專題6.1 數(shù)列的通項公式與求和(理)

*2n1*2n12017考備考3年高考年模擬1年創(chuàng)【年考【高考浙江理數(shù)數(shù){a}的前項和為S.若=4S+1∈a=nn2+1n1S.5

，【答案】

【高考山東理數(shù)】已知數(shù)列

的前n項=3n+8nn

且a.n（Ⅰ）求數(shù)列

（Ⅱ）令

cn

(ann

.

求數(shù)列

和.【解析）題意知當(dāng)時，nn

n

，時11

，所以

.設(shè)列

，由

a12a223

b，即，可解得1714,31

，所以

bnn

.3高江蘇卷】記

n

T，若,定義

;若T,…tT1

k

，定義

ttt

.例如：

T+T1

.現(xiàn)

n

*

是公比為3的比數(shù)列，且當(dāng)

=30.T（）數(shù)列

式（）任意正數(shù)

k

k

；（）

CU,U,證：SCDC

D

2

D

.【解析由知得

a1

n

*

.于當(dāng)時aaaar

.又

30r

，故

a301

，即

a1

.所數(shù)列

{}n

的通項公式為

aN

*

.（）為

T,}

nN

*

，所以Sr1k

k

12

k

.因，

ar

.（）面分三情況證.若D

的子集，則

C

C

2SCDD

D

.②若C是的集，則SC

CD

2SCC

D

.③若

D

不是C

的子集，且

不是

D

的子集令

E

CU

，

CCU

則

E

，F(xiàn)

，

EF

.2n2n于是

C

CD

，

DF

CD

，進(jìn)而由

，得.k是E中的最大數(shù)，CDEF為

F

中的最大數(shù)，則

kl

.由（）知，

E

k

，于是llFk

k

，所以lk

，即l

.又

，故l

，從而SlF2l

lkE22

，故

EF

所以

C

CD

SD

CD

即

C

CD

D

.綜合①②③得，C

CD

2

D

.4高考天津理數(shù)

n

為數(shù)的等差數(shù)列為d意

n

是

和

的等差中項(Ⅰ設(shè)

c22,n*nn

，求證：

列(Ⅱ設(shè)

1

n

2,*

，求證：

1d25．【高考新課標(biāo)2，理16】設(shè)

n

是數(shù)列

n

項，且

a1

，

n

n

n

，則．n【答案】

【解析】由已知得

annn

，兩邊同時除以

nn

，得

SSn

，故S2TnS2Tn數(shù)列以首項公的等差數(shù)列

以Sn

．【江蘇高考數(shù)列

{}足a且n

n

nNn

*

列

{

}

的前10項和為【答案】

【解析】由題意得：a)

))

(n

，所以11n20),S2(1)Sn【高考新課標(biāo)1，17】

n

為數(shù)列

n

}的項.已

n

＞，n

n

=

4Sn

.（Ⅰ）求

n

}的項公式；（Ⅱ）設(shè)

n

an

,求數(shù)列

n

}的前項.2015高山東，理】設(shè)數(shù)列

的前n項為

n

.已

nn

.（）

式（）數(shù)列

aban

n

，求

的前項.n【解析

nn

以2a1

a3,1

當(dāng)

n

時2

此時，

2a2S

,即an

,

n所以，a3nn（）為

abn

n

，所以

1

，當(dāng)

n

時，

blog3nn3

，21n21n所以T11

當(dāng)

