2023屆新高考數(shù)學(xué)真題解析幾何專(zhuān)題講義第25講 調(diào)和點(diǎn)列-極點(diǎn)極線

第25講調(diào)和點(diǎn)列—極點(diǎn)極線一、問(wèn)題綜述（一）概念明晰（系列概念）：1.調(diào)和點(diǎn)列：如圖，在直線上有兩基點(diǎn)，則在上存在兩點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離比值為定值，即，則稱(chēng)順序點(diǎn)列四點(diǎn)構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列（易得調(diào)和關(guān)系）。同理，也可以為基點(diǎn)，則順序點(diǎn)列四點(diǎn)仍構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列。所以稱(chēng)和稱(chēng)為調(diào)和共軛。2.調(diào)和線束：如圖，若構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列，為直線外任意一點(diǎn)，則直線稱(chēng)為調(diào)和線束。若另一直線截調(diào)和線束，則截得的四點(diǎn)仍構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列。3.阿波羅尼斯圓：如圖，為平面中兩定點(diǎn)，則滿(mǎn)足的點(diǎn)的軌跡為圓，互為反演點(diǎn)。由調(diào)和點(diǎn)列定義可知，圓與直線交點(diǎn)滿(mǎn)足四點(diǎn)構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列。5.極點(diǎn)極線：如圖，互為阿圓反演點(diǎn)，則過(guò)作直線垂直，則稱(chēng)為的極點(diǎn)，為的極線.6.極點(diǎn)極線推廣（二次曲線的極點(diǎn)極線）：（1）.二次曲線極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線為（半代半不代）（2）圓錐曲線的三類(lèi)極點(diǎn)極線（以橢圓為例）：橢圓方程①極點(diǎn)在橢圓外，為橢圓的切線，切點(diǎn)為則極線為切點(diǎn)弦；②極點(diǎn)在橢圓上，過(guò)點(diǎn)作橢圓的切線，則極線為切線；③極點(diǎn)在橢圓內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作橢圓的弦，分別過(guò)作橢圓切線，則切線交點(diǎn)軌跡為極線；（3）圓錐曲線的焦點(diǎn)為極點(diǎn)，對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線為極線.（二）重要性質(zhì)性質(zhì)1：調(diào)和點(diǎn)列的幾種表示形式如圖，若四點(diǎn)構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列，則有性質(zhì)2：調(diào)和點(diǎn)列與極點(diǎn)極線如圖，過(guò)極點(diǎn)作任意直線，與橢圓及極線交點(diǎn)則點(diǎn)成調(diào)和點(diǎn)列（可由阿圓推廣）性質(zhì)3：極點(diǎn)極線配極原則若點(diǎn)的極線通過(guò)另一點(diǎn)，則的極線也通過(guò)．一般稱(chēng)、互為共軛點(diǎn)．推廣：如圖，過(guò)極點(diǎn)作兩條任意直線，與橢圓分別交于點(diǎn)，則的交點(diǎn)必在極線上，反之也成立。二、典例分析類(lèi)型1：客觀題中結(jié)論的直接運(yùn)用例1（2013?山東）過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、則直線的方程為（）A． B． C． D．解析：直線是點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線，則方程為，即．故選A．例2（2010?湖北）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足，則的取值范圍為，直線與橢圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是．解析：由題知，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部且與原點(diǎn)不重合．則當(dāng)點(diǎn)在線段上除原點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)在橢圓上時(shí)，，則的取值范圍為．點(diǎn)和直線恰好是橢圓的一對(duì)極點(diǎn)和極線，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)，所以極線與橢圓相離，故極線與橢圓公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0．點(diǎn)評(píng)：因客觀題不需要嚴(yán)格證明，所以一些高觀點(diǎn)的運(yùn)用，往往能達(dá)到秒解的效果，從這兩個(gè)高考題也可看出，用普通方法也可解出結(jié)果，但用極點(diǎn)極線理論基本秒解，這就拉開(kāi)了尖子生和普通生的差距，達(dá)到了高考選拔人才的功能。類(lèi)型2：解答題中高觀點(diǎn)分析——記2010年江蘇卷一題多解（硬解/整體代換/仿射變換/調(diào)和點(diǎn)列/曲線系/極點(diǎn)極線）例3（2010江蘇18）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓的左右頂點(diǎn)為A,B，右頂點(diǎn)為F，設(shè)過(guò)點(diǎn)（）的直線與橢圓分別交于點(diǎn)，，其中,.