飛越北極-數(shù)學(xué)建模

PAGE10PAGE10數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)軟件綜合訓(xùn)練《數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)軟件綜合訓(xùn)練》論文訓(xùn)練題目：飛越北極學(xué)生學(xué)號：姓名：計通院信息與計算科學(xué)專業(yè)指導(dǎo)教師：（理學(xué)院）

目錄TOC\o"1-6"\h\z\u一前言 2二飛越北極 31論文摘要 32問題重述與分析 33假設(shè)與模型 43.1模型的假設(shè) 43.2數(shù)據(jù)的說明 43.3模型的建立與求解 54模型評價與推廣 7三總結(jié) 8四參考文獻 9五附錄 9一前言極地航路是指穿越極地區(qū)域的飛行，東航在中美之間的直飛，便選取北極上空的航路，常規(guī)的中美間跨太平洋上空的航路基本是通過一定弧度、圍繞地球的同緯度飛行，而極地航路則是沿經(jīng)線的豎直方向飛行，因此可以避免由此引起的中間經(jīng)停。近幾年中美之間航空客、貨運市場的不斷增大，穿越北極上空的極地航路成為解決這一問題最經(jīng)濟、最有效的方法。據(jù)東航有關(guān)負責(zé)人透露，東航不久將開通上海直飛紐約、芝加哥、西雅圖的航班。美西北航空公司負責(zé)人表示，“我們目前每周有四班到底特律的航班都是跨越極地飛行，使用的是波音747。如今這條航線確實特別具有市場競爭力，使得我們每班飛機的乘坐率上升了不少。”而且選擇這條航線不僅能為乘客節(jié)約旅途時間，不用經(jīng)受途中經(jīng)停之苦，而且對普通乘客來說，從極地經(jīng)過，還可以欣賞極地別具一格的景色，是趟不錯的“極地之旅”。要完成極地航路飛行，航空公司必須具備相當?shù)膶嵙?。因為極地航路具有一些常規(guī)航路所沒有的困難：磁場強烈，對航空器通訊導(dǎo)航設(shè)施有一定影響；常年低溫使上空大氣層溫度達到零下60—70攝氏度，比常規(guī)航路上的大氣溫度低10—20攝氏度，使用普通航空燃油也可能造成一定影響。極地磁場的變化、地面導(dǎo)航設(shè)備的稀少也會對通訊造成干擾越北極開通北京—紐約—北京的往返直飛航班，在我國航空公司還是首次。20年前國航就開通了北京飛紐約的航班，1998年國航與美西北航實行代碼共享后，航線由美西北航執(zhí)行。從9月27日起，由國航繼續(xù)飛這條航線。這對于國航連接北美、包括加拿大有關(guān)地區(qū)到中國北京的航路，為廣大中外旅客提供方便快捷的空中通道，具有十分重要的意義。經(jīng)北極航路直飛紐約，為旅客提供了多方面的便利。1981年1月，國航開通的跨太平洋經(jīng)停舊金山到紐約航線，以及后來經(jīng)停安克雷奇到紐約的航班，旅途都長達17個小時。此次國航將要開通的北極航線，北京—紐約，紐約至北京，單程僅需13小時，比過去減少了3個多小時的飛行時間。由于北京至紐約航線是直飛，免除了過去中途經(jīng)停的諸多不便，減輕了旅客旅途的勞頓，給人以一登飛機，就將要到家的感覺。北極上空氣流平緩，顛簸較少，也提高了旅客乘機的舒適度。另外，這條航線飛機較少，不存在其他航路空中通道擁擠的狀況，同時也為航空公司節(jié)省了燃油，降低了飛行成本。國航經(jīng)由北極航路執(zhí)行正式航班，在國內(nèi)航空公司中還屬首家。北緯78度以北為北極飛行區(qū)域，由于氣候寒冷，過去曾被視為飛行禁區(qū)。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，現(xiàn)在飛越北極已不再危險，目前世界上有20多家航空公司經(jīng)營著北極航線，每周有40有多個航班在北極上空穿梭。這條航路，多年來已經(jīng)成為連接歐亞、美亞大陸的快捷空中通道。