2021北京重點(diǎn)校初二（上）期中數(shù)學(xué)匯編：等腰三角形2

13/132021北京重點(diǎn)校初二（上）期中數(shù)學(xué)匯編等腰三角形2一、單選題1．（2021·北京·清華附中八年級(jí)期中）如圖，AD，CE分別是△ABC的中線和角平分線．若AB=AC，∠CAD=20°，則∠ACE的度數(shù)是（）A．20° B．35° C．40° D．70°2．（2021·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)八年級(jí)期中）“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來的.借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角.這個(gè)三等分角儀由兩根有槽的棒，組成，兩根棒在點(diǎn)相連并可繞轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)固定，，點(diǎn)，可在槽中滑動(dòng)，若，則的度數(shù)是（）A．60° B．65° C．75° D．80°3．（2021·北京一七一中八年級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)是分別為（0,3）、（4,3），在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)C，使是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）A．5個(gè) B．6個(gè)C．7個(gè) D．8個(gè)4．（2021·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，將Rt過點(diǎn)折疊，使直角頂點(diǎn)落在斜邊上的點(diǎn)處，折痕為，現(xiàn)有以下結(jié)論：①；②；③平分；④是等邊三角形；⑤垂直平分；其中正確的有（）A．①②③ B．②③ C．①②③④ D．①②③⑤二、填空題5．（2021·北京·101中學(xué)八年級(jí)期中）由于木質(zhì)衣架沒有柔性，在掛置衣服的時(shí)候不太方便操作.小敏設(shè)計(jì)了一種衣架，在使用時(shí)能輕易收攏，然后套進(jìn)衣服后松開即可.如圖1，衣架桿OA=OB=18cm，若衣架收攏時(shí)，∠AOB=60°，如圖2，則此時(shí)A，B兩點(diǎn)之間的距離是____cm.6．（2021·北京師大附中八年級(jí)期中）平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（4，3），點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)C（5，3），點(diǎn)E在x軸上.當(dāng)CE=AB時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為__________．7．（2021·北京一七一中八年級(jí)期中）如圖，AB＝AC，BD⊥AC，∠CBD＝α，則∠A＝_____（用含α的式子表示）．8．（2021·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，中，，AD平分，點(diǎn)E線段BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AE，點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，若，則的周長(zhǎng)是___．9．（2021·北京一七一中八年級(jí)期中）等腰三角形一邊等于5，另一邊等于8，則其周長(zhǎng)是_________．10．（2021·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)八年級(jí)期中）定義：等腰三角形的頂角與其一個(gè)底角的度數(shù)的比值稱為這個(gè)等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，則它的特征值__________．11．（2021·北京·101中學(xué)八年級(jí)期中）等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為3和4，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是_____．12．（2021·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)D，連接CD，則∠ACD的度數(shù)是__________．三、解答題13．（2021·北京一七一中八年級(jí)期中）如圖1，E是等邊三角形ABC的邊AB所在直線上一點(diǎn)，D是邊BC所在直線上一點(diǎn)，且D與C不重合，若EC=ED．則稱D為點(diǎn)C關(guān)于等邊三角形ABC的反稱點(diǎn)，點(diǎn)E稱為反稱中心．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，（1）已知等邊三角形AOC的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，反稱中心E在直線AO上，反稱點(diǎn)D在直線OC上．①如圖2，若E為邊AO的中點(diǎn)，在圖中作出點(diǎn)C關(guān)于等邊三角形AOC的反稱點(diǎn)D，并直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)：___.②若AE=2，求點(diǎn)C關(guān)于等邊三角形AOC的反稱點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）若等邊三角形ABC的頂點(diǎn)為B（n，0），C（n+1，0），反稱中心E在直線AB上，反稱點(diǎn)D在直線BC上，且2≤AE＜3．請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C關(guān)于等邊三角形ABC的反稱點(diǎn)D的橫坐標(biāo)t的取值范圍:P_____(用含n的代數(shù)式表示）．14．（2021·北京八中八年級(jí)期中）如圖，∠A=∠D=90°，AB=DC，AC與DB交于點(diǎn)E，F(xiàn)是BC中點(diǎn)．求證：∠BEF=∠CEF．

