2022屆海南省?？谑懈呷龑W生學能力診斷（二）數(shù)學試題（解析版）

2022屆海南省?？谑懈呷龑W生學能力診斷(二)數(shù)學試題

一、單選題

1.已知集合4={x[O<x<4},?={X|X2-5X+6=0},則僅A)C8=()

A.0B.{1}C.{2}D.{2,3}

【答案】A

【分析】先求出集合3,然后再根據(jù)交集和補集運算得出答案.

【詳解】由f-5x+6=0解得x=2或x=3,即8={2,3}.

又備A={x|x<0或尤24},所以(際4)口8=0.

故選：A

2

2.復數(shù)丁下的虛部為()

1+31

A.-B.-C.--D.--

5555

【答案】D

【分析】利用復數(shù)的除法運算法則即可求解.

【詳解】由已知得

22(1-3i)_2-6iJ3.

7+3i-(l+3i)(l-3i)-10，

則復數(shù)(1一3豆的虛部為-3

故選：D.

1v

3.已知x,)，€1<且兀工0,則“x>y”是“—>《■”的()

XX

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不

必要條件

【答案】C

【分析】求出不等式的等價條件，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.

【詳解】因為XN0,所以/>0,則“x>y”兩邊同除以r即可得至反過來

XX

同乘以V即可，故“x>y"是的充要條件.

XX

故選：C.

4.在核酸檢測時，為了讓標本中CWA的數(shù)量達到核酸探針能檢測到的閾值，通常采用

PCR技術(shù)對OVA進行快速復制擴增數(shù)量.在此過程中，DNA的數(shù)量X,,(單位：〃g/〃L)

與PCR擴增次數(shù)”滿足X"=X°xl.6",其中X。為￡WA的初始數(shù)量.己知某待測標本中

DNA的初始數(shù)量為0.1//g/〃L,核酸探針能檢測到的DNA數(shù)量最低值為10〃g/〃L,則

應(yīng)對該標本進行PCR擴增的次數(shù)至少為()(參考數(shù)據(jù)：1g1.6。0.20,In1.6?0.47)

A.5B.10C.15D.20

【答案】B

【分析】根據(jù)題意列出方程，利用指數(shù)與對數(shù)的互化即可求解.

【詳解】由題意知X。=0.1,X?=10,令10=0.1X1.6",得1.6"=100,取以10為底的

對數(shù)得〃lgl.6=2,所以〃二與句。.

1g16

故選：B.

5.設(shè)公差不為0的等差數(shù)列｛5｝的前〃項和為S“，已知S9=3(%+%+/),則機=()

A.9B.8C.7D.6

【答案】C

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前”項和的性質(zhì)及等差數(shù)列通項公式化簡可得.

【詳解】因為$9=3(生+45+4”)，又$9=9%,

所以9%=3(%+4+4”)，

所以a｝+a5+am=3as，即4+勺=2as，

設(shè)等差數(shù)列｛為｝的公差為d,

則q+2d+aA+=2(a]+4d),

所以(m+l)d=8d,又dwO,

所以l+/%=8,

所以"2=7.

故選：C.

6.已知雙曲線4T=l(a>02>0)的兩個焦點為耳，F(xiàn)2,以6為圓心，山用為

半徑的圓與E交于點尸，若tan4；/”=2亞，則￡的離心率為()

A.73B.2C.2&D.3

【答案】D

【分析】設(shè)|耳勾=2c,設(shè)線段”的中點為貝"PM|=c—。，在RtAFfM中，可

^\PFt\=3\PM\,從而可得出答案.

【詳解】設(shè)歸國=2c,根據(jù)題意可得|叫=2c,tan4改=2五＞0,々Pg為銳

角

則陶=2c-2a,設(shè)線段尸用的中點為M,^\PM\=c-a.

在RtZ^PM中，tan/F；PM=2夜，

則忻M|=201P，所以仍用==3|PM|,即2c=3（c-a）,

即生=3（g-1］得E的離心率￡=3.

ayaJa

故選：D

7.如圖是一個圓臺的側(cè)面展開圖，其面積為3萬，兩個圓弧所在的圓半徑分別為2和4,

A7石R7g「7715口79

361224

【答案】D

【分析】由條件結(jié)合扇形面積公式可求圓臺的上下底面的半徑，結(jié)合圓臺的軸截面圖形

可求圓臺的高，利用圓臺體積公式求其體積.

