北師大版七年級數(shù)學下冊培優(yōu)壓軸題專題練習匯總

北師大版七年級數(shù)學下冊培優(yōu)壓軸題專題練習匯總一．解答題（共8小題）1已知四邊形ABCD中，，∠ABC=120°∠MBN=60°∠MBN繞B點旋轉，它的兩邊分別交，（或它們的延長線）于，．當∠繞旋轉到AE=CF時（如圖1AE+CF=EF當∠繞B旋轉到AE≠CF時，在圖和圖3兩種情況下，上述結論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AECFEF又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想，不需證明．2邊形ABCD∠B=∠D=90°E別是邊BC上的點，且∠EAF=∠．求證：；如圖，在四邊ABCD中∠B+∠D=180°F別是邊、上的點，且∠EAF=∠中的結論是否仍然成立？如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD∠B+∠ADC=180°分別是邊BCCD延長線上的點，且∠EAF=∠中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關系，并證明．31完全相同的三角形紙片ABC和DEC合放置C=90°∠B=∠E=30°（1操作發(fā)現(xiàn)如圖定ABCDEC點轉點D好落在AB上時空：①線段AC的位置關系是；②設面積為

1

的面積為S與S的數(shù)量關系是．2（2猜想論證繞點C轉到如圖所示的位置時，小明猜想（1中S與的數(shù)量12關系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和中、邊上的高，請你證明小明的猜想．（3拓展探究已知∠ABC=60°點D是角平分線上一點，，DE∥AB交BC點E如圖線BA上存在點F使SDCF=S

△

，請直接寫出相應的BF長．4如圖，已知線段AB的長為，點PAB上的動點P與AB合分別以AP邊向線段AB同一側作正正PBD（1當APCPBD面積之和取最小值時，AP=

結果）連接ADBC相交于點Q∠AQC=α那么α大小是否會隨點P移動而變化？請說明理由；如圖定點順時針方向旋小于此時α大小是否發(fā)生變化？（只需直接寫出你的猜想，不必證明）5如圖，RtABC中，點D、E是線段AC上兩動點，且AD=ECAM垂直BD為MAM延長線交點N線BD與直線相交于點F試判斷的形狀，并加以證明．說明果你經(jīng)歷反復探索，沒有找到解決問題的方法，請你把探索過程中的某種思路寫出來（要求至少寫3明1的過程之后，可以從下列①、②中選取一個補充或者更換已知條件，完成你的證明．畫出沿BA方向平移BA，然后順時針旋轉后圖形；點K線段BD，且四邊形AKNC等腰梯形（AC∥KN如圖2附加題：如圖，若點DE直線AC上兩動點，其他條件不變，試判DEF的形狀，并說明理由．6圖知等邊三角形ABC中DF別為邊ABBC的中點，M為直線BC一動點DMN等邊三角形（M的位置改變時隨之整體移動如圖，當點M點B側時，請你判斷與MF有樣的數(shù)量關系？點F否在直線上？都請直接寫出結論，不必證明或說明理由；如圖2當點M在BC上時，其它條件不變的結論中EN與MF數(shù)量關系是否仍然成立？若成立，請利用圖2明；若不成立，請說明理由；（3若點M在點右側時，請你在圖3中畫出相應的圖形，并判斷（1的結論中MF數(shù)量關系是否仍然成立？若成立，請直接寫出結論，不必證明或說明理由．227已知：等邊三角形ABC如圖1為等外一點，且∠．試猜想線段BPAP間的數(shù)量關系，并證明你的猜想；如圖P為等邊ABC一點∠證＞BD．8認真閱讀材料，然后回答問題：我們初中學習了多項式的運算法則，相應的，我們可以計算出多項式的展開式，如=a+b