參考答案1．B【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°-∠CAB）=70°．再利用角平分線定義即可得出∠ACE=∠ACB=35°．【詳解】∵AD是△ABC的中線，AB=AC，∠CAD=20°，∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°-∠CAB）=70°．∵CE是△ABC的角平分線，∴∠ACE=∠ACB=35°．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的兩個(gè)底角相等的性質(zhì)，等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及角平分線定義，求出∠ACB=70°是解題的關(guān)鍵．2．D【分析】根據(jù)OC=CD=DE，可得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可求出∠ODC數(shù)，進(jìn)而求出∠CDE的度數(shù)．【詳解】∵，∴，，設(shè)，∴，∴，∵，∴，即，解得：，.故答案為D.【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)，理清各個(gè)角之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．3．C【分析】要使△ABC是等腰三角形，可分三種情況（①若AC＝AB，②若BC＝BA，③若CA＝CB）討論，通過畫圖就可解決問題．【詳解】解：如圖：①若AC＝AB，則以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑畫圓，與坐標(biāo)軸有4個(gè)交點(diǎn)；②若BC＝BA，則以點(diǎn)B為圓心，BA為半徑畫圓，與坐標(biāo)軸有2個(gè)交點(diǎn)（A點(diǎn)除外）；③若CA＝CB，則點(diǎn)C在AB的垂直平分線上，∵A（0，3），B（4，3），∴AB∥x軸，∴AB的垂直平分線與坐標(biāo)軸只有1個(gè)交點(diǎn)．綜上所述：符合條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有7個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定、圓的定義、垂直平分線的性質(zhì)的逆定理等知識(shí)，還考查了動(dòng)手操作的能力，運(yùn)用分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵．4．D【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)即可知，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可判斷①②③⑤正確，由于不一定等于，故不一定是等邊三角形，故④錯(cuò)誤，由此即可選擇．【詳解】解：將過點(diǎn)折疊，使直角頂點(diǎn)落在斜邊上的點(diǎn)處，，，，，，，平分，故①②③正確，，，垂直平分，故⑤正確，不一定等于，不一定是等邊三角形，故④錯(cuò)誤，綜上可知，①②③⑤正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，角平分線的判定，垂直平分線的判定以及等邊三角形的判定．理解折疊后的兩個(gè)三角形全等是解答本題的關(guān)鍵．5．18【詳解】解：∵OA=OB，∠AOB=60°，∴△AOB是等邊三角形，∴AB=OA=OB=18cm【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，難度不大．6．或【分析】作CD⊥BE,根據(jù)平移定義和等腰三角形性質(zhì)可得有兩種情況：當(dāng)CE∥AB時(shí);當(dāng)CE與AB不平行時(shí).【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)A（4，3），點(diǎn)C（5，3），所以AC∥OB如圖，當(dāng)CE∥AB時(shí)，由平移性質(zhì)可得：E（3+1,0）即（4,0）；BE⊥AE當(dāng)CE與AB不平行時(shí)，作CD⊥BE,則四邊形AEDC是矩形，故ED=AC=1,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得DE’=DE=1,BE’=3；所以E’（6,0）故E的坐標(biāo)是或故答案為：或【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：矩形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，平移性質(zhì).根據(jù)題意畫出相關(guān)情況是關(guān)鍵.7．2α．【分析】根據(jù)已知可表示得兩底角的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理不難求得∠A的度數(shù)；【詳解】解：∵BD⊥AC，∠CBD＝α，∴∠C＝（90﹣α）°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（90﹣α）°，∴∠ABD＝90﹣α﹣α＝（90﹣2α）°∴∠A＝90°﹣（90﹣2α）°＝2α；故答案為：2α．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是會(huì)綜合運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行答題，此題難度一般．8．24cm【分析】由AB=AC，AD是△ABC的角平分線，根據(jù)三線合一的性質(zhì)，可得BD=CD，又由點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，可得AC=CE，繼而可得AB=CE，則可得△ABC的周長(zhǎng)為2DE．【詳解】解：∵點(diǎn)C在AE的垂直平分線上∴AC=CE∵AB=AC，AD平分∠BAC∴BD=CD∴AB+BD=AC+CD=CE+CD=DE∵DE=12cm∴AB+BC+AC=AB+BD+AC+CD=2×12=24cm即△ABC的周長(zhǎng)等于24cm故答案為：24cm．