新教材人教a版選擇性必修第二冊4.3.2等比數(shù)列的前n項和公式第1課時課件

第1課時等比數(shù)列的前n項和公式及性質(zhì)【目標認知】課程標準學習目標1.探索并掌握等比數(shù)列的前n項和公式.2.理解等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關(guān)系1.能推導等比數(shù)列的前n項和公式.2.能說明等比數(shù)列前n項和公式的特征,能靈活運用求和公式解決一些簡單問題.3.理解等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)

知識點一等比數(shù)列的前n項和課前預習na1

3.公式的函數(shù)特征(1)當q>0且q≠1時,數(shù)列S1,S2,S3,…,Sn,…的圖像是函數(shù)

的圖像上的一群孤立的點.

(2)當q=1時,數(shù)列S1,S2,S3,…,Sn,…的圖像是正比例函數(shù)

的圖像上的一群孤立的點.

課前預習y=Aqx-A(x>0)y=ax(x>0)【診斷分析】

判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)(1)數(shù)列{2n-1}的前99項和為299-1.(

)(2)已知等比數(shù)列{an}的前n項和Sn=4n+a,則a的值為1.(

)課前預習√

×

(3)在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,首項a1=3,前3項和S3=21,則a3+a4+a5=84.(

)(4)數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n+k(k為常數(shù)),{an}不可能是等比數(shù)列.(

)課前預習√[解析]設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由S3=a1(1+q+q2)=21且a1=3,得q2+q-6=0.因為q>0,所以q=2,所以a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=22·S3=84.×

(5)等比數(shù)列{an}中,只要a1>0,公比q>0,則前n項和Sn就可以趨向于+∞.(

)課前預習×

知識點二等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì)課前預習

圖4-3-2SkS2k-SkS3k-S2k課前預習

qqqmSn【診斷分析】

判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)(1)在等比數(shù)列{an}中,Sn是其前n項的和,則S2n,S4n,S6n成等比數(shù)列.(

)(2)在等比數(shù)列{an}中,Sn是其前n項的和,則S2n,S4n-S2n,S6n-S4n成等比數(shù)列.(

)課前預習×[解析]取常數(shù)列1,1,1,…,則S2n=2n,S4n=4n,S6n=6n,S2n,S4n,S6n不成等比數(shù)列.×[解析]取數(shù)列-1,1,-1,…,則S2n=0,S4n-S2n=0,S6n-S4n=0,故S2n,S4n-S2n,S6n-S4n不成等比數(shù)列.(3)在等比數(shù)列{an}中,若前10項的和是10,前20項的和是30,則前30項的和是70.(

)課前預習√[解析]因為數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且S10,S20-S10都不為0,所以S10,S20-S10,S30-S20成等比數(shù)列,所以(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(30-10)2=10×(S30-30),解得S30=70.

備課素材

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備課素材[探索]等比數(shù)列{an}的前n項和公式涉及幾個量?至少要知道幾個量才能求解其余的量?探究點一等比數(shù)列的前n項和公式的基本運算課中探究解:等比數(shù)列{an}的前n項和公式涉及a1,an,Sn,n,q,共五個量,至少要知道其中三個量才能求解其余的量,即已知a1,an,q,n,Sn中任意三個,可求其余兩個,稱為“知三求二”.

課中探究

課中探究

變式

(1)已知等比數(shù)列{an}的公比為q,其前n項和為Sn,若S4=1,S8=17,則an=

.

課中探究

課中探究

[素養(yǎng)小結(jié)]在等比數(shù)列{an}的五個量a1,q,an,n,Sn中,a1與q是最基本的,當條件與結(jié)論間的聯(lián)系不明顯時,均可以用a1與q表示an與Sn,從而列方程組求解.在解方程組時經(jīng)常用到兩式相除達到整體消元的目的,這是方程思想與整體思想在數(shù)列中的具體應用.課中探究探究點二等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì)及應用課中探究例2

(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S4=8,S8=12,求a13+a14+a15+a16的值.(2)在等比數(shù)列{an}中,公比q=3,前80項的和S80=32,求a2+a4+a6+…+a80的值.

課中探究

課中探究

[素養(yǎng)小結(jié)](1)等比數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…成等比數(shù)列(其中Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…均不為0),這一性質(zhì)可直接應用.(2)在與等比數(shù)列的前n項和Sn有關(guān)的運算中,常用到兩種方法:①兩式相除法,即通過兩式相除,構(gòu)造方程(組),進而求得數(shù)列的基本量,然后再代入求解;②整體代入法,即設(shè)而不求,整體代換的方法.兩種方法中都不要忽略對公比q的討論.課中探究拓展

已知等比數(shù)列{an}共有32項,其公比q=3,且奇數(shù)項之和比偶數(shù)項之和少60,則數(shù)列{an}的所有項之和是 (

)A.30 B.60C.90 D.120課中探究[解析]設(shè)等比數(shù)列{an}的奇數(shù)項之和為S1,偶數(shù)項之和為S2,則S1=a1+a3+a5+…+a31,S2=a2+a4+a6+…+a32=q(a1+a3+a5+…+a31)=3S1,又S1+60=S2,所以S1+60=3S1,可得S1=30,S2=90,故數(shù)列{an}的所有項之和是30+90=120.D1.基本量法:在解決等比數(shù)列問題時,如果已知a1,an,n,q,Sn中任意三個,那么可求出其余兩個,這種問題在數(shù)學上常稱為“知三求二”型.解題時通常以a1與q(等比數(shù)列的基本量)為橋梁,利用已知條件建立關(guān)于a1與q的方程組,解方程組后,再具體求解.這是求解等比數(shù)列問題的基本方法.備課素材例1已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,an=96,Sn=189,公比q=2,求a1和n.備課素材

2.適當利用等比數(shù)列前n項和的性質(zhì),可以化繁為簡,化難為易,提高解題效率.備課素材

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例3

等比數(shù)列{an}共有2n項,其和為-240,且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大80,則公比q=

.

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1.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和是Sn,a2=-2,a5=-16,則S6= (

)A.-63 B.63C.-31 D.31課堂評價A

課堂評價C[解析]a3=3S2+2,