2021-2022學(xué)年福建省福州市四校聯(lián)盟高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（附答案詳解）

2021-2022學(xué)年福建省福州市四校聯(lián)盟高二（下）期末數(shù)

學(xué)試卷

1.已知集合M={x\y-V2—%},N={x\—2<x<3},則MDN=()

A.{%|-3<%<2}B.{x|-3<x<2}

C.{x|-2<x<2}D.{x|-2<%<2]

2.若復(fù)數(shù)z滿足z=(l—2i),i,則復(fù)平面內(nèi)5對應(yīng)的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.am>n>是m?>幾2的（）

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分又不必要條件

4.函數(shù)y=Jlog2（3%-2）的定義域是（）

A.（-8（）B.（|,+oo）C.（|,1]D.[1,+8）

5.函數(shù)f（x）=sinx-V3cosx（xG[一兀,0]）的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

A.[―兀,-爭B.C.[-^,0]D.[-1,0]

6.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般

好，隔裂分家萬事休.”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性

質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來分析函數(shù)的圖象的特征，如函數(shù)f（x）=：x-sin尤的圖

象大致是（）

7.已知》>0,y>0,%4-2y=1,

A.4+4V3B.12C.8+4V3D.16

8.已知小，〃表示兩條不同直線，a表示平面，下列說法正確的是（）

A.若m〃a,n//a,則TH〃?IB.若Tiua,ppjm1n

C.若mla,mln,則n//aD.若zn〃a,mln,則nJ.a

9.下列選項中，與sinjv的值相等的是（）

6

A.cos(-^)B.cosl8°cos42°—sinl8°sin42°

tan30'+tanl5°

C.2sinl50sin750D.

l-tan300tanl50

10.有兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下:

甲78795491074

乙9578768677

在這次射擊中，下列說法正確的是()

A.甲成績的極差比乙成績的極差大B.甲成績的眾數(shù)比乙成績的眾數(shù)大

C.甲的成績沒有乙的成績穩(wěn)定D.甲成績的中位數(shù)比乙成績的中位數(shù)大

11.已知四邊形ABCQ為正方形，GDABCD,四邊形。GEA與四邊形。GFC也

都為正方形，連接E凡FB,BE,點，為8尸的中點，下列結(jié)論正確的是()

A.DE1BFB.EF與CH所成角為60。

C.ECJ_平面DBFD.8F與平面ACFE所成角為45。.

12.在某社區(qū)興辦的“環(huán)保我參與”有獎問答比賽活動中，甲、乙、丙3個家庭同時回

答一道有關(guān)環(huán)保知識的問題，己知甲家庭回答對這道題的概率是：，甲、丙2個家

庭都回答錯的溉率是總，乙、丙2個家庭都回答對的概率是:，若各家庭回答是否

正確互不影響，則下列說法正確的是()

A.乙家庭回答對這道題的概率為:B.丙家庭回答對這道題的概摔為:

C.有。個家庭回答對的概率為京D.有1個家庭回答對的概率為私

13.函數(shù)/。)=｛：二］之0，則/(2)+/(_1)=.

14.已知向量落B滿足五=(一1,遮)，b=(1,0),則向量3在信上的投影向量為.

15.已知函數(shù)/'(x)=sin(a>x+0)(3>0,|租|<］)部分圖象如圖所示，3=.

16.函數(shù)/(x)=2X+3%—4的零點所在的區(qū)間是(a,a+1)則a=.

17.4月23日是世界讀書日，其設(shè)立的目的是推動更多的人去閱讀和寫作，某市教育部

門為了解全市中學(xué)生課外閱讀的情況，從全市隨機抽取1000名中學(xué)生進行調(diào)查，

統(tǒng)計他們每日課外閱讀的時長，如圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的頻率分布直方圖.

(1)求頻率分布直方圖中a的值，并估計1000名學(xué)生每日的平均閱讀時間(同一組

中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表該組數(shù)據(jù)平均值)；

(2)若采用分層抽樣的方法，從樣本在［60,80)［80,100］內(nèi)的學(xué)生中共抽取5人來進

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一步了解閱讀情況，再從中選取2人進行跟蹤分析，求抽取的這2名學(xué)生來自不同

組的概率.

18.已知函數(shù)/(x)=V3sin2x—2cos2x+m+1(%6R)的最小值為—2.

(1)求實數(shù)加的值；

(2)在44BC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若/⑷=2,c=5,cosS=i,

求AC的長.

