2022年全國(guó)乙卷高考數(shù)學(xué)真題（含答案解析）

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)（理科）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)全集U={1,2,3,4,5},集合M滿(mǎn)足Q,M={1,3},則（）

A.B.3eMC.4^MD.5史〃

【答案】A

【分析】先寫(xiě)出集合M,然后逐項(xiàng)驗(yàn)證即可

【詳解】由題知M={2,4,5},對(duì)比選項(xiàng)知，A正確,BCD錯(cuò)誤

故選:A

2.已知z=l—2晨且z+a2+/?=0,其中a,b為實(shí)數(shù)，則（）

A.a=l,b=-2B,a=-\,b=2

C.a=l,b=2D,a=~\,b=—2

【答案】A

【分析】先算出5，再代入計(jì)算，實(shí)部與虛部都為零解方程組即可

【詳解】J=1+2i

z+應(yīng)+人=1-2i+a（l+2i）+力=（1+a+Z?）+（2a-2）i

l+a+Z?=0\a-\

由z+應(yīng)+Z?=0,得c八，即‘，c

2a-2=0[b=-2

故選:A

3.已知向量21滿(mǎn)足|Z|=1,歷|=G,0一2萬(wàn)|=3,則￡0=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)給定模長(zhǎng)，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求解即可.

【詳解】解：,.?|"25|2=|可2—4無(wú)5+4時(shí),

又?.?|川=1,|5|=6,陌—沙|=3,

?■?9=1-4小5+4乂3=13-4無(wú)5，

??a-b=\

故選：C.

4.嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第一顆環(huán)繞太陽(yáng)飛行的

人造行星，為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列{2}:々=1+工，

%

〃>=[-*---------3]

22+1_，?i+-----「，…，依此類(lèi)推，其中&€?4*/=1,2,...).則

1<2,^-----

?3

()

A.b、<b5B.83<瓦C.h6<b2D.b4<b-,

【答案】D

【分析】根據(jù)?,eN*(左=1,2,-),再利用數(shù)列也｝與%的關(guān)系判斷｛b?｝中各項(xiàng)的大小,

即可求解.

【詳解】解:因?yàn)椋N*(左=1,2,…),

1—>------

所以/<%+—,a.1,得到白>女，

a、1%+

■?2

11

OLxH----->囚H---------

同理a2〃上1，可得仇</，仇>々

1111

工〉ia,4----------<<2,H-----------

又因?yàn)?a2+-----p

。3-----

4

故％<4,%>，；

以此類(lèi)推，可得4>4>用>4>…，b>瓦,故A錯(cuò)誤；

b\>b[)b&,故B錯(cuò)誤；

11

京,I

-。2+--------「，得仇<",故C錯(cuò)誤；

4+-----

%

11

?>+--------j—>?|+----------j—

%+-----]%+…-----]，得d<白，故D正確.

%+—4+—

。4?7

故選：D.

5.設(shè)F為拋物線(xiàn)C:y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)仇3,0),^\AF\=\BF\,則恒卻=

()

A.2B.2A/2C.3D.3亞

【答案】B

【分析】根據(jù)拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線(xiàn)的距離相等，從而求得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得

點(diǎn)A坐標(biāo)，即可得到答案.

【詳解】由題意得，F(xiàn)（1,O）,則|A目=忸尸|=2,

即點(diǎn)A到準(zhǔn)線(xiàn)％=-1的距離為2,所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-1+2=1,

不妨設(shè)點(diǎn)A在x軸上方，代入得，A（l,2）,

所以|=^（3-1）2+（0-2）2=2V2

故選：B

6.執(zhí)行下邊的程序框圖，輸出的（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】根據(jù)框圖循環(huán)計(jì)算即可.

