同濟(jì)第三版-高數(shù)-(7.6)第六節(jié)旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面

1、 經(jīng)典的幾何觀念將經(jīng)典的幾何觀念將“面面”看成是立體與看成是立體與立體的公共立體的公共部分，部分，“線線”看成是面與面的公共部分。看成是面與面的公共部分。 按照這種觀念，曲線方程可通過(guò)聯(lián)立曲面方程，并按照這種觀念，曲線方程可通過(guò)聯(lián)立曲面方程，并由相應(yīng)的方程組來(lái)討論曲線。這對(duì)于由相應(yīng)的方程組來(lái)討論曲線。這對(duì)于較為簡(jiǎn)單的較為簡(jiǎn)單的曲線，討論起來(lái)相對(duì)方便，曲線，討論起來(lái)相對(duì)方便，如直線、圓錐曲線等，但如果所論曲如直線、圓錐曲線等，但如果所論曲線較復(fù)雜，按這種觀念考察則會(huì)產(chǎn)生線較復(fù)雜，按這種觀念考察則會(huì)產(chǎn)生困難，討論起來(lái)也不盡方便。困難，討論起來(lái)也不盡方便。 軌跡觀念是由近代對(duì)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的研究產(chǎn)生的對(duì)圖

2、形軌跡觀念是由近代對(duì)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的研究產(chǎn)生的對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)，這種的認(rèn)識(shí)，這種認(rèn)識(shí)是認(rèn)識(shí)是將將“曲面曲面”和和“曲線曲線”看成是動(dòng)點(diǎn)看成是動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)形成的軌跡運(yùn)動(dòng)形成的軌跡。 按照這種觀念，曲線和曲面的方程可通過(guò)將運(yùn)動(dòng)按照這種觀念，曲線和曲面的方程可通過(guò)將運(yùn)動(dòng)軌跡轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)形式來(lái)討論。軌跡轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)形式來(lái)討論。這種這種觀念觀念對(duì)對(duì)曲線的討論常較為方便，曲線的討論常較為方便，但對(duì)于曲面的研究則不盡然。因但對(duì)于曲面的研究則不盡然。因此軌跡法主要用于討論曲線。此軌跡法主要用于討論曲線。 對(duì)于曲面討論較方便的方法是將曲面看成是給定對(duì)于曲面討論較方便的方法是將曲面看成是給定曲線按一方式運(yùn)動(dòng)形成的圖形曲

3、線按一方式運(yùn)動(dòng)形成的圖形。 根據(jù)這種觀念，常可較方便地根據(jù)這種觀念，常可較方便地由曲線方程導(dǎo)出曲面方程，但這種由曲線方程導(dǎo)出曲面方程，但這種觀念缺乏一般性，通常僅用于討觀念缺乏一般性，通常僅用于討論一些特殊的曲面，如旋轉(zhuǎn)曲面論一些特殊的曲面，如旋轉(zhuǎn)曲面、柱面等。、柱面等。L 由一條平面曲線由一條平面曲線 C 繞該平面內(nèi)的一條直線繞該平面內(nèi)的一條直線 L 旋轉(zhuǎn)一旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面周而成的曲面 稱為旋轉(zhuǎn)曲面。直線稱為旋轉(zhuǎn)曲面。直線 L 稱為旋轉(zhuǎn)曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面的旋轉(zhuǎn)軸，曲線的旋轉(zhuǎn)軸，曲線 C 稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線。稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線。 C 設(shè)有設(shè)有 yOz 平面上的曲線平面上的曲線試確定試確定 C

4、繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面 的的方程。方程。 由曲面與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系由曲面與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系的討論知，建立曲面的討論知，建立曲面 方程應(yīng)分兩步方程應(yīng)分兩步進(jìn)行，即先考慮所論曲面進(jìn)行，即先考慮所論曲面 上的點(diǎn)上的點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的方程坐標(biāo)所滿足的方程 F( x , ,y , ,z )= 0 的形式，再考察坐標(biāo)所滿足該方程的形式，再考察坐標(biāo)所滿足該方程的點(diǎn)是否都在所論曲面的點(diǎn)是否都在所論曲面 上。上。 00f y zCx.: :, 設(shè)設(shè) M( x , ,y , ,z )為旋轉(zhuǎn)曲面為旋轉(zhuǎn)曲面 上的任意一點(diǎn)，考慮點(diǎn)上的任意一點(diǎn)，考慮點(diǎn)M 所滿足的方程。所滿足的方程。 考察點(diǎn)考察點(diǎn)

