2019屆數(shù)學復習第三章導數(shù)及應用層級快練15文

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE8學必求其心得，業(yè)必貴于專精層級快練(十五)1．y＝lneq\f（1,x）的導函數(shù)為（）A．y′＝－eq\f（1,x） B．y′＝eq\f（1,x)C．y′＝lnx D．y′＝－ln（－x）答案A解析y＝lneq\f(1，x）＝－lnx，∴y′＝－eq\f(1,x）.2．(2018·東北師大附中摸底）曲線y＝5x＋lnx在點(1，5)處的切線方程為()A．4x－y＋1＝0 B．4x－y－1＝0C．6x－y＋1＝0 D．6x－y－1＝0答案D解析將點（1，5)代入y＝5x＋lnx成立，即點（1，5)為切點．因為y′＝5＋eq\f(1，x）,所以y′eq\b\lc\|（\a\vs4\al\co1(，））eq\s\do7(x＝1)＝5＋eq\f(1,1)＝6。所以切線方程為y－5＝6（x－1),即6x－y－1＝0。故選D.3．曲線y＝eq\f(x＋1，x－1)在點(3，2)處的切線的斜率是（)A．2 B．－2C。eq\f(1,2) D．－eq\f(1，2)答案D解析y′＝eq\f(（x＋1）′（x－1）－(x＋1)（x－1）′，（x－1)2）＝－eq\f（2，(x－1）2)，故曲線在(3，2）處的切線的斜率k＝y(tǒng)′｜x＝3＝－eq\f（2，(3－1）2)＝－eq\f（1,2),故選D。4．(2018·鄭州質量檢測）已知曲線y＝eq\f(x2，2)－3lnx的一條切線的斜率為2，則切點的橫坐標為()A．3 B．2C．1 D.eq\f（1，2)答案A解析設切點坐標為（x0，y0）,且x0>0，由y′＝x－eq\f（3，x)，得k＝x0－eq\f（3,x0）＝2,∴x0＝3。5．（2018·衡水調研卷)設f(x）＝xlnx,若f′(x0)＝2，則x0的值為（）A．e2 B．eC.eq\f(ln2,2) D．ln2答案B解析由f（x）＝xlnx,得f′(x)＝lnx＋1。根據(jù)題意知lnx0＋1＝2，所以lnx0＝1，因此x0＝e。6．(2018·山西名校聯(lián)考)若函數(shù)f(x)的導函數(shù)的圖像關于y軸對稱，則f(x)的解析式可能為（）A．f(x）＝3cosx B．f(x)＝x3＋x2C．f（x）＝1＋sin2x D．f（x)＝ex＋x答案C解析A項中，f′(x)＝－3sinx，是奇函數(shù)，圖像關于原點對稱，不關于y軸對稱;B項中，f′（x)＝3x2＋2x＝3(x＋eq\f(1，3))2－eq\f(1,3)，其圖像關于直線x＝－eq\f(1,3）對稱；C項中,f′（x）＝2cos2x,是偶函數(shù),圖像關于y軸對稱；D項中,f′(x）＝ex＋1，由指數(shù)函數(shù)的圖像可知該函數(shù)的圖像不關于y軸對稱．故選C。7．(2018·安徽百校論壇聯(lián)考）已知曲線f(x)＝eq\f（ax2，x＋1）在點(1，f（1))處切線的斜率為1，則實數(shù)a的值為()A.eq\f（3，2) B．－eq\f(3,2)C．－eq\f(3,4） D.eq\f（4，3)答案D解析由f′(x)＝eq\f(2ax（x＋1)－ax2,(x＋1）2）＝eq\f(ax2＋2ax，(x＋1）2）,得f′（1)＝eq\f（3a,4）＝1，解得a＝eq\f（4,3）。故選D。8．（2018·衡水中學調研卷）已知函數(shù)f（x)＝eq\f（1，2)x2·sinx＋xcosx，則其導函數(shù)f′（x)的圖像大致是（）答案C解析由f（x)＝eq\f(1，2)x2sinx＋xcosx,得f′（x)＝xsinx＋eq\f（1,2）x2cosx＋cosx－xsinx＝eq\f（1，2）x2cosx＋cosx.由此可知,f′（x）是偶函數(shù)，其圖像關于y軸對稱，排除選項A,B。又f′（0)＝1，故選C.9．f(x）與g(x）是定義在R上的兩個可導函數(shù)，若f(x），g(x)滿足f′(x)＝g′（x），則f(x)與g（x)滿足（）A．