19.已知向量五=(sinx,gsin(7T+x)),b=(cosx,—sinx),函數(shù)/'(x)=五?6—季

(1)求f(x)的最小正周期及f(x)圖像的對稱軸方程；

(2)先將f(x)的圖像上每個點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，再向左平移E

個單位長度得到函數(shù)g(x)的圖像，若函數(shù)y=g(x)—m在區(qū)間口,當]內(nèi)有兩個零點，

求力的取值范圍.

20.如圖，在正四棱柱4BCD—ABiCiDi中，已知4B=2,AAr=5,

E、產(chǎn)分別為。1。、上的點，且CE=BiF=l.

(團)求證：BE1平面ACF；

(團)求點E到平面AC尸的距離.

21.已知函數(shù)f(x)=G)x,函數(shù)g(x)=log2k

(1)若g(mx2+2x+m)的定義域為R,求實數(shù)m的取值范圍；

(2)當xe時，函數(shù)3/=[/0)]2-24(乃+3的最小值為1,求實數(shù)〃的值.

22.黨的十九大報告明確指出要堅決打贏脫貧攻堅戰(zhàn)，讓貧困人口和貧困地區(qū)同全國一

道進入全面小康社會，要動員全黨全國全社會力量，堅持精準扶貧、精準脫貧，確

保到2020年我國現(xiàn)行標準下農(nóng)村貧困人口實現(xiàn)脫貧.現(xiàn)有扶貧工作組到某山區(qū)貧

困村實施脫貧工作.經(jīng)摸底排查，該村現(xiàn)有貧困農(nóng)戶100戶，他們均從事水果種植，

2017年底該村平均每戶年純收入為1萬元，扶貧工作組一方面請有關(guān)專家對水果進

行品種改良，提高產(chǎn)量；另一方面，抽出部分農(nóng)戶從事水果包裝、銷售工作，其戶

數(shù)必須小于種植的戶數(shù).從2018年初開始，若該村抽出4x戶(xeZ,1WxW12)從

事水果包裝、銷售.經(jīng)測算，剩下從事水果種植農(nóng)戶的年純收入每戶平均比上一年

提高或，而從事包裝銷售農(nóng)戶的年純收入每戶平均為(3-萬元.

(參考數(shù)據(jù):1.123=1.404,1.153=1.520,1.183=1.643,1.23=1.728).

(1)至2018年底，該村每戶年均純收入能否達到1.32萬元？若能，請求出從事包裝、

銷售的戶數(shù)；若不能，請說明理由；

(2)至2020年底，為使從事水果種植農(nóng)戶能實現(xiàn)脫貧(即每戶(水果種植農(nóng)戶)年均純

收入不低于1.6萬元)，至少要抽出多少戶從事包裝、銷售工作？

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：M={x\x<2},N={x\—2<x<3},

MD/V={x|-2<x<2).

故選：C.

可以求出集合然后進行交集的運算即可.

本題考查了描述法的定義，交集的定義及運算，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：z=(l—2i)?i=2+i,

W=2-i在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(2,-1)位于第四象限.

故選：D.

利用復(fù)數(shù)的運算法則、幾何意義、共貌復(fù)數(shù)的定義即可得出.

本題考查了復(fù)數(shù)運算法則、幾何意義、共施復(fù)數(shù)的定義，考查了推理能力與計算能力，

屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

2

【解析】解：m>n>0,可以推出Tn?>n,但>彥，如：m=—5,n=1,m<n,

不能推出m>n>0,

故"zn>n>0"是巾2>小的充分不必要條件.

故選：A.

根據(jù)充要條件的定義，一一分析即可.

本題考查充要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：log2(3x-2)20,且3x-2>0,

解得x>1,

故選：D.

根據(jù)偶次根號下的被開方數(shù)大于等于零，對數(shù)的真數(shù)大于零，列出不等式組，進行求解

再用集合或區(qū)間的形式表示出來.

本題考查了函數(shù)定義域的求法，即根據(jù)函數(shù)解析式列出使它有意義的不等式組，最后注

意要用集合或區(qū)間的形式表示出來，這是易錯的地方.

5.【答案】C

【解析】解：函數(shù)/(%)=sinx-遮cosx=2sin(x—三)，令2左兀一；4％—gW2左〃+],

求得2kzr--<%<2krc+—,

66

的單調(diào)遞增區(qū)間[2時一?2痂+曲，k&Z.

結(jié)合xG[-n.n],可得函數(shù)的增區(qū)間為[一?0],

故選：C.

利用兩角和差的正弦公式化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的增區(qū)間，求得函數(shù)

/(x)=sinx—V3cosx(xe[―兀,0])的單調(diào)遞增區(qū)間.

