2021-2022學(xué)年廣東省茂名化州市某中學(xué)高一下學(xué)期6月月考數(shù)學(xué)試卷（含詳解）

2021-2022學(xué)年高一級第二學(xué)期6月份考試

數(shù)學(xué)科試題

一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

X+i

1.已知復(fù)數(shù)2=——為純虛數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，則實數(shù)X值為（）

2-i

11八c1

A.B.—C.—3D.一

223

2.已知|q|=2,|彼|=1,且（〃+母JLl,則〃與B的夾角為（）

瓦八乃八2"「5萬

A.-B.—C.—D.—

6336

3.已知。，夕是兩個不同的平面，加，〃是兩條不同的直線，下列四個命題中正確的是（）

A.如果m//a,〃//a,那么加〃幾

B.如果m_La,nJla,那么機_L〃

C.如果"z_La,〃//，，那么a_L力

D.如果a//〃，直線機與。所成的角和直線〃與夕所成的角相等，那么加〃〃

4.?組數(shù)據(jù)中的每?個數(shù)據(jù)都乘以3,再減去50,得到一組新數(shù)據(jù)，若求得新的數(shù)據(jù)的平均數(shù)是1.6,方

差是3.6,則原來數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是（）

A.17.2,3.6B.54.8,3.6C.17.2,0.4D.54.8,0.4

5.已知A/WC中，內(nèi)角所對的邊分別為a,上c.若J],b=6，A=45°，則8=（）

A.60°B.120°C.60,或120°D.90

6.函數(shù)/（x）=sinx-ln上」?的大致圖象為（

7.已知三棱錐S-ABC中，54_1平面48。,54=4,8。=26,/氏4。=6()。，則三棱錐S—ABC外接

球的表面積為()

A.32%B.64〃C.80萬D.1287r

71XIcosK+%

8.已知函數(shù)/'(X)=COS+2asinx+/?的值域為[-1,4],則。+。=(

13-3139

C.一或一D.二或乙

4444

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

9.某士官參加軍區(qū)射擊比賽，打了6發(fā)子彈，報靶數(shù)據(jù)如下：7,8,9,10,6,8,(單位：環(huán))，下列說

法正確的有()

A.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是8

B.這組數(shù)據(jù)的極差是4

C.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是8.5

D.這組數(shù)據(jù)的方差是2

10.在AABC中，ZA=90.AB=3,AC=4,點。為線段A3上靠近A點的三等分點，E為CD的

中點，則下列結(jié)論正確的是()

一1一1一

A.AE^-AB+-ACB.瓦后與雨的夾角的余弦值為方

62

--------15

C.AECD=~—D.AAED的面積為2

2

11.關(guān)于函數(shù)/(x)=4sin[%有如下四個命題中真命題的序號是()

A./(x)的最小正周期為2；

B.f(x)的圖象關(guān)于點(g,o)對稱；

C.若/(a—x)=/(a+x),則|a|的最小值為:；

D./J)圖象與曲線＞=^]。＜%＜1)共有4個交點.

12.已知直三棱柱ABC-%中，ABLBC,AB=BC=BB：。是AC的中點，。為4c的中點.

點尸是BG上的動點，則下列說法正確的是（

A.當(dāng)點P運動到Bq中點時，直線AP與平面A4G所成的角的正切值為。

B.無論點尸在BG上怎么運動，都有4。，。男

C.當(dāng)點P運動到中點時，才有AP與。耳相交于一點，記為Q，且肅?=￡

D.當(dāng)點P在BG上運動時，直線AP與AB所成角可以是30°

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.有10種不同的零食，每100克可食部分包含的能量（單位：k）如下：

100,120,125,165,430,190,175,234,425,310

這10種零食每100克可食部分的能量的第60百分位數(shù)為.

14.復(fù)數(shù)2+i為一元二次方程》2+以+匕=0（“，beR）的一個根，則復(fù)數(shù)以+如=.