【詳解】執(zhí)行第一次循環(huán)，〃=〃+2。=1+2=3,

。=。一。=3-1=2,〃=〃+1=2,

h2321

—-2==->0.01

a2224

執(zhí)行第二次循環(huán)，b=。+2。=3+4=7,

。=。一。=7-2=5,〃=〃+1=3,

b27?2

2

2F-—>0.01

a25

執(zhí)行第三次循環(huán)，》=。+2?=7+10=17,

。=匕一。=17-5=12,〃=〃+1=4,

b21721

--2=—y-2=——<0.01,此時(shí)輸出〃=4.

a212-144

故選：B

7.在正方體ABC。-ABCA中，E,尸分別為AB,8C的中點(diǎn)，則()

A.平面B1EF±平面BDDyB.平面B.EF±平面\BD

C.平面用七///平面4ACD.平面與七///平面AG。

【答案】A

【分析】證明防_L平面，即可判斷A；如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)48=2,分別求出平面耳￡7"A{BD,AG。的法向量，根據(jù)法向量的位置關(guān)系，即

可判斷BCD.

【詳解】解：在正方體ABCD-ABC。中，

47,8。且￡>￡>1_L平面ABCD,

又所u平面ABCD，所以￡尸，。9，

因?yàn)橥呤謩e為AB,BC的中點(diǎn)，

所以EF口AC,所以EFJ.5O,

又BDCDD尸D,

所以EE_L平面8。。，

又EFu平面片97,

所以平面與EFJ?平面BDD,,故A正確；

如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2,

則4(2,2,2),E(2,l,0),b(l,2,0),8(2,2,0)，A(2,0,2),A(2,0,0),C(0,2,0),

C,(0,2,2),

則赤=(-1,1,0),可=(0,1,2),麗=(2,2,0),西=(2,0,2),

麗=(0,0,2),m=(-2,2,0),隔=(-2,2,0),

設(shè)平面的法向量為"2=(Xi，X，zJ,

m-EF--x+x=0

則有《t，可取而=（2,2,—1）

m-EBy=y+2Z[=0

同理可得平面AB。的法向量為％'=（1,T,T），

平面4AC的法向量為后=（1,1,0）,

平面的法向量為鼠=（1,1,一1）,

則/"?勺=2—2+1=1/0,

所以平面gEF與平面不垂直，故B錯(cuò)誤;

UU

因?yàn)槎c〃2不平行，

所以平面gEF與平面4AC不平行，故C錯(cuò)誤;

因?yàn)榍芭c無(wú)不平行，

所以平面用EF與平面4G。不平行，故D錯(cuò)誤,

故選：A.

8.已知等比數(shù)列｛4｝的前3項(xiàng)和為168,%-%=42,則4=（）

A.14B.12C.6D.3

【答案】D

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q,qw（）,易得根據(jù)題意求出首項(xiàng)與公比，再根

據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)即可得解.

【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4國(guó)力（），

若4=1,則。2-%=。，與題意矛盾，

所以4H1,

q(i-0q=96

則卜?+%+%=]_q=168解得，1

Q=-

a2—a5=qg—a聞4-42

所以4==3.

故選：D.

9.已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為O,底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球。的球面上，則當(dāng)該

四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（）

A.-B.1C.3D.也

3232

【答案】C

【分析】先證明當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)。到底面A8CO所在小圓距離一定時(shí)，底面ABC。面積最

大值為2r2,進(jìn)而得到四棱錐體積表達(dá)式，再利用均值定理去求四棱錐體積的最大值，從而

得到當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)其高的值.

【詳解】設(shè)該四棱錐底面四邊形A8C。，四邊形A8C。所在小圓半徑為r,

設(shè)四邊形ABC。對(duì)角線(xiàn)夾角為a,

111,

則SABCD=-ACBD-sintz<-ACBD<--2r-2r=2r2

（當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)等號(hào)成立）

即當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)O到底面ABCO所在小圓距離一定時(shí)，底面4BC。面積最大值為2r2

又/+=1

貝叱“凈/當(dāng)中右串佇守［書(shū)

?J?Jw/VD////

當(dāng)且僅當(dāng)產(chǎn)=2h2即h1時(shí)等號(hào)成立，

故選：C

10.某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤(pán)，各盤(pán)比賽結(jié)果相互獨(dú)立.已知該棋手與甲、