【詳解】圓臺的側(cè)面展開圖是一扇環(huán)，設(shè)該扇環(huán)的圓心角為a,

1c1、7T

則其面積為］xax4-/xax2,=3%，得。二彳，

所以扇環(huán)的兩個圓弧長分別為"和2萬，

設(shè)圓臺的上底半徑，下底半徑分別為、弓，圓臺的高為力，

則2刀=兀、24弓=24

所以4=5，4=1，又圓臺的母線長［=4-2=2

所以圓臺的高為力=卜2一（］一￡|一=半,

所以圓臺的體積為V=g乃+l2+|xl乂呼=等兀.

故選：D.

8.已知函數(shù)/⑺是定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)g（x）=|x-2|f（x）的圖象關(guān)于直線x=2

對稱，若=則g（3）=（）

A.5B.1C.-1D.-5

【答案】B

【分析】分析可知g（x+2）=W/（x+2）是偶函數(shù)，利用偶函數(shù)的定義推導出

f（2-x）=〃2+x）,利用已知條件求出〃3）的值，即可求得g⑶的值.

【詳解】因為g（x）的圖象關(guān)于x=2對稱，則g（x+2）=W/（x+2）是偶函數(shù)，

g（2-x）=|-x|/（2-x）=W/（2—x）,且g（x+2）=|x|/（x+2）,

所以，兇/（2—x）=W/（2+x）對任意的xwR恒成立，所以，/（2-x）=/（2+x）,

因為/（T）=T且/（x）為奇函數(shù)，所以，/（3）=/（2+1）=/（2-1）=-/（-1）=1,

因此，g（3）=|3-2|/（3）=/（l）=l.

故選：B.

二、多選題

9.一組樣本數(shù)據(jù)與毛，…，與的平均數(shù)和中位數(shù)均為5,若去掉其中一個數(shù)據(jù)5,則

（）

A.平均數(shù)不變B.中位數(shù)不變C.極差不變D.方差不變

【答案】AC

【分析】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、極差、方差概念求解即可.

【詳解】假設(shè)西4%<…《八，則原來的中位數(shù)為％=5,去掉％后，

平均數(shù)和極差不變，故A,C正確.

中位數(shù)為氣土，這個值不一定為5,所以8不正確.

對于。，

原來的方差為s。=石[(司—5)+(x2—5)+.......+(x“—5)],

去掉％后，新的方差s；=歷[(%一5)-+(*2-5)-+........+(x”-5)~],

因為去掉的數(shù)據(jù)恰好等于平均值，所以剩下的數(shù)據(jù)的方差不變或增大.

故選：AC

10.已知aw（萬,2%），sina=黑"=tan',則（）

A.tan=A/3B.cosa=—C.tan/?=4GD.cos夕=g

【答案】BD

【分析】根據(jù)商的關(guān)系化簡條件可求cosa,利用平方關(guān)系求sina,再由商的關(guān)系求

tana,再利用tan，，結(jié)合二倍角公式及同角三角函數(shù)關(guān)系求tan",cos/?.

【詳解】因為sina=tanacosa=則0

2

所以cosa=g,又ore（萬,2萬），

所以sina=-3■,tana=-6,故A錯誤，B正確.

2

,BV3

tan—=------，

22

2tan2

所以tan/?=---------筌=-4g,

1-tan—

2

cos2--sin2-1-tan2—<

22=21

cosJ3==

sin2—+cos2—1+tan2—‘

222

故C錯誤，D正確.

故選：BD.

H.如圖所示，正方體ABC。-44CQ的棱長為2,點E,尸分別為CG和8c的中點,

A.〃平面4ERB.4C，平面AER

4

C.平面AE。截正方體的截面面積為3D.點D到平面的距離為g

【答案】AD

【分析】如圖所示，設(shè)BC的中點為G,連接GE和GA,GE與8c交于點/,連接AQ

與4R交于點兒連接”/.平面AE。截正方體所得的截面即AGE。，然后逐個分析判

斷即可

【詳解】如圖所示，設(shè)BC的中點為G,連接GE,FG和GA,GE與gC交于點/,連接

\D與ADt交于點H,連接HI.平面AER截正方體所得的截面即AGED,.