f（x)＝g(x) B．f（x）＝g（x）＝0C．f（x）－g（x)為常數(shù)函數(shù) D．f(x）＋g(x）為常數(shù)函數(shù)答案C10．（2017·《高考調研》原創(chuàng)題）設函數(shù)f(x)在(0，＋∞）內可導，且f(ex)＝x＋ex，則f′（2017)＝（)A．1 B．2C.eq\f(1，2017) D.eq\f（2018,2017)答案D解析令ex＝t，則x＝lnt，所以f（t）＝lnt＋t，故f(x）＝lnx＋x。求導得f′(x)＝eq\f(1,x)＋1，故f′(2017）＝eq\f(1,2017)＋1＝eq\f(2018,2017）.故選D.11．（2018·河南息縣高中月考）若點P是曲線y＝x2－lnx上任意一點，則點P到直線y＝x－2距離的最小值為()A．1 B。eq\r（2)C。eq\f(\r（2），2) D.eq\r（3）答案B解析當過點P的直線平行于直線y＝x－2且與曲線y＝x2－lnx相切時，切點P到直線y＝x－2的距離最小．對函數(shù)y＝x2－lnx求導，得y′＝2x－eq\f(1,x）。由2x－eq\f(1,x)＝1,可得切點坐標為(1，1)，故點(1,1）到直線y＝x－2的距離為eq\r（2），即為所求的最小值．故選B。12．(2018·重慶一中期中）已知函數(shù)f（x）＝ex＋ae－x為偶函數(shù)，若曲線y＝f(x)的一條切線的斜率為eq\f(3,2），則切點的橫坐標等于（)A．ln2 B．2ln2C．2 D。eq\r(2）答案A解析因為f（x)是偶函數(shù)，所以f(x)＝f（－x），即ex＋ae－x＝e－x＋ae－（－x）,解得a＝1，所以f(x）＝ex＋e－x，所以f′（x）＝ex－e－x.設切點的橫坐標為x0，則f′（x0)＝ex0－e－x0＝eq\f(3，2).設t＝ex0(t>0)，則t－eq\f(1，t）＝eq\f（3，2)，解得t＝2，即ex0＝2，所以x0＝ln2.故選A。13．已知y＝eq\f（1，3）x3－x－1＋1，則其導函數(shù)的值域為________．答案[2，＋∞)14．已知函數(shù)f(x)＝x（x－1)（x－2)(x－3）（x－4）（x－5）,則f′(0）＝________．答案－120解析f′(x)＝(x－1)(x－2）（x－3)(x－4）(x－5)＋x［（x－1）(x－2）(x－3）（x－4）（x－5)］′，所以f′（0）＝(－1）×(－2）×(－3)×(－4）×(－5）＝－120。15．（2018·重慶巴蜀期中)曲線f（x）＝lnx＋eq\f（1,2）x2＋ax存在與直線3x－y＝0平行的切線,則實數(shù)a的取值范圍是________．答案(－∞，1］解析由題意，得f′（x)＝eq\f(1，x）＋x＋a，故存在切點P(t，f（t)），使得eq\f（1,t）＋t＋a＝3,所以3－a＝eq\f（1，t)＋t有解．因為t>0，所以3－a≥2(當且僅當t＝1時取等號)，即a≤1。16．設f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當x≥0時，f（x）＝2x2.(1)求x〈0時,f（x)的表達式；(2)令g（x)＝lnx，問是否存在x0,使得f(x)，g（x)在x＝x0處的切線互相平行？若存在，求出x0的值;若不存在,請說明理由．答案(1)f（x）＝－2x2（x<0)(2）存在，x0＝eq\f(1，2)解析(1）當x〈0時,－x>0,f(x)＝－f(－x)＝－2(－x）2＝－2x2?！喈攛〈0時，f(x）的表達式為f(x)＝－2x2。（2）若f（x），g（x）在x0處的切線互相平行，則f′（x0）＝g′(x0），當x>0時，f′(x0)＝4x0＝g′（x0）＝eq\f（1,x0），解得，x0＝±eq\f（1，2）。故存在x0＝eq\f（1,2）滿足條件．17．(2018·河北卓越聯(lián)盟月考)已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16。