乙、丙比賽獲勝的概率分別為P1，P2，P3,且P3>P2>PI>。.記該棋手連勝兩盤(pán)的概率為

P，則（）

A.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無(wú)關(guān)B.該棋手在第二盤(pán)與甲比賽，p最大

C.該棋手在第二盤(pán)與乙比賽，p最大D.該棋手在第二盤(pán)與丙比賽，〃最大

【答案】D

【分析】該棋手連勝兩盤(pán)，則第二盤(pán)為必勝盤(pán).分別求得該棋手在第二盤(pán)與甲比賽且連勝兩

盤(pán)的概率P甲；該棋手在第二盤(pán)與乙比賽且連勝兩盤(pán)的概率P乙；該棋手在第二盤(pán)與丙比賽

且連勝兩盤(pán)的概率P丙.并對(duì)三者進(jìn)行比較即可解決

【詳解】該棋手連勝兩盤(pán)，則第二盤(pán)為必勝盤(pán)，

記該棋手在第二盤(pán)與甲比賽，且連勝兩盤(pán)的概率為P甲

則p甲=2(1-P2)P]p3+2P2Pl(1—P3)=2Pl(P2+P3)-4P|p2P3

記該棋手在第二盤(pán)與乙比賽，且連勝兩盤(pán)的概率為。乙

則P乙=2(1-Pi)p2P3+2Plp2(1-p3)=2P2(P1+P3)-4Plp2P3

記該棋手在第二盤(pán)與丙比賽，且連勝兩盤(pán)的概率為P丙

則P丙=2(1—P1)p3P2+2P|P3(1-P2)=2〃3(P|+P2)-48P28

則〃甲一P乙=2P|(“2+)-4P|P2P3-[2.2(P|+“3)-4P|p2P3]=2(P]-%)“3＜0

〃乙一P丙=2〃2(Pl+〃3)-4“2〃3一[2“3(〃|+〃2)-4"2〃3]=2(“2一〃3)＜0

艮口。甲＜反，P乙＜P丙，

則該棋手在第二盤(pán)與丙比賽，P最大.選項(xiàng)D判斷正確；選項(xiàng)BC判斷錯(cuò)誤；

P與該棋手與甲、乙、丙的比賽次序有關(guān).選項(xiàng)A判斷錯(cuò)誤.

故選：D

11.雙曲線(xiàn)。的兩個(gè)焦點(diǎn)為E，K，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為D,過(guò)6作。的切線(xiàn)與C

3

交于M,N兩點(diǎn)，且cos/片Ng=《，則。的離心率為()

A.好B.-C.2mD.^2-

2222

【答案】C

【分析】依題意不妨設(shè)雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)在X軸，設(shè)過(guò)耳作圓。的切線(xiàn)切點(diǎn)為G,可判斷N在雙

曲線(xiàn)的右支，設(shè)/6叫=。，NK￡N=p,即可求出sina,sin/,cos/，在口

中由sin/KgN=sin(a+〃)求出sin/K^N,再由正弦定理求出加耳|,加6|,最后

根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義得到2Z?=3a,即可得解；

【詳解】解：依題意不妨設(shè)雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)在x軸，設(shè)過(guò)￡作圓。的切線(xiàn)切點(diǎn)為G,

3

所以。G，N￡,因?yàn)閏osN^Nf；=弓＞0,所以N在雙曲線(xiàn)的右支，

所以|OG|=a,|OFj|=c,|G娟=力，設(shè)/片叫=環(huán)KRN=。,

由COS/EN&=3,即cosa=3,ijiijsin,sin/?=—,cos/?=—,

在口瑪EN中,sinZ-Fx&N=sin（中一a_/?）=siv（a+夕）

.門(mén).八4〃3[3。+4〃

sinacos[3+cosasin[3=—x—+-x—=------

5c5c5c

2c_|叫|_|N凰=5c

由正弦定理得

sinasin/?sinZ.FyF2N2

所以|N￡|=^sinN6KN=^x^^=^1^,|N周=￡sin￡=￡x/=1l

又防.I"卜嚀號(hào)=竺言=2a,

b3

所以2〃=3Q,即一二不，

a2

12.已知函數(shù)f(x),g(x)的定義域均為R,且/《)電0封專(zhuān)心H-7=.若

22

y=g(x)的圖像關(guān)于直線(xiàn)X=2對(duì)稱(chēng)，g(2)=4,則￡/(2)=()