5、 M( x , ,y , ,z )坐標(biāo)滿足的方程，應(yīng)考坐標(biāo)滿足的方程，應(yīng)考慮將點(diǎn)慮將點(diǎn) M 與已知條件與已知條件發(fā)生聯(lián)系。發(fā)生聯(lián)系。 由于旋轉(zhuǎn)曲面由于旋轉(zhuǎn)曲面 是是曲線曲線 C 繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而得軸旋轉(zhuǎn)而得的，故考慮建立點(diǎn)的，故考慮建立點(diǎn) M 的的坐標(biāo)與母線坐標(biāo)與母線 C 的聯(lián)系。的聯(lián)系。yOxz f y zCx00,. .: :M 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn) M 作垂直于作垂直于 y 軸的平面交曲線軸的平面交曲線 C 于點(diǎn)于點(diǎn) M ，交，交y 軸于點(diǎn)軸于點(diǎn) P 分別分別設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) M , , P 坐標(biāo)為坐標(biāo)為 M ( 0 , ,y , ,z ), , P( 0 , ,y , ,0 ). 由旋轉(zhuǎn)曲由旋轉(zhuǎn)曲面的性

6、質(zhì)知面的性質(zhì)知yO PMPM . . zx f y zCx00,. .: :MMP 考慮將此幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)條件。考慮將此幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)條件。 由于由于 M ( 0 , ,y , ,z )是曲線是曲線 C 上的點(diǎn)上的點(diǎn) ，故其坐標(biāo)滿足，故其坐標(biāo)滿足C 的方程，即有的方程，即有 f( y , ,z )= 0 . 將導(dǎo)出的坐標(biāo)關(guān)系式代入該方程便得點(diǎn)將導(dǎo)出的坐標(biāo)關(guān)系式代入該方程便得點(diǎn) M( x , ,y , ,z )的坐標(biāo)滿足的方程為的坐標(biāo)滿足的方程為 2222200 xzyyzxPM, 222000zyyzPM .由由于于 2222zxzzxz , .故故有有即即 ffy zyxz220 .

7、 ., 設(shè)設(shè) M( x , ,y , ,z )為坐標(biāo)滿足方程為坐標(biāo)滿足方程的任意一點(diǎn)，考察點(diǎn)的任意一點(diǎn)，考察點(diǎn) M 是否在是否在旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面 上。上。 要說(shuō)明點(diǎn)要說(shuō)明點(diǎn) M 在在 上，可將點(diǎn)上，可將點(diǎn) M 繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)，看其軸旋轉(zhuǎn)，看其是否能轉(zhuǎn)至曲線是否能轉(zhuǎn)至曲線 C 上。上。 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn) M 作垂直于作垂直于 y 軸的平面交軸的平面交 y 軸于軸于點(diǎn)點(diǎn) P，將點(diǎn)，將點(diǎn) M 在該平在該平面內(nèi)繞點(diǎn)面內(nèi)繞點(diǎn) P 旋轉(zhuǎn)至旋轉(zhuǎn)至 yOz 平面得點(diǎn)平面得點(diǎn) M yO fyxz220,xz f y zCx00,. .: :MMP 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) M , , P 坐標(biāo)分別為坐標(biāo)分別為 M ( 0 , ,y

8、, ,z ), , P ( 0 , ,y , ,0 ),由由 M 至至 M 的的旋轉(zhuǎn)過(guò)程知旋轉(zhuǎn)過(guò)程知 故點(diǎn)故點(diǎn) M ( 0 , ,y , ,z )的的 坐標(biāo)滿足坐標(biāo)滿足曲線曲線 C 的方程的方程因此點(diǎn)因此點(diǎn) M ( 0 , ,y , ,z )在曲線在曲線 C 上。由于點(diǎn)上。由于點(diǎn) M 是點(diǎn)是點(diǎn) M 繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而得軸旋轉(zhuǎn)而得的點(diǎn)，故可知點(diǎn)的點(diǎn)，故可知點(diǎn) M 在在旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)曲面曲面 上。上。 PMPM , , 且且有有 2222200 xzyyzxPM, 222000zyyzPM . . 2222zxzzxz ，即即 .故故求求得得 220fyxz, ,由由已已知知 2200ffy zyxzx