（1）求曲線y＝f（x)在點(2,－6）處的切線方程；（2）直線l為曲線y＝f(x)的切線，且經(jīng)過原點，求直線l的方程及切點坐標．答案(1）y＝13x－32（2)直線l的方程為y＝13x，切點坐標為（－2,－26)解析(1)根據(jù)題意，得f′(x)＝3x2＋1。所以曲線y＝f(x）在點（2，－6）處的切線的斜率k＝f′(2)＝13，所以要求的切線的方程為y＝13x－32.(2）設切點為(x0，y0），則直線l的斜率為f′(x0)＝3x02＋1,所以直線l的方程為y＝（3x02＋1)（x－x0)＋x03＋x0－16。又直線l過點(0,0)，則（3x02＋1）(0－x0）＋x03＋x0－16＝0，整理得x03＝－8，解得x0＝－2，所以y0＝(－2）3＋（－2)－16＝－26，l的斜率k＝13，所以直線l的方程為y＝13x,切點坐標為（－2，－26)．1．曲線y＝eq\f（sinx,sinx＋cosx)－eq\f（1,2)在點M（eq\f(π，4），0）處的切線的斜率為（）A．－eq\f(1,2） B。eq\f（1,2）C．－eq\f（\r（2)，2) D.eq\f(\r（2)，2)答案B解析∵y′＝eq\f(1，（sinx＋cosx）2）·[cosx(sinx＋cosx)－sinx·(cosx－sinx)]＝eq\f(1，（sinx＋cosx）2),∴y′|x＝eq\f（π,4）＝eq\f(1,2)，∴k＝y(tǒng)′｜x＝eq\f(π,4）＝eq\f(1,2).2．(2017·山東東營一模）設曲線y＝sinx上任一點(x，y)處切線的斜率為g(x），則函數(shù)y＝x2g答案C解析根據(jù)題意得g(x）＝cosx,所以y＝x2g(x）＝x2cosx為偶函數(shù)．又x＝0時，y＝0.故選3．（2017·山東煙臺期末）若點P是函數(shù)y＝ex－e－x－3x(－eq\f(1,2）≤x≤eq\f（1，2））圖像上任意一點,且在點P處切線的傾斜角為α，則α的最小值是()A。eq\f(5π,6) B.eq\f(3π,4）C.eq\f（π,4） D.eq\f（π，6）答案B解析由導數(shù)的幾何意義,k＝y(tǒng)′＝ex＋e－x－3≥2eq\r(ex·e－x）－3＝－1，當且僅當x＝0時等號成立．即tanα≥－1，α∈［0，π)，又∵tanα〈0，所以α的最小值為eq\f(3π,4），故選B。4．(2015·課標全國Ⅰ)已知函數(shù)f（x）＝ax3＋x＋1的圖像在點（1，f(1））處的切線過點(2，7),則a＝________．答案1解析因為f(x)＝ax3＋x＋1,所以f′（x)＝3ax2＋1,所以f（x)在點（1，f(1))處的切線斜率為k＝3a＋1，又f（1)＝a＋2,所以切線方程為y－（a＋2）＝（3a＋1)(x－1），因為點(2,7）在切線上,所以7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.5.(2017·浙江十二校聯(lián)考)函數(shù)f(x）的導函數(shù)f′(x）的圖像是如圖所示的一條直線l，l與x軸的交點坐標為（1，0），則f(0）與f（3)的大小關系為（）A．f(0)<f（3) B．f（0）〉f（3）C．f(0)＝f(3） D．無法確定答案B解析由題意知f(x）的圖像是以x＝1為對稱軸,且開口向下的拋物線，所以f（0）＝f(2)〉f（3)．選B.6．(2017·河北邯鄲二模)曲線y＝log2x在點（1，0)處的切線與坐標軸所圍成三角形的面積等于________．答案eq\f(1，2)log2e解析∵y′＝eq\f（1，xln2）,∴k＝eq\f（1，ln2)。∴切線方程為y＝eq\f(1,ln2）(x－1）．∴三角形面積為S△＝eq\f(1，2）×1×eq\f(1,ln2）＝eq\f(1,2ln2）＝eq\f(1,2)log2e.7．若拋物線y＝x2－x＋c上的一點P的橫坐標是－2，拋物線過點P的切線恰好過坐標原點,則實數(shù)c的值為________．答案4解析∵y′＝2x－1，∴y′|x＝－2＝－5。