本題主要考查兩角和差的正弦公式，正弦函數(shù)的增區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】4

【解析】解：f(-x)=-|x-sin(-x)=-(|x-sinx)=-/(x),故函數(shù)/(x)為奇函數(shù),

其圖象關(guān)于原點對稱，故排除80；

又/(9=：1<0,故排除C.

24

故選：A.

利用函數(shù)的奇偶性及特殊點的值，運用排除法得解.

本題考查函數(shù)圖象的確定，考查函數(shù)性質(zhì)的運用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解：由x+2y=1可得，

(%+l)(y+1)_(x+%+2y)(y+%+2y)_(2x+2y)(x+3y)_2x24-8xy+6y2

xyxyxyxy

2x6yl2x6y「

y%Jyx

當且僅當巴=竺時，等號成立，即％2=3y2.

所以(x+l)(y+l)的最小值為8+4班，

xy

故選：C.

將x+2y=1代入(x+i)(y+i)中,利用基本不等式求解即可.

本題考查了基本不等式及其應(yīng)用，屬于中檔題.

8.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

運用線面平行的性質(zhì)，結(jié)合線線的位置關(guān)系，判斷A,D：運用線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合

線線垂直，判斷B,C.

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【解答】

解：若?n〃a,n//a,則團，力相交或平行或異面，故A錯誤；

若m_La,riua,則m_Ln,故3正確；

若mla,mln,則九〃a或九ua,故C錯誤；

若?n〃a,mln,則n〃a或？iua或711a或〃與a相交，故。錯誤.

故選：B.

9.【答案】ABC

【解析】解：因為sin9=；,

62

cos(-^)=cos^=I，A符合題意；

cosl8°cos42°-sinl8°sin42°=cos(18°+42")=cos60°=8符合題意；

2sinl50sin75=2sinl50cosl50=sin30"=C符合題意；

tan30°+tani50=tan(30。+15°)=tan45°=1,。不符合題意.

故選：ABC.

結(jié)合誘導(dǎo)公式及和差角，二倍角公式分別進行化簡，即可求解.

本題主要考查了和差角公式，二倍角公式及特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】AC

【解析】解：對于選項4甲成績的極差為10-4=6,乙成績的極差為9-5=4,所

以甲成績的極差比乙成績的極差大，故選項4正確，

對于選項3：甲成績的眾數(shù)為7,乙成績的眾數(shù)為7,所以甲成績的眾數(shù)與乙成績的眾

數(shù)相等，故選項8錯誤，

2

對于選項C：甲成績的平均數(shù)為"8+7+9+5；：+9+】°+7+4=7,方差為-7)+(8-

7)2+(7-7)2+(9-7)2+(5-7)2+(4-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(7-7)2+

(4-7)2]=4,

22

乙成績的平均數(shù)為9+5+7+8+7；6+8+6+7+7=7>方差為卷?-77+(5-7)+(7-7)+

(8-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(6-7)24-(7-7)2+(7-7)2]=1.2,

所以甲成績的方差大于乙成績的方差，所以甲的成績沒有乙的成績穩(wěn)定，故選項C正確,

對于選項。：甲成績的中位數(shù)為7,乙成績的中位數(shù)為7,故選項。錯誤，

故選：AC.

根據(jù)極差、眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù)的定義，逐個分析各個選項即可.

本題主要考查了數(shù)據(jù)的極差、眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù)，是基礎(chǔ)題.

11.【答案】ABC

【解析】解：由題意將所得幾何體補成一個正方體，如圖,

以。為坐標原點，以O(shè)A所在直線為x軸，以。C所在直線為y軸，以0G所在直線為

z軸，建立空間直角坐標系，

設(shè)4。=DC=DG=2,則0(0,0,0),C(0,2,0),E(2,0,2),F(0,2,2),5(2,2,0),"(1,2,1),

對于A,DE=(2,0,2),~BF=(-2,0,2),

???DEBF=0,DE1BF,故4正確；

對于B,EF=(-2,2,0),CH=(1,0,1),設(shè)CH,EF所成角為仇6G(0,§,

???cos。=|cos<FF,CW>|=濡,鬻=p解得9=p故B正確；

對于C,EC=(-2,2,-2),DB=(2,2,0),DF=(0,2,2),

設(shè)五=(x,y,z)是平面OB尸的一個法向量,

,西=2x+2y=0,令則元

(1,-14)，

n-DF=2y+2z=0

EC=-2n,AEC//n,：.ECDBF,故C正確;

對于D,由題意，EAABCD,則E4J.DB,

由題意得DBJL4C,EAdAC=A,

則DB，平面ACFE,則麗=(2,2,0)是平面ACFE的一個法向量，

設(shè)BF與平面ACFE所成角為a,a6[0,§,

■1?sina=|cos<OF,BF>|=粵普,=

11\DB\\BF\2?