4=1

A.-21B.-22C.-23D.-24

【答案】D

【分析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)性和已知條件得到/。)+/(尤-2)=-2,從而得到

〃3)+〃5)+…+〃21)=-10,〃4)+/(6)+…+〃22)=-10,然后根據(jù)條件得到

/(2)的值，再由題意得到g(3)=6從而得到了(1)的值即可求解.

【詳解】因?yàn)閥=g。)的圖像關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng)，

所以g(2-x)=g(x+2),

因?yàn)間(x)-/(x—4)=7,所以g(x+2)-/(x—2)=7,即g(x+2)=7+f(x-2),

因?yàn)?(x)+g(2-x)=5,所以/(x)+g(x+2)=5,

代入得/(x)+[7+y(x-2)]=5,即/(x)+/(x—2)=-2,

所以/(3)+/(5)+…+/(21)=(—2)x5=-10,

/(4)+/(6)+...+/(22)=(-2)x5=-10.

因?yàn)?(x)+g(2—x)=5,所以/(0)+g⑵=5,即"0)=1,所以

/(2)=-2-/(0)=-3.

因g(x)-/(尤一4)=7,所以g(x+4)-/(x)=7,又因?yàn)?(九)+g(2-x)=5,

聯(lián)立得，g(2-x)+g(x+4)=12,

所以y=g(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(3,6)中心對(duì)稱(chēng)，因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的定義域?yàn)镽,

所以g⑶=6

因?yàn)?(x)+g(x+2)=5,所以〃l)=5-g⑶=一1.

所以

22

2/(%)=川)+〃2)+[〃3)+〃5)+...+/(23+[〃4)+〃6)+...+〃22)]=-1-3-10-10=-24

k=\

故選：D

【點(diǎn)睛】含有對(duì)稱(chēng)軸或?qū)ΨQ(chēng)中心的問(wèn)題往往條件比較隱蔽，考生需要根據(jù)已知條件進(jìn)行恰當(dāng)

的轉(zhuǎn)化，然后得到所需的一些數(shù)值或關(guān)系式從而解題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為

3

【答案】

【分析】根據(jù)古典概型計(jì)算即可

【詳解】從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名的方法數(shù)為C；=10

3

甲、乙都入選的方法數(shù)為C；=3,所以甲、乙都入選的概率。=而

3

故答案為：-

14.過(guò)四點(diǎn)((),0),(4,()),(7,1),(4,2)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為

2

A：

［答案］(x_2『+(y_3)2=13或(x—2)2+(y—l)2=5或+y或

［-l19

2

8、(N169

x——+(y-l)=——

57i'25

【分析】設(shè)圓的方程為^+丫2+6+或+尸=0,根據(jù)所選點(diǎn)的坐標(biāo)，得到方程組，解得即

可;