15.在AABC中，點。在邊A8上，CD1BC,AC^5y/3,CD=5,BD=2AD,則AO的長為

16.已知一組數(shù)據(jù)巧，x3..的平均數(shù)為1方差為S?.若3石+1,3々+1,3x3+l,..

22

3x?+1的平均數(shù)比方差大4,則S-x的最大值為.

四、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.已知5=（1,0）石=（2,1）

（1）當(dāng)火為何值時，依一5與M+2萬垂直

（2）若福=2萬+3瓦比=萬+加在，且ARC三點共線，求優(yōu)的值.

18.從某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表:

質(zhì)量指標(biāo)值分組[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125]

頻數(shù)62638228

（1）根據(jù)上表補全所示的頻率分布直方圖;

頻率

'組距

40

00.38

036

034

032

03O

028

026

024

022

020

018

016

014

012

010

08

(x0^

(x

0(04

(MO2

。

7585W105115125質(zhì)量指標(biāo)值

（2）估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)、方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）及中位數(shù)（保

留一位小數(shù)）；

（3）根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占

全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定？

19.如圖，已知四棱錐P—ABC。底面ABC。為梯形，ABHCD,PA=PD=C，平面。4。_1平

面ABC。，CDLAD,AB=AD=2DC=2,

（1）E為p。的中點，尸在AB上，AF^3FB,求證：EF//平面P8C

（2）求AC與平面POC所成角的余弦值.

20.在AABC中，a、枚c分別是角A、B、C對邊，向量m=（2a+c,Z?）,向量n=（cosB,cosC）,

且〃2_L〃?

A

D

（1）求B的大??；

（2）設(shè)點。在邊AC上，且8。=2,3。是A/WC的角平分線，求a+c的最小值.

21.如圖，長方體A88-A4GR中，AO=2A3=2A4,=2,尸為棱A2中點，E棱8C中點.

（1）求二面角P—B￡—。平面角的大??；

（2）線段AO上是否存在點。，使得。到平面在D的距離為立？若存在，求出黑值：若不存在，請

2QD

說明理由.

22.某居民小區(qū)為緩解業(yè)主停車難的問題，擬對小區(qū)內(nèi)一塊扇形空地AOB進(jìn)行改建.如圖所示，平行四邊

形OMPN區(qū)域為停車場，其余部分建成綠地，點P在圍墻AB弧上，點M和點N分別在道路04和道路

。8上，且以=60米，ZAOB=60°,設(shè)NPO3=8.

（1）求停車場面積S關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式，并指出8的取值范圍；

（2）當(dāng)。為何值時，停車場面積S最大，并求出最大值（精確到0.1平方米）.

2021-2022學(xué)年高一級第二學(xué)期6月份考試

數(shù)學(xué)科試題

一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

X+i

1.已知復(fù)數(shù)2=——為純虛數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，則實數(shù)X的值為()

2-i

11八c1

A.B.—C.—3D.一

223

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算，得至12=2.—1；(2+犬)1,再結(jié)合復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，列出方程組，即可求

解.

x+i(x+i)(2+i)2x-l+(2+x)i

【詳解】由復(fù)數(shù)Z=——

2-1-4^?———

x+i2x-l=01

因為復(fù)數(shù)2=——為純虛數(shù)，所以1°解得光=一.

2-ix+2#02

故選：B.

2.已知|a|=2,|=1,且(a+H)_L),則a與坂的夾角為()

71C.空5乃

B.D.

3

【答案】C

【解析】

【分析】由向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0,得出7B，然后由數(shù)量積的定義可得向量的夾角.

【詳解】因為(Z+B)J.B，所以(a+B)4=a4+5~=’同cos<a,B>+M=2cos<a,b>+1=0,

——1——27r

cos<a,Z?>=一一,而向量的夾角在［0,兀］上，所以<a,〃>=：-.

23

故選：C.