9、 , . 由上討論求得旋轉(zhuǎn)曲面由上討論求得旋轉(zhuǎn)曲面 的方程為：的方程為： 220fyxz: :,yOxz 220fyxz: :, f y zCx00,. .: : 22zxz繞軸繞軸 y 旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)一周，y 不變，不變， 由上旋轉(zhuǎn)曲面方程的推導(dǎo)可見(jiàn)，旋轉(zhuǎn)曲面的方程不由上旋轉(zhuǎn)曲面方程的推導(dǎo)可見(jiàn)，旋轉(zhuǎn)曲面的方程不僅具有明顯的代數(shù)形式特點(diǎn)，且旋轉(zhuǎn)曲面方程與相應(yīng)的僅具有明顯的代數(shù)形式特點(diǎn)，且旋轉(zhuǎn)曲面方程與相應(yīng)的母線方程在形式上也有著密切的聯(lián)系。因此，旋轉(zhuǎn)曲面母線方程在形式上也有著密切的聯(lián)系。因此，旋轉(zhuǎn)曲面的討論主要涉及兩個(gè)方面的基本問(wèn)題：的討論主要涉及兩個(gè)方面的基本問(wèn)題： 對(duì)于給定的母線方程及旋轉(zhuǎn)

10、軸，對(duì)于給定的母線方程及旋轉(zhuǎn)軸，如何寫(xiě)出相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)曲面方程。如何寫(xiě)出相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)曲面方程。 對(duì)于給定的曲面方程，如何對(duì)于給定的曲面方程，如何判別其是否為旋轉(zhuǎn)曲面及相判別其是否為旋轉(zhuǎn)曲面及相應(yīng)的母線及旋轉(zhuǎn)軸。應(yīng)的母線及旋轉(zhuǎn)軸。zyO 00fy zCx,: :, ,. . 220fyxz.,: : 00fy zCx,: :, ,. . 220fxyz.,: :繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)，軸旋轉(zhuǎn)，z 不變不變 22yxy 22zxz 繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)，軸旋轉(zhuǎn)，y 不變不變 xzyOxM 00fx zCy: :, ,. . 220fxyz: :., 00fx zCy: :, ,. . 220fxyz.,: :繞繞

11、 z 軸旋轉(zhuǎn)，軸旋轉(zhuǎn)，z 不變不變 22xxy 22zxy繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)，軸旋轉(zhuǎn)，x 不變不變 xzOyMzOyxM 00fx yCz: :, ,. . 220fxyz: :., 00fx yCz: :, ,. . 220fxzy: :.,繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)，軸旋轉(zhuǎn)，y 不變不變 22xxz 22yyz 繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)，軸旋轉(zhuǎn)，x 不變不變 xOzyMyxOzM此處主要考慮簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)曲面的判別，即母線為坐標(biāo)此處主要考慮簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)曲面的判別，即母線為坐標(biāo)面上的曲線，旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸的情形。對(duì)于這類旋轉(zhuǎn)曲面上的曲線，旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸的情形。對(duì)于這類旋轉(zhuǎn)曲面的判別關(guān)鍵是考察方程中的變量形式及系數(shù)。面的判別

12、關(guān)鍵是考察方程中的變量形式及系數(shù)。 對(duì)于給定的曲面方程形式對(duì)于給定的曲面方程形式 : :F( x , ,y , ,z )= 0 ，若其，若其有兩個(gè)變量為二次冪且它們的系數(shù)相同，則可判別其為有兩個(gè)變量為二次冪且它們的系數(shù)相同，則可判別其為旋轉(zhuǎn)曲面。例如，形如旋轉(zhuǎn)曲面。例如，形如 f( y , ,z 2 + x 2 )= 0 的方程所表示的就是旋轉(zhuǎn)曲面。的方程所表示的就是旋轉(zhuǎn)曲面。 判別方程是否表示判別方程是否表示旋轉(zhuǎn)曲面的基旋轉(zhuǎn)曲面的基本原理依然是截口法原理，只是將這本原理依然是截口法原理，只是將這一原理轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算。一原理轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算。對(duì)方程對(duì)方程 f( y , ,z 2 +