【詳解】解：依題意設(shè)圓的方程為丁+丫2+。*+8，+尸=0,

F=0F=0

若過(guò)(o,o),(4,0),(-1,1),則＜16+4D+F=0,解得＜D=-4,

l+l-D+E+F=0E=-6

所以圓的方程為f+丁_4x—6y=0,即(x—2『+(y-3『=13；

F=0F=0

若過(guò)(0,0),(4,0),(4,2),則＜16+4D+F=0,解得，D=—4,

16+4+4Z)+2￡+F=0E=-2

所以圓的方程為f+V—4x—2y=0,即(x—2y+(y—l)2=5；

尸=0

F=0

8

若過(guò)(0,0),(4,2),(-1,1),則＜1+1-O+E+/=0,解得D=-

3

16+4+4D+2E+F=0

14

E

T

、8114(47265

所以圓的方程為/+>29一§》一—y=0,即x——

3I~9

?16

F=-----

\+\-D+E+F=Q5

若過(guò)(Tl),(4,0),(4,2),則|16+4。+/=0,解得，0」

5

16+4+4D+2E+F=0

E=-2

2

16168、八2169

所以圓的方程為x9+y9——x—2y——=0,即x——+z(y-l)=—

57i)25

\22

465

故答案為:(x_2y+(y_3『=]3或(x_2『+(y_l)2=5或x——+

37~9

169

或

+(1)-25

15.記函數(shù)/(x)=cos((yx+9)(?y>0,0<°<7i)的最小正周期為T(mén),若

71

X=3?為/(X)的零點(diǎn)，則出的最小值為.

【答案】3

【分析】首先表示出T，根據(jù)/(7)=等求出夕，再根據(jù)x=已為函數(shù)的零點(diǎn)，即可求出“

的取值，從而得解：

【詳解】解：因?yàn)?(X)=COS(0X+Q),(0>0,0<°<兀)

所以最小正周期丁=號(hào)，因?yàn)?f(T)=(2n\

COSCD-----\-(p=COS(2元+夕)=cos(p-

\CO)

又所以°即兀

=4，/(x)=cos69X+一

66

又工=:為/(x)的零點(diǎn)，所以W①+5='+%兀，左eZ,解得3=3+9%,ZeZ,

9962

因?yàn)椤?gt;0,所以當(dāng)左=0時(shí)4而=3；

故答案為：3

16.已知x=F和x=z分別是函數(shù)/(x)=2優(yōu)一e/(a>0且)的極小值點(diǎn)和極大

值點(diǎn).若則。的取值范圍是.

【答案】化1

le)

【分析】由對(duì)々分別是函數(shù)/(x)=2/一eV的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，可得

》€(wěn)(—8,2)口(工2，+00)時(shí)，./''(》)<°，無(wú)G(X1,尤2)時(shí)，/'(X)〉0,再分a>l和0<〃<1

兩種情況討論，方程21na?詭—2ex=0的兩個(gè)根為占，占，即函數(shù)y=lna?優(yōu)與函數(shù)

>=e龍的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)g(x)=lna?"，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的結(jié)合意義結(jié)合圖

象即可得出答案.

【詳解】解：f'(x)=2lna-ax-2ex,

因?yàn)檎?占分別是函數(shù)“X）=2優(yōu)-ef的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，

所以函數(shù)“X）在（-8,%）和（々,+8）上遞減，在（和乙）上遞增，

所以當(dāng)xe（-oo,xjD（X2，+°°）時(shí)，/'（*）<0，當(dāng)》6（5,工2）時(shí)，/*（%）>0,

若a>l時(shí)，

當(dāng)無(wú)<0時(shí)，2\na-ax>0,2ex<0,

則此時(shí)r（x）〉o,與前面矛盾，

故”>1不符合題意，

若0<Q<1時(shí)，

則方程21n。?優(yōu)一2e%=0的兩個(gè)根為王，/，

即方程=ex的兩個(gè)根為AW，

即函數(shù)y=lna?就與函數(shù)y=ex的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

令g（x）=Ina?優(yōu)，則，（x）=In24z-av,0<a<\,

設(shè)過(guò)原點(diǎn)且與函數(shù)y=g（x）的圖象相切的直線(xiàn)的切點(diǎn)為（公/nG*）,

則切線(xiàn)的斜率為g'（x0）=In2a-,

故切線(xiàn)方程為y-Xna-a^=ln2a-a”（x-玉）），

2

則有-lna-a"=-x0Ina-a^',

解得冗0=J-，

Ina

則切線(xiàn)的斜率為如2a.就=613,

因?yàn)楹瘮?shù)y=lna-"與函數(shù)y=ex的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn),

所以eln?a＜e,解得，＜a＜e,

e

又0＜。＜1,所以＜1,

e

綜上所述，。的范圍為

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的極值點(diǎn)問(wèn)題，考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了轉(zhuǎn)化思想及分類(lèi)討

論思想，有一定的難度.

三、解答題：共0分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21

題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求

作答.

（一）必考題：共60分.

