人教b版選擇性必修第一冊1.2.4　二面角學(xué)案

1.2.4二面角學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能用向量語言表述平面與平面的夾角.2.能用向量方法解決簡單夾角問題,并能描述解決這一類問題的程序,體會向量方法在研究幾何問題中的作用.兩個半平面所組成的圖形稱為二面角,這條直線稱為二面角的棱,這兩個半平面稱為二面角的面.在二面角α-l-β的棱上任取一點(diǎn)O,以O(shè)為垂足,分別在半平面α和β內(nèi)作垂直于棱的射線OA和OB,則射線OA和OB所成的角稱為二面角的平面角,二面角的大小用它的平面角大小來度量,即二面角大小等于它的平面角大小.特別地,平面角是直角的二面角稱為直二面角.二面角及其平面角的大小的范圍為[0,π].如果n1,n2分別是平面α1,α2的一個法向量,設(shè)α1,α2所成角的大小為θ,則θ=<n1,n2>或θ=π-<n1,n2>,特別地,sinθ=sin<n1,n2>.(1)二面角的平面角:若有①O∈l,②OA?α,OB?β,③OA⊥l,OB⊥l,則二面角α-l-β的平面角是∠AOB.(2)空間向量法求二面角的大小:①如圖a,AB,CD分別是二面角α-l-β的兩個半平面內(nèi)與棱l垂直的直線,則二面角的大小θ=<AB→,CD②如圖b,c,n1,n2分別是二面角α-l-β的兩個半平面α,β的法向量,則二面角的大小θ滿足|cosθ|=|cos<n1,n2>|,二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角).向量法求二面角的大小[例1]在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且PA=AB,E是PD的中點(diǎn),求平面EAC與平面ABCD的夾角.解:法一如圖,以A為原點(diǎn),分別以AC,AB,AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)PA=AB=a,AC=b,連接BD與AC交于點(diǎn)O,取AD的中點(diǎn)F,連接OF,EF,OE,則C(b,0,0),B(0,a,0),P(0,0,a),因?yàn)锽A→=CD所以D(b,-a,0),所以E(b2,-a2,a2),O(bOE→=(0,-a2,a2)因?yàn)镺E→·AC所以O(shè)E→⊥AC又OF→=12BA→=(0,-a2,0)所以O(shè)F→⊥AC所以∠EOF等于平面EAC與平面ABCD的夾角(或補(bǔ)角).cos<OE→,OF→>=OE→所以平面EAC與平面ABCD的夾角為45°.法二建系如法一,因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以AP→AE→=(b2,-a2,a2設(shè)平面EAC的法向量為m=(x,y,z).由m·b所以x=0,y=z,所以取m=(0,1,1),cos<m,AP→>=m·AP→|所以平面EAC與平面ABCD的夾角為45°.針對訓(xùn)練:在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BC的中點(diǎn),求二面角D-AE-B1的余弦值.解:以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,因?yàn)檎襟w的棱長為1,E為BC的中點(diǎn),則A(1,0,0),E(0,12,0),B1所以EA→=(1,-12,0),設(shè)平面AEB1的法向量為n=(x,y,z),則n令y=2,則x=z=1,故n=(1,2,1),又平面AED的一個法向量為m=(0,0,1),所以|cos<n,m>|=|n·m||由圖可知,二面角D-AE-B1為鈍二面角,故二面角D-AE-B1的余弦值為-66(1)當(dāng)空間直角坐標(biāo)系容易建立(有特殊的位置關(guān)系)時(shí),用向量法求解二面角無須作出二面角的平面角,只需求出平面的法向量,經(jīng)過簡單的運(yùn)算即可求出,有時(shí)不易判斷兩法向量的夾角的大小就是二面角的大小(相等或互補(bǔ)),但我們可以根據(jù)圖形觀察得到結(jié)論,因?yàn)槎娼鞘氢g二面角還是銳二面角一般是明顯的.(2)注意法向量的方向:一進(jìn)一出,二面角等于法向量夾角;同進(jìn)同出,二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角.幾何法求二面角大小[例2](2021·浙江寧波高二期末)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是梯形,AB∥CD,AB⊥BC,PA=PD=BC=CD=1,AB=2,PC=3.(1)證明:平面PAD⊥平面ABCD;(2)求平面PAD與平面PBC所成的銳二面角的余弦值.(1)證明:如圖,取AD的中點(diǎn)O,連接PO,則PO⊥AD,連接OC,在直角梯形ABCD中,易知∠DAB=45°,∠ADC=135°,AD=2,所以O(shè)C=D=12+1-易知PO=22,又PC=3,所以PO2+CO2=PC2又AD∩OC=O,所以PO⊥平面ABCD,又PO?平面PAD,所以平面PAD⊥平面ABCD.(2)解:如圖,延長AD,BC交于點(diǎn)E,連接PE,過點(diǎn)D作DH⊥PE于點(diǎn)H,連接BH,BD,因?yàn)锳D=2,BD=2,AB=2,所以BD⊥AD,由(1)知平面PAD⊥平面ABCD,又平面PAD∩平面ABCD=AD,BD?