八年級(jí)數(shù)學(xué) 實(shí)數(shù)(平方根與算術(shù)平方根)講義

八級(jí)學(xué)

第2實(shí)數(shù))知點(diǎn)：理、無(wú)理數(shù)的概念無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)．學(xué)習(xí)無(wú)理數(shù)應(yīng)把握住無(wú)理數(shù)的三個(gè)特征無(wú)數(shù)是小數(shù)②理數(shù)是無(wú)限小數(shù)③無(wú)理數(shù)是不循環(huán)小數(shù)．判斷一個(gè)數(shù)是否是無(wú)理數(shù)對(duì)照這三個(gè)特征一個(gè)也不能少．、有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的區(qū)別事實(shí)上有理數(shù)總可以用有限小或無(wú)限循環(huán)小數(shù)來(lái)表示過(guò)來(lái)任何有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)也都是有理數(shù)．如3可看這的有限小數(shù)，也可以化為這的分?jǐn)?shù)形式；無(wú)限循環(huán)小數(shù)都以化為分?jǐn)?shù)，如3.14可為例把下列小數(shù)化成分?jǐn)?shù)：(1)0.6；(2)；(3)有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的主要區(qū)別無(wú)數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)理數(shù)是有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)；②任何一個(gè)有理都以化為分?jǐn)?shù)的形式，而無(wú)理數(shù)不能．【例】下列數(shù)中，哪些是有理數(shù)？哪些是無(wú)理數(shù)？－2.58755551?之的個(gè)數(shù)逐次加，，π－5.23，－.、無(wú)理數(shù)近似值的算方法無(wú)理數(shù)的估算用的是“夾逼法意掌握其應(yīng)用特.要估算無(wú)理數(shù)的近似值，第一步應(yīng)確定被估算無(wú)理數(shù)的整數(shù)取值范圍二步以較小整數(shù)逐步開(kāi)始加或以較大整數(shù)逐步開(kāi)始減0.1)，并求其平方，確定被估數(shù)的十分位；?繼下去，可以求出無(wú)理數(shù)的近似值．【例】面積的正方形的邊長(zhǎng)為x，請(qǐng)你答下列問(wèn)題．(1)x的數(shù)部分是多少？(2)把x的精確到十分是多少？精確到百分位呢？(3)x是理數(shù)嗎？請(qǐng)簡(jiǎn)說(shuō)明理由．、無(wú)理數(shù)的常見(jiàn)類(lèi)判斷一個(gè)數(shù)是不是無(wú)理數(shù)鍵是看它能不能寫(xiě)成無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)理常見(jiàn)的形式主要有三種：(1)一般的無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，如213?數(shù)看似循環(huán)而實(shí)質(zhì)不循環(huán)的小數(shù)，如?兩間0的數(shù)逐次增加1)是無(wú)理數(shù)．(2)圓周率以π的，π，2，π＋，都是無(wú)理數(shù)．(3)開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，如

、

?數(shù)【例】下列數(shù)，哪些是有理數(shù)？哪些是無(wú)理數(shù)？

222222222222π··11，4,0.121.112211?鄰兩個(gè)2之的數(shù)逐次加3.141592，，

，

、無(wú)理數(shù)的應(yīng)用【例】如圖示，要從離地面m的電線桿上的處向地面C處一條鋼絲繩來(lái)固定電線桿，要固定點(diǎn)C到處的距離為3，求鋼絲繩BC的度精到十分位．知點(diǎn)：方根、平方根的概念：如果一個(gè)數(shù)的方等于，即x＝a，那么這個(gè)數(shù)x就做的平方根也叫做二次方根＝9，所以3是平方根．－所以9的方根是和－

＝9，以是9的平方根，、平方根的表示方法：正數(shù)a的方可記作“±a作正、負(fù)根a”讀作“根號(hào)被開(kāi)方數(shù)．例如的平方根可表示為±2.、平方根的性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)0只一個(gè)平方根它是0本身；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根．【例】求下各數(shù)的平方根：；－7)

；.【例】下列數(shù)有平方根嗎？如果有，求出它的平方根；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．；；(3)9；(4)|；(5)知點(diǎn)：術(shù)平方根

