初等數(shù)學(xué)知識點補充

初等數(shù)學(xué)補充知識1.公約數(shù)和最大公約數(shù)幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。

例如：12的約數(shù)有：1，2，3，4，6，12；

18的約數(shù)有：1，2，3，6，9，18。

12和18的公約數(shù)有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公約數(shù)，記作（12，18）=6。

2.公倍數(shù)和最小公倍數(shù)

幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。

例如：12的倍數(shù)有：12，24，36，48，60，72，84，…

18的倍數(shù)有：18，36，54，72，90，…

12和18的公倍數(shù)有：36，72，….其中36是12和18的最小公倍數(shù)，記作[12，18]=363、1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)．這樣，自然數(shù)在按約數(shù)個數(shù)分類，可以分成：質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1．偶數(shù)中只有2是質(zhì)數(shù)，而且是所有質(zhì)數(shù)中最小的一個．除2以外所有的偶數(shù)都是合數(shù)，除2以外所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)．每個合數(shù)都可以寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式，這幾個質(zhì)數(shù)就叫做這個合數(shù)的質(zhì)因數(shù)．例如，因為70=2×5×7，所以2，5，7是70的質(zhì)因數(shù)．把一個合數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)．例如，60=2×2×3×5=22×3×5，把60這個合數(shù)用2×2×3×5或22×3×5的形式來表示，就是把60分解質(zhì)因數(shù)．例1兩個質(zhì)數(shù)的積是46，求這兩個質(zhì)數(shù)的和．分析：兩個質(zhì)數(shù)的積是46，46是偶數(shù)，只能是一個奇質(zhì)數(shù)與一個偶質(zhì)數(shù)的積，而偶質(zhì)數(shù)只有2，因此很容易得出另外的質(zhì)數(shù)，從而問題得以解決．解：因為46是偶數(shù)，因此它必是一個奇質(zhì)數(shù)與一個偶質(zhì)數(shù)的積，而偶質(zhì)數(shù)只有2，另一質(zhì)數(shù)46÷2=23，所以2與23的和為25．例2用2，3，4，5中的三個數(shù)能組成哪些三位質(zhì)數(shù)？分析：首先考慮個位數(shù)字是幾，如果個位數(shù)字是2或4，這樣的三位數(shù)必能被2整除，因此這樣的三位數(shù)不會是質(zhì)數(shù)，如果個位數(shù)字是5，這樣的三位數(shù)必能被5整除，這樣的三位數(shù)也不會是質(zhì)數(shù)，所以個位數(shù)字只能是3，再由剩下的三個數(shù)字組成百位、十位，得出個位數(shù)字是3的三位數(shù)為：243，423，253，523，453，543，最后根據(jù)質(zhì)數(shù)的判斷方法，得到所求的質(zhì)數(shù)．解：如果組成的三位數(shù)的個位數(shù)字是2、4、5時，這個數(shù)必能被2或5整除，因此個位數(shù)字只能是3，而個位數(shù)字是3的三位數(shù)有243，423，253，523，453，543，其中243，423，453，543均能被3整除，253能被11整除，所以只有523是質(zhì)數(shù)．質(zhì)數(shù)的判斷方法是，當(dāng)一個數(shù)比較小時，用定義直接判斷，但這個數(shù)比較大時，通常采用查質(zhì)數(shù)表，最好記住100以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)．在沒有質(zhì)數(shù)表的情況下，可以用質(zhì)數(shù)從小到大的順序逐個地去試除．如果能被其中某一個質(zhì)數(shù)整除，就說明這個數(shù)是合數(shù)，如果除到商已比試除的質(zhì)數(shù)小，還不能被這些質(zhì)數(shù)中的任何一個整除，那么這個數(shù)一定是質(zhì)數(shù)．例如，判斷100以內(nèi)的數(shù)是否是質(zhì)數(shù)，只需用2、3、5、7這四個質(zhì)數(shù)去試除，如果沒有一個能整除它，這個數(shù)一定是質(zhì)數(shù)，否則不是質(zhì)數(shù)．