又P(－2，6＋c)，∴eq\f（6＋c,－2）＝－5.∴c＝4。8．若曲線y＝f（x）在點(x0，f（x0)）處的切線方程為2x＋y－1＝0，則()A．f′(x0)〉0 B．f′(x0）〈0C．f′(x0）＝0 D．f′(x0)不存在答案B解析切線方程為y＝－2x＋1，∴f′(x0)＝－2<0，故選B.9．若P，Q是函數(shù)f（x)＝x2－x(－1≤x≤1）圖像上任意不同的兩點，則直線PQ的斜率的取值范圍是（）A．(－3，1） B．(－1，1）C．(0,3) D．(－4,2)答案A解析f′(x）＝2x－1，當x＝－1時，f′（－1）＝－3。當x＝1時,f′(1）＝1，結合圖像可知，－3〈kPQ〈1。10．設函數(shù)y＝xsinx＋cosx的圖像上的點(x0，y0）處的切線的斜率為k，若k＝g（x0）,則函數(shù)k＝g（x0）的圖像大致為()答案A解析y′＝xcosx,k＝g(x0)＝x0cosx0，由于它是奇函數(shù)，排除B，C；當0<x<eq\f(π,4）時,k>0，排除D，答案為A。11．（2017·人大附中月考)曲線y＝lgx在x＝1處的切線的斜率是()A.eq\f（1,ln10） B．ln10C．lne D.eq\f(1,lne)答案A解析因為y′＝eq\f（1，x·ln10)，所以y′|x＝1＝eq\f(1,ln10），即切線的斜率為eq\f（1，ln10）。12．下列函數(shù)求導運算正確的是________．①（3x）′＝3xlog3e；②(log2x)′＝eq\f(1,x·ln2）;③（sineq\f（π，3))′＝coseq\f(π，3）;④（eq\f（1,lnx))′＝x。答案②13．(2016·天津文)已知函數(shù)f(x）＝(2x＋1）ex,f′（x)為f（x)的導函數(shù)，則f′(0)的值為________．答案3解析∵f′(x）＝2ex＋（2x＋1）ex＝（2x＋3)·ex，∴f′(0）＝3。14．(2016·課標全國Ⅲ，理）已知f(x)為偶函數(shù)，當x〈0時，f(x)＝ln（－x）＋3x，則曲線y＝f(x）在點（1，－3)處的切線方程是________．答案y＝－2x－1解析由題意可得當x>0時,f（x)＝lnx－3x，則f′(x）＝eq\f(1，x）－3，f′(1)＝－2,則在點(1，－3)處的切線方程為y＋3＝－2（x－1），即y＝－2x－1.15．(2015·課標全國Ⅱ)已知曲線y＝x＋lnx在點(1,1)處的切線與曲線y＝ax2＋（a＋2)x＋1相切，則a＝________．答案8解析由y′＝1＋eq\f(1，x）可得曲線y＝x＋lnx在點(1，1)處的切線斜率為2，故切線方程為y＝2x－1，與y＝ax2＋（a＋2）x＋1聯(lián)立得ax2＋ax＋2＝0，顯然a≠0，所以由Δ＝a2－8a＝0?a＝8。16．y＝x·tanx的導數(shù)為y′＝________．答案tanx＋eq\f(x,cos2x）解析y′＝（x·tanx)′＝x′tanx＋x（tanx）′＝tanx＋x·(eq\f(sinx，cosx）)′＝tanx＋x·eq\f(cos2x＋sin2x，cos2x)＝tanx＋eq\f（x，cos2x）.17．已知函數(shù)f（x）＝f′(eq\f(π，4))cosx＋sinx,所以f（eq\f（π，4)）的值為________．答案1解析因為f′(x)＝－f′（eq\f(π,4）)sinx＋cosx，所以f′（eq\f（π,4）)＝－f′(eq\f（π,4))sineq\f(π，4)＋coseq\f（π,4），所以f′(eq\f(π,4））＝eq\r（2)－1.故f(eq\f(π，4））＝f′（eq\f(π,4)）coseq\f（π,4)＋sineq\f(π,4)＝1。18．(2018·山西太原期中)設曲線y＝eq\f（1,x)在點（1，1)處的切線與曲線y＝ex在點P處的切線垂直，則點P的坐標為________．答案（0,1）解析由y＝eq\f（1，x）得y′＝－eq\f（1,x2），所以曲線y＝eq\f（1，x）在點(1，1)處的切線的