、算術(shù)平方根的概念：如果一個(gè)正數(shù)x的方等于，即做a的算術(shù)平方根．

＝a，那么這個(gè)正數(shù)就、算術(shù)平方根的表示方法：正數(shù)的算術(shù)平方根記作“a作“根號(hào)、算術(shù)平方根的性質(zhì)：正數(shù)有一個(gè)正的算術(shù)平方根算術(shù)平方根是；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，當(dāng)然也沒(méi)有算術(shù)平方根．【例】求下各數(shù)的算術(shù)平方根：(1)0.09；.知點(diǎn)：平方求一個(gè)數(shù)a≥0)平方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)平方，其中a叫被開(kāi)方數(shù)．開(kāi)平方運(yùn)算是已知指數(shù)和冪求底數(shù)．因平方和開(kāi)平方互逆，故可通過(guò)平方來(lái)尋找一個(gè)數(shù)的平方根，也可以利用平方驗(yàn)算所求平方根是否正確．

22222222222222222222222222222222222222222222222222(2)開(kāi)平方與平方互為逆運(yùn)算，正、負(fù)數(shù)0可進(jìn)行“平方”運(yùn)算，且“平方”的結(jié)果只有一個(gè)；但“開(kāi)平方”只有正數(shù)才可以，負(fù)數(shù)不能開(kāi)平方，且正數(shù)開(kāi)方時(shí)有兩個(gè)結(jié)果．(3)對(duì)于生活和生產(chǎn)中的已知面積長(zhǎng)度的問(wèn)題，一般可用開(kāi)平方加以解決．【例】小明計(jì)劃用塊方形的地板磚鋪面積是m的廳，試問(wèn)小明家需要購(gòu)買(mǎi)邊長(zhǎng)是多少的地板磚？知點(diǎn)：a與(a的關(guān)系表示a的術(shù)平方根，依據(jù)算術(shù)平方根的定義

＝a(≥0).a

表示

2

的算術(shù)平方根，依據(jù)算術(shù)平方根的定義，若≥0，a

的算術(shù)平方根為a；若a，則a

2

的算術(shù)平方根為－，即a＝a＝(1)區(qū)別：①意義不同(a)表非負(fù)數(shù)的術(shù)方根的平方；a表實(shí)數(shù)的方的算術(shù)平方根取值范圍不a)

中的a為負(fù)數(shù)≥0；a

2

中的任意數(shù)運(yùn)算順序不同：是求a的術(shù)平方根，再求它的算術(shù)方根的平方；是求a的平方，再求平方后的算術(shù)平方根．④寫(xiě)法不同．()中冪指數(shù)在號(hào)的外面；而在中冪數(shù)2在號(hào)的里面．⑤運(yùn)算結(jié)果不同：a)＝a；＝a＝)聯(lián)系①在運(yùn)算時(shí)，都平方和開(kāi)平方的運(yùn)算．②兩式運(yùn)算的結(jié)果都是非負(fù)數(shù)，即(≥，≥③當(dāng)a≥0時(shí)，有a)＝a.【例】化簡(jiǎn)：6)＝__________(＝__________.【例10(1)(3)的平方根．

的平方根；計(jì)算144(3)(π3.142)

的算術(shù)平方根(4)求【例】求下各式的值：(1)±81

－16；

；

(－.知點(diǎn)：負(fù)的質(zhì)1、非負(fù)數(shù)：|a|、a、

；、幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則個(gè)非負(fù)數(shù)都為0.3、幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為非負(fù)數(shù)【例12若－x＋y＝，則＝__________＝【例13若m＋n5＝，則m__________，n

221221【例14如果＝

x－＋－xx＋

2

＋2013成，求x＋－值課內(nèi)練：1填空:0.3516，

23

，3.14159，6，5.2323332?，31234567891011?繼的正整數(shù)組成)，

1416.751755551π?7,1之間5個(gè)數(shù)逐次加1),0，，－－.2?有理數(shù)集合2、斷下列說(shuō)法是否正確

?無(wú)理數(shù)集合(1)有限小數(shù)是有理數(shù);（）

無(wú)限小數(shù)都是無(wú)理數(shù);

（）(3)無(wú)理數(shù)都是無(wú)限小數(shù);

（）

有理數(shù)是有限數(shù).

（）3、以下各方形的邊長(zhǎng)是無(wú)理數(shù)的是（）(A）面積為2