13、x 2 )= 0，判別的代數(shù)運(yùn)算過(guò)程為判別的代數(shù)運(yùn)算過(guò)程為令令 y = k，相當(dāng)于用平行于，相當(dāng)于用平行于 xOz 坐標(biāo)面的坐標(biāo)面的平面與曲面相平面與曲面相截，截口方程可化為截，截口方程可化為 z 2 + x 2 = g( k )的形式，它是的形式，它是 y = k平面上的圓，因而該曲面可認(rèn)為是由平面上的圓，因而該曲面可認(rèn)為是由 yOz 或或 xOy 平平面面上的曲線繞上的曲線繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面。軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面。 220fy xz, 22xzgkCyk: :, ,. .ykyOxzykL 圓錐面是一類特殊旋轉(zhuǎn)圓錐面是一類特殊旋轉(zhuǎn)曲面，它是由一條直線曲面，它是由一條直線 L 繞繞

14、另一條與之相交的直線旋轉(zhuǎn)另一條與之相交的直線旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面。一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面。 兩直線的交點(diǎn)叫做圓錐兩直線的交點(diǎn)叫做圓錐面的頂點(diǎn)，兩直線的交角面的頂點(diǎn)，兩直線的交角 叫做圓錐面的半頂角。叫做圓錐面的半頂角。L zyOx 為討論簡(jiǎn)單化，僅考為討論簡(jiǎn)單化，僅考慮頂點(diǎn)在原點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)軸為慮頂點(diǎn)在原點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)軸為 z 軸，半頂角為軸，半頂角為 的圓錐的圓錐面方程。面方程。 為為直觀起見(jiàn)，可認(rèn)為直觀起見(jiàn)，可認(rèn)為所求圓所求圓錐面是由錐面是由 yOz 平面平面上的直線上的直線 L: : z = y cot 繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的。軸旋轉(zhuǎn)一周而成的。Lzy cot zyOx 由旋轉(zhuǎn)曲面方程規(guī)則由旋轉(zhuǎn)曲

15、面方程規(guī)則直線直線 L: : z = y cot ，繞繞 z軸旋轉(zhuǎn)一周而成的軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)曲旋轉(zhuǎn)曲 面面 的方程滿足的方程滿足 z 不變不變， 于是可寫(xiě)出其方程為于是可寫(xiě)出其方程為 令令 cot 2 = a，則有，則有L zy cot: : 22yxy za xy 222: :22cotzxy : :例例：將將 xOz 平面上的曲線平面上的曲線 分別繞分別繞 x 軸軸、z 軸軸旋轉(zhuǎn)一周，試求所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程，并作曲面圖形旋轉(zhuǎn)一周，試求所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程，并作曲面圖形。 母線方程：母線方程：xOz 平面上的曲線平面上的曲線zxab22221 xzfx zabCy222210, ,: :,

16、.繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)，軸旋轉(zhuǎn)，x 不變不變 22zyz 222222yzxF x y zab: :, , yxzabb2222221. .yOxzxzCab2222:1x222222:1yxzCabb 母線方程：母線方程：xOz 平面上的曲線平面上的曲線 xzfx zabCy222210, ,: :,.繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)，軸旋轉(zhuǎn)，z 不變不變 22xxz 222222xyzFx y zab: :, , 2222221yxzaab. .xzyOxzCab2222:1z222222:1yxzCaab用動(dòng)曲線形成曲面的觀點(diǎn)來(lái)研究用動(dòng)曲線形成曲面的觀點(diǎn)來(lái)研究曲面確實(shí)可較方便曲面確實(shí)可較方便地討論某些曲面，