17.記DABC的內(nèi)角的對(duì)邊分別為a/,c,己知

sinCsin（A-B）=sinBsin（C-A）.

（1）證明：2a之=b2+c2i

（2）若a=5,cosA=,求匚ABC的周長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）14

【分析】（1）利用兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦定理和余弦定理化角為邊，從而即可

得證；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合余弦定理求出〃c,從而可求得匕+C,即可得解.

【小問(wèn)1詳解】

證明:因?yàn)閟inCsin（A-B）=sinBsin（C-A）,

所以sinCsinAcosB—sinCsinBcosA=sinBsinCcosA—sinBsinAcosC，

222211122

rrr,a+c-b..b+C-a.a+b-c

所以ac-----------------2bc------------=-ab------------，

lac2bclab

a2+c2-b2/22\a2+b2-c2

H即------------[b2+c-a-）=------------,

所以2a2=b2+c2i

【小問(wèn)2詳解】

25

解：因?yàn)閍=5,cosA=^-,

由（1）得〃+。2=50，

由余弦定理可得/=/?2+c2-2bccosA>

則50-%c=25,

31

31

所以。c=一，

2

故9+c）2=b2+c2+2bc=50+3l=Sl,

所以〃+c=9，

所以DABC的周長(zhǎng)為a+/?+c=14.

18.如圖，四面體ABCZ）中，ADA.CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E為AC的中點(diǎn).

（1）證明：平面BEDJ_平面AC。；

（2）設(shè)46=8。=2,△4。8=60°,點(diǎn)尸在6。上，當(dāng)尸C的面積最小時(shí)，求C尸與

平面A8O所成的角的正弦值.

【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析

（2）C戶(hù)與平面ABO所成的角的正弦值為迪

7

【分析】（1）根據(jù)已知關(guān)系證明ZVIB/注△C3O,得到AB=CB,結(jié)合等腰三角形三線(xiàn)

合一得到垂直關(guān)系，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；

（2）根據(jù)勾股定理逆用得到3EJ.OE,從而建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線(xiàn)面角的運(yùn)算法

則進(jìn)行計(jì)算即可.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)锳D=C￡>,E為AC的中點(diǎn)，所以AC_LOE；

在△ABO和口。3。中，因?yàn)锳O=CO,NADB=ZCDB,DB=DB,

所以△A3。且△CBZ）,所以A8=（方，又因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以ACL6E；

又因?yàn)镺E,3Eu平面BE。，DEcBE=E,所以AC，平面BE。，

因?yàn)锳Cu平面AC。，所以平面BE。，平面ACD.

【小問(wèn)2詳解】

連接由（1）知，AC_L平面BED，因?yàn)镋Fu平面BE。,

所以AC_L所，所以SOFC=；AOEF,

當(dāng)時(shí)，最小，即△回（：的面積最小.

因?yàn)椤鰽3。絲△CBD,所以CB=A5=2,

又因?yàn)镹ACB=60。，所以DABC是等邊三角形，

因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以AE=EC=1,BE=C，

因?yàn)锳OLC。，所以。E=，AC=1,

2

在口。中，DE2+BE2=BD2>所以BELOE.

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E-xyz,

則A（l,0,0）,B（0,百,0）,D（0,0,l）,所以標(biāo)=（-1,0,1）,麗=卜1,百,0卜

設(shè)平面A3。的一個(gè)法向量為3=（x,y,z）,

n*AD=-x+z=0

則取>=6，則）=（3,6,3）,

n-AB=-x+ypiy=0

百3、

又因?yàn)镃（—l,0,0）,尸［0,行qj,所以存=‘彳可

設(shè)CF與平面ABO所成的角的正弦值為0W6<,

I2）

sin0=|cos(n,CF^|=—,

所以CN與平面ABO所成的角的正弦值為迪.