時，Tn23n

，所以n

2

得2n

3

n2

，所以Tn

64

，經(jīng)檢驗，

時也適合，6綜上可得：T42015高重慶，理】在數(shù)列

n

a1n

n

2

（）

求數(shù)列

n

式（）

0

Nk0

明：

k020高廣東理第題】設(shè)數(shù)列

的前項和為

n

，滿足n

n

n

，n

，且

3

.（）

1

、

2

、

3

的值；（）數(shù)列

的通項公式2n22nn2n22nn高湖南理第題】已知數(shù)列

n

a1

an

pn

n

,

nN

*

.(1)若

n

為遞增數(shù)列且

,31

成等差數(shù)列求的值;(2)若

,且

列列求數(shù)列2n

.n【解析】(1)因數(shù)

n

為遞增數(shù)列所

n

n

,則

an

nn

pn

n

,分別令n1,2可p12

pap3

p因,2aa12成等差數(shù)列所

a23

2

p

或當(dāng)p0

時數(shù)

n

為常數(shù)數(shù)列不符合數(shù)列

所以pn

.(2)由題可得

n

n

1n2n

n

,因

2n

是遞增數(shù)列且

2

是遞減數(shù)列所

a2n

2

且

a

2n

a

2

,則2n2naa2n2n

a2n2n2

,因考全國1第題數(shù)

n

為

1

0n

nn

n

，其中為數(shù)，（）明：

a

n

n

；（）否存在，得

n

為等差數(shù)列？并說明理由【解析由設(shè)，

aan

，aann

n

．兩式相減得，a

n

n

)n

a

n

．由于

n

，所以

a

n

n

．【三年高考命題回顧】縱觀前三年各地高考試題對數(shù)列通項公式和求和這部分的考查要查數(shù)列的概念與表示方法、數(shù)列遞推關(guān)系與通項公式的聯(lián)系、數(shù)列的求和方法，往往與函數(shù)、方程、不等式等知識建立聯(lián)系，高考中一般會以各種形式考查．【年高考復(fù)習(xí)建議與高考命題預(yù)測】由前三年的高考命題形式可以看出高對數(shù)列概念與表示方法的考查要深刻體會數(shù)列不光體現(xiàn)一種遞推關(guān)系，它具有函數(shù)特征，故經(jīng)常會與函數(shù)、方程、不等式等知識聯(lián)系考對數(shù)列通項公式的考察，一般會以等差數(shù)列和等比數(shù)列具體形式出現(xiàn)，或者由項的遞推關(guān)系或者項與前項的關(guān)系得出，同時要注意從特殊到一般思想的靈活運用．對數(shù)列求和的考察，要掌握常見的數(shù)列求和方法（直接求和、倒序相加法、錯位相減法、裂項相加法會不等式建立聯(lián)系，會牽涉到放縮法，難度會大點，注意等價轉(zhuǎn)換思想的活用．這部分試題難度屬中低檔的題目，小題突小、巧、”，要以通項公式、前項和公式為載體，結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)考查分類討論、化歸與方程等思想，要注重通性、通法；解答而，注重題目的綜合與新穎突對邏輯思維力的考查由于連續(xù)兩年大題沒涉及數(shù)故測2017年考將以等差數(shù)列，等比數(shù)列的定義、通項公式和前n項和公式為主要考點，特別是錯位相減法求和問題，重點考查學(xué)生的運算能力與邏輯推理能力．【2017年考點位高考對數(shù)列的通項公式與求和的考查有三種主要形式：一是考察數(shù)列的概念與表示；二是數(shù)列通項公式；三是數(shù)列求和；其中經(jīng)常與函數(shù)、方程、不等式等知識的相聯(lián)系．【點】列概念表【考識理1．定義：按照一定順序排列著的一列數(shù)．1314231513142315．表示方法：列表法、解析法（通項公式法和遞推公式法法．．分類：按項數(shù)有限還是無限分為有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；按項與項之間的大小關(guān)系可分為單調(diào)數(shù)列、擺動數(shù)列和常數(shù)列．4．與的關(guān)系：ann

(1(nn

≥

．5．處理方法.用數(shù)的觀點處理數(shù)問題【律法巧數(shù)列是定義域為正整數(shù)集或其有限子集的函數(shù)，故數(shù)列具有函數(shù)的特征（周期性、單調(diào)性等觀察法是解決數(shù)列問題的法寶，先根據(jù)特殊的幾項，找出共同的規(guī)律，橫項之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)，看“各與項數(shù)的”，從而確定數(shù)列的通項公式．【點對練【年月南八市高三質(zhì)檢卷】已知alg3lga3log；123