3.已知a,/是兩個不同的平面，m,〃是兩條不同的直線，下列四個命題中正確的是()

A.如果m//a,n/la,那么加〃”

B.如果加_Lc,nlia，那么m_L〃

C.如果〃？J_〃，mA.a,n!!/3,那么

D.如果a//p,直線加與e所成的角和直線〃與￡所成的角相等，那么相〃〃

【答案】B

【解析】

【分析】A.機〃〃或加，”相交或加，〃異面，所以該選項錯誤；

B.如果〃z_La,n//a,那么〃?_L〃，所以該選項正確；

C.&//〃或名尸相交，所以該選項錯誤；

D.〃〃/〃或加，〃相交或異面，所以該選項錯誤.

【詳解】A.如果加//a,nlla,那么加〃〃或利〃相交或加，〃異面，所以該選項錯誤；

B.如果加J_a,nlla?那么，〃_!_〃，所以該選項正確；

C.如果加_L〃，相」。，〃//月，那么a//4或名夕相交，所以該選項錯誤；

D.如果。///，直線加與a所成的角和直線〃與夕所成的角相等，那么加〃〃或〃7，”相交或加，“異面，

所以該選項錯誤.

故選：B

4.一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都乘以3,再減去50,得到一組新數(shù)據(jù)，若求得新的數(shù)據(jù)的平均數(shù)是1.6,方

差是3.6,則原來數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是()

A.17.2,3.6B.54.8,3.6C.17.2,0.4D.54.8,0.4

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)均值和方差的公式計算可結(jié)果.

【詳解】設(shè)一組數(shù)據(jù)為W(i=l,2,3,…,〃)，平均數(shù)為亍，方差為s；,所得一組新數(shù)據(jù)為斗

a=1,2,二…,〃)，平均數(shù)為y,方差為只，

則一

y=3%50(i=1,2,3,…,〃)，5=)1+)”???+%=i.6(

n

所以3%—50+3匹-5°+???+3x〃-5°=]$,

n

所以35—50=1.6,所以工=2=17.2,

3

由題意得s；=-歹了+(%一歹『+…+(笫一刃2]=3.6,

所以,[(3%一50—1.6)2+(3/一50—1.6)2+…+(3當(dāng)一50—1.6)2]=3.6,

所以，X9[(%一17.2)2+(%—17.2)2+…+(x?一17.2)2]=3.6

所以，、9[(%—元)2+*2—君2+--+(當(dāng)一元)2]=3.6,

所以9s；=3.6,所以s；=0.4.

故選：C.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：熟練掌握幾個數(shù)據(jù)的均值和方差公式是解題關(guān)鍵.

5.已知AABC中，內(nèi)角A8,C所對的邊分別為a,b,c.若a=、/5，b=6A=45°，則8=()

A.60°B.120。C.60?；?20"D.90

【答案】C

【解析】

【分析】利用正弦定理可求得sin8，由8的范圍可得結(jié)果.

CV2

【詳解】由正弦定理得：.o樂泊人^'2百；

sinD=----------=------=—

a122

?：b>a,:.B>A^則45°<5<135°，,8=60°或120°.

故選：C.

6.函數(shù)/(x)=sinr/n^~~■的大致圖象為()

【答案】D

【解析】

【分析】判斷函數(shù)的奇偶性和圖象的對稱關(guān)系，結(jié)合/(3)的符號，進(jìn)行排除即可.

【詳解】解：/(-x)=-sinx-ln———-=-sinxln-~-=sinxln——-=/(x),則函數(shù)

是偶函數(shù)，圖象關(guān)于〃軸對稱，排除4C,/(3)=sin31n-<0,排除5,

故選D.

【點睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，利用函數(shù)的奇偶性和對稱性以及函數(shù)值的符號是否對應(yīng)，

利用排除法是解決本題的關(guān)鍵.