7

19.某地經(jīng)過(guò)多年的環(huán)境治理，己將荒山改造成了綠水青山.為估計(jì)一林區(qū)某種樹(shù)木的總材

積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹(shù)木，測(cè)量每棵樹(shù)的根部橫截面積（單位：n?）和材積量（單

位：U?），得到如下數(shù)據(jù)：

樣本號(hào)i12345678910總和

根部橫截面積N0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

材積量X.0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并計(jì)算得>>2=0.038,ZV=i6158,=0.2474.

i=li=li=l

（I）估計(jì)該林區(qū)這種樹(shù)木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

（2）求該林區(qū)這種樹(shù)木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；

（3）現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹(shù)木的根部橫截面積，并得到所有這種樹(shù)木的根部橫截面積

總和為186m2.已知樹(shù)木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林

區(qū)這種樹(shù)木的總材積量的估計(jì)值.

fa-君（X-9）

附：相關(guān)系數(shù)r=I「“，/麗”1.377.

￡（%-亍江⑶-9y

Vi=ii=i

【答案】（1）0.06m2；0.39m3

（2）0.97

（3）1209m3

【分析】（1）計(jì)算出樣本的一棵根部橫截面積的平均值及一棵材積量平均值，即可估計(jì)該林

區(qū)這種樹(shù)木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量：

（2）代入題給相關(guān)系數(shù)公式去計(jì)算即可求得樣本的相關(guān)系數(shù)值；

（3）依據(jù)樹(shù)木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，列方程即可求得該林區(qū)這種樹(shù)木的

總材積量的估計(jì)值.

【小問(wèn)1詳解】

樣本中10棵這種樹(shù)木的根部橫截面積的平均值x=—=0.06

樣本中10棵這種樹(shù)木的材積量的平均值y===0.39

據(jù)此可估計(jì)該林區(qū)這種樹(shù)木平均一棵的根部橫截面積為0.06m2,

平均一棵的材積量為0.39m，

【小問(wèn)2詳解】

1010

-可(￥-y)

i=li=l

fu)io/7~ioio\

住(玉-可噌(乂-“

,貨-1。開(kāi):&2-1時(shí)

Vi=li=lV\i=l八i=l)

0.2474—10x0.06x0.39________0.0134_0.0134

?0.97

7(0.038-10x0.062)(1.6158-10x0.392),0.00018960.01377

則“0.97

【小問(wèn)3詳解】

設(shè)該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量的估計(jì)值為Ym3，

又已知樹(shù)木的材積量與其根部橫截面積近似成正比,

…0.06186A…n3

可得不二/==，解之得丫=1209n?.

0.39/

則該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量估計(jì)為1209m3

(3、

20.已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為x軸、y軸，且過(guò)4(0,-2),8彳,一1兩點(diǎn).

(1)求E的方程；

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)P(l,—2)的直線(xiàn)交E于M,N兩點(diǎn)，過(guò)M且平行于x軸的直線(xiàn)與線(xiàn)段AB交于

點(diǎn)T,點(diǎn)H滿(mǎn)足標(biāo)=用.證明：直線(xiàn)HN過(guò)定點(diǎn).

2x2

【答案】(1)匕v+工=1

43

(2)(0,-2)

【分析】(1)將給定點(diǎn)代入設(shè)出的方程求解即可；

(2)設(shè)出直線(xiàn)方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，分情況討論斜率是否存在，即可得解.

【小問(wèn)1詳解】

解：設(shè)橢圓E的方程為爾?+/=1,過(guò)A(0,-2),8|,一1

4n=1

則，9，解得m=1

n=一,

—〃2+〃=I34

[4

所以橢圓E的方程為：二+二=1.

43

【小問(wèn)2詳解】

32

A（0,-2）,B（-,-l）,所以A8:y+2=§x,

22

①若過(guò)點(diǎn)尸（L-2）的直線(xiàn)斜率不存在，直線(xiàn)》=1.代入上+匕=1,

34

可得“（1,半），N（1,-半），代入AB方程y=|x-2,可得

7（指+3,偵），由祈=而'得到H（2j^+5,偵）.求得HN方程:

丁=（2—半）％_2,過(guò)點(diǎn)（。，-2）.