17、但這種方法缺乏一般性，因?yàn)椴⒎侨蔚赜懻撃承┣?，但這種方法缺乏一般性，因?yàn)椴⒎侨魏吻娑伎煽闯墒怯汕孢\(yùn)動(dòng)形成的。作為何曲面都可看成是由曲面運(yùn)動(dòng)形成的。作為曲面研究的曲面研究的一般方法還是依據(jù)曲面與方程的對(duì)應(yīng)一般方法還是依據(jù)曲面與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即通過(guò)方程來(lái)討論曲面性質(zhì)。關(guān)系，即通過(guò)方程來(lái)討論曲面性質(zhì)。 通過(guò)方程討論曲面性質(zhì)既可通通過(guò)方程討論曲面性質(zhì)既可通過(guò)截痕法研究曲面的幾何性質(zhì)，也過(guò)截痕法研究曲面的幾何性質(zhì)，也可由已知曲面導(dǎo)出未知曲面性質(zhì)?？捎梢阎鎸?dǎo)出未知曲面性質(zhì)。 曲面總對(duì)應(yīng)于三元曲面總對(duì)應(yīng)于三元 F( x , ,y , , z )= 0，為討論方便而為討論方便而不失一般性，可討論較

18、簡(jiǎn)單的情形，即三元二次不失一般性，可討論較簡(jiǎn)單的情形，即三元二次方程方程所所對(duì)應(yīng)的曲面，稱之為二次曲面。對(duì)應(yīng)的曲面，稱之為二次曲面。 三元二次三元二次方程的一般形式為方程的一般形式為 Ax 2 + By 2 + C z 2 + D x y + E x z + F y z + G x + H y + I z + J = 0 . 通過(guò)不改變圖形形狀的坐標(biāo)變換通過(guò)不改變圖形形狀的坐標(biāo)變換(正交變換)可消去可消去方程中的乘積項(xiàng)使其化為如下形式方程中的乘積項(xiàng)使其化為如下形式 Ax 2 + By 2 + C z 2 + G x + H y + Iz + J = 0 .下就此方程中系數(shù)的不同情形討論曲面性質(zhì)

19、。下就此方程中系數(shù)的不同情形討論曲面性質(zhì)。已知曲面方程已知曲面方程 F( x , ,y , ,z )= 0，如何討論并確定方，如何討論并確定方程所表示的圖形及其性質(zhì)呢程所表示的圖形及其性質(zhì)呢？ 由于三元方程所表示的圖形一般是空間圖形，而描由于三元方程所表示的圖形一般是空間圖形，而描繪空間圖形卻只能在平面上進(jìn)行。因此，討論方程所表繪空間圖形卻只能在平面上進(jìn)行。因此，討論方程所表示的空間圖形通常采用示的空間圖形通常采用“截口法截口法”，即用一些特殊平面與所論曲面相即用一些特殊平面與所論曲面相截，通過(guò)對(duì)截口曲線形狀的研究截，通過(guò)對(duì)截口曲線形狀的研究來(lái)了解曲面形狀。來(lái)了解曲面形狀。 橢圓錐面的歸納定義

20、為橢圓錐面的歸納定義為 考慮用截痕討論該曲面的形狀。考慮用截痕討論該曲面的形狀。 用垂直于用垂直于 z 軸的平面軸的平面 z = t 與此曲面相截，考察相應(yīng)與此曲面相截，考察相應(yīng)截痕的形狀：截痕的形狀： 當(dāng)當(dāng) t = 0 時(shí)，得一點(diǎn)時(shí)，得一點(diǎn) O( x , ,y , , z )； 當(dāng)當(dāng) t 0 時(shí)，得時(shí)，得 z = t 平面上的橢圓平面上的橢圓yxzab22222.yxtab22222 yxatbt22221.zyOxyxzab22222橢球面的歸納定義為橢球面的歸納定義為: : 容易看出，若容易看出，若 a = b，則該曲面就是旋轉(zhuǎn)橢球面，則該曲面就是旋轉(zhuǎn)橢球面， 由旋轉(zhuǎn)曲面討論知，該旋轉(zhuǎn)橢

21、球面可看成是由由旋轉(zhuǎn)曲面討論知，該旋轉(zhuǎn)橢球面可看成是由 xOz 平面上的橢圓平面上的橢圓 繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的。軸旋轉(zhuǎn)一周而成的。 當(dāng)當(dāng) a b 時(shí)，相應(yīng)的時(shí)，相應(yīng)的曲面與該旋轉(zhuǎn)橢球面相差不大曲面與該旋轉(zhuǎn)橢球面相差不大, ,只是在只是在 y 軸方向上有所伸縮，因此軸方向上有所伸縮，因此只需將只需將該旋轉(zhuǎn)橢球面該旋轉(zhuǎn)橢球面沿沿 y 軸方向伸縮軸方向伸縮 b/ /a 倍即可。倍即可。 yxzabc2222221. yxyxzzaacac222222222221.xzac22221xyOzzxCac2222:1Oyzxaac2222221：旋旋yzxabc222222:1xO單葉雙曲面的歸納定