7.已知三棱錐5—ABC中，54_1_平面43。,54=4,5。=2后,/區(qū)4。=6()。，則三棱錐S—A3C外接

球的表面積為()

A.321B.647rC.80〃D.128"

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)三棱錐中線面位置關(guān)系求解外接球的半徑，進(jìn)而求出外接球的表面積.

【詳解】AABC中，8C=2G,NBAC=6O。，設(shè)AABC的外接圓半徑為「，根據(jù)正弦定理有，

BC2V3

2r==4r=2

sinABACsin60°

如圖，。1點為AABC的外心，。三棱錐外接球的球心

?.?5X_L平面ABC,AOO,USA,且QS=Q4

OOt=1sA=2

RsAO]O中,AO1=r=2,OO}=2,ZAOXO-90°,,AO=2及

即三棱錐外接球的半徑為：2及

所以外接球的表面積為4兀(20)2=32兀，選項A正確，選項BCD錯誤

故選：A.

8.已知函數(shù)/(x)=cos7Lx1cos[?+了)+2〃sinx+0的值域為[一1,4],則a+》=()

13913313-9

A.—B.-C.上或'D.―或一

444444

【答案】C

【解析】

【分析】由題可得/(x)=-sin2x+2asinx+b+g,at=sinxje[-l,l],設(shè)

g(t)=-t2+2at+b+^,則g(f)e[—1,4],再利用二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論即求.

【詳解】：/(x)=cos71x\cosI+xI+2tzsinx+/?,

/./(x)=^cos2x-sin2x)+2asinx+Z?=—sin2x+2asinx+Z?+；,

令1=sinx/￡[-l,l],設(shè)g(。=一/+2at+b+—,則g(f)€[T，4],

2

當(dāng)aW—l時，g。)在[T,l]上單調(diào)遞減,

1C，)

g(-l)----2。+0=45

2a=——

，解得,4,：.a+b=-,

4

g0)=_一+2。+〃=一1b=2

2

當(dāng)時，g(f)在上單調(diào)遞增,

g(—l)=———2iz+/?=—15

2,解得＜a--,13

4,a+b=—

4

g[l)=--+2a+b=4b=2

g”)max=g(a)=a2+"；=4

當(dāng)一1＜。＜0時，＜,無解,

g(f)min=g(l)=2a+，-5=-l

g“）mx=g（a）="+"5=4

當(dāng)OWa<l時，j無解.

g⑺mm=g（T）=-2a+，-5=-l

313

綜上，或4+8=^.

44

故選：C.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

9.某士官參加軍區(qū)射擊比賽，打了6發(fā)子彈，報靶數(shù)據(jù)如下：7,8,9,10,6,8,（單位：環(huán)），下列說

法正確的有（）

A.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是8

B.這組數(shù)據(jù)的極差是4

C.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是8.5

D.這組數(shù)據(jù)的方差是2

【答案】AB

【解析】

【分析】根據(jù)平均數(shù)，極差，中位數(shù)，方差的定義和計算公式分別求得，即可判斷各個選項的正誤.

【詳解】解：對于A,這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是Jx（7+8+9+10+6+8）=8,故A正確；

6

對于B,這組數(shù)據(jù)的極差是10-6=4,故B正確；

對于C,這組數(shù)據(jù)從小到大為6,7,8,8,9,10,

這組數(shù)據(jù)中位數(shù)是8,故C錯誤；

對于D,這組數(shù)據(jù)的方差是S2=，［（7—8）?+（8—8）?+（9—8『+（10—8）?+（6—8>+（8-8）1=3,故

6L-I3

D錯誤.

故選：AB.

10.在AABC中，ZA=90，45=3,AC=4,點。為線段AB上靠近A點三等分點，E為CD的

中點，則下列結(jié)論正確的是（）

一1一1—15

A.AE=-AB+-ACB.才后與麗的夾角的余弦值為；一

6217

C.AE,CD=---D.△AED的面積為2

2

【答案】AC

【解析】

【分析】以點A為坐標(biāo)原點，AB，所在直線分別為x、》軸建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量線

性運算的坐標(biāo)表示可判斷A選項的正誤，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可判斷BC選項的正誤，利用三

角形的面積公式可判斷D選項的正誤.

