2022屆高三數(shù)學寒假自檢試卷

寒假高三數(shù)學自測卷

＿｀單項選擇題（本大題共8小題，每題5分，共40分）

I.已知集合A={xlO$x$a,xEN},B={l,2,3}，若AnB=B,則a的取值范圍是（)

A.拉｝B.(3,知）C.[3,4)D.[3，如）

1

2.設(shè)復數(shù)z滿足z－乞＝2i,lzl=2,復數(shù)z所對應(yīng)的點位于第一象限，則－＝()

z

l+?3ii—l＋石i?3+i

A.B.§—C.D.

2424

3已知向釭、6滿足忨I=＄，a6=-3，若（廟－6）丘，則A=()

A.JB.-1C.2

y

D.-2

4.右圖是函數(shù)y=sin(wx+<p）的部分圖像，則sin(wx+<p)=()

,2"-x

3_

A.sin（氣）B.sin匠－2x)

C.sin（三）D.cos（子－2x)

5.酒后駕駛是嚴重危害交通安全的行為，某交通管理部門對轄區(qū)內(nèi)四個地區(qū)（甲、乙、丙、丁）的

酒駕治理情況進行檢查督導，若“連續(xù)8天，每天查獲的酒駕人數(shù)不超過IO",則認為＂該地區(qū)酒駕治

理達標”，根據(jù)連續(xù)8天檢查所得數(shù)據(jù)的數(shù)字特征推斷，酒駕治理一定達標的地區(qū)是（)

A.甲地：均值為7,方差為2B.乙地：均值為4,中位數(shù)為5

C.丙地：眾數(shù)為3，中位數(shù)為2D.丁地：極差為3,75％分位數(shù)為8

6.如圖，在正四面體A-BCD中，E、F分別是AC、AB的中點，M、N分別是BE、DF的中

A

點，則（）

A.直線BE與DF垂直，直線MN/／平面BCD

B.直線BE與DF垂直，直線MN與平面BCD相交

B產(chǎn)－－－－平－三：：：：＂

C.直線BE與DF異面且不垂直，直線MN!／平面BCD

D.直線BE與DF異面且不垂直，直線MN與平面BCD相交c

7.雙曲線C：蘭－工呱＝l(a>O,b>O)的焦距為4,圓x2+y2=4與雙曲線C及C的一條漸近線在第一

礦b2

象限的交點分別為A,B,若點B的縱坐標是點A縱坐標的2倍，則C的方程為（)

2222

X2y2Xy

A.—-—=1B.X仁L=lC.—-—=1D.~-/=1

623223

8.已知a=2'"7'b=31116'C=41n5，則（)

A.b<c<aB.a<b<cC.b<a<cD.a<c<b

二、多項選擇題（本大題共4小題，每題5分，共20分每題全選對的得5分，部分選對的得2分，

有選錯的得0分）

9.已知a>O,b>O,2a+b=ab，則下列結(jié)論正確的是()

A.a+b的最小值為3+2JB."氣爐的最小值為16

D.lga+lgb的最小值為3lg2

C.，十，的ab最大值為5

10.已知定義在R的偶函數(shù)f(x)，其周期為4,當XE[0,2]時，．f(x)=2x-2,則（)

A..f(log23)=1B.f(x)的值域為[-1,2]

C.f(x)在[4,6]上為減函數(shù)D.f(x)在[-6,6]上有8個零點

11.已知正項數(shù)列包｝滿足ll1=4,21nan+I=Q”—t(nEN.），則下列說法正確的是（)

1

A.{lna11}是等比數(shù)列B.對任意的nEN?,Ina,,+1~:;-In011

2

C.a,』＞1對任意nEN?都成立D.01·a2·佑＇．．．．a(chǎn)9>4e

12.畫法幾何的創(chuàng)始人法國數(shù)學家加斯帕爾蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓的兩條切線互相垂直，則兩切線的

交點位千一個與橢圓同中心的圓上，稱此圓為該橢圓的蒙日圓已知橢圓C：工a2十f=b2l(a>b>O)的離

五

心率為－－，F(xiàn)l、F2分別為橢圓的左、右焦點，點A在橢圓上，直線/:bx+ay-a2-b2=0,則（)

2

A.直線l與蒙日圓相切

B.C的蒙日圓的方程為x2+y2=2a2

C.記點A到直線l的距離為d,則d-lAF2I的最小值為（玉－65)b

3

D.若矩形MNGH的四條邊均與C相切，則矩形MNGH的面積的最大值為8b2

三、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分）

l3．在［二）n的展開式中，只有第4項的二項式系數(shù)最大，則展開式中含x3項的系數(shù)為.

五

cosa(1-sin2a)

14.已知t~ma=2,則的值為

2sina-cosa

15.已知球0的半徑為I,A,B是球面上兩點，LAOB=90°,C為該球面上的動點．當三棱錐0-ABC

的體積取得最大值時，過A,B,C三點的截面圓的面積為.

16.如圖，AOA1且，凸從B2,t:::.環(huán)凡是全等的等腰直角三角形(OB尸?2,B;(i=l,2,3)處為直

角頂點），且O,A"Ai,A3四點共線若點R,E,P3分別是邊A戊，4凡，A龍上的動點（包含

端點），則改{6E=,OB,-OP,的取值范圍為

/B1B2B3

。

A1A2A3

四解答題（本大題共6小題，共70分）

17.(10分）在＠a(sinA-sinC)=(b-c)(sinB+sinC),@2bcos(C－烏＝a+c,＠向量

3

示＝（］＋cosB,?3sinC)與日＝（－c,b)，且,n.l月，三個條件中選一個填在下面試題的橫線上，并加以

解析．在“ABC中，a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C所對的邊，且.