a+b3+3ab+3ab+b下面我們依次a+b展開式的各項系數(shù)進一步研究發(fā)現(xiàn)取正整數(shù)時可以單獨列成表中的形式：上面的多項式展開系數(shù)表稱為“楊輝三角形”仔細觀“輝三角形，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律回答下列問題：（1多項式（a+b的展開式是一個幾次幾項式？并預測第三項的系數(shù)；（2請你預測一下多項式（）n展開式的各項系數(shù)之和．（3結合上述材料，推斷出多項式a+b（取正整數(shù)）的展開式的各項系數(shù)之和為S字母n代數(shù)式表示參考答案與試題解析一．解答題（共8小題）1已知四邊形ABCD中，，∠ABC=120°∠MBN=60°∠MBN繞B點旋轉，它的兩邊分別交，（或它們的延長線）于，．當∠繞旋轉到AE=CF時（如圖1AE+CF=EF當∠繞B旋轉到AE≠CF時，在圖和圖3兩種情況下，上述結論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AECFEF又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想，不需證明．【解答】解：∵AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，AE=CF，中，，∴△ABE≌△（SAS∴∠ABE=∠，；∵∠ABC=120°∠MBN=60°∴∠ABE=∠CBF=30°，∴AE=BECF=BF∵∠MBN=60°BE=BF∴△BEF等邊三角形；∴AE+CF=BE+BF=BE=EF圖成立，圖不成立．證明圖．延長至點K使CK=AE連接BK，BCK，≌△，∴BE=BK，∠ABE=∠KBC∵∠FBE=60°∠ABC=120°∴∠∠ABE=60°∴∠∠，∴∠KBF=∠，∴△KBF≌△EBF∴KF=EF∴，即AE+CF=EF圖不成立，AECFEF關系是AE﹣CF=EF2邊形ABCD∠B=∠D=90°E別是邊BC上的點，且∠EAF=∠．求證：；（2如圖，在四邊ABCD∠B+∠D=180°E別是邊BC上的點，且∠EAF=∠中的結論是否仍然成立？（3如圖，在四邊形ABCD中，∠∠ADC=180°F分別是邊BCCD延長線上的點，且∠EAF=∠中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關系，并證明．【解答】證明延長到，使，連接AG∵∠ABG=∠ABC=D=90°，∴△ABG≌△ADF．∴，∠∠2∴∠1+3=∠∠3=EAF=∠BAD∴∠GAE=∠EAF又∵AE=AE，∴△≌△AEF∴．∵EG=BE+BG∴EF=BE+FD（2的結論EF=BE+FD仍然成立．（3結論不成立，應當是EF=BEFD證明：在BE上截取，使BG=DF連接AG∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°∴∠B=∠ADF．∵，∴△ABG≌△ADF．∴∠BAG=∠DAFAG=AF∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=∠．∴∠GAE=∠EAF∵AE=AE，∴△≌△AEF∴∵EG=BEBG∴EF=BE．=S=S31完全相同的三角形紙片ABC和DEC合放置C=90°∠B=∠E=30°（1操作發(fā)現(xiàn)如圖定ABCDEC點轉點D好落在AB上時空：①線段AC的位置關系是

DEAC

；②設面積為

1

面積為S與S的數(shù)量關系是S212

=S1

．（2猜想論證繞點C轉到如圖所示的位置時，小明猜想（1中S與的數(shù)量12關系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和中、邊上的高，請你證明小明的猜想．（3拓展探究已知∠ABC=60°點D是角平分線上一點，，∥AB交于點（如圖4BA上存在點F使S

△

DCF

△

，請直接寫出相應的BF的長．【解答】解①∵△繞點C旋轉點D恰好落在AB邊上，∴AC=CD∵∠BAC=90°∠B=90°，∴△ACD是等邊三角形，∴∠ACD=60°又∵∠CDE=∠BAC=60°∴∠ACD=∠，∴DE∥；②∵∠∠C=90°∴AB∴，根據(jù)等邊三角形的性質，△ACD的邊、AD的高相等，∴△BDC面積和△面積相等（等底等高的三角形的面積相等即S；1故答案為：DE∥；11△=S12211△=S12212（2如圖，∵△DEC由ABC點旋轉得到，∴，AC=CD∵∠ACN+∠∠DCM+∠BCN=180°，∴∠ACN=∠，∵在ACN和DCM中，，∴△ACN≌△DCMAAS∴AN=DM∴△BDC面積和△面積相等（等底等高的三角形的面積相等即S；1（3如圖，過點D作DF1

∥，易求四邊形BEDF

是菱形，所以，且BE上的高相等，1此時S

DCF1

△

；過點DDF2

⊥BD∵∠ABC=60°FD∥，∴∠FD=∠ABC=60°∵=DF，∠F11

BD=∠ABC=30°∠，∴∠F∠ABC=60°∴eq\o\ac(△,DF)eq\o\ac(△,)F1

是等邊三角形，∴DF=DF12

，∵BD=CD∠，點D是角平分線上一點，12122111212211∴∠DBC=DCB=×60°=30°∴∠CDF=180°∠BCD=180°，∠CDF=360°﹣，∴∠CDF∠CDF1

，∵在CDF

和中，2，∴△CDF≌△12

（∴點F

也是所求的點，∵∠ABC=60°點D角平分線上一點，DEAB，∴∠DBC=BDE=∠ABD=×60°=30°又∵BD=4∴BE=×4÷cos30°=2÷∴=，=BF1故的長為或．

，

=

，4如圖，已知線段AB的長為，點PAB上的動點P與AB合△△APCPBD△△APCPBD分別以AP邊向線段AB同一側作正正PBD當面積之和取最小值時，AP=a結果）連接ADBC相交于點Q∠AQC=α那么α大小是否會隨點P移動而變化？請說明理由；如圖定點順時針方向旋小于此時α大小是否發(fā)生變化？（只需直接寫出你的猜想，不必證明）【解答】解設的長是x則﹣x∴=x?

x+（﹣x?