5

因為在正方體ABCD-ASGR中，尸,G分別為B￡,BC的中點，

所以87=BG,B\F〃BG,所以四邊形BG五片為平行四邊形，

所以FG=Bq,FG〃BB、,

因為44,=B8,,AA,//BB{,

所以FG=A4,,FG//AA,,

所以四邊形AGFA為平行四邊形，

所以4尸〃AG,

因為4尸（2平面AGu平面AEO1,

所以A尸〃平面AER,故A正確；

在矩形4片。中可看出8c與不垂直，所以與平面AER不垂直，故B錯誤;

截面AGER是一個等腰梯形，上底GE=0,下底AR=2&，在矩形AB。。中,

AH=DH=Rei=；B\C=4,所以m=2?+fV2乎所以

2

SAGED,=gx(\/5+20)x，^=g,故C錯誤;

=6GE=y/i,AE=dE+于+f=3,所以

AG2+GE2-AE25+2-91

cosZ.AGE=

2AGGE2M-x/io

因為NAG￡e(0,7t),所以sinNAGE=Jl—卡=卡,

所以AGE=；

S,AG.GEsinNAGE=—XXX—=—

2V102,

設(shè)點D到平面AED1的距離為d,則VD-AGE=VE-ADG,

S.AGE,d=qS’AOG-CE,

3|44

所以二d=±x2x2xl,得(/=士,即點。到平面AE。的距離為所以D正確,

223

故選：AD

Di

12.已知函數(shù)〃x)及其導函數(shù)尸(x)滿足才(x)—/(x)=x2(lnx+l),且/⑴=0,則

()

A.“X)在(1,一)上單調(diào)遞增B.“X)在(；」)上有極小值

C.豆。的最小值為/D.。的最小值為0

XX

【答案】ABD

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=W，利用導數(shù)運算公式求出函數(shù)g(x)的解析式，由此可得

函數(shù)/(X)的解析式，再由導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，極值及最值的關(guān)系判斷各選項.

【詳解】設(shè)g(x)=§,則短(X)="/(')=Inx+1,

所以g(x)=xlnx+C(C為常數(shù))，

所以/(x)=A^(X)=X2lnx+Cx,

又/⑴=0,所以C=0,

所以/(x)=x2]nx,/r(x)=x(21nx+l),

當0<%<2時，r(A-)<o,/(X)單調(diào)遞減，

當》>七時，ra)>°，〃x)單調(diào)遞增，

所以/(A-)在X=%處取得極小值，

因為1<五<2,所以3<%<兀

所以“X)在(；」)上有極小值

可知A,B都正確.

g(x)=xlnx,g'(x)=lnx+l,

當0<x<1時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

e

當時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

e

所以g(x)的極小值即最小值為8(5=T，故C錯誤.

/(x)_f⑺=x(x—])lnx,

當0<x<l時，x-1<0,lnx<0,所以<(x)—"?)>0,

當x>l時，x-l>0,Inx>0,所以/(x)-‘°)>0,

而當x=l時，/(l)一平=0,所以/")—牛的最小值為0,

故D正確.

故選：ABD.

【點睛】本題解決的關(guān)鍵在于通過構(gòu)造函數(shù)，利用所給條件求出函數(shù)函數(shù)解析式.

三、填空題

13.函數(shù)/(x)=sin(2x-l)的最小正周期為.

【答案】兀

【分析】利用正弦函數(shù)的周期公式直接求解即可

【詳解】/(x)的最小正周期為種=兀.

故答案為：兀

14.已知向量心5的夾角為45。，同=0,且次2,若(而+B)_L5,則4=.

【答案】-2

【分析】先利用數(shù)量積的運算求解W，再利用向量垂直數(shù)量積為0即可求解.

【詳解】因為￡石=|￡陋上(《45。=2得忖=2,

又因為(。+田口,

所以(義￡+44=/1￡石+片=22+4=0,所以；1=一2.

故答案為：-2.

15.第二屆消博會(中國國際消費品博覽會)于2022年5月在海南國際會展中心舉辦,

甲、乙兩人每人從4B,C,。四個不同的消博會展館中選2個去參觀，則他們參觀的

展館不完全相同但都參觀A展館的概率為.

【答案】|

【分析】首先根據(jù)題意得到全部基本事件為36種，再用列舉法列出符合條件的基本事

件，即可得到答案.

【詳解】甲選2個去參觀，有第=6種方法，乙選2個去參觀，有C：=6種方法，

所以共有6x6=36種，

他們參觀的展館不完全相同但都參觀A展館的情況有：(AB,AC),{AB,AD),

(AC,AB),(AC,AO),{AD,AB),(A￡),AC),共6種，

所以對應(yīng)的概率為「=三=」.

366

故答案為：

16.已知拋物線。：、2=22*(2>0)的焦點為尸，第一象限的A,8兩點在C上，若

FALAB,|M|=5,|F5|=13,則直線"的斜率為.

【答案】立

2

【分析】利用拋物線的幾何性質(zhì)，以A8為斜邊，構(gòu)建直角三角形即可求解.

【詳解】如圖所示，設(shè)C的準線為/,分別過A,B作/的垂線，垂足分別為。，E,過

A作于點P.

