均值不等式求最值的方法

10/10均值不等式求最值的方法均值不等式求最值的方法

均值不等式是求函數(shù)最值的一個重要工具，同時也是高考?？嫉囊粋€重要知識點(diǎn)。下面談?wù)勥\(yùn)用均值不等式求解一些函數(shù)的最值問題的方法和技巧。

一、幾個重要的均值不等式

①，、)(2

22

22

2

Rbabaababba∈+≤?≥+當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，“=”號成立；②，

、)(222

+

∈??

???+≤?≥+Rbabaababba當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，“=”號成立；③，、、)(3

33

333

3

3

+∈++≤?≥++Rcbacbaabcabccba當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,“=”號成立；

④)(333

3

+

∈??

???++≤?≥++Rcbacbaabcabccba、、,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,“=”

號成立.

注：①注意運(yùn)用均值不等式求最值時的條件：一“正”、二“定”、三“等”；

②熟悉一個重要的不等式鏈：b

a112

+2ab+≤≤≤

2

2

2ba+。二、用均值不等式求最值的常見的方法和技巧1、求幾個正數(shù)和的最小值。例1、求函數(shù)2

1

(1)2(1)

yxxx=+>-的最小值。解析：

21(1)2(1)yxxx=+

>-21(1)1(1)2(1)xxx=-++>-2

111

1(1)222(1)

xxxx--=+++>-

1

≥312≥+52=，當(dāng)且僅當(dāng)211(1)22(1)xxx-=>-即2x=時，“=”號成立，故此函數(shù)最小值是5

2

。

評析：利用均值不等式求幾個正數(shù)和的最小值時，關(guān)鍵在于構(gòu)造條件，使其積為常數(shù)。通常要通過添加常數(shù)、拆項(xiàng)（常常是拆底次的式子）等方式進(jìn)行構(gòu)造。

2、求幾個正數(shù)積的最大值。

例2、求下列函數(shù)的最大值：

①23

(32)(0)2

yxxx=-∴，∴23

(32)(0)(32)2

yxxxxxx=-?>，即4

()fxxx

=+在(0,1]上是減函數(shù)。

故當(dāng)1x=時，4

()fxxx

=+在(0,1]上有最小值5。

解法二：（配方法）因01x?>>?>-又則

2xy+22(8)161616

2(8)108888

xxxxxxxxxx-+=+

=+=++=-++

-1018≥=。當(dāng)且僅當(dāng)16

88

xx-=-即12,3xy==此時時“=”號成立，故此函數(shù)最小值是18。

解法三：（三角換元法）

令228sin1cosxxxy

?=????=??則有228sin1cosxxyx?=???

?=

??則2282

2sincosxyxx

+=+2222228csc2sec8(1cot)2(1tan)108cot2tanxxxxxx=+=+++=++

10≥+18≥，易求得12,3xy==此時時“=”號成立，故最小值是18。

評析：此類問題是學(xué)生求解易錯得一類題目，解法一學(xué)生普遍有這樣一種錯誤

的求解方法：

812()(2)8xyxyxy+=++≥。原因就是等號成立的條件

不一致。

5、利用均值不等式化歸為其它不等式求解的問題。

例5、已知正數(shù)xy、滿足3xyxy=++，試求xy、xy+的范圍。解法一：

由0,0xy>>，則3xyxy=+

+3xyxy?-=+≥

，即230-≥

解得

13≤-≥(舍)，當(dāng)且僅當(dāng)3xyxyxy==++且即3xy==時取“=”號，故xy的取值范圍是[9,)+∞。

又2

3()2

xyxyxy+++=≤2()4()120xyxy?+-+-≥2()6xyxy?+≤-+≥舍或，當(dāng)且

僅當(dāng)3xyxyxy==++且即3xy==時取“=”號，故xy+的取值范圍是[6,)+∞

解法二：

由0,0xy>>，3(1)3xyxyxyx=++?-=+知1x≠，

則31xyx+=

-，由3

0011

xyxx+>?>?>-，則：2233(1)5(1)44

(1)51111

xxxxxxyxxxxxx++-+-+=?===-++

-59≥=，當(dāng)且僅當(dāng)4

1(0)31

xxxx-=>=-即，

并求得3y=時取“=”號，故xy的取值范圍是[9,)+∞。

314441(1)2261111xxxyxxxxxxxx+-++=+

=+=++=-++≥=，當(dāng)且僅當(dāng)4

1(0)31

xxxx-=

>=-即，

并求得3y=時取“=”號，故xy的取值范圍是[9,)+∞。三、用均值不等式求最值的常見的技巧1、添、減項(xiàng)（配常數(shù)項(xiàng)）例1求函數(shù)2216

32yxx=+

+的最小值.