22、義為單葉雙曲面的歸納定義為: : 易看出，若易看出，若 a = b，則該曲面就是單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面，則該曲面就是單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面 由旋轉(zhuǎn)曲面討論知，該單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面可看成是由由旋轉(zhuǎn)曲面討論知，該單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面可看成是由xOz平面上的雙曲線平面上的雙曲線 繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周而成。軸旋轉(zhuǎn)一周而成。 當(dāng)當(dāng) a b 時(shí)，相應(yīng)的時(shí)，相應(yīng)的曲面與該單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面相差曲面與該單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面相差不大不大，只是在只是在 y 軸方向上有所伸縮，因此軸方向上有所伸縮，因此只需將只需將該單葉該單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面沿旋轉(zhuǎn)雙曲面沿 y 軸方向伸縮軸方向伸縮 b/ /a 倍即可。倍即可。 yxzabc2222221. yxyxzza

23、acac222222222221.xzac22221xzyOxzCac2222:1xyzac222221：旋旋yxzabc2222221：O雙葉雙曲面的歸納定義為雙葉雙曲面的歸納定義為: : 易看出，若易看出，若 b = c，則該曲面就是雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面，則該曲面就是雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面 由旋轉(zhuǎn)曲面討論知，該雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面可看成是由由旋轉(zhuǎn)曲面討論知，該雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面可看成是由xOz平面上的雙曲線平面上的雙曲線 繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周而成。軸旋轉(zhuǎn)一周而成。 當(dāng)當(dāng) b c 時(shí)，相應(yīng)的時(shí)，相應(yīng)的曲面與該單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面相差曲面與該單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面相差不大不大，只是在只是在 y 軸方向上有所伸縮，因此軸方向上有所伸

24、縮，因此只需將只需將該單葉該單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面沿旋轉(zhuǎn)雙曲面沿 y 軸方向伸縮軸方向伸縮 b/ /c 倍即可。倍即可。 yxzabc2222221. yyzxzxaccac222222222221.xzac22221yOxzxzCac2222:1yzxac222221：旋旋yxzabc2222221：橢圓拋物面的歸納定義為橢圓拋物面的歸納定義為: : 考慮用截痕討論該曲面的形狀?？紤]用截痕討論該曲面的形狀。 用垂直于用垂直于 z 軸的平面軸的平面 z = t 與此曲面相截，考察相應(yīng)與此曲面相截，考察相應(yīng)截痕的形狀：截痕的形狀： 當(dāng)當(dāng) t = 0 時(shí)，截得一點(diǎn)時(shí)，截得一點(diǎn) O( x , ,y , ,

25、z )； 當(dāng)當(dāng) t 0 時(shí)，得時(shí)，得 z = t 平面上的橢圓平面上的橢圓 當(dāng)當(dāng) t 0 時(shí)，時(shí)，截痕為截痕為 xOy 平面上方的平面平面上方的平面 z = t 上以上以平行于平行于 x 軸的直線為虛軸，以平行于軸的直線為虛軸，以平行于 y 軸的直線為實(shí)軸軸的直線為實(shí)軸的雙曲線的雙曲線 當(dāng)當(dāng) t 0 時(shí)，即截面在時(shí)，即截面在 xOy 平面上方時(shí)，雙曲線的平面上方時(shí)，雙曲線的實(shí)軸沿實(shí)軸沿 y 軸方向，虛軸沿軸方向，虛軸沿 x 軸方向。軸方向。 當(dāng)當(dāng) k 0 時(shí)，即截面在時(shí)，即截面在 xOy 平面下方時(shí)，雙曲線的平面下方時(shí)，雙曲線的實(shí)軸沿實(shí)軸沿 x 軸方向，虛軸沿軸方向，虛軸沿 y 軸方向。軸方向