國航北極航路直飛紐約驗證飛行的成功，表明國航有能力完成由北極航路直航紐約的飛行任務(wù)，展示了國航在飛行技術(shù)、運行管理、安全保障等方面的新水平，對國航成長和發(fā)展來說是一個重要的里程碑。北京航空航天大學(xué)飛行力學(xué)專家方振平教授認為：從經(jīng)濟角度講，因為成本的降低和航線的選擇有直接關(guān)系，極地飛行縮短了航程，節(jié)約燃油費用和起降費用，大大提高了效益降低了成本。將來每位乘客的機票價都可能降下來，對航空公司來說，極地航線的開辟，將提高中國民航在國際上的價格競爭力。從安全角度講，航程的縮短應(yīng)該能提高安全系數(shù)，過去去美國我們要跨越太平洋，一方面是遠，另一方面氣流也大，而極地飛行與之相比應(yīng)該更安全，因為極地飛行能減少高空風(fēng)的影響。從技術(shù)角度講，極地飛行克服了北極強烈地磁影響，跨越了一個技術(shù)門檻，是中國民航史上的一個里程碑。最后還要指出，這條航線因為是直飛，不必轉(zhuǎn)機，比過去方便了不少。應(yīng)該說當極地飛行成為中國民航的普通航線后，中美之間有了一條既安全又便捷又經(jīng)濟的通道。二飛越北極1論文摘要本文將“飛行時間節(jié)約4小時”的問題，在飛行速度恒定的條件下，轉(zhuǎn)化為計算飛機航程的問題。通過采用計算機模型繪出的飛機飛行航線，建立了兩個數(shù)學(xué)模型;并且通過對模型的分析，采用MATLAB編程計算球面距離。對于模型1，采用立體幾何知識求球面距離的方法，得出從北京直接到底特律的時間為10.18734h，而按飛機的原航線則至少需14.17793h，所以至少節(jié)省時間為3.19059h。對于模型2，采用參數(shù)方程得出緯度與經(jīng)度之間的函數(shù)關(guān)系，然后用積分方法求得球面距離，最后求出節(jié)省時間為4.12891h。因此，通過對飛行航線和球體的分析可證明“飛越北極，可節(jié)省時間為4小時”的命題。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型；球面距離；時間2問題重述與分析2000年6月，揚子晚報發(fā)布消息："中美航線下月可飛越北極，北京至底特律可節(jié)省4小時"，摘要如下：7月1日起，加拿大和俄羅斯將允許民航班機飛越北極，此改變可大幅度縮短北美與亞洲間的飛行時間，旅客可直接從休斯敦，丹佛及明尼阿波利斯直飛北京等地。據(jù)加拿大空中交通管制局估計，如飛越北極，底特律至北京的飛行時間可節(jié)省4個小時。由于不需中途降落加油，實際節(jié)省的時間不止此數(shù)。假設(shè)：飛機飛行高度約為10公里，飛行速度約為每小時980公里；從北京至底特律原來的航線飛經(jīng)以下10處：A1(北緯31度，東經(jīng)122度)； A2(北緯36度，東經(jīng)140度)；A3(北緯53度，西經(jīng)165度)； A4(北緯62度，西經(jīng)150度);A5(北緯59度，西經(jīng)140度)； A6(北緯55度，西經(jīng)135度)；A7(北緯50度，西經(jīng)130度)； A8(北緯47度，西經(jīng)125度)；A8(北緯47度，西經(jīng)122度)； A10(北緯42度，西經(jīng)87度)。請對"北京至底特律的飛行時間可節(jié)省4小時"從數(shù)學(xué)上作出一個合理的解釋，分兩種情況討論：（1）設(shè)地球是半徑為6371千米的球體；（2）設(shè)地球是一旋轉(zhuǎn)橢球體，赤道半徑為6378千米，子午線短半軸為6357千米。分析：根據(jù)飛行時間(T)=，V是已知恒定的，所以T主要取決于S，于是問題的關(guān)鍵在于如何求得S。飛機飛行的最優(yōu)弧我們可以理解為就是兩點之間的球面距離，所以原航線的路程就是每兩個路經(jīng)之地的球面距離之和，新航線的路程就是北京與底特律的球面距離。