判斷97是不是質(zhì)數(shù)，因為97不能被2，3，5，7中的任何一個整除，因此97是質(zhì)數(shù)．為什么不必去試除比97小的所有的質(zhì)數(shù)呢？因為97不能被2，3，5，7中的任何一個整除，它就一定不能被4，6，8，9，10等數(shù)（分別為2，3，5的倍數(shù)）整除，又因為，如果用11或大于11的質(zhì)數(shù)去試除，97÷11=8…9，97÷13=7…6，其商為8、7，比除數(shù)還小，都已試除過，因此判斷100以內(nèi)的數(shù)是否是質(zhì)數(shù)只需用2，3，5，7去試除．判斷200以內(nèi)的數(shù)是否是質(zhì)數(shù)，只需用2，3，5，7，11，13，17這七個質(zhì)數(shù)去試除；判斷300以內(nèi)的質(zhì)數(shù)，只需用2到17這七個質(zhì)數(shù)去試除；判斷400以內(nèi)的質(zhì)數(shù)，只需用20以內(nèi)的八個質(zhì)數(shù)與去試除；判斷500以內(nèi)的質(zhì)數(shù)，只需2到23的質(zhì)數(shù)去試除．其余可用類似的方法推出，你可以思考一下1000以內(nèi)的質(zhì)數(shù)如何判斷？例3將40，44，45，63，65，78，99，105這八個數(shù)平分成兩組，使每組四個數(shù)的乘積相等．分析：如果采用觀察、計算調(diào)整的方法是比較麻煩的．要使兩組數(shù)的乘積相等，只有兩組數(shù)中的質(zhì)因數(shù)相同，而且質(zhì)因數(shù)的個數(shù)也相同，就可以了，所以從這八個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)入手，根據(jù)各質(zhì)因數(shù)的個數(shù)，進(jìn)行適當(dāng)?shù)拇钆?，便能找出問題的答案．解：將八個數(shù)分解成質(zhì)因數(shù)：40=23×544=22×1145=32×563=32×765=5×1378=2×3×1399=32×11105=3×5×7這八個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后一共有6個2，8個3，4個5，2個7，2個11，2個13．因此，這八個數(shù)被分成兩組后，每一組應(yīng)含有3個2，4個3，2個5，1個7，1個11，1個13，這樣可以得到兩組分別為：40，63，65，99和44，45，78，105．例4九個連續(xù)自然數(shù)中至多有四個質(zhì)數(shù)，例如1至9中有2、3、5、7四個質(zhì)數(shù)．請在200以內(nèi)再找出五組這樣的質(zhì)數(shù)．分析：9個連續(xù)自然數(shù)中至多有5個奇數(shù)．在兩位數(shù)中，個位是5的數(shù)必能被5整除，而且三個連續(xù)的奇數(shù)必有一個能被3整除，所以只有當(dāng)個位數(shù)字為5的兩位數(shù)又能被3整除時，其余的四個奇數(shù)才有可能是質(zhì)數(shù)．當(dāng)找到一組這樣的兩位以上的質(zhì)數(shù)時，另一組與這組對應(yīng)的數(shù)的差必定是30的倍數(shù)．按照上述辦法找出后，再根據(jù)質(zhì)數(shù)的判斷方法去篩選就可得出結(jié)果．首先容易得出3，5，7，11；5，7，11，13；在兩位數(shù)中，按照上面的方法可得出以下各組數(shù)：11，13，15，17，19；41，43，45，47，49；71，73，75，77，79；101，103，105，107，109；131，133，135，137，139；161，163，165，167，169；191，193，195，197，199；根據(jù)質(zhì)數(shù)的判斷方法可以得出兩位數(shù)中還有11，13，17，19；101，103，107，109；191，193，197，199這三組符合條件．解：200以內(nèi)另外五組這樣的質(zhì)數(shù)為：3，5，7，11；5，7，11，13；11，13，17，19；101，103，107，109；191，193，197，199歸一問題歸一問題是一類典型應(yīng)用題．這類問題是用等分除法求出一個單位的數(shù)值（單一量）之后，再求出題目所要求解的問題．解答歸一問題的方法，叫做歸一法．歸一問題可以分為兩種：一種是求總量的，叫做正歸一問題；另一種是求份數(shù)的，叫做反歸一問題．歸一問題在日常生活和生產(chǎn)中經(jīng)常遇到．例1某紡織廠有32臺織布機(jī)，10天可織布4萬米，后來改進(jìn)操作規(guī)程，每臺織布機(jī)每天多織5米，照這樣的速度生產(chǎn)，如果該紡織廠又增加同樣的織布機(jī)4臺，20天可織布多少萬米？