（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足,求點(diǎn)P的軌跡；（2）設(shè)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（第18題圖）（3）設(shè),求證：直線必過(guò)軸上的一定點(diǎn).（其坐標(biāo)與無(wú)關(guān)）（第18題圖）解析：方法一（高考標(biāo)準(zhǔn)答案1）：直線，直線，設(shè)，聯(lián)立與橢圓，則得，即，同理★處理一（特殊+驗(yàn)證）：當(dāng)（垂直軸），解得，方程為，過(guò)定點(diǎn)；當(dāng)，，及三點(diǎn)共線，即過(guò)定點(diǎn)處理二（硬解直線方程）：由★得方程為：，令，解得，即過(guò)定點(diǎn)方法二（多元未知數(shù)整體處理此法適用于過(guò)橢圓兩頂點(diǎn)問(wèn)題）：直線，直線，設(shè)，帶入直線消去得①由橢圓可得：，即，帶入①得，即②，①可變形（取倒）為③（②+③）/3得：（對(duì)比直線兩點(diǎn)式或與（1，0）斜率），即過(guò)定點(diǎn)方法三（伸縮（仿射）變換+調(diào)和點(diǎn)列）：補(bǔ)充知識(shí).（1）放射變換為另一專(zhuān)題（2）如圖，在中，三條高交于點(diǎn)，高的垂足交于，則成調(diào)和點(diǎn)列，即本題證明：如圖，可將橢圓伸縮變換為，因?yàn)?，則為高的交點(diǎn)，由上述性質(zhì)運(yùn)用知成調(diào)和點(diǎn)列，即，設(shè)，則，解得，即過(guò)定點(diǎn)方法四（二次曲線系）：補(bǔ)充：二次曲線系性質(zhì)：若三個(gè)二次曲線系過(guò)4個(gè)相同的點(diǎn)，則一定存在兩實(shí)數(shù)，使得.（可根據(jù)六個(gè)單項(xiàng)式系數(shù)關(guān)系求解問(wèn)題）本題證明：如圖，本題過(guò)四點(diǎn)的二次曲線有拋物線；直線和；直線和直線所以，觀察與的系數(shù)有，則，所以，則過(guò)定點(diǎn)方法五（極點(diǎn)極線）：補(bǔ)充：性質(zhì)3本題證明（利用性質(zhì)3）：如圖，點(diǎn)的軌跡方程為，即，又交點(diǎn)在上，由性質(zhì)2知，為極點(diǎn),為對(duì)應(yīng)的極線，即交點(diǎn)為，即過(guò)定點(diǎn)點(diǎn)評(píng)：2010年江蘇高考題被公認(rèn)為史上最難高考之一，又一次把葛軍老師推向風(fēng)口浪尖，此題官方解答為常規(guī)解法，看似簡(jiǎn)潔，其實(shí)其中計(jì)算量很大，據(jù)說(shuō)當(dāng)年沒(méi)有考生在考場(chǎng)上將此題拿到滿(mǎn)分，難度可想而知，但通過(guò)高觀點(diǎn)（仿射變換/調(diào)和點(diǎn)列/二次曲線系/極點(diǎn)極線）分析，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)原來(lái)如此“簡(jiǎn)單”（直接是結(jié)論的考察），所以在平時(shí)教學(xué)中滲透高觀點(diǎn)下的解題思路十分必要，特別是對(duì)尖子生的培養(yǎng)。三、鞏固練習(xí)1.已知點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)是．2．（2014?遼寧）已知點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，過(guò)點(diǎn)的直線與在第一象限相切于點(diǎn)，記的焦點(diǎn)，則直線的斜率為（）A． B． C． D．3.（2011?希望杯）從直線上的任意一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，則弦長(zhǎng)度的最小值為．4.（2009?安徽）已知點(diǎn)在橢圓上，，，直線與直線垂直，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的傾斜角為，直線的傾斜角為．（I）證明:點(diǎn)是橢圓與直線的唯一交點(diǎn)；（II）證明:構(gòu)成等比數(shù)列.5.（2011?四川）橢圓有兩頂點(diǎn)、，過(guò)其焦點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，并與軸交于點(diǎn)．直線與直線交于點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求直線的方程；6.（2008?安徽）設(shè)橢圓過(guò)點(diǎn)，且左焦點(diǎn)為．（1）求橢圓的方程；（2）當(dāng)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩不同點(diǎn)，時(shí)，在線段上取點(diǎn)，滿(mǎn)足，證明：點(diǎn)總在某定直線上． 參考答案1.解析：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，則切點(diǎn)弦的方程為，化簡(jiǎn)得，令，可得，故直線過(guò)定點(diǎn)．2．解析：由題知，，則拋物線方程為，設(shè)過(guò)點(diǎn)作直線與拋物線相切與另一點(diǎn)，則經(jīng)過(guò)這兩個(gè)切點(diǎn)的連線就是點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線，其方程是。由于點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則焦點(diǎn)在點(diǎn)的極線上，三點(diǎn)共線，故選D．3.解析：設(shè)，易知的極線方程為，即可得弦必過(guò)，易得圓上，過(guò)的最短的弦長(zhǎng)為．4.分析：（Ⅰ）由題知，與直線是橢圓的一對(duì)極點(diǎn)極線，則直線與橢圓相切，點(diǎn)為切點(diǎn)，5.解析：（2）此題可以用常規(guī)方法和曲線系法，具體內(nèi)容請(qǐng)參考上一講，本專(zhuān)題研究一下其