3假設(shè)與模型3.1模型的假設(shè)1.不考慮地球的自傳。2.飛機每經(jīng)相鄰兩地的航程，均以曲面上兩點間最短距離進行計算。3.飛機飛行中途不需降落加油，同時忽略升降時間。4.開辟新航線后，飛機由北京經(jīng)過北極上空直飛底特律。5.在整個飛行途中飛機未遭遇到任何障礙物，各地的天氣情況均良好且穩(wěn)定，空氣氣流對飛機的阻力不變。6.飛機飛行的高度和速度大小相對于地球表面始終不變。7.飛機的航向是正對目的地的，重力對飛機的影響處處相同。8.飛機是直上直下的，按兩地間的最優(yōu)弧飛行。3.2數(shù)據(jù)的說明在以下計算中，北京是坐標用A0(400，1160)，底特律的坐標用A11(430，830)，飛機原航線途中符號約定如下表所示。α—緯度β—經(jīng)度α1—圓O1所在平面的緯度，即∠OBO1r1—O1緯度圓的半徑α2—圓O2所在平面的緯度，即∠OAO2r2—O2緯度圓的半徑θ—A、B兩地的經(jīng)度差，即∠BO1CL—A、D對應(yīng)的球面距離γ—A、B對應(yīng)的圓心角V—飛機的飛行速度T—飛機飛行L所需時間t—飛機飛越北極至底特律所需時間t′—飛機按原來航線至底特律所需時間Δt—飛行節(jié)省時間R—飛機到地心的距離表一3.3模型的建立與求解模型Ⅰ：地球是半徑為6371千米的球體。具體模型如圖１所示。由已知條件可知，根據(jù)飛行時間(T)=，V是已知恒定的，所以T主要取決于S，于是問題的關(guān)鍵在于如何求得S。飛機飛行的最優(yōu)弧我們可以理解為就是兩點之間的球面距離，所以原航線的路程就是每兩個路經(jīng)之地的球面距離之和，新航線的路程就是北京與底特律的球面距離。當?shù)厍蚴且话霃綖?371km的球體時，球面上任意兩點之間的球面距離L可以根據(jù)公式L=來計算，所以必須知道兩點所對應(yīng)的圓心角度數(shù)γ與飛機到地心的距離R。R的計算飛機到地心的距離由地球半徑與飛行高度兩部組成，即R=6371+10=6381(km)（2）γ的計算利用立體幾何知識求γ圖1模型1－球體作點A到圓O1上的射影點C在△BO1C中用余弦定理可得：|BC|2=r21+r22-2r1r2在△ABC中用勾股定理可得：|AB|2=r21+r22-2r1r2cosβ+R2(sinα2-sinα1)2在△AOB中用余弦定理可得：|AB|2=2R2(1-cosγ)其中r1=Rcosα1，r2=Rcosα2，最后求得：γ=arccos(sinα1sinα2+cosα1cosα2cosθ)（3）T的計算T=（1）式（4）t與t′的計算把已知條件代入(1)中，可得：用MATLAB語言編程得到了t′=14.7793(h)〈見附錄1〉(5)可節(jié)省的時間計算Δt=t′-t=3.9059(h)模型Ⅱ：地球是一旋轉(zhuǎn)橢球體，赤道半徑為6378千米，子午線短半軸為6357千米。具體模型如圖２所示。解法Ⅰ：當?shù)厍蚴且恍D(zhuǎn)橢球體時，設(shè)球心O到球面上任意一點的長度為ρ，則這一點的參數(shù)方程可表示為：與橢球體方程聯(lián)立得：（a=6388，b=6367）設(shè)A1、A2的坐標為(x1，y1，z1)、(x2，y2，z2)，記過A1、A2，O的平面方程為：Ax+By+z=0(2)將A1、A2的坐標代入(2)式得：利用MATLAB軟件計算得：Ai，Bi(見附錄)。由曲線方程L：可得α與β的關(guān)系A(chǔ)cosαsinβ+Bcosαcosβ=－sinα，利用MATLAB軟件進一步計算得α與β的關(guān)系，所以L的長度為：即可節(jié)省時間為：Δt=(L-L1)/V通過計算機模擬，可以求出Δt=4.12891h〈見附錄2、3〉。同時，根據(jù)各所經(jīng)的地點的空間坐標繪出飛機航線?！