分析：要求20天織布多少米，必須先求出改進(jìn)操作規(guī)程前每天每臺織布機(jī)織多少米，然后求出改進(jìn)操作規(guī)程后每天每臺織布機(jī)織多少米，就是“單一量”．這樣便容易求出20天織布多少米．解：（1）改革操作規(guī)程前，每天每臺織布機(jī)織布40000÷32÷10=125（米）（2）改進(jìn)操作規(guī)程后，每天每臺織布機(jī)織布125+5=130（米）（3）（32+4）臺織布機(jī)，20天可織布130×（32＋4）×20=93600（米）=9.36（萬米）綜合算式（40000÷32÷10＋5）×（32＋4）×20=（125＋5）×36×20=130×36×20=93600（米）=9.36（萬米）答：36臺織布機(jī)，20天可織布9.36萬米．例2某工廠一個車間，原計劃20人4天做1280個零件，剛要開始生產(chǎn)，又增加了新任務(wù)，在工作效率相同的情況下，需要15個人7天才能全部完成，問增加了多少個零件？分析：要求增加了多少個零件，只需先求出每人每天生產(chǎn)多少個零件，然后求出15個人7天生產(chǎn)的零件數(shù)，最后用它減去1280個零件就可得出所要求的問題．解：（1）每人每天生產(chǎn)的零件數(shù)1280÷20÷4=16（個）（2）15人7天生產(chǎn)的零件數(shù)16×15×7=1680（個）（3）增加的零件數(shù)1680-1280=400（個）綜合算式（1280÷20÷4）×15×7-1280=16×15×7-1280=1680-1280=400（個）答：增加了400個零件．例3某農(nóng)場收割麥子，計劃18人每天6小時15天收割完，后來為了加快速度，實際每天增加了9人，并且工作時間增加了2小時，實際比原計劃提前了幾天完成這項任務(wù)？分析：這題工作總量沒有發(fā)生變化，只是人數(shù)和時間發(fā)生了變化．首先先求出工作總量，再求出實際工作的天數(shù)，便可以求出提前的天數(shù)．解：設(shè)一人工作一小時為一“工時”．（1）工作總量為18×6×15=1620（工時）（2）（18＋9）人工作的小時數(shù)1620÷（18＋9）=60（小時）（3）實際工作的天數(shù)60÷（6＋2）=7.5（天）（4）實際比原計劃提前的天數(shù)15-7.5=7.5（天）綜合算式15-18×6×15÷（18+9）÷（6＋2）=15-1620÷27÷8=15-7.5=7.5（天）答：實際比原計劃提前了7.5天．例4一項工程預(yù)計28天完成，先由20個人去做8天，完成了工程的分析：要想求出需要增加多少名工人，只需先求出完成全部工程所需的減去原有人數(shù)，即為增加的工人數(shù)．解：設(shè)一人工作一天為一“日工”（1）完成全部工程所需的工作總量（2）剩余工程所需的工作量（3）在20天里完成剩余工程需要的工人數(shù)480÷（28-8）=24（人）（4）增加的工人數(shù)24-20=4（人）綜合列式=480÷20-20=24-20=4（人）答：還需要增加4名工人．例5有一只鬧鐘和一只手表，已知鬧鐘走1小時，手表要多走30秒，又已知在1小時的標(biāo)準(zhǔn)時間里，鬧鐘少走30秒，問這只手表的時間準(zhǔn)不準(zhǔn)？每小時相差多少？分析：初看起來，手表比鬧鐘快30秒，鬧鐘比標(biāo)準(zhǔn)時間慢30秒，一快一慢都是30秒，剛好抵消．這是錯誤的，因為手表多走30秒是手表上的30秒，鬧鐘比標(biāo)準(zhǔn)時間少走30秒是鬧鐘上的30秒，手表比鬧鐘走得快，因此手表走30秒的時間比鬧鐘走30秒的時間短，兩者無法抵消的．解這個問題的關(guān)鍵是先要計算在1小時（3600秒）的標(biāo)準(zhǔn)時間里鬧鐘走了多少秒，在這段時間里手表走了多少秒？與1小時（3600秒）的標(biāo)準(zhǔn)時間比較就可得出手表的誤差．解：（1）標(biāo)準(zhǔn)時間走3600秒時，鬧鐘走了3600-30=3570（秒）（2）鬧鐘走3600秒時，手表走了3600+30=3630（秒）（3）鬧鐘走1秒時，手表走了3630÷3600=121÷120（秒）（4）標(biāo)準(zhǔn)1小時（鬧鐘走3570秒時），手表走了121÷120×3570=121×3570÷120=3599.75（秒）（5）手表比標(biāo)準(zhǔn)1小時慢3600-3599.75=0.25（秒）綜合列式3600-（3600＋30）÷3600×（3600-30）＝3600-3630÷3600×3570=3600-3599.75=0.25（秒）答：這只手表每小時慢0.25秒．還原問題從問題的最后結(jié)果出發(fā)，運用加與減、乘與除的互逆關(guān)系，一步一步進(jìn)行逆推，即遇加用減，遇減用加，遇乘用除，遇除用乘，最后求出問題的解，這種解題的方法通常叫做還原法，或逆推法，這類應(yīng)用題通常叫做還原問題．