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．9．18或21【詳解】分兩種情況：①當(dāng)8為腰時(shí)，此三角形的周長(zhǎng)=8+8+5=21；②當(dāng)5為腰時(shí)，此三角形的周長(zhǎng)=8+5+5=18．10．【分析】可知等腰三角形的兩底角相等，則可求得底角的度數(shù)．從而可求解【詳解】解：①當(dāng)為頂角時(shí)，等腰三角形兩底角的度數(shù)為：∴特征值②當(dāng)為底角時(shí)，頂角的度數(shù)為：∴特征值綜上所述，特征值為或故答案為或【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，熟記等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，要注意到本題中，已知的底數(shù)，要進(jìn)行判斷是底角或頂角，以免造成答案的遺漏．11．10或11【分析】分3是腰長(zhǎng)與底邊長(zhǎng)兩種情況討論求解即可．【詳解】解：①3是腰長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為3、3、4，∵此時(shí)能組成三角形，∴周長(zhǎng)＝3+3+4＝10；②3是底邊長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為3、4、4，此時(shí)能組成三角形，所以周長(zhǎng)＝3+4+4＝11．綜上所述，這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是10或11．故答案為：10或11．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意，正確分情況討論是解題的關(guān)鍵．12．20°【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：在中，，，，，，．故答案為：20°【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．13．（1）①（-1，0）②D（-2，0）；（2）n-3＜t≤n-2或n+2≤t＜n+3．【分析】（1）①過點(diǎn)E作EF⊥OC，垂足為F，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得DF=FC=，OF=，即可求OD=1，即可求點(diǎn)D坐標(biāo)；②分點(diǎn)E與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合或點(diǎn)E在邊OA的延長(zhǎng)線上兩種情況討論，根據(jù)反稱點(diǎn)定義可求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）分點(diǎn)E在點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上或在BA的延長(zhǎng)線上，根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)，可求CF=DF的值，即可求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)t的取值范圍．【詳解】（1）①如圖，過點(diǎn)E作EF⊥OC，垂足為F，∵EC=ED，EF⊥OC∴DF=FC，∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0），∴AO=CO=2，∵點(diǎn)E是AO的中點(diǎn)，∴OE=1，∵∠AOC=60°，EF⊥OC，∴∠OEF=30°，∴OE=2OF=1∴OF=，∵OC=2，∴CF==DF，∴DO=1∴點(diǎn)D坐標(biāo)（-1，0）故答案為（-1，0）②∵等邊三角形AOC的兩個(gè)頂點(diǎn)為O（0，0），C（2，0），∴OC=2．∴AO=OC=2．∵E是等邊三角形AOC的邊AO所在直線上一點(diǎn)，且AE=2，∴點(diǎn)E與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合或點(diǎn)E在邊OA的延長(zhǎng)線上，如圖，若點(diǎn)E與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，∵EC=ED，EC=2，∴ED=2．∵D是邊OC所在直線上一點(diǎn)，且D與C不重合，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0）

如圖，若點(diǎn)E在邊OA的延長(zhǎng)線上，且AE=2，∵AC=AE=2，∴∠E=∠ACE．∵△AOC為等邊三角形，∴∠OAC=∠ACO=60°．∴∠E=∠ACE=30°．∴∠OCE=90°．∵EC=ED，∴點(diǎn)D與點(diǎn)C重合．這與題目條件中的D與C不重合矛盾，故這種情況不合題意，舍去，綜上所述：D（-2，0）（2）∵B（n，0），C（n+1，0），∴BC=1，∴AB=AC=1∵2≤AE＜3，∴點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上或在BA的延長(zhǎng)線上，如圖點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，過點(diǎn)A作AH⊥BC，過點(diǎn)E作EF⊥BD∵AB=AC，AH⊥BC，∴BH=CH=，∵AH⊥BC，EF⊥BD∴AH∥EF∴,若AE=2，AB=1∴BE=1，∴=1∴BH=BF=∴CF==DF∴D的橫坐標(biāo)為：n--=n-2，若AE=3，AB=1∴BE=2，∴=∴BF=2BH=1∴CF=DF=2∴D的橫坐標(biāo)為：n-1-2=n-3，∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)t的取值范圍：n-3＜t≤n-2，如圖點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，過點(diǎn)A作AH⊥BC，過點(diǎn)E作EF⊥BD，同理可求：點(diǎn)D的橫坐標(biāo)t的取值范圍：n+2≤t＜n+3，綜上所述：點(diǎn)D的橫坐標(biāo)t的取值范圍：n-3＜t≤n-2或n+2≤t＜n+3．故答案為n-3＜t≤n-2或n+2≤t＜n+3．【點(diǎn)睛】此題考查三