解得a=g故。錯誤.

故選：ABC.

根據(jù)題意，將幾何體補形為正方體，進而建立空間直角坐標系，通過空間向量的運算能

求出結(jié)果.

本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考

查運算求解能力，是中檔題.

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12.【答案】AC

【解析】解：設(shè)甲家庭對這道題為事件4,乙家庭答對這道題為事件B,丙家庭對這道

題為事件C,

p(1)?p(2)=[1-P(^)][1-P(C)]=^

則P(A)=:，且

4P⑻-P(C)=P(B).P?=：

解得P(B)=1,P(C)=j故A正確，B錯誤;

83

有。個家庭回答對的概率為:

Po=P(ABQ=P(2)P5)P(2)==X對=總故C正確；

4ooyo

有1個家庭回答對的概率為：

PI=P(應(yīng)+港2+檢)=：><洛+沁曰"洛=白故。錯誤.

故選：AC.

設(shè)事件，列出方程組，解出P(B)=j,P(C)=g計算有0個家庭回答對的概率和有1

個家庭回答對的概率，逐一判斷各選項能求出結(jié)果.

本題考查概率的運算，考查相互獨立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基礎(chǔ)

知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

13.【答案】e2-2

【解析】解：w{XT…，

則/(2)+/(-1)=e2-1—1=e2—2.

故答案為：e2—2.

結(jié)合分段函數(shù)的解析式，分別求出f(2)與門-1)即可.

本題考查了求分段函數(shù)的函數(shù)值的問題，解題時應(yīng)對自變量進行分析，是基礎(chǔ)題.

14.【答案】(—1,0)

【解析】解：v5=(-1,73),方=(1,0),.?.同=2,|B|=1,ab=-l,

_+—>]

???cos<a,b>=—

向量五在至上的投影向量為|為I?cos<或3>?孟=(-1,0).

故答案為：(—1,0).

根據(jù)向量五在方上的投影向量為|不?cos<五花〉?卷，計算即可.

本題考查投影向量，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】|

【解析】解：由圖象可得1=居一(—居)=兀，

所以丁=3兀，所以包=9兀，

30)3

所以3—

2

故答案為：|.

由圖象可求得函數(shù)的最小正周期，從而可求得3.

本題主要考查由y=4sin(3x+租)的部分圖象確定其解析式，考查數(shù)形結(jié)合思想與運算

求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】0

【解析】解：/(0)=1-4=-3<0,/(I)=2+3-4=1>0,

根據(jù)零點存在定理，可得函數(shù)/(x)=2X+3%-4的零點所在的大致區(qū)間是(0,1)

故a=0.

故答案為：0.

確定/(0)=1-4=-3<0,/(1)=2+3-4=1>0,根據(jù)零點存在定理,可得結(jié)論.

本題考查零點存在定理，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】解：(1)由頻率分布直方圖可得，(0.0025+0.01+a+0.015+0.01)X20=1,

即a=0.0125,

這1000名學(xué)生每日的平均閱讀時間或=10x0,05+30x0.2+50x0.25+70x0.3+

90X0.2=58分鐘.

(2)?.?由頻率分布直方圖，可知樣本在［60,80)［80,100］內(nèi)的學(xué)生頻率分布為0.3,0.2,

樣本在［60,80)［80,100］采用分層抽樣的比例為3：2,

二［60,80)抽取了3人a,b,c,［80,100］抽取了2人d,e,

則再從5人中抽取2人共有{ab,ac,ad,ae,be,bd,be,cd,ce,de}10種不同的抽取方法，

抽取的2人來自不同組共有{ae,be,bd,be,cd,ce}6種，

抽取的2人來自不同組的概率P==

105

【解析】(1)由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得各個區(qū)間的頻率和為1,即可求a的值，再

將各區(qū)間的中點乘以對應(yīng)的頻率，并求和，即可求解.

(2)樣本在［60,80)［80,100］內(nèi)的學(xué)生頻率分布為0.3,0.2,即樣本在［60,80)［80,100］采用

分層抽樣的比例為3：2,再結(jié)合古典概型，即可求解.