26、。 22 122yxkpkqzk, ,. .yxk pk qzk22 122, ,. .yOyk 0 xkzpqyk22 22, ,. . 令令 y = k，聯(lián)立方程有，聯(lián)立方程有 研究截口形狀研究截口形狀： 曲面截口為平曲面截口為平面面 y = k 上上以平行于以平行于 z 軸的直線為對(duì)稱軸的直線為對(duì)稱軸，開(kāi)口向下軸，開(kāi)口向下的拋的拋物線物線。 xyk 0yxzpqyk22 22, ,. .zk 0 令令 x = k，聯(lián)立方程有，聯(lián)立方程有 研究截口形狀研究截口形狀： 曲面截口為平面曲面截口為平面 x = k 上上以平行于以平行于 z 軸軸的直線為對(duì)稱的直線為對(duì)稱軸，開(kāi)軸，開(kāi)口向上口向上的拋

27、物線的拋物線。 22 22yxzpqxk, ,. .22 22ykzpqxk, ,. .yOxzxyOzyxzpq22:22 曲面通常對(duì)應(yīng)于三元方程曲面通常對(duì)應(yīng)于三元方程 F( x , ,y , ,z )= 0 ，但如果，但如果曲面方程是二元方程，此時(shí)方程所對(duì)應(yīng)的曲面就是一些曲面方程是二元方程，此時(shí)方程所對(duì)應(yīng)的曲面就是一些特殊的柱面。特殊的柱面。 例如，考慮形如例如，考慮形如 F( x , ,y )= 0 的的方程的性質(zhì)和特點(diǎn)方程的性質(zhì)和特點(diǎn), ,作為二元方程，它表示作為二元方程，它表示 xOy 平面上的一條曲線平面上的一條曲線 C，而作，而作為三元方程，它應(yīng)表示一張曲面為三元方程，它應(yīng)表示一

28、張曲面 。 F( x , ,y )= 0 作為二元方程和作為缺變作為二元方程和作為缺變量的三元方程，在性質(zhì)上有什么聯(lián)系呢量的三元方程，在性質(zhì)上有什么聯(lián)系呢？ 設(shè)設(shè) M( x , ,y , ,z )為坐標(biāo)滿足方程為坐標(biāo)滿足方程 F( x , ,y )= 0 的任一的任一點(diǎn)，由于方程不含豎坐標(biāo)點(diǎn)，由于方程不含豎坐標(biāo) z，故不論空間點(diǎn)，故不論空間點(diǎn) M( x , ,y , ,z )的豎坐標(biāo)的豎坐標(biāo) z 如何取值，只要其橫坐標(biāo)如何取值，只要其橫坐標(biāo) x 和縱坐標(biāo)和縱坐標(biāo) y 滿足滿足這個(gè)方程，點(diǎn)這個(gè)方程，點(diǎn) M 就就在曲面在曲面 上，即只要點(diǎn)上，即只要點(diǎn) M1( x , ,y , ,0 )在曲線在曲線

29、 C 上，點(diǎn)上，點(diǎn) M( x , ,y , ,z )就就在曲面在曲面 上。上。 因此過(guò)因此過(guò) xOy 平面上的平面上的曲線曲線 C 上的上的點(diǎn)點(diǎn) M1( x , ,y , ,0 )且平行于且平行于 z 軸的直線軸的直線 L 在在曲面曲面 上，由此可看出曲上，由此可看出曲面面 是一個(gè)柱面。是一個(gè)柱面。 xyOz CL10 Mx y, , ,M x y z, , , , 0F x y,平行于定直線平行于定直線 L 并沿定曲線并沿定曲線 C 平行平行移動(dòng)的直線移動(dòng)的直線 L 形成的軌跡稱為柱面，定曲線形成的軌跡稱為柱面，定曲線 C 稱為柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)稱為柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線直線 L 稱為柱面的母線。稱