例1某數(shù)加上2，乘以5，除以11，再減去8，結(jié)果是1，求這個數(shù)．分析：采用還原法思考，題中最后的結(jié)果是1，1是一個數(shù)減去8得到的，在沒減去8之前的數(shù)是8+1=9，9又是一個數(shù)除以11得到的，在沒除以11之前的數(shù)是9×11=99，而99又是一個數(shù)乘以5得到的，在沒乘以5之前的數(shù)是99÷5=19.8，19.8就是某數(shù)加上2得到的，因此在沒加2之前這個數(shù)為19.8-2=17.8．解（1）沒減去8之前的數(shù)8+1=9（2）沒除以11之前的數(shù)9×11=99（3）沒乘以5之前的數(shù)99÷5=19.8（4）沒加上2之前，某數(shù)19.8-2=17.8綜合算式（1+8）×11÷5-2=17.8答：這個數(shù)是17.8．平均數(shù)在日常生產(chǎn)和生活中，通過求平均數(shù)來說明問題的例子很多．例如，農(nóng)民根據(jù)平均畝產(chǎn)量看出產(chǎn)量的高低；學(xué)校根據(jù)同一年級的同一次考試各班的平均分?jǐn)?shù)，比較出各班的差異；等等．因此，學(xué)會求平均數(shù)是很有必要的．幾個數(shù)的和，再用它們的個數(shù)去除，就得到這幾個數(shù)的平均數(shù)．與平均數(shù)有關(guān)的問題叫做平均數(shù)問題．解答平均數(shù)問題的基本公式是平均數(shù)=總數(shù)÷總份數(shù)總份數(shù)=總數(shù)÷平均數(shù)總數(shù)=平均數(shù)×總份數(shù)例1小寧在期末考試時，語文、數(shù)學(xué)、英語三科平均分?jǐn)?shù)是93分，語文、數(shù)學(xué)平均90.5分，數(shù)學(xué)、英語平均97分．問他的三科成績各是多少？分析：已知三科的平均分?jǐn)?shù)是93分，那么這三科的總分?jǐn)?shù)為93×3=279分，由語文、數(shù)學(xué)平均90.5分，則知這兩科的總分?jǐn)?shù)為90.5×2=181分，用三科的總分?jǐn)?shù)減去這兩科的總分?jǐn)?shù)279-181=98分，即為英語的分?jǐn)?shù)；同樣，再由數(shù)學(xué)、英語平均97分，知道這兩科的總分?jǐn)?shù)為97×2=194分，用三科的總分?jǐn)?shù)減去這兩科的總分?jǐn)?shù)279-194=85分，即為語文的分?jǐn)?shù)；最后用三科的總分?jǐn)?shù)減去語文、英語的分?jǐn)?shù)就得到數(shù)學(xué)的分?jǐn)?shù)．解：（1）這三科的總分?jǐn)?shù)93×3=279（分）（2）語文、數(shù)學(xué)的總分?jǐn)?shù)90.5×2=181（分）（3）英語的分?jǐn)?shù)279-181=98（分）（4）數(shù)學(xué)、英語的總分?jǐn)?shù)97×2=194（分）（5）語文的分?jǐn)?shù)279-194=85（分）（6）數(shù)學(xué)的分?jǐn)?shù)279-98-85=96（分）答：小寧的語文是85分，數(shù)學(xué)是96分，英語是98分．例2一個氣象站每天早晨測量室外溫度，現(xiàn)已知某星期一至星期日這七天的平均溫度是25℃，并且知道星期一、三的溫度相同，它們比星期二高3.5℃，星期二、四的溫度相同，它們比星期五低1℃，星期六、日的溫度相同，它們比星期五高2℃，問這七天的溫度分別是多少？分析：由已知我們可以看出有四天的溫度與星期五的溫度有關(guān)，星期一、三兩天的溫度比星期二高3.5℃，星期二的溫度比星期五低1℃，由此可知，星期一、三的溫度比星期五的溫度高3.5-1=2.5℃，這樣七天中有六天與星期五的溫度有關(guān)，把星期五的溫度作為基準(zhǔn)數(shù)，這六天的溫度比星期五的溫度共高2.5×2-1×2＋2×2=7℃，再用這七天的總度數(shù)減去7℃，就是星期五的溫度的7倍，這樣星期五的溫度可以求出，從而問題便可以解決．解：（1）七天的總度數(shù)25×7=175（℃）（2）六天比星期五共高的度數(shù)（3.5-1）×2-1×2+2×2=7（℃）（3）星期五的度數(shù)（175-7）÷7＝24（℃）（4）星期一、三的度數(shù)24＋3.5-1=26.5（℃）（5）星期二、四的度數(shù)24-1=23（℃）（6）星期六、日的度數(shù)24＋2=26（℃）答：星期一與星期三的溫度是26.5℃，星期二與星期四的溫度是23℃，星期五的溫度是24℃，星期六與星期日的溫度是26℃．例3甲、乙、丙三個學(xué)生各拿出相同的錢買相同的畫片，買來之后，甲、乙兩人都比丙各多買了9張畫片，因此他倆分別給了丙0.6元，問每張畫片多少錢？分析：三人拿出相同的錢買相同