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第四節(jié)二階常系數(shù)線性齊次微分方程方程為二階常系數(shù)線性微分方程其中、、是已知常數(shù),且為二階常系數(shù)線性齊次微分方程下面介紹方程解的結(jié)構(gòu).證明:也是的解，其中、為任意常數(shù)

定理5-1

若函數(shù)、是方程的兩個(gè)解，則把、代入方程

的左邊，得

、線性無關(guān)，是指不存在不全為零的常數(shù)、,使,即常數(shù)否則稱、線性相關(guān)．

定理5-2

若函數(shù)、是方程

的兩個(gè)線性無關(guān)的特解，則是方程的通解,其中、為任意常數(shù)將其代入以上方程,得故有特征方程特征根

由定理5-2,求方程的通解的關(guān)鍵是先要求出它的兩個(gè)線性無關(guān)的特解.

由于方程具有線性常系數(shù)的特點(diǎn),而指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為指數(shù)函數(shù),故我們可假設(shè)方程有形如的解.的解法方程有兩個(gè)線性無關(guān)的特解所以方程的通解為特征根為(１)當(dāng),特征方程有兩相異實(shí)根根據(jù)判別式的符號(hào)不同,分下面三種情況討論(2)當(dāng),方程有兩個(gè)相等的實(shí)根一特解為特征根為若是原方程的解,應(yīng)有所以方程的通解為將代入以上方程,得因,故所以特征根為(3)當(dāng),方程有一對(duì)共軛復(fù)根利用歐拉公式可將和改寫成如下形式重新組合得方程的通解為不難看出和線性無關(guān)求解二階常系數(shù)齊次線性微分方程的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的特征方程;（2）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況,按下表寫出方程的通解.

(4)若問題要求出滿足初始條件的特解,再把初始條件代入通解中,即可確定、,從而獲得滿足初始條件的特解.例5-13

求下列方程的通解解

(1)特征方程為所以方程的通解為解得所以方程的通解為解得(2)特征方程為所以方程的通解為(3)特征方程為解得解特征方程為即特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根所以所求方程的通解為對(duì)上式求導(dǎo),得例5-14

求方程滿足初始條件

、的特解.將、代入以上二式,得解此方程組，得所以所求特解為解特征方程為例5-15

求方程滿足初始條件

、的特解.即特征方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根所以所求方程的通解為對(duì)上式求導(dǎo),得將、代入以上二式,得解此方程組，得所以所求特解為解特征方程為特征根為所以所求方程的通解為例5-16

求方程滿足初始條件

、的特解.對(duì)上式求導(dǎo),得所以所求特解為將、代入以上二式,得主要內(nèi)容二階常系數(shù)

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