由拋物線的定義可知|回=|刑=5,|明=|冏=13,所以忸"=13-5=8.又因為

FAVAB,|AB|=V132-52=12,所以|AP|=412?-8?=45行,所以直線A8的斜率

故答案為：字

【點睛】四、解答題

17.在AABC中，角AB,C的對邊分別為。力,。,已知8=b=-a.

35

⑴求sinA；

（2）若。=5,AB邊的中點為。，求8.

【答案】⑴偵

14

⑵萬

【分析】（1）根據(jù)已知條件及正弦定理即可求解；

（1）根據(jù)已知及線段中點的關(guān)系，結(jié)合余弦定理即可求解.

【詳解】（I）在J3C中，由正弦定理三得

sinAsinB

“asinB5.n5>/3

sinA=--------=—xsin—=------.

Z?7314

77

（2）由力=《〃及a=5,得匕=,〃=7,

△ABC中，由余弦定理層=a2+c,2-2accos3,得49=25+c?-5c,

即/—5c—24=0,解得。=8或c=—3（舍），所以AB=8,

又因為48邊的中點為。，所以即80=4,

在△欣））中，由余弦定理得

CD2=BD2+a2-2?xBDxcos^=42+52-2x5x4xcos-=21,

3

所以CD="[.

18.已知數(shù)列｛《,｝的各項均為正整數(shù)且互不相等，記S“為｛4”｝的前n項和，從下面①②③

中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.

①數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列；②數(shù)歹U｛S,,+1｝是等比數(shù)列；③叼=4（4+1）.

注：如選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

【答案】證明見解析

【分析】選擇①②為條件，③為結(jié)論.根據(jù)已知條件及等比數(shù)列的通項公式，再利用等

比數(shù)列前〃項和公式，結(jié)合等比中項即可求解；

選擇①③為條件，②為結(jié)論，據(jù)已知條件及等比數(shù)列的通項公式，再利用等比數(shù)列前〃

項和公式，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可求解；

選擇②③為條件，①為結(jié)論，據(jù)已知條件及等比數(shù)列的通項公式，得出S“+l,再利用凡

與S“+l的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可求解.

【詳解】選擇①②為條件，③為結(jié)論.

證明過程如下：設(shè)等比數(shù)列｛凡｝的公比為g,由題意知4＞。且4rl.

2

則S[+1=4+1,§2+1=4+%q+1,S3+1=q+axq+axq+1,

因為｛S“+l｝是等比數(shù)列,所以氏+1）（，3+1）=（5+1）2,

即（q+l）（q+qq+a|/+l）=（q+a^4-l）2,展開整理得qd=利+的，

所以=+q,即色=4（4+1）.

選擇①③為條件，②為結(jié)論，

證明過程如下：設(shè)｛q｝的公比為必由題意知且4Hl.

因為生=4（4+1）,即44=4（4+1）,因為《＞。，所以q=q+l.

所以S”=40一0'）二％-1）=q”-i,所以S,,+l=q".

i-qq

11M+1

因為E+I=q,=

所以｛S“+l｝是首項為4,公比為q的等比數(shù)列.

選擇②③為條件，①為結(jié)論，

證明過程如下：設(shè)｛*+1｝的公比為。，由題意知。＞0且。=1.

則S.+1=0+1)0T=(4+1)。1,所以％=$2+1-(S,+1)=(4+l)(e-D,

又因為%=4(4+l),且q+1>0,所以4=。-1.所以S"+l=?！?

當〃22時，q=S,+1—(S,z+1)=Q"-。一=(。一I)。"-，

/=(。-叱

所以=0，

a；(Q-1)Q"2

所以｛氏｝是首項為。-1,公比為Q的等比數(shù)列.

19.如圖，正三棱柱ABC-A4G的高和底面邊長均為2,點尸，。分別為A￡,BC的

中點.

(1)證明：平面AQG，平面BCG瓦；

(2)求直線BP與平面AQG所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

(2)1

【分析】(1)由于AABC是正三角形，。為BC的中點，可得AQ_LBC,再由正棱柱的

性質(zhì)得則由線面垂直的判定定理可得AQL平面BCGBI，再由面面垂直的

判定定理可證得結(jié)論，

(2)設(shè)線段AC,AG的中點分別為。，。一以。為坐標原點，分別以O(shè)B,0C,00]

所在直線為X,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量求解

【詳解】(1)因為AABC是正三角形，。為8c的中點，所以AQ_L8C,

因為平面ABC,AQu平面ABC,所以

因為8gnBC=B,

所以4。，平面8。(76,

因為AQu平面AQG，

所以平面A2C1.平面Bcqq.