【詳解】在AABC中，ZA=900.AB=3,AC=4,

故以點A為坐標(biāo)原點，AB，所在直線分別為x、y軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，

則4(0,0)、3(3,0)、0(0,4)、0(1,0)、嗚，2>

所以而防=(3,0),AC=(0,4),而*,—2],而=(1).

對于A,因為‘而+工恁='(3,())+1(O,4)=(1，2],

0202\27

所以月+工恁，故選項A正確;

62

對于B,荏.麗=gx|—2?=—|嗣=乎，叵卜孚，

11

所以亞與麗的夾角的余弦值為cos(衣,麗”於-4百”布［國，故選項B錯誤;

----X---

22

-------115

對于C,AECD=-xl-2x4=一一，故選項C正確；

22

對于D,的面積為5?！辍?；*|4。,|九|=3'卜2=1,故選項D錯誤.

故選：AC.

11.關(guān)于函數(shù)/(x)=4sin1G-V有如下四個命題中真命題的序號是()

A./(%)的最小正周期為2；

B.Ax)的圖象關(guān)于點(|,0)對稱；

2

C.若/(a—x)=/(a+x),則|a|的最小值為：；

D./(x)的圖象與曲線y=共有4個交點.

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的周期公式判斷選項A,根據(jù)函數(shù)的對稱性判斷BC,結(jié)合函數(shù)的周期，對稱，最值,

判斷交點個數(shù).

【詳解】由圖可得：—=2,7(X)的最小正周期為2,A正確；

71

/(g)=4sin(gj曰=4Ho所以/(x)的圖象不關(guān)于點號對稱，B錯誤；

717121

號71X一一=-+k7T,k&Z,^x=-+k,k&Z,離y軸最近的對稱軸為x=——,所以若

6233

f(a-x)=f(a+x),則函數(shù)關(guān)于x=。對稱，則的最小值為:，C錯誤；

2⑶J_=3<4y=-

在)，軸右邊離y最近的對稱為x=y,/［§J=4,而22h》在(0,+8)上是減函數(shù)，因此f(x)的

圖象在第一象限每個周期內(nèi)與y=2的圖象都有兩個交點，在區(qū)間［J,：］上有兩個交點，在區(qū)間

X\OO/

<1325、(25、

［不，不J上有兩個交點，從而在0,3］上有4個交點，D正確.

故選：AD.

12.已知直三棱柱ABC—中，ABA.BC,AB=BC=BBt,。是AC的中點，。為4c的中點.

點P是Bq上的動點，則下列說法正確的是()

A.當(dāng)點尸運動到BG中點時，直線AP與平面44G所成的角的正切值為4

B.無論點尸在8G上怎么運動，都有

cPQ1

C.當(dāng)點P運動到8G中點時，才有AP與0B1相交于一點，記為Q，且淄=￡

D.當(dāng)點P在BG上運動時，直線A|P與AB所成角可以是30°

【答案】AB

【解析】

EP

【分析】構(gòu)造線面角"AE,由已知線段的等量關(guān)系求tan"AE=——的值即可判斷A是否正確；利

AE

PQ1

用線面垂直的性質(zhì)，可證明AP，。片，即可判斷8是否正確；由重心的性質(zhì)有房=7可知c是否正

確；由直線的平行關(guān)系構(gòu)造線線角為結(jié)合動點尸分析角度范圍，即可判斷。是否正確.

【詳解】解：直三棱柱ABC—Ad￡中，ABLBC,AB=BC=BB],

對于A：當(dāng)點尸運動到BQ的中點是，取E為AG中點，連接4E,EP，如下所示：

即EPJL平面

EP

所以直線AP與平面所成的角的正切值，tan=——

AE

因為EP=^BB],AE=JA,B；+B,E2=—BB.，

2iv?ii2?