(2)(n*)

，觀察下列算式：aloglog41263

87

3lglg3

lg7

，；若a2

mm

*

)

，則的為（）A．

2016

B．

2016

．

2016

．

2016【答案】【解析】由題意：

a3log12

lg3lg23

；aloglog41263

87

3lglg3

lg7

，；a135

alog416lg3

lg16lg15

16,

…；據(jù)此可知，

a23

mNm

*

)

，則的為

2016

1數(shù)3

的一個通項公式是f(n,(f(n,(2)A．a(chǎn)

n22nB．．a(chǎn)3．【答案】

【點】推系與列項式【考識理在一些綜合性比較強的數(shù)列問題中列通項公式的求解問題往往是解決數(shù)列難題的瓶頸列通項公式的求解常用方法1定義法，直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項的方法叫定義法，這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類型的題目、式法，若知數(shù)列的前和

n

與

a

n的關(guān)系求列

n

a

n

可用公式

SSn

求解由遞推式求數(shù)列通項法，對于遞推公式確定的數(shù)列的求解，通?？梢酝ㄟ^遞推公式的變換，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題，有時也用到一些特殊的轉(zhuǎn)化方法與特殊數(shù)列、待定系數(shù)法（構(gòu)造法求數(shù)列通項公式方法靈活多樣，特別是對于給定的遞推關(guān)系求通項公式，觀察、分析、推理能力要求較高．通?？蓪f推式變換，轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列（等差或等比數(shù)列）來求解，這種方法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中化未知為已知的化歸思想，而運用待定系數(shù)法變換遞推式中的常數(shù)就是一種重要的轉(zhuǎn)化方法．【律法巧數(shù)列的通項的求法：⑴公式法：①等差數(shù)列通項公式；②等比數(shù)列通項公式⑵知

n

（即

a(n)1

）求

n

，用作差法：a

,(n,(n2)n

.⑶已知

a1

2

af(n

求

n

(1),(，用作商法：(n

.n1nnnn1nnn⑷若

a

n

f)求a用累加法：naa)annn

n

n

(n2)211

.⑸已知

nf(n

求

n

，用累乘法：

annnn

2(2)1

.⑹已知遞推關(guān)系求

n

用構(gòu)造構(gòu)造等差等比數(shù)列別地

ann

kan

n

（k,為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為的等比數(shù)列后，再求

.如已知a1

n

，求

n

）形如

kan

的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通.注意

an

n

求數(shù)列的通項公式時注意到等式成立的條件了嗎n，當(dāng)

n

時，

a1

1

般當(dāng)已知條件中含有

與

的混合關(guān)系時，常需運用關(guān)系式

ann

n

將知條件轉(zhuǎn)化為只含或的關(guān)系式再求.3與n

n的關(guān)系，可以先求，再求，者先轉(zhuǎn)化為項與項的遞推關(guān)系，再求．nnn【點對練【屆榆林市高三二模】在數(shù)列

1

aan

2016

的值為（）A．

B．C5

．上都不對【答案】【湖北省八校高.二】數(shù)列

滿足，na1

=b=a

，記S為列，S.nn120【答案】【解析】由=n

ann

，所以數(shù)列

是以為公差的等差nn1201n1n1nn1201n1n1數(shù)列，且

21，以，a，b2

，所以11S22

2

2

120

22)2

2

2

2

2

2

2

)]12)22

2

2

120

2

41120241728066【點】列和【考識理數(shù)列的求和也是高考中的熱點內(nèi)容，考察學(xué)生能否把一般數(shù)列轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列求和，體現(xiàn)了化歸的思想方法，其中錯位相減和裂項相消是高考命題的熱點．估計在以后的高考中不會有太大的改變．?dāng)?shù)列求和的常用方法，尤其是利用裂項法和錯位相減法求一些特殊數(shù)列的和，數(shù)列求和的基本方法：1.基公式法：Sn

nn1na22

等比數(shù)列求和公式：S

na,qaq1q11

.2.

