《讓小學(xué)生學(xué)會十種數(shù)學(xué)思考方法》論文

一、 讓小學(xué)生學(xué)會“分類思考法”分類既是一種數(shù)學(xué)思考方法，又是自然科學(xué)及社會科學(xué)研究中的基本邏輯方法。數(shù)學(xué)的分類思想方法體現(xiàn)對數(shù)學(xué)對象的分類及其分類的標(biāo)準(zhǔn)。如對自然數(shù)的分類，若按能否被2整除可分為奇數(shù)和偶數(shù)，若按約數(shù)的個數(shù)分則可分為質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1。又如三角形既可按角分，也可按邊分。不同的分類標(biāo)準(zhǔn)就會有不同的分類結(jié)果，從而產(chǎn)生新的概念。對數(shù)學(xué)對象的正確、合理分類取決于分類標(biāo)準(zhǔn)的正確、合理性。數(shù)學(xué)知識的分類有助于學(xué)生對知識的梳理和建構(gòu)。例如把1、2、320這二十個自然數(shù)分類。二、 讓小學(xué)生學(xué)會“符號思考法”西方較早地在數(shù)學(xué)研究中引進(jìn)了符號，十六世紀(jì)數(shù)學(xué)家韋達(dá)對數(shù)學(xué)符號作了很多改進(jìn)，并且第一個有意識地系統(tǒng)地用字母表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪，帶來了代數(shù)學(xué)研究的重大拓展，奠定了符號代數(shù)的基礎(chǔ)，后來大數(shù)學(xué)家笛卡兒對韋達(dá)使用的字母又作了改進(jìn)。用符號化的語言(包括字母、數(shù)字、圖形和各種特定的符號)來描述數(shù)學(xué)的內(nèi)容，這就是符號思考方法。在數(shù)學(xué)中各種量的關(guān)系，量的變化以及量與量之間進(jìn)行推導(dǎo)和演算，都是用小小的字母表示數(shù)，以符號的濃縮形式來表達(dá)大量的信息，如乘法分配律(a+b)xc=axc+bxc，這里的a、b、c不僅可以表示1、2、3，也可以表示4、5、6、7長方形的面積計算公式s=axb，不管世界上有多少個不同的長方形，都可用它計算出來。又如在“有余數(shù)的除法”教學(xué)中，最后出現(xiàn)一道思考題：“六一”聯(lián)歡會上，小明按照3個紅氣球、2個黃氣球、1個藍(lán)氣球的順序把氣球串起來裝飾教室。你能知道第24個氣球是什么顏色的嗎？解決這個問題，學(xué)生可以有多種方法。如，用書寫簡便的字母a、b、c分別表示紅、黃、藍(lán)氣球，則按照題意可以轉(zhuǎn)化成如下符號形式：aaabbcaaabbcaaabbcaaabbc 從而可以直觀地找出氣球的排列規(guī)律，并推出第24個氣球是藍(lán)色的。上例所分析的這些都是符號思想的具體體現(xiàn)，它們將所有的數(shù)據(jù)實例集為一體，把復(fù)雜的語言文字?jǐn)⑹鲇煤啙嵜髁说淖帜腹奖硎境鰜?，便于記憶，便于運(yùn)用，正如華羅庚所說的“數(shù)學(xué)的特點是抽象，正因為如此，用符號表示就更具有廣泛的應(yīng)用性與優(yōu)越性”。三、 讓小學(xué)生學(xué)會“類比思考法”類比方法具有啟發(fā)思路、提供線索、觸類旁通的作用。如教學(xué)比的基本性質(zhì)，需要引導(dǎo)學(xué)生把它與分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、商不變的性質(zhì)進(jìn)行橫向類比溝通。又如講平行四邊形時，先復(fù)習(xí)三角形的有關(guān)知識，然后以三角形為基礎(chǔ)，把平行四邊形與三角形進(jìn)行類比，建立平行四邊形諸如邊、頂點、角、底、高等概念體系，使學(xué)生不僅在類比的情境中建立新概念，發(fā)現(xiàn)新問題，而且學(xué)到研究事物的方法。在解題教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生面對一個比較生疏或比較復(fù)雜的問題而一籌莫展時，啟發(fā)他們?nèi)ふ伊硪粋€比較熟悉或比較簡單的問題作為類比對象。有時原問題與類比對象的解決途徑和方法比較類似；有時類比對象的解決途徑和方法提供了一種解決類似問題的模式或程序。因此，通過類比啟發(fā)，可獲得原問題的解決途徑和方法。如教完“工作問題”后，出示這樣一道題：甲乙兩輛汽車同時從兩地相對開出，經(jīng)過6小時相遇。己知甲車行完全程要10小時，乙車行完全程要幾小時？