匆姼戒?〉4模型評價與推廣上述模型的建立與求解依據(jù)立體幾何、參數(shù)方程和定積分的原理和方法，MATLAB算法科學(xué)，符合實際，結(jié)果精確合理，模型的參數(shù)作適當?shù)男薷暮?，可用于航空控制系統(tǒng)。模型1中因地球是一球體，所以優(yōu)點顯而易見，計算步驟少，方法簡單。相比之下，模型2的計算過程就繁瑣復(fù)雜得多了，但模型2卻比模型1更切合實際。由于在模型1、模型2中，均不考慮地球自轉(zhuǎn)等多種因素對飛機的影響，所以結(jié)果會產(chǎn)生一定誤差，建模中引進了參數(shù)方程的定積分求解比較精確地求出了時間T。三總結(jié)從7月3號開始，我全身心地投入學(xué)習(xí)、備戰(zhàn)數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)軟件綜合訓(xùn)練。學(xué)習(xí)的地點主要是在B館機房中，整個過程下來，我最大的幾點體會：合作意識，相互協(xié)作，互補不足；友情是良好合作的催化劑；學(xué)習(xí)的能力，個人的成長；合理的時間安排；正確的論文格式；算法的設(shè)計。我的題目是：飛越北極。在前期的準備中，我一頭扎進了圖書館，一連看了好幾本關(guān)于數(shù)學(xué)建模的書，通過網(wǎng)絡(luò)，從互聯(lián)網(wǎng)上獲得了很多很多優(yōu)秀的數(shù)學(xué)模型。短短兩周里，我的學(xué)習(xí)態(tài)度有了很大的轉(zhuǎn)變，初中過后，很少這樣有激情地學(xué)過東西，這是第一次。我從理論數(shù)學(xué)看到應(yīng)用數(shù)學(xué)，從優(yōu)化問題看到模糊理論，更在老師，同學(xué)的幫助下，看懂了那篇matlab的程序，終于明白了模擬飛越北極節(jié)省時間的核心思想。

數(shù)學(xué)建模是把現(xiàn)實世界中的實際問題加以提煉，抽象為數(shù)學(xué)模型，求出模型的解，驗證模型的合理性．并用該數(shù)學(xué)模型所提供的解答來解釋現(xiàn)實問題，它是一門將數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用到實際中解決實際問題的學(xué)科。建立模型就是對于現(xiàn)實中的原型．為了某個特定目的，作出一些必要的簡化和假設(shè)。運后適當?shù)臄?shù)學(xué)工具得到一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、它或者能解釋特定現(xiàn)象的現(xiàn)實狀態(tài)，或者能預(yù)測到對象的未來狀況，或者能提供處理對象的最優(yōu)決策或控制?，F(xiàn)實生活中處處都有數(shù)學(xué)，處處都存在著數(shù)模的思想，關(guān)鍵是我們?nèi)狈σ浑p發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的眼睛，缺乏實踐操作的動手能力。數(shù)學(xué)建模課程雖開設(shè)的時間較少，然而其主要思想都已通過王教授那生動的講述深入我的腦海，加上二次的親自動手建模，那種用數(shù)學(xué)的眼光看待問題，分析問題、提出問題、查找資料和自學(xué)等各方面的能力都有了長足的提高。通過這次有意義建?；顒樱刮覍W(xué)習(xí)，創(chuàng)新和研究有了新的理解和認識。這是我第一次感受到數(shù)學(xué)的無處不在，無所不能。我覺得數(shù)學(xué)建模能為學(xué)生提供自主學(xué)習(xí)、自主探索、自主提出問題、自主解決問題的機會，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀念、科學(xué)態(tài)度和合作精神，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生認真求實、崇尚真理、追求完美、講究效益、聯(lián)系實際的學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)習(xí)慣。