錯位相消法般應(yīng)于數(shù)列

和中

n

分組求和：把一個數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列，然后利用公式法求和．拆項（裂項）求和：把一個數(shù)列的通項公式分成兩項差的形式，相加過程中消去中間項，只剩下有限項再求和常的拆項式有：

的差數(shù)列，則111adaannnn

；

n

；

11nn

nn

；

；

.倒相加法：根據(jù)有些數(shù)列的特點，將其倒后與原數(shù)列相加，以達(dá)到求和的目的．1nn【律法巧數(shù)列求和關(guān)鍵是研究數(shù)列通項公式，根據(jù)通項公式的不同特征選擇相應(yīng)的求和方式，若數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，直接利用公式求和；若通項公式是等差乘等比型，利用錯位相減法；若通項公式可以拆分成兩項的差且在累加過程中可以互相抵消，利用裂項相消法，從近年的考題來看，逐漸加大了與函數(shù)不等式的聯(lián)系，通過對通項公式進(jìn)行放縮，放縮為易求和的數(shù)列問題處理．【點對練1.【2016年西九江高三第三次聯(lián)考

是等差數(shù)列

n

672

1344

，則

2016

（）A

B26

【答案】【解析

672

,S1344

672

,S

2016

1344

成等差數(shù)列

2

2016

2016

,故選C.【屆淮北一中高三最后一卷】已知函數(shù)

axfx

且3ff

項為正的數(shù)列

1中2,fa

n

的前項和為S，n若

126n

，則

____________．【答案6【試巧撥由遞推關(guān)系求數(shù)的通項公式（）用累法和累求項公式annnannn此解法來源與等差數(shù)列和等比數(shù)列求通項的方法，遞推關(guān)系為

n

f(n

用累加法；遞推關(guān)系為

anf)an

用累乘法解時需要分析給定的遞推式，使之變形為

a、nnnn

結(jié)構(gòu)，然后求.要別注意累加累乘時，應(yīng)該為(n(2)利待定系數(shù)法，構(gòu)造等差、等比數(shù)列求通項公式

個式子，不要誤認(rèn)為.求數(shù)列通項公式方法靈活多樣，特別是對于給定的遞推關(guān)系求通項公式，觀察、分析、推理能力要求較.通可對遞推式換，轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列（等差或等比數(shù)列）來求解，這種方法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中化未知為已知的化歸思想，而運用待定系數(shù)法變換遞推式中的常數(shù)就是一種重要的轉(zhuǎn)化方.遞公式為

n

pan

（其中均常數(shù)，(0)

.把遞推公式轉(zhuǎn)化為：

n

p()n

，其中

t

，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求.如選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ髷?shù)列的和在數(shù)列求和問題中，由于題目的千變?nèi)f化，使得不少同學(xué)一籌莫展，方法老師也介紹過，就不清楚什么特征用什么方.為此供一個通法“特聯(lián)想：就是抓住數(shù)列的通項公式的征，再去聯(lián)想常用數(shù)列的求和方.項公式作為數(shù)列的靈魂，只有抓住它的特征，才能對號入座，得到求和方法特征一：

Cann

，數(shù)列

{}n

的通項公式能夠分解成幾部分，一般分組求和”特征二：

Cn

，數(shù)列

{}n

的通項公式能夠分解成等差數(shù)列和等比數(shù)列的乘積，一般用“錯相減法.特征三：Cn

1an

，數(shù)列

{}n

的通項公式是一個分式結(jié)構(gòu)，一般采“裂項相消”.特征四：C

數(shù){}

的通項公式是一個組合數(shù)和等差數(shù)列通項公式組成般采用倒相加法.利用轉(zhuǎn)化，解決推公式為

n

與

n

的關(guān)系式數(shù)列

a}的項和S與通項a的系：a(≥2)