(2)設(shè)線段4C,AG的中點分別為O,Q,以。為坐標原點，分別以。8,0C,。01所

在直線為X,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

(Ji［

因為正三棱柱的底面邊長和高均為2,所以A(0,-l,0),8(6,0,0),。壬，］，。

C.(0,l,2),

「事-；,2，所以麗=-孚-；,2，.=俘1,0］，，患=(0,2,2).

\/\7\7

設(shè)3=(x,y,z)為平面AQG的一個法向量，

_一733

則『相=黃+產(chǎn)°,令z=l,則心

n-AC}=2y+2z=0

設(shè)直線BP與平面42a所成角為。，則

sm”H甌訃彘《

所以直線BP與平面4QC所成角的正弦值為

20.為落實體育總局和教育部發(fā)布的《關(guān)于深化體教融合，促進青少年健康發(fā)展的意見》,

某校組織學生加強100米短跑訓練.在某次短跑測試中，抽取100名男生作為樣本，統(tǒng)

計他們的成績(單位：秒)，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖(每組區(qū)間包含左端

點，不包含右端點).

(1)若規(guī)定男生短跑成績小于13.5秒為優(yōu)秀，求樣本中男生短跑成績優(yōu)秀的概率.

(2)估計樣本中男生短跑成績的平均數(shù).(同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)

(3)根據(jù)統(tǒng)計分析，該校男生的短跑成績X服從正態(tài)分布N(〃,1.22?),以(2)中所求的

樣本平均數(shù)作為〃的估計值.若從該校男生中隨機抽取10人，記其中短跑成績在

［12.56,17.44似處的人數(shù)為匕求尸(YW1).

附：若Z~N(M，O2),則P(〃一2b4ZM〃+2b)=0.9545.O.954510?0.6277.

【答案】⑴0.11

⑵15

(3)0.3723

【分析】(1)先由頻率分布直方圖求出“，然后可得出答案.

(2)根據(jù)平均數(shù)的公式可得答案.

(3)由(2)知〃=15,由正態(tài)分布求出該校男生短跑成績在［12.56,17.44］以外的概率，根

據(jù)題意Y~8(10,0.0455),從而可得答案.

【詳解】⑴由頻率分布直方圖可得2a+0.08+0.09+0.22+0.24+0.33=l,

解得a=0.02,

所以樣本中男生短跑成績優(yōu)秀的概率為002+0.09=0.11.

(2)估計樣本中男生短跑成績的平均數(shù)為

12x0.02+13x0.09+14x0.22+15x0.33+16x0.24+17x0.08+18x0.02-15.

⑶由(2)知〃=15,所以X~N(15,1.222),

所以該校男生短跑成績在［12.56,17.44］以外的概率為

1-P(12.56<X<17.44)=1-0.9545=0.0455.

根據(jù)題意丫~8(10,0.0455),

所以P(y*1)=1-尸(V=0)=1-0.9545”>=1-0.6277=0.3723.

2L已知橢圓0J+

g=的離心率為不，且經(jīng)過點心

(1)求C的方程;

(2)動直線/與圓O:/+y2=i相切，與C交于M,N兩點，求。到線段MN的中垂線的

最大距離.

【答案】(1號+9=1

嗚

c2>/2

——---

a3

【分析】(1)首先根據(jù)題意列出方程組?+2=1,再解方程組即可.

a~b-

a~=b~+c~

(2)當/的斜率不存在時，。到中垂線的距離為0.當/的斜率存在時，設(shè)

l:y=kx+m(k^0),M(A,,y,),N?,%).根據(jù)直線與圓相切得到M+1,求出

I8kmI

中垂線得到。到中垂線的距離為41口弘21,再利用基本不等式即可得到答案.

c2正

e=—=----

a3

1a=3

63_i

【詳解】(1)由題知:/+屏=1解得。=1

c=2\[2

a2=及+c2

所以C的方程為'+y2=i.

(2)當/的斜率不存在時，線段MN的中垂線為x軸，此時。到中垂線的距離為0.

當/的斜率存在時，設(shè)/：y=H+砥&片0),“(ay),可(孫％).

因為/與圓f+y2=l相切，則。至心的距離為市g(shù)=l,所以病=公+1.

X2_]

~9+y=,得(1+9公)/+18^^+9加2—9=0,

)y=kx+m

則EI芭+'2=一18百k〃，r可z得nM…NM的A中u點i為d/「中910n，帝m后、｝

則MN的中垂線方程為'=一:1+^^[1T梟，即X+6，+￡^=0.

I8kmI