分析：

2216

32xx+

+是二項(xiàng)“和”的形式，但其“積”的形式不為定值.

而2

1

2x+可與22x+相約，即其積為定積1，因此可以先添、減項(xiàng)6，即2216

3662yxx=++

-+，再用均值不等式.

222

22

16

20,3216

3(2)6266xyxxxx+>=++=++

-+≥=解：

當(dāng)且僅當(dāng)22

163(2)2xx+=

+，

即2

23x=-時,等號成立.所以y的最

小值是6.

評注為了創(chuàng)造條件利用均值不等式，添項(xiàng)是常用的一種變形技巧;為了保證式子的值不變，添項(xiàng)后一定要再減去同一項(xiàng).2、配系數(shù)（乘、除項(xiàng)）

例2已知0,0xy>>，且滿足3212xy+=，求lglgxy+的最大值.分析lglglg()xyxy+=,xy是二項(xiàng)“積”的形式，但不知其“和”的形式xy+是否定值，

而已知是3x與2y的和為定值12，故應(yīng)先配系數(shù)，即將xy變形為

326xy

?，再用均值不等式.

220,0

32lglglg()lg

6

132112lglg6262lg6xyxyxyxyxy>>?+==????+????≤=????

??????????????

=解：當(dāng)且僅當(dāng)32xy=，即2,3xy==時，等號成立.所以lglgxy+的最大值是lg6.評注本題是已知和為定值，要求積的最大值，可逆用均值不等式，即利

用

2

2abab+??≤?

??來解決.3、裂項(xiàng)

例3已知1x>-，求函數(shù)

()()

521

xxyx++=

+的最小值.

分析在分子的各因式中分別湊出1x+，借助于裂項(xiàng)解決問題.

()(

)141110,14(1)5519

xxxyxxx++++????????+>=

+=++

+≥+=解：

當(dāng)且僅當(dāng)

4

11xx+=

+，即1x=時，取等號.所以min9y=.

4、取倒數(shù)

例4已知

102x，120x->.

取倒數(shù)，得

22

1(12)1312(1)31131211113212xxxxyxxx

xxxx--==??+++-??

+

??++≤=??????

當(dāng)且僅當(dāng)31211xxxx-=++，即15x=

時，取等號.

故y的最小值是12.5、平方

例5已知0,0xy>>且2

2

283yx+=

求.

分析條件式中的x與y都是平方式，而所求式中的x是一次式，y是

平方式但帶根號.

初看似乎無從下手，但若把所求式題思路豁然開朗，即可利用均值不等式來解決.

2

2

2

2

2

2

222((62)32(1)

3

2(1)9333()

22yxyxyx=+=?+??++??≤=????????

解：

當(dāng)且僅當(dāng)

22

2(1)3yx=+，即3

2x=

，y=時，等號成立.

故

評注本題也可將x

納入根號內(nèi)，即將所求式化為

數(shù)，再運(yùn)用均值不等式的變式.6、換元（整體思想）

例6

求函數(shù)

y=

的最大值.

分析

t=，進(jìn)行換元，再使分子常數(shù)化，然后運(yùn)用均值不等式來解決.

22,0,2,(0)

21

00;101212=.

3,24ttxttytttytytttttx=≥=-=≥+==>=

≤

=+

==-則

當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)，即所以時

7、逆用條件

例7已知19

1(0,0)

xyxy+=>>,則xy+的最小值是（）.

分析直接利用均值不等式，只能求xy的最小值，而無法求xy+的最

小值.這時可逆用條件，即由191xy=

+，得19

()()xyxyxy+=++，然后展開即

可解決問題.

19

0,0,1

199

()()10

1016

9

,4,12.

16.

xy

xy

yx

xyxy

xyxy

yx

xy

xy

xy

>>+=

+=++=++

≥=

===

+

解：由，得

當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立

故的最小值是

評注若已知0,0,

xy

>>1

xy

+=(或其他定值)，要求

19

xy

+

的最大值，則同樣可運(yùn)用此法.

8、巧組合

例8若,,0

abc>

且()4

aa

b

cbc

+++=-求2abc

++的最小值.

分析

初看，這是一個三元式的最值問題，無法利用ab

+≥+b來解決.換個思路，可考慮將2abc

++重新組合，變成()()

abac

+++，而()()

abac

++

等于定值4-，于是就可以利用均值不等式了.

,,0,2()()

2,,

1.

22.

abcabcabac

bc

bca

abc

>++=+++

≥=

===

==-

++

解：由知

當(dāng)且僅當(dāng)

即時，等號成立