.通過紐帶：（nn

，根據(jù)題目求解特點，消掉一個

或n

n

.然后再進(jìn)行構(gòu)造成等差或者等aa比數(shù)列進(jìn)行求解如消掉，利用已知遞推式，把n換（）到遞推式，兩式相減即n可若掉

n

，只需把

n

n

帶入遞推式即可不哪種形式，要注意公式n

n

成立的條件

由推關(guān)系求數(shù)列的通項公式（）用累法和累求項公式此解法來源與等差數(shù)列和等比數(shù)列求通項的方法，遞推關(guān)系為

n

f(n

用累加法；遞推關(guān)系為

anf)an

用累乘法解時需要分析給定的遞推式，使之變形為

a、nnnn

結(jié)構(gòu)，然后求.要別注意累加累乘時，應(yīng)該為(n(2)利待定系數(shù)法，構(gòu)造等差、等比數(shù)列求通項公式

個式子，不要誤認(rèn)為.求數(shù)列通項公式方法靈活多樣，特別是對于給定的遞推關(guān)系求通項公式，觀察、分析、推理能力要求較.通可對遞推式換，轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列（等差或等比數(shù)列）來求解，這種方法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中化未知為已知的化歸思想，而運用待定系數(shù)法變換遞推式中的常數(shù)就是一種重要的轉(zhuǎn)化方.遞公式為

n

pan

（其中均常數(shù)，(0)

.把遞推公式轉(zhuǎn)化為：

n

p()n

，其中

t

，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求.【屆寧夏石嘴山三中高三下三模】數(shù)列

，對任意的N

*

都有

，則

2016

（）A．

201520164032B．C．D．2016201720172017【答案】【屆云南省玉溪一中高三下第八次月考】若數(shù){

a

n

}足

－1

－＝（∈﹡，d為常數(shù)稱列}調(diào)和數(shù)列．已知數(shù){n

}為和數(shù)列，且＋＋x＝，12則x＋＝）5A．10B．C．．【答案】【解析】由題意知

xn

（常數(shù)以數(shù)列

為項，為差的等差n1數(shù)列，則有

1220516

200，x205

.故B.【屆河南鄭州一中高三考前沖刺一】數(shù)列

a

，且對任意的

,nN

，都有

a

m

m

，則

1aaa22014

（）A．

20132013B．．D．2014100720152015【答案】【解析】因為

a

m

則可得aaam2

，則可猜得，∴21n121a31

，∴

，故選．【屆河南鄭州一中高三考前沖刺】已知數(shù)列則數(shù)列的值為（）

n

53

，若數(shù)A．

111B．C．．43【答案】nnnnnnnn【2016年北一中三?？肌繑?shù)列

a

n

n

，則此數(shù)列的通項公式a．【答案】【解析】由ann

aaan得n，以nnn

，又aa1，以{n是等數(shù)列，所以nn

，即n

n

．【年北石家莊高三二?！繑?shù)列

，則數(shù)列n

n

項的和為_____.【答案】

【年江西省南昌市高三一模測試】數(shù){a}的前n項和為S，S+S=2n-l(n>2)，n且S，a+a的為。213【答案】【解析】令,則則a，令n，112

，2

，則

，所以

13

．【屆江省義烏市5月模擬知數(shù)列

11an

且

（N1

*

（）數(shù)列

n

式；（）ban

2n

n

，且

n

為

n

，明：

n

．【屆林四平中高三五數(shù)列

{}n

的前項和為，，n1

(*)

.（）數(shù)列

{}n

的通項

n

；（）數(shù)列

{}n

的前項和為T.n【解析因

nn

，所以

2n

，所以

SnSn

.又因為

1

，所以數(shù)列

{}n

是首項為1，比為3的比數(shù)列，所以

n*)n

.當(dāng)

時，nnnnnna

2

(2)

，所以

1,nn

.（）

Taaana，時，Tn23

，當(dāng)時T

，①3T

②①②：

n)