平面ABCD,所以BD⊥平面PAD,故易知∠DHB為所求二面角的平面角.易得DE=2,則PE=PA2+A易知S△PAD=S△PDE,所以12×1×1=12×5×DH,所以DH=所以BH=DH2+B所以cos∠DHB=1111故平面PAD與平面PBC所成的銳二面角的余弦值為1111針對訓(xùn)練:已知三棱柱ABC-A1B1C1各棱長均相等,∠A1AB=∠A1AC=π3,則異面直線AA1與BC所成角的大小是,二面角A-BC-B1的平面角的正弦值是解析:①因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1各棱長均相等,∠A1AB=∠A1AC=π3所以△A1AB和△A1AC都是正三角形,所以四面體A1ABC是正四面體,取BC中點(diǎn)E,B1C1中點(diǎn)F,連接EF,AE,A1E,A1C,所以BC⊥AE,BC⊥A1E,又因?yàn)锳E∩A1E=E,所以BC⊥平面A1AE,又因?yàn)锳1A?平面A1AE,所以A1A⊥BC,所以異面直線AA1與BC所成角的大小是π2②因?yàn)镋F∥BB1∥AA1,EF=B1B=A1A,所以四邊形A1AEF是平行四邊形,因?yàn)镋F?平面A1AE,由(1)知BC⊥EF,所以二面角ABCB1的平面角為∠AEF,因?yàn)椤螦1AE與∠AEF互補(bǔ),取A1A的中點(diǎn)M,連接ME,易知AE=A1E,所以ME⊥AA1,sin∠AEF=sin∠A1AE=1-cos2∠A答案:π2找二面角的平面角的幾何方法有以下兩種:(1)作棱的垂面.(2)過一個平面內(nèi)一點(diǎn)作另一個平面的垂線,過垂足作棱的垂線.條件中存在二面角的問題[例3]如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AB,E為線段PB的中點(diǎn),若F為線段BC上的動點(diǎn)(不含B).(1)平面AEF與平面PBC是否相互垂直?若是,請證明;若不是,請說明理由;(2)若BFBC=λ(0<λ≤1),λ為何值時(shí),二面角BAFE為60°?解:(1)平面AEF⊥平面PBC.證明如下:因?yàn)镻A=AB,E為線段PB的中點(diǎn),則AE⊥PB,又PA⊥底面ABCD,BC?底面ABCD,則PA⊥BC,又底面ABCD為正方形,所以BC⊥AB,因?yàn)镻A∩AB=A,PA,AB?平面PAB,則BC⊥平面PAB,又AE?平面PAB,所以AE⊥BC,因?yàn)镻B∩BC=B,PB,BC?平面PBC,故AE⊥平面PBC,又AE?平面AEF,故平面AEF⊥平面PBC.(2)如圖,取AB的中點(diǎn)M,作MN⊥AF交AF于點(diǎn)N,連接EM,EN,因?yàn)镋M為△BPA的中位線,則EM∥PA,又PA⊥底面ABCD,F∈線段BC,則EM⊥平面ABF,又AF?平面ABF,所以EM⊥AF,MN⊥AF,又EM∩MN=M,EM,MN?平面EMN,故AF⊥平面EMN,所以∠MNE為二面角BAFE的平面角,即∠MNE=60°,設(shè)BC=2,又BFBC則BF=2λ,因?yàn)镸NAM=BFAF,即MN1所以MN=λ1+又tan∠MNE=MEMN,即3=1+解得λ=22故λ=22時(shí),二面角BAFE為60°.針對訓(xùn)練:如圖,在長方體ABCDA1B1C1D1中,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,AD=AA11ECD的大小為π4,則E的坐標(biāo)為,AE=.

解析:設(shè)AE=λ(0≤λ≤2),平面D1EC的法向量為m=(x,y,z).由題可知D1(0,0,1),C(0,2,0),E(1,λ,0),則D1C→易知平面ECD的一個法向量為n=(0,0,1).因?yàn)閙=(x,y,z)為平面D1EC的法向量,所以m·又二面角D1ECD的大小為π4,所以cosπ4=|m·n||解得λ=2-3或λ=2+3(舍去),所以E(1,2-3,0),AE=2-3.答案:(1,2-3,0)2-3條件中出現(xiàn)二面角的大小:(1)可以根據(jù)圖形,作輔助線,構(gòu)建與解決問題有關(guān)的二面角的平面角,從而將二面角的大小轉(zhuǎn)化為平面角的大小.(2)可以建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)、線段的長度或比例,構(gòu)建方程求出未知量.1.(多選題)在三棱錐A-BCD中,平面ABD與平面BCD的法向量分別為n1,n2,若n1與n2的夾角為π3,則二面角A-BD-A.π6 B.π3 C.2π解析:當(dāng)二面角ABDC的平面角為銳角時(shí),所求的角為<n1,n2>=π3,當(dāng)二面角ABDC的平面角為鈍角時(shí),所求的角為π-<n1,n2>=2π3.故選BC.2.在一個二面角的兩個半平面內(nèi),與二面角的棱垂直的兩個向量分別為(0,-1,3),(2,2,4),則這個二面角的余弦值為(D)A.156C.153 D.156解析:由(0,-1,3)·(2,23.如圖,點(diǎn)A,B,C分別在空間直角坐標(biāo)系Oxyz的三條坐標(biāo)軸上,OC→=(0,0,2),平面ABC的法向量為n=(2,1,2),設(shè)二面角CABO的大小為θ,則cosθ等于(C)A.43 B.53 C.解析:由題意可知,平面ABO的一個法向量為OC→=(0,0,2),由圖可知,二面角CABO為銳角,由空間向量的結(jié)論可知,cosθ=|OC→·n||4.如圖,在四面體A-BCD中,AB=AD=BD=2,BC=