所以tan"AE=白，故A正確；

對于8：連接耳C,與BC交于點￡,并連接A/,

如下圖所示：

由題意知，與為正方形，即有耳Cu面B|BCG，

所以A4,6G，又4片「|用。=8|,

所以BG，面A4C，。4u面A^C,故工0B{,

同理可證：AtB10Bt,又48「|友；=8,

所以。耳_1面436，

又APu面480,即有42工。片，故8正確：

對于C：點P運動到8G的中點時，即在中Af,。片均為中線,

所以。為中線的交點，即。為AAB|C的重心,

PQ1

所以根據(jù)重心的性質(zhì)有汗=彳，故C錯誤;

對于。：由于4B"/AB,直線AP與直線A3所成的角為44與AP所成的角，即

結(jié)合下圖分析知，點P在上運動時,

當(dāng)P在8或C1上是，ZB|AP最大為45。,

當(dāng)P在8cl的中點時，ZB4P最小為arctanY2>arctan18=30°>

23

所以省"不可能是30°，故。錯誤.

故選：AB.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.有10種不同的零食，每100克可食部分包含的能量（單位：k）如下:

100,120,125,165,430,190,175,234,425,310

這10種零食每100克可食部分的能量的第60百分位數(shù)為.

【答案】212

【解析】

【分析】先將數(shù)據(jù)從小到大排，然后由10x60%=6確定第60百分位數(shù).

【詳解】根據(jù)題意，將10個數(shù)據(jù)從小到大排列：

100,120,125,165,175,190,234,310,425,430；

10x60%=6,

190+234

則該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為2=212,

2

故答案為：212.

14.復(fù)數(shù)2+i為一元二次方程］2+以+〃=0（mb《R）的一個根，則復(fù)數(shù)|。+初|=.

【答案】標(biāo)

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的運算，將方程的根代入即可求得。,匕，再求復(fù)數(shù)模長即可.

【詳解】因為2+i為一元二次方程N+ax+Z?=O,

故可得（2+if+a（2+i）+Z?=0,

則（a+4）i+2a+0+3=0,又a,bwR,

故Q+4=0,2Q+Z?+3=0,

解得Q=-4,0=5.

則|a+初|=H+5i|=716+25=向.

故答案為：曲.

【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運算，以及復(fù)數(shù)模長的求解，屬綜合基礎(chǔ)題.

15.在AABC中，點。在邊A8上，CDLBC,AC^5s/3,CD=5,BD=2AD,則AO的長為

【答案】5

【解析】

【分析】設(shè)AD=x（x>0）,則8￡>=2x,則在直角三角形8。中可得cosNCDB=W,在

lx

中，由余弦定理可得cos/ADC=廠+'一（5后廣，再由NC￡）B+NA￡）C=%,可得

2xxx5

1+5--（56）-=一』,解方程可求出x的值，從而可得AO的長

2xxx52x

【詳解】如圖，在AABC中，BD=2AD，設(shè)AD=x（x>0）,則8O=2x.

CD5

在△BC￡>中，因為CD，5CCO=5,5D=2x,所以COSNC￡>5=——.

BD2x

在AACD中，AD=x,CD=5,AC=5y/3,

則cosZADC=―心=f+5-5后.

2xADxCD2xxx5

因為NCDB+NADC=〃，所以cosNAZ）C=-cosNCD瓦

即廠+5一一（5后）解得x=5,所以AO的長為5.

2xxx52x

故答案為：5

16.已知一組數(shù)據(jù)為,々，七，…，x”的平均數(shù)為1方差為S2.若3玉+1,3%,+1,3x3+1,

22

3%+1的平均數(shù)比方差大4,則5-^的最大值為.