30、為柱面的母線。L CL柱面由準(zhǔn)線及母線方向完全確定柱面由準(zhǔn)線及母線方向完全確定，因此只要給定了，因此只要給定了母線方向母線方向(一般是一定向量一般是一定向量)及準(zhǔn)線方程，就可完全確定及準(zhǔn)線方程，就可完全確定柱面方程。柱面方程。 由定義及直觀可見(jiàn)，由定義及直觀可見(jiàn)，柱面的準(zhǔn)線并不是唯一的，且柱面的準(zhǔn)線并不是唯一的，且未必是平面曲線。未必是平面曲線。 在討論具體的在討論具體的柱面方程柱面方程問(wèn)題時(shí)，為使討論簡(jiǎn)單化，問(wèn)題時(shí)，為使討論簡(jiǎn)單化，通常宜通常宜考慮選擇形式較簡(jiǎn)單的平面曲線作為柱面準(zhǔn)線，考慮選擇形式較簡(jiǎn)單的平面曲線作為柱面準(zhǔn)線，如坐標(biāo)面上的曲線等。如坐標(biāo)面上的曲線等?？臻g圖形研究的基本方法是將

31、其投影到平面考察，空間圖形研究的基本方法是將其投影到平面考察，空間圖形的投影主要是通過(guò)投影柱面來(lái)實(shí)現(xiàn)?？臻g圖形的投影主要是通過(guò)投影柱面來(lái)實(shí)現(xiàn)。 柱面對(duì)于多元函數(shù)性質(zhì)柱面對(duì)于多元函數(shù)性質(zhì)的研究的研究具有重要意義。具有重要意義。對(duì)高對(duì)高等數(shù)學(xué)的應(yīng)用而言，等數(shù)學(xué)的應(yīng)用而言，柱面的討論主要應(yīng)柱面的討論主要應(yīng)掌握投影柱面，掌握投影柱面，即母線平行于坐標(biāo)軸的柱面。研究即母線平行于坐標(biāo)軸的柱面。研究投影柱面問(wèn)題應(yīng)掌握投影柱面問(wèn)題應(yīng)掌握兩個(gè)方面的內(nèi)容：兩個(gè)方面的內(nèi)容： 由準(zhǔn)線方程及母線方向?qū)懗鱿鄳?yīng)的柱面方程；由準(zhǔn)線方程及母線方向?qū)懗鱿鄳?yīng)的柱面方程； 由給定方程判別其是否為母線平行于坐標(biāo)軸的柱面由給定方程判別其

32、是否為母線平行于坐標(biāo)軸的柱面。 柱曲面方程可看成由其準(zhǔn)線柱曲面方程可看成由其準(zhǔn)線 C 的方程按一定規(guī)則的方程按一定規(guī)則轉(zhuǎn)化而得的，其轉(zhuǎn)化過(guò)程遵從以下規(guī)則：轉(zhuǎn)化而得的，其轉(zhuǎn)化過(guò)程遵從以下規(guī)則： F x yCz00,. .: :母線平行于母線平行于 z 軸的柱面軸的柱面 F x y 0,: :. . G y zCx00,. .: :母線平行于母線平行于 x 軸的柱面軸的柱面 G y z 0,:.:. H z xCy00,. .: :母線平行于母線平行于 y 軸的柱面軸的柱面 H z x 0,: :. . 由上柱曲面方程的討論可以看出，母線平行于坐標(biāo)由上柱曲面方程的討論可以看出，母線平行于坐標(biāo)軸的柱

33、面方程具有明顯的代數(shù)特征軸的柱面方程具有明顯的代數(shù)特征 缺變量。缺變量。 一般曲面方程一般曲面方程 F( x , ,y , ,z )= 0 應(yīng)包含三個(gè)變量，而應(yīng)包含三個(gè)變量，而母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程至多含有兩個(gè)變量。這一母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程至多含有兩個(gè)變量。這一特征給出了判別曲面是否為母線平行于坐標(biāo)軸的柱面的特征給出了判別曲面是否為母線平行于坐標(biāo)軸的柱面的簡(jiǎn)潔而直觀的方法。簡(jiǎn)潔而直觀的方法。 : F( x , ,y )= 0，缺變量缺變量 z，母線平行于母線平行于 z 軸的柱面軸的柱面。 : G( y , ,z )= 0，缺變量缺變量 x，母線平行于母線平行于 x 軸的柱面軸的柱面。 : H( z , ,x )= 0，缺變量缺變量 y，母線平行于母線平行于 y 軸的柱面軸的柱面。 平面解析幾何中，方程平面解析幾何中，方程 F( x , ,y )= 0 表示表示 xOy 平面平面上的一條曲線，但在空間解析幾何中，該二元方程通常上的一條曲線，但在空間解析幾何中，該二元方程