(1)求角B的大小，

(2)若c,.ABC是鈍角三角形，且b=?3'求a+c的取值范圍

123

I8.(12分）已知數(shù)列{all}滿足+++···+______'._'.___=2n"+1-2.

生－a,生－a2a4一生”/1+!一”/I

(1)設(shè)b11=a,,+1-a11，求｛九｝的通項公式；

(2)若a1=2,求｛葉的通項公式．

19.C12分）如圖，AB是圓0的直徑，PA.l圓0所在的平面，C為圓周上一點，D為線段PC的中

點，乙CBA=30°,AB=2PA.PA

r、

、r

(1)證明：平面ABD..l平而PBC、、、

D,、，

、

、、、、,'-

＇、、、

,tI-、、、一

(2)若G為AD的中點，求二面角P-BC-G的余弦值G戶-niiV、-、

J二_-f-z-C}～

fl、

,”IZ夕i-、

夕-Ilf-、二．、

夕夕ll．、令

,1,二mnB

20.(12分）某籃球隊為提高隊員的訓練積極性，進行小組投籃游戲，每個小組由兩名隊員組成，

隊員甲與隊員乙組成了一個小組游戲規(guī)則：每個小組的兩名隊員在每輪游戲中分別投籃兩次，每小

組投進的次數(shù)之和不少千3次的稱為“神投小組”，甲乙兩名隊員投進籃球的概率為別為P1,P2

32

(1)若P1=-:-,P2=－，則在第一輪游戲他們獲“神投小組＂的概率；

43

4

(2)若P1+P2=－，則在游戲中，甲乙兩名隊員想要獲得“神投小組”的稱號16次，則理論上他們

3

小組要進行多少輪游戲才行？并求此時p1,p2的值

2l.（l2分）拋物線E:y2=2px(p>0)，點P是拋物線E上一點，F(xiàn)為此拋物線的焦點，0為坐標

原點，IOPl=2?3,|PFl=3

(1)求拋物線E的方程；

(2)拋物線E的兩條互相垂直的弦AB和CD交千點G(2,0),M和N分別是AB和CD的中點，求G到

直線MN的最大距離

I

22.(12分）設(shè)函數(shù)j.(x)＝aln;t+－－I(aER)．

X

(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

l

(2)當xe(O,I)時，證明：x2+X-~-l<exInX.

X

參考答案

』－』

.~-----__--l-

l23456789二12

-－

DIBBBAC|DBACDIABBCDIAC

13.1514.—I15.2兀16.6[10,12]

153

17.(l)B=王3(2)（石，3)

(1)若選條件O，根據(jù)正弦定理得a(a-c)=(b+c)(b-c),\a2+c2_ac=b2,由余弦定理司得，

礦＋c2-b2l冗

cosB=＝－，又BE(0，動，則B=－；

2ac23

l$

若選條件＠，由正弦定理得，2sinB(~cosC+—-sinC)=sinA+sinC,則

22

sinBcosC＋五sinBsinC=sin(B+C)+sinC,化簡得?3sinBsinC=sinCcosB+sinC,Ce(O，動，

冗l冗

則sinC#O，千是?3sinB-cosB=1,則sin(B-~)=~，結(jié)合BE(0，動可得B=－;

623

若選條件＠，，匯Lii，則茄咕0=-c(l+cosB)+?3bsinC,由正弦定理得，

冗1

-sinC(l+cosB)+?3sinBsinC=O,CE(0，冗），則sinC#O,于是?3sin8-cosB=l,則sin(B-~)=~,

6'2

冗

結(jié)合BE(0，冗）可得B=－．

3

aC石

(2)由正弦定理，五5i=smC＝兀，則a=2sinA,c=2sinC,又t:..ABC是鈍角三角形，不妨設(shè)

sin-

3

2冗冗加2冗冗5冗1J5

A是鈍角，又A+C=—，于是-<A<—,則有—<A+－＜一，sin(A+五)？（－，—)，千是

323366622

2冗冗

a+c=2sinA+2sinC=2sinA+2sin(—-A)=3sinA+?3cosA=2?3sin(A+—)E頃，3)

36

即a+CE(?3,3).

n+I

18(1)bn號，（2)an=4—211-I.

19.(1)證明：因為PA.l圓0所在的平面，即PA.l平面ABC,

而BCc平面ABC,所以PA.lBC.

因為AB是圓0的直徑，C為圓周上一點，

所以AC.lBC.

又PAnAC=A,

所以BC.l平面PAC,而ADc平面PAC,

則BC.lAD,

因為AC.lBC,LCBA=30°,

所以AB=2AC.又AB=2PA,

所以PA=AC,而D為線段PC的中點，

所以AD.lPC.

又PCnBC=C,

所以AD上平面PBC,

而ADc平面ABD,故平面ABD.l平面PBC.

(2)2石

5

2

2Pl=凸=

20.(1)一，（2)理論上至少要進行27輪游戲，3-

3

21.(1)y2=4x(