下列關(guān)系中不是等價(jià)關(guān)系的為? ( ）?Ａ.整數(shù)間的相等關(guān)系；? ??Ｂ．整數(shù)間的同余關(guān)系;

Ｃ.三角形的相似關(guān)系；? ??D.三角形的全等關(guān)系。下列數(shù)集中,對(duì)于普通加法和乘法來說不能作成一個(gè)環(huán)的是??(?）。?A.整數(shù)集;? Ｂ．有理數(shù)集；

C.無理數(shù)集;?? ? D．實(shí)數(shù)集。有限群的階是指 ? ? （?)。

A．群中元的階之最大者； ? B.群中元的階之最小者；

Ｃ.群中元的階之最小公倍數(shù);? D.群中元素的個(gè)數(shù)。在任意一個(gè)一一映射之下, （?）。

A.必須每一個(gè)象都有唯一的原象；?B.必須每一個(gè)原象都有唯一的象；

C.每一個(gè)象都可以有多個(gè)原象; D.A或B。在一個(gè)整環(huán)中， ????( )。?A.必須既有單位元又有零元；? B.必須有零元而無單位元；?