②若過(guò)點(diǎn)尸（1,-2）的直線(xiàn)斜率存在，設(shè)依一y-（A+2）=0,/（%,必）,N（z，乂）?

Ax-y-（&+2）=0

2

聯(lián)立〈Xy2，得（3女2+4）f-6Z（2+攵）x+3Z（左+4）=0,

—+—=1

34

_62（2+左）—8（2+k）

X'+X2=~3k^Tx+百學(xué)百

可得《

3Z（4+Z）4（4+4"2/）’

xx=——力----y2y2

1-393+43^+4

且玉%+々，=際（*）

聯(lián)立12C，可得T（羋+3,y）,H（3x+6—玉，x）.

y=-x-22

I3

可求得此時(shí)HN\y-y^=-~十上----（x-X,）,

3y+6—X]-Aj

將（0,-2）,代入整理得2（玉+%2）-6（弘+%）+玉%+工2y一3yly2-12=0,

將（*）代入，得24左+12/+96+48攵一24%—48—48%+24。-36k2-48=0,

顯然成立，

綜上，可得直線(xiàn)HN過(guò)定點(diǎn)(0,-2).

【點(diǎn)睛】求定點(diǎn)、定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：

①?gòu)奶厥馊胧?，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)：

②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.

21.已知函數(shù)〃x)=ln(l+x)+奴尸

(1)當(dāng)”=1時(shí)，求曲線(xiàn)y=/(尤)在點(diǎn)(0,〃。))處的切線(xiàn)方程；

(2)若/(九)在區(qū)間(一1,0),(0,田)各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

【答案】(1)y=2x

(2)(-oo,-l)

【解析】

【分析】(1)先算出切點(diǎn),再求導(dǎo)算出斜率即可

(2)求導(dǎo)，對(duì)。分類(lèi)討論，對(duì)x分(-1,0),(0,+8)兩部分研究

【小問(wèn)1詳解】

/(X)的定義域?yàn)?-1,+8)

X

當(dāng)。=1時(shí),/(幻=ln(l+x)+—,/(0)=0,所以切點(diǎn)為

e

1]-x

(0,0)/(%)=——+丁,/(0)=2,所以切線(xiàn)斜率為2

1+xe

所以曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線(xiàn)方程為y=2%

小問(wèn)2詳解】

/(x)=ln(l+x)+—

e

c，,、1a(l-x)ex+a[\-x2)

f(x)=----+------=-------------

'1+xev(l+x)ev

設(shè)g(x)=e*+a(l—x2)

1°若a>0,當(dāng)xe(—l,0),g(x)=e'+a(l—J)>。,即/(，)>0

所以/(x)在(-1,0)上單調(diào)遞增,/(x)</(())=0

故/(x)在(-1,0)上沒(méi)有零點(diǎn)，不合題意

2°若一啜h0,當(dāng)Xe(0,+oo)，則g\x)=ex-2ax>0

所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增所以g(x)>g(0)=1+a..0,即f'(x)>0

所以/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,/(x)〉/(())=0

故/(A-)在(0,+8)上沒(méi)有零點(diǎn)，不合題意

3°若"T

⑴當(dāng)X€(0,+8)，則g(x)=e*-20c>0,所以g(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增

g(0)=l+?<0,g(l)=e>()

所以存在m€(0,1)，使得g(/n)=0,即f'(m)=0

當(dāng)xe(0,m),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減

當(dāng)xe(m,+oo),/(x)>0,/(x)單調(diào)遞增

所以

當(dāng)xe(0,m),/(x)</(0)=0

當(dāng)X—>+00,f\x)—>+00

所以/(X)在(m,+co)上有唯一零點(diǎn)

又(0,⑼沒(méi)有零點(diǎn)，即/(X)在(0,+8)上有唯一零點(diǎn)

⑵當(dāng)XG(-l,0),g(x)=e'+a(l—x2)

設(shè)h(x)=g(x)=ev-2ax

h(x)=e*-2Q>0

所以g'(x)在(-1,0)單調(diào)遞增

g(-l)=l+2a<0,g'(0)=l>0

e

所以存在〃G(-1,0),使得g'(〃)=