它能提高學(xué)生應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，從過去強調(diào)數(shù)學(xué)知識的“有用、可用”，到使學(xué)生所學(xué)知識的“想用、能用和會用”，讓學(xué)生更多自主的實踐，把學(xué)習(xí)知識、應(yīng)用知識、探索發(fā)現(xiàn)、使用計算機、培養(yǎng)良好的科學(xué)態(tài)度與思維品質(zhì)更好地結(jié)合起來，使學(xué)生在問題解決的過程中得到學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的實際體驗，加深對數(shù)學(xué)的理解。最大的感悟就是，當時的學(xué)習(xí)不再是被動了，不再是為了應(yīng)付那無聊的考試了，我是為了解決問題而學(xué)習(xí)的（而且是自己非常想弄清楚的問題）。在我看來，這才叫真正的學(xué)習(xí)?！耙淮谓＃K生受益”。我衷心感謝數(shù)學(xué)建模課程，更由衷感謝老師的諄諄教導(dǎo)。四參考文獻[1]梁國業(yè)，數(shù)學(xué)建模，北京市：冶金工業(yè)出版社，2004年。[2]廖健平，MATLAB實用教程，北京：中國水利水電出版社，2008年。[3]包曄，江慧宏，周華莎，“飛越北極”的時間節(jié)省模型，第13卷第4期：200１年。[4]鐘紹軍，駱風(fēng)銀，飛越北極的數(shù)學(xué)模型，，2010-7-2。[5]羅萬成，大學(xué)生數(shù)學(xué)建模案例精選，/matrix/，2007年。[6]葉其孝，大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽輔導(dǎo)教材4，/matrix/2009/0806,2001年。五附錄附錄1a=[40.25531365362595550474742]a=a*pi/180b=[3136536259555047474242]b=b*pi/180c=[5.54185515105553353]c=c*pi/180s=0fori=1:11x(i)=sin(a(i))*sin(b(i));y(i)=cos(a(i))*cos(b(i))*cos(c(i));t(i)=acos(x(i)+y(i))*6381/980;s=s+t(i)end附錄2functionz(n1,c1,c2)t2=[5840153040455055589396]*pi/180;t1=[63.5458401530404550555893]*pi/180;c1=[40.25531365362595550474742]*pi/180;c2=[3136536259555047474242]*pi/180;w=cos(c1)*cos(c2)*sin(t1)-cos(c1)*sin(t2)*cos(c2)*cos(t1);q1=sin(c2)*cos(c1)*cos(t1)-sin(c1)*cos(c2)*cos(t2);q2=sin(c2)*cos(c1)sin(t1)-sin(c1)*cos(c2)*sin(t2);A=q1/wB=q2/wsymsn1n2ps2=solve('p^2*(cos(n1)/6388)^2+(sin(n1)/(6367)^2)=1','p');s1=solve('A*cos(n1)*sin(n2)+B*cos(n2)*cos(n1)=-sin(n1)','n2');symsxyzxxyyzzx=p*cos(n1)*sin(s1);y=p*cos(s1)*cos(n1);z=p*sin(n1);xx=diff(x,'n1');y