，

3(1n)1

n

n

1,所T(2

，又因為

T1

也滿足上式，所以Tn

1nn2

nN

*

.10.【年山西高三四校聯(lián)考】在等差數(shù)列

，數(shù)列n2和S

.（Ⅰ）求數(shù)列

n（Ⅱ）求數(shù)列bnn

的前n項．n11.【屆南省南陽市一中高三三?！繑?shù)列

的前n項為，已知am1

，且任意正整數(shù),

，都有

am

mn

，若

m

恒成立，則實數(shù)

的最小值為．【答案】

【解析

m

恒成立

aSm

時

n

an1n

n3n

，S

11)33113

11(1)m)23

，當(dāng)

m

時，()mmax

．12.【屆肅省天水市中高三高考信息卷一】如下圖所示，坐標(biāo)紙上的每個單元格的邊長為，由下往上的六個點的橫、縱坐標(biāo)分別對應(yīng)數(shù)列

前項，如下表所示：按如此規(guī)律下去，則

．【答案100713.【屆黑龍江省哈爾濱市三中高三第四次模擬】已知數(shù)

43

，且

n

nn

1a2015

的整數(shù)部分是（）A．B．C2D3【答案】【解析】由

a

a

111(aaaa

，因此

1aa12015

11aa

1a

，又

521a,a,aa06561a因此即m的數(shù)部分是，．14.【屆福建省龍巖市一中高三考前模擬】設(shè)數(shù){}n

的前項和為，n1

，a

(n

*

)

．（Ⅰ）求數(shù)列

{}n

的通項公式；（Ⅱ）若數(shù)列

n

為等差數(shù)列，且

ba11

，公差為

21

．當(dāng)

3

時，比較

n

與11

的大小．nnnn15.【屆浙江省余姚市高三第三次模擬】已知數(shù)列{},n

滿足下列條件：a

b1

，

an

n（Ⅰ）求

n

的通項公式；（Ⅱ）比較a與b的大?。畁n【解析）已知，

2.b)b))n11n2)(62)(6

n

2)

n

n

11

nn

所以

n

的通項公式

bn（Ⅱ）

2bn

n

設(shè)

n

(n

.nc4(n2(nn所以c即{}c3n4(n

為遞增數(shù)列當(dāng)

n時，

cn

所以

3n于

nn

，即

ann

易知當(dāng)

n

時，a2當(dāng)時a2nn【年創(chuàng)預(yù)】已知數(shù)列

{}的前項和滿足nn

n2

n(nN*)1

，則數(shù)列{}

的通項

n

（）A．

n

B．

n

C．

3

．

【答案】【入選理由】本題考查數(shù)列前項和S與通項間關(guān)系、等差數(shù)列通項公式等基礎(chǔ)知識，意n在考查學(xué)生的邏輯思維能力、運算求解能力，以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．表面看題，似難度重重，認(rèn)真審題，找出規(guī)律，從而可解，難度不大，有一定的技巧，故選此.2．已知數(shù)列

{}n

中，

1

，

na

n

na

n

，則

5

（）A．320B．160C．D40【答案】【解析】由

na

n

na

n

，得

aann，數(shù)列{}首項為2，比為的比n數(shù)列，所以

n

n

n

，即nn

n

，所以

，故選．【入選理由】本題考查數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列通項公式等基礎(chǔ)知識，意在考查學(xué)生的邏輯思維能力、運算求解能力，以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．遞推關(guān)系需注意變形方此題難度不大，有一定的技巧，故選此題已數(shù)列

{}n

的前項和為

n

，

a1

．當(dāng)

n

時，

an

n

n

，則

299

（）A．246B．299．247D．248【答案】【解析】當(dāng)

n

時，由

an

n

n

得

n

n

S

n

，即n

n

①以

n

2n

……②②－①得

n

n

a1即

1

所數(shù)列

n

構(gòu)成公差為2的差數(shù)列從而

299

299

故選B**【入選理由】本題考查數(shù)列前項和S與通項間關(guān)系、等