【答案】-1

【解析】

【分析】設(shè)新數(shù)據(jù)平均數(shù)為，，方差為S：,可得q=31+1，S;=9S2,由新數(shù)據(jù)的平均數(shù)比方差大4

可得K+1=952+4,可得s?代入$2一『可得其最大值.

【詳解】解：設(shè)新數(shù)據(jù)3玉+1,3々+1,3七+1,3%+1的平均數(shù)為:，方差為S:，

可得：x,=3x+bS「=9S2,由新數(shù)據(jù)平均數(shù)比方差大4,

—）1—1

可得3x+l=9S?+4，可得S-=§龍一

2-21-1-2-111

可得：S-x=-x----x=-（x——）2~----,

33636

1—1一

由59一=§犬一§20,可得尤？1，

_一,1,11

可得當(dāng)x=l時，可得5?-/的最大值為：—（1一：）-一二=一1，

636

故答案為：-1.

【點睛】本題主要考查數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差及其計算，屬于中檔題.

四、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.已知5=（1,0）,萬=（2,1）

（1）當(dāng)歸為何值時，依一5與M+2萬垂直

（2）若麗=21+3反肥="+根5，且A&C三點共線，求團的值.

123

【答案】（1）—；（2）

52

【解析】

【分析】（1）妨―日與5+25垂直，即妨與萬+2石的數(shù)量積為0,利用坐標(biāo)計算可得左值:

（2）因為A8,C三點共線，所以通〃元，利用平面向量共線的坐標(biāo)公式計算可得加的值.

【詳解】解：（1）%一看=%（1,0）—（2,1）=（左一2,—1）,

5+2^=（1,0）+2（2,1）=（5,2）

因為依一方與〃+2^垂直,所以5（4—2）+（—1）x2=。,

即5左一10—2=0,得k若12.

（2）AB=2a+3^=2（l,0）+3（2,l）=（8,3）

BC=a+tnb=（1,O）+m（2,1）=（2m+l,m）

因為A,6,C三點共線，所以而〃配.

所以8m一3（2m+1）=0,即2加一3=0,所以加=g.

18.從某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表:

質(zhì)量指標(biāo)值分組[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125]

頻數(shù)62638228

（1）根據(jù)上表補全所示的頻率分布直方圖;

頻率

一

距

組

0

.O48

.O3

.O36

.O34

.O32

.O3O

00O2

S5

7595105115125質(zhì)量指標(biāo)值

（2）估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)、方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）及中位數(shù)（保

留一位小數(shù)）；

（3）根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95

的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定？

【答案】(1)頻率分布直方圖見解析；

(2)平均數(shù)為100,方差為104,中位數(shù)為99.7；

(3)不能認(rèn)為該企業(yè)伸長的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)頻數(shù)求出頻品率7,畫出每一組的小矩形即可;

組距

⑵根據(jù)平均數(shù)、方差、中位數(shù)的計算方法計算即可；

(3)求出［95,105)、［105,115)、［115,125］這三組的總頻率,與80%比較即可.

【小問1詳解】

質(zhì)量指標(biāo)值分組[75,85)[85,95)[95,105)L105,115)[115,125]

頻數(shù)62638228

頻率

0.0060.0260.0380.0220.008

組距

補全后的頻率分布直方圖如圖所示,

頻率

組距

0.040

0.038

().036

0.034

0.032

0.030

0.028

0.026

0.024

().022【小問2詳解】

().020

0.018

0.016

0.014

0.012

0.010

0.008

0.006

0.004

0.002

95105115125,a化七生

質(zhì)量指標(biāo)值

質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為:

80x0.06+90x0.26+100x0.38+110x0.22+120x0.08=100,

質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差為：

52=(-20『X0.06+(-10)2X0.26+x0.38+102x0.22+202x0.08=104,

?,?這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)約為100,方差約為104.