有意引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“行程問題”與“工作問題”的相似之處，在鼓勵學(xué)生觀察、聯(lián)想、類比后，學(xué)生茅塞頓開，恍然大悟，思維得到了啟迪，解題思路得到了溝通，嘗試了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的快樂，也使他們的認(rèn)識產(chǎn)生了由感性到理性的升華。四、 讓小學(xué)生學(xué)會“集合思考法”集合思想是近代數(shù)學(xué)的最基本思想，許多重要的數(shù)學(xué)分支，如數(shù)理邏輯、實變函數(shù)、概率統(tǒng)計等都建立在集合理論的基礎(chǔ)上。小學(xué)數(shù)學(xué)采用直觀手段，利用圖形和實物滲透集合的思想。如在數(shù)的認(rèn)識時出現(xiàn)韋恩圖，在講述公約數(shù)和公倍數(shù)時孕伏了交集的思想方法。把一組對象放在一起，作為討論的范圍，這是人類早期就有的思想方法，繼而把一定程度抽象了的思維對象，如數(shù)學(xué)上的點、數(shù)、式放在一起作為研究對象，這種思想就是集合思想。集合思想作為一種思想，在小學(xué)數(shù)學(xué)中就有所體現(xiàn)。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，集合概念是通過畫集合圖的辦法來滲透的。如用圓圈圖（韋恩圖）向?qū)W生直觀的滲透集合概念。讓他們感知圈內(nèi)的物體具有某種共同的屬性，可以看作一個整體，這個整體就是一個集合。利用圖形間的關(guān)系則可向?qū)W生滲透集合之間的關(guān)系，如長方形集合包含正方形集合，平行四邊形集合包含長方形集合，四邊形集合又包含平行四邊行集合等。五、讓小學(xué)生學(xué)會“數(shù)形結(jié)合思考法”數(shù)與形是現(xiàn)實世界中客觀事物的抽象與反映，是數(shù)學(xué)的兩大支柱。由數(shù)想形，以形輔數(shù)，數(shù)形結(jié)合，可以幫助學(xué)生從不同側(cè)面認(rèn)識和理解數(shù)學(xué)知識，是幫助學(xué)生正確理解題意，找到解決問題的方法而進(jìn)行思維過渡的中間環(huán)節(jié)。表現(xiàn)為：（1）以形輔數(shù)，對抽象的數(shù)學(xué)問題賦予直觀圖形意義，即通過線段圖、樹形圖，或集合圖來幫助學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系，使復(fù)雜問題明朗化。（2）以數(shù)助形，對直觀圖形賦予數(shù)的意義，要求根據(jù)直觀圖形抽象為數(shù)的問題。如較復(fù)雜的平面或空間圖形問題，可運(yùn)用數(shù)量關(guān)系、公式、法則、計算等手段，使之轉(zhuǎn)化為簡單的數(shù)量關(guān)系來處理。六、讓小學(xué)生學(xué)會“轉(zhuǎn)化思考法”轉(zhuǎn)化是解決問題的一種最基本的思想方法。數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)之一是使學(xué)生學(xué)會怎樣去化繁就簡、化難為易、化陌生為熟悉、化未知為己知。如整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)可以相互轉(zhuǎn)化；幾何形體中的等積轉(zhuǎn)化，都是轉(zhuǎn)化思想的具體體現(xiàn)。教學(xué)時通過數(shù)的計算，使學(xué)生了解加與減、乘與除可以相互轉(zhuǎn)化，并掌握轉(zhuǎn)化的方法；通過正歸一的應(yīng)用題用反歸一的方法來解答，形成矛盾在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化的觀點；通過方程的教學(xué)，使學(xué)生了解方程的同解變化，理解未知轉(zhuǎn)化為已知，繁雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題是處理問題的一種策略。數(shù)學(xué)解題過程的本質(zhì)就是運(yùn)用數(shù)學(xué)體系內(nèi)部各對象間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科間的內(nèi)在聯(lián)系，不斷轉(zhuǎn)化問題的已知條件和求解目標(biāo)，發(fā)現(xiàn)已知條件與求解目標(biāo)間的內(nèi)在聯(lián)系，實現(xiàn)己知探索未知的目標(biāo)。如買4雙球鞋與12雙布鞋的價錢相等，買2雙球鞋與3雙布鞋要付29.7元，球鞋和布鞋每雙各多少元？