本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，頻率、頻數(shù)與樣本容量的應(yīng)用問題，以及古典

概率的問題，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：(l)/(x)=V3sin2x—2cos2x+m+1=—cos2x+V3sin2x+m=

2sin(2x--)+m.

6

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???/■(%)的最小值為—2,二一2+租=—2,解得m=0.

(2)由人力)=2得sin(2A—5=1,

6

丁C4：九一九一117T，

0<4V7T,■—6<24---6-V—6

.??2K，解得4='

623

vcosB=0<B<71,

7

4V3

sinB=—――.

5V3

:.sinC=sin(A+8)=sinAcosB+cosAsinB=

由正弦定理上=三，得磊=2，得b=8,即4C=8.

sinBsmC/這

714

【解析】(1)先結(jié)合二倍角及輔助角公式先對已知函數(shù)進行化簡，然后結(jié)合正弦函數(shù)的

性質(zhì)可求Tn.

(2)結(jié)合已知可求4,結(jié)合和差角求出sinC,再由正弦定理可求6即4c.

本題主要考查了利用二倍角及輔助角公式化簡三角函數(shù)解析式及正弦定理和和差角公

式在求解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題.

19.【答案】解:(1),??向量五=(sinx,d5sin(;r+x)),b=(cosx,-sinx),函數(shù)/'(x)=Z-

rV3

匕--7，

f(x)=sinx-cosx—sinx-V3sin(7r+x)一4=^sin2x+V3sin2x-?=|sin2x—

ycosx=sin(2x—$,

故最小正周期為7=§=兀，

令2x-g=m+/OT,則％=瑞+容kez,故/(x)的對稱軸方程為％=居+黑k&Z,

(2)根據(jù)題意將f(x)的圖像上每個點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，再向左平

移g個單位長度得到函數(shù)g(x)的圖像，得g(x)=sinx,

又當xej芍時，g(x)=sinx在白勺單調(diào)遞增，在白芍單調(diào)遞減，故

666226Z

故y=g(%)-m的零點轉(zhuǎn)化為y=g(%)與y=M的交點問題，函數(shù)y=g(x)-m在區(qū)間

[￡,9]內(nèi)有兩個零點，即y=g(%)與y=m有兩個交點，

6o

則m的取值為41).

【解析】(1)利用誘導(dǎo)公式和輔助角公式可得/■(x)=sin(2x-§,可解.

(2)根據(jù)函數(shù)圖象變換可得g(x)=sinx,將y=g(x)-?n的零點轉(zhuǎn)化為y=g(x)與y=m

的交點問題，利用三角函數(shù)性質(zhì)可解.

本題考查三角函數(shù)圖象變換以及三角函數(shù)最值問題，屬于較難題.

20.【答案】解：(助如圖，以。為原點，DA.DC、所在直f

線分別為x、八z軸

建立空間直角坐標系,則。(0,0,0),71(2,0,0),B(2,2,0),

C(0,2,0),2(0,0,5),￡(0,0,1),F(2,2,4)

...前=(-2,2,0),荏=(0,2,4),夕J

~BE=(-2,-2,1),AE=(-2,0,1).<%

：.BE~AC=O'BE-AF=0

???BE1AC,BE1.AF,iLACC\AF=A

???BE?L平面ACF

(團)由國)知，而為平面ACF的一個法向量

???向量荏在爐上的射影長即為E到平面ACF的距離，設(shè)為d

~r\日?AE,BE5

于無d=T=&

故點E到平面ACP的距離|

【解析】(/)以。為原點，DA.DC、。歷所在直線分別為x、az軸建立空間直角坐標

系，寫出要用的點的坐標，要證明線與面垂直，只要證明這條直線與平面上的兩條直線

垂直.

(〃)而為平面AC尸的一個法向量，向量荏在而上的射影長即為右到平面ACb的距離，

根據(jù)點到面的距離公式得到結(jié)果.

本題是一個立體幾何的綜合題目，題目的第一問，用空間向量來證明，實際上若不是為

了后一問應(yīng)用方便，可以采用幾何法來證明.

2

21.【答案】解：(l)g(m/+2%+TH)=log2(mx4-2x4-m),

???g(mx2+2%+m)的定義域為R,

???mx2+2%4-m>0恒成立，

當?n=0時，不符合，

???｛：2<0,解得…

???實數(shù)，〃的取值范圍為(1,+8);

(2)由題意，令t=G)x,tG[|,2].

則函數(shù)y=[/(x)]2-2a/(x)+3化為y=t2-2at+3=(t-a)2+3-