第一組頻率為：0.06,第二組頻率為：0.26,第三組頻率為：0.38,

0.06+0.26<0.5,0.06+0.26+0.38>0.5,

中位數(shù)落在第三組［95,105)內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x,

則0.06x10+0.026x10+0.038x(x-95)=0.5,解得工々99.7,

因此，中位數(shù)為99.7；

【小問3詳解】

質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品所占比例約為0.38+().22+().()8=().68,

由于該估計值小于0.8,故不能認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)

品的80%”的規(guī)定.

19.如圖，已知四棱錐P-A8CO的底面A5CD為梯形，ABUCD,PA=PD=6,平面上4。_1平

面ABC。，CD±AD,AB=AD=2DC=2,

(1)E為PD的中點，F(xiàn)在A3上，AF=3FB,求證：￡73/平面P8C

(2)求AC與平面PDC所成角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)叵.

5

【解析】

【分析】(1)作PC的中點M,連結(jié)ME、MB,證得四邊形為平行四邊形，得到EF//MB,結(jié)

合線面平行的判定定理，即可得到EF//平面PBC；

(2)作POLAO于0,證得平面ABC。，以O(shè)AQV,OP所在直線為x,y,z軸，建立空間直

角坐標(biāo)系求得向量次=(一2』,0)恁和平面POC的一個法向量3=(1,0,—1),結(jié)合向量的夾角公式，即

可求解.

【詳解】(1)作PC的中點連結(jié)ME、MB,

因為E為PO的中點，所以EM//CD且

2

又因為A5//CO,AF=3EB,A8=2C。，所以尸8=RFB//CD,

2

所以EM//FB且EM=FB，所以四邊形瓦皿為平行四邊形，所以EF//MB,

因為EEa平面PBC,MBu平面PBC，所以防//平面P8C.

(2)作POLA。于0,因為平面平面ABCQ,平面尸平面ABCD=A。,

PO，AO,POu平面PAO,所以尸0_L平面ABC。，

因為?^+包^二々)？，所以p￡>j_Q4,PO=^AD=\,

分別以0AON,OP所在的直線為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

則A(l,0,0),C(-l,l,0),P(0,0,1),D(-l,0,0),B(l,2,0),

可得衣=(-2,1,0),CP=(l,-l,0),DP=(1,0,1),

n-CP=x-y+z=0

設(shè)平面POC法向量為及=*,y,z)，則有<

n-DP=z=0

令x=l,可得y=O,z=-l,所以平面產(chǎn)。打法向量為〃=(l,0,-1),

則直線AC與平面PDC的角e的正弦值為sine=\cos(AC,n>|=||=|3丁可+0叵

|AC||H|加x叵5

所以直線AC與平面PDC的角(9的余弦值為cos。=Vl-sin2^=半

20.在△ABC中，。、b、c分別是角A、B、C的對邊，向量m=（2。+。/），向量〃=（cos8,cosC）,

且“_L〃?

A

（1）求8的大??；

（2）設(shè)點。在邊AC上，且3。=2,3。是△ABC的角平分線，求a+c的最小值.

27r

【答案】（1）子；（2）8.

【解析】

【分析】（1）由而J.3得（2"+c>cosB+力cosC=0,利用正弦定理得結(jié)合A8的范圍可得答案；

（2）利用為AABC的角平分線得ZABD=4CBD=1ZABC=（，由SMD+凡助。=S^ABC得到

a+c=2（a+c）］1+L］利用基本不等式可得答案.

ca2ycaJ

【詳解】（1）?/m±n,/.m-H=（+c）-cosB+b-cosC=0,

由正弦定理得2sin4cosB+sinC?cosB+sinBcosC=0,

又?.?A3G（0,7），sinA0,cosB=-^,

：.B與.

3

171

（2）QBO為△ABC的角平分線：?./450=/05。=5/713。=可，

又***S.BCD+SABAD=S^ABC，

:.-BDBC-sinZCBD+-ABBDsinZABD^-ABBC-sinZABC，

222

7T7V2

即ax2si