（﹣x）x

2

2當

=

=a時APC面積之和取最小值，故答案為：；（2α大小不會隨點移動而變化，理由：∵△等邊三角形，∴PA=PC∠APC=60°，∵△等邊三角形，∴PB=PD∠BPD=60°∴∠APC=∠BPD∴∠APD=∠CPB∴△APD≌△CPB∴∠∠，∵∠∠QAC+∠，∴∠∠QAC+，∴∠AQC=180°（3此時大小不會發(fā)生改變，始終等于60°理由：∵△等邊三角形，∴PA=PC∠APC=60°，∵△等邊三角形，∴PB=PD∠BPD=60°∴∠APC=∠BPD∴∠APD=∠CPB∴△APD≌△CPB∴∠∠，∵∠∠QAC+∠，∴∠∠QAC+，∴∠AQC=180°5如圖，RtABC中，點D、E是線段AC上兩動點，且AD=ECAM垂直BD為MAM延長線交點N線BD與直線相交于點F試判斷的形狀，并加以證明．說明果你經(jīng)歷反復探索，沒有找到解決問題的方法，請你把探索過程中的某種思路寫出來（要求至少寫3明1的過程之后，可以從下列①、②中選取一個補充或者更換已知條件，完成你的證明．畫出沿BA方向平移BA，然后順時針旋轉后圖形；點K線段BD，且四邊形AKNC等腰梯形（AC∥KN如圖2附加題：如圖，若點DE直線AC上兩動點，其他條件不變，試判DEF的形狀，并說明理由．【解答】解等腰三角形證明：如圖，過點C作CPAC，交AN長線于點P∵RtABCAB=AC∴∠BAC=90°∠ACB=45°∴∠PCN=∠ACB∠∠ACP∵AM⊥∴∠∠BAM=∠∠∴∠∠∴△≌△∴AD=CP∠∠P∵AD=CE∴∵CN=CN∴△CPN≌△∴∠∠CEN∴∠CEN=∠ADB∴∠∠FED∴△DEF等腰三角形．附加題等腰三角形證明：過點C作CP⊥AC交AM的延長線于點∵RtABCAB=AC∴∠BAC=90°∠ACB=45°∴∠PCN=∠ACB=∠ECN∵AM⊥∴∠∠BAM=∠∠∴∠∠∴△≌△∴AD=CP∠D=∠∵AD=EC又∵CN=CN∴△CPN≌△∴∠∠∴∠D=∠∴△DEF等腰三角形．6圖知等邊三角形ABC中DF別為邊ABBC的中點，M為直線BC一動點DMN等邊三角形（M的位置改變時隨之整體移動如圖，當點M點B側時，請你判斷與MF有樣的數(shù)量關系？點F否在直線上？都請直接寫出結論，不必證明或說明理由；如圖2當點M在BC上時，其它條件不變的結論中EN與MF數(shù)量關系是否仍然成立？若成立，請利用圖2明；若不成立，請說明理由；（3若點M在點右側時，請你在圖3中畫出相應的圖形，并判斷（1的結論中MF數(shù)量關系是否仍然成立？若成立，請直接寫出結論，不必證明或說明理由．【解答】解判斷：EN與MF等（或EN=MF直線NE，（2成立．連接DF，證明DBM和DFN全（AAS∵△ABC等邊三角形，∴AB=AC=BC又∵D，，F(xiàn)三邊的中點，∴EF=DF=BF∵∠∠MDF=60°∠∠MDF=60°∴∠∠FDNDBMDFN中

，∴△DBM≌△，∴，∠DFN=∠，∴∥BD，∵E別為邊AC，BC中點，∴ABC的中位線，∴EFBD，∴F在直線，∵BF=EF∴MF=EN（3如圖③，MF等的結論仍然成立（或MF=NE立連接DFDE由（2知DE=DF∠NDE=∠FDMDN=DM，△，∴△DNE≌△DMF∴MF=NE7已知：等邊三角形ABC如圖1為等外一點，且∠．試猜想線段BPAP間的數(shù)量關系，并證明你的猜想；如圖P為等邊ABC一點∠證＞BD．【解答】猜想：AP=BP+PC（1證明：延長至，使，接，∵∠，∴∠CPE=60°，又PE=PC，∴△為邊三角形，∴CP=PE=CE∠，∵△ABC等邊三角形，∴AC=BC∠BCA=60°∴∠ACB=∠PCE∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP即：∠ACP=∠，∴△（∴，∵BE=BP+PE∴AP=BP+PC（2證明：在AD側作等邊eq\o\ac(△,)′D則點P在三角形ADB，連接PB'B'C∵∠APD=120°∴（1得PB′=AP+PD′C，有PB＞CB，∴＞CB，∵eq\o\ac(△,)′D△