由已知條件可以推知，2雙球鞋價等于6雙布鞋價，用6雙布鞋“替代”2雙球鞋，把“買2雙球鞋和3雙布鞋要付29.7元”轉(zhuǎn)化為“買6雙布鞋和3雙布鞋要付29.7元”，問題也就迎刃而解了。七、讓小學(xué)生學(xué)會“歸納思考法”歸納是由特殊到一般的思維方法，也是人類認(rèn)識世界的基本方法和普遍規(guī)律之一。教材中提供的歸納材料很多，第一類是概念、法則、性質(zhì)的歸納，大多采取"特殊實例展示—本質(zhì)屬性抽象—一般事物的推廣”的方式給出歸納過程。如直徑1厘米的圓周長約3.14厘米，直徑2厘米的圓周長約是6.28厘米，直徑3厘米的圓周長約是9.42厘米，……從中可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，一個圓的周長是直徑的3倍多一些。第二類是解題方法的歸納，我們不但要重視解題中間過程的歸納，還應(yīng)重視解題開始和解題之后的歸納。解題開始時的歸納可以確定解題方向，明確解題思路；解題之后的歸納可以總結(jié)解題經(jīng)驗。如通過對幾道求平均數(shù)應(yīng)用題的分析（為思維定向）、解答，總結(jié)出數(shù)量關(guān)系：總數(shù)量三份數(shù)=平均數(shù)。第三類是用于指導(dǎo)解題的歸納猜想，即從問題出發(fā)，研究其特殊情形，通過假設(shè)、嘗試、推理，歸納出結(jié)論。如把一個邊長為a厘米的正方形框架，改成周長不變的長方形框架，面積比原來減少25平方厘米，那么長方形的長比正方形的邊長長多少厘米？該題沒有告訴a的值，可假設(shè)a=10厘米，則S=100平方厘米，如果長方形的長比正方形邊長長1厘米，則長方形面積就是11x9=99（平方厘米），比原面積少1平方厘米（1x1平方厘米）；如果長方形的長比正方形的邊長長2厘米，則長方形面積為12x8=96（平方厘米），比原面積減少4平方厘米（2x2平方厘米）。由此可以歸納出：如果面積減少25平方厘米（5x5平方厘米），則長方形的長比正方形的邊長長5厘米。八、讓小學(xué)生學(xué)會“對應(yīng)思考法”對應(yīng)是人們對兩個集合元素之間的聯(lián)系的一種思想方法。小學(xué)數(shù)學(xué)一般是一一對應(yīng)的直觀圖表，并以此孕伏函數(shù)思想。如直線（數(shù)軸）上的點與表示具體大小的數(shù)的一一對應(yīng)，又如分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中一個具體數(shù)量與一個抽象分?jǐn)?shù)（分率）的對應(yīng)等。對應(yīng)思想也是解答一般應(yīng)用題的常見方法。對應(yīng)是人的思維對兩個集合間問題聯(lián)系的把握，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個最基本的概念。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中主要利用虛線、實線、箭頭、計數(shù)器等圖形將元素與元素、實物與實物、數(shù)與算式、量與量聯(lián)系起來，滲透對應(yīng)思想。如一年級上冊教材中，分別將小兔和磚頭、小豬和木頭、小白兔和蘿卜、蘋果和梨一一對應(yīng)后，進(jìn)行多少的比較學(xué)習(xí)，向?qū)W生滲透了事物間的對應(yīng)關(guān)系，為學(xué)生解決問題提供了思想方法。九、讓小學(xué)生學(xué)會“函數(shù)思考法”恩格斯說：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點是笛卡兒的變數(shù)。有了變數(shù)，運(yùn)動進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了?！蔽覀冎溃\(yùn)動、變化是客觀事物的本質(zhì)屬性。函數(shù)思想的可貴之處正在于它是運(yùn)動、變化的觀點去反映客觀事物數(shù)量間的相互聯(lián)系和內(nèi)在規(guī)律的。學(xué)生對函數(shù)概念的理解有一個過程。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師在處理一些問題時就要做到心中有函數(shù)思想，注意滲透函數(shù)思想。函數(shù)思想在人教版一年級上冊教材中就有滲透。如讓學(xué)生觀察《20以內(nèi)進(jìn)位加法表》，發(fā)現(xiàn)加數(shù)的變化引起的和的變化的規(guī)律等，都較好的滲透了函數(shù)的思想，其目的都在于幫助學(xué)生形成初步的函數(shù)概念。又如六年級正反比例也具有函數(shù)的思想方法。十、讓小