新教材人教b版必修第一冊2.1.2一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系課件2

第二章等式一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)XUEXIMUBIAO1.了解一元二次方程的概念，能用配方法求一元二次方程的解集.2.掌握一元二次方程的求根公式并能熟練應(yīng)用.3.理解一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.內(nèi)容索引知識梳理題型探究隨堂演練課時對點(diǎn)練1知識梳理PARTONE形如ax2＋bx＋c＝0的方程為一元二次方程，其中a，b，c為常數(shù)，且a≠0.其中二次項(xiàng)是

，一次項(xiàng)是

，

是常數(shù)項(xiàng)，a，b分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù).ax2bxc知識點(diǎn)一一元二次方程的有關(guān)概念Δ＝b2－4ac根的情況b2－4ac>0方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有

的實(shí)數(shù)根，即x1＝_____________，x2＝_______________b2－4ac＝0方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有

，即x1＝x2＝b2－4ac<0方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)_________兩個不相等兩個相等的實(shí)數(shù)根無實(shí)數(shù)根知識點(diǎn)二Δ＝b2－4ac的取值與根的個數(shù)間的關(guān)系直接開平方法形3如(x－k)2＝t(t≥0)的方程，兩邊

，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程配方法把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)通過

化成(x－k)2＝t(t≥0)的形式，再用

求解公式法一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)滿足b2－4ac≥0，利用求根公式x＝_____________求解開平方配方直接開平方法知識點(diǎn)三一元二次方程的解法因式分解法一元二次方程的一邊為0，另一邊分解成兩個

的乘積，即可化成a(x＋m)(x＋n)＝0(a≠0)的形式，即可解得兩根為：x1＝

，x2＝___一次因式－m－n一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個根分別為x1，x2，則x1＋x2＝______，x1x2＝

.知識點(diǎn)四一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系1.方程ax2＋bx＋x＝0是一元二次方程.(

)2.若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則b2－4ac>0.(

)3.一元二次方程x2＋ax＋a－1＝0有實(shí)數(shù)根.(

)4.方程x2－2x－1＝0的解集為{－1,1}.(

)思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√××√2題型探究PARTTWO例1用配方法求下列一元二次方程的解集：(1)x2＋4x－1＝0；一、配方法求方程的解集解

∵x2＋4x－1＝0，∴x2＋4x＝1，∴x2＋4x＋4＝1＋4，∴(x＋2)2＝5，(2)4x2＋8x＋1＝0.解

移項(xiàng)，得4x2＋8x＝－1.反思感悟用配方法解一元二次方程的步驟(1)移項(xiàng)：把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊.(2)二次項(xiàng)系數(shù)化為1，即方程兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù).(3)配方：方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把左邊配成完全平方的形式.(4)開方：方程兩邊同時開方(直接開平方法)，目的是為了降次，得到一元一次方程.(5)得解：如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負(fù)數(shù)，則判定此方程無實(shí)數(shù)解.跟蹤訓(xùn)練1用配方法解方程2x2－5＋

x＝0.解

Δ＝(－2)2－4×3k＝4(1－3k).因?yàn)榉匠逃袃蓚€不相等的實(shí)數(shù)根，所以Δ>0，即4(1－3k)>0，例2

已知關(guān)于x的一元二次方程3x2－2x＋k＝0，根據(jù)下列條件，分別求出k的范圍.(1)方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；二、一元二次方程判別式的應(yīng)用解因?yàn)榉匠逃袃蓚€相等的實(shí)數(shù)根，所以Δ＝0，即4(1－3k)＝0，(2)方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根.反思感悟一元二次方程的解的情況分為“無實(shí)數(shù)根”、“有兩個相等的實(shí)數(shù)根”、“有兩個不相等的實(shí)數(shù)根”三種情況，注意與判別式的對應(yīng)關(guān)系.跟蹤訓(xùn)練2

試證明：不論m為何值，方程2x2－(4m－1)x－m2－m＝0總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.證明

∵Δ＝[－(4m－1)]2－4×2×(－m2－m)＝24m2＋1＞0，∴不論m為何值時，方程2x2－(4m－1)x－m2－m＝0總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.解由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝－2，x1x2＝－3.例3已知一元二次方程x2＋2x－3＝0的兩根為x1和x2，求下列各式的值：三、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系＝(－2)[(x1＋x2)2－3x1x2]＝(－2)[(－2)2－3×(－3)]＝－26.解因?yàn)?x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(－2)2－4×(－3)＝16.(2)|x1－x2|(x1＋x2).所以|x1－x2|(x1＋x2)＝4×(－2)＝－8.反思感悟在求含有一元二次方程兩根的代數(shù)式的值時，利用根與系數(shù)的關(guān)系解題可起到化難為易、化繁為簡的作用.在計(jì)算時，要先根據(jù)原方程求出兩根之和與兩根之積，再將代數(shù)式變形為局部含有兩根之和與兩根之積的形式，然后代入求值.解根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝－3，x1x2＝－1.跟蹤訓(xùn)練3已知一元二次方程x2＋3x－1＝0的兩根分別是x1，x2，請利用根與系數(shù)的關(guān)系求：3隨堂演練PARTTHREE1.用配方法解下列方程時，配方有錯誤的是A.x2－2x－99＝0化為(x－1)2＝100B.x2＋8x＋9＝0化為(x＋4)2＝2512345√解析

x2＋8x＋9＝0配方應(yīng)為(x＋4)2＝7.2.方程2(x－3)＝3x(x－3)的解集為12345√解析

2(x－3)＝3x(x－3)，移項(xiàng)得2(x－3)－3x(x－3)＝0，整理得(x－3)(2－3x)＝0，x－3＝0或2－3x＝0，3.已知α，β是一元二次方程x2＋x－2＝0的兩個實(shí)數(shù)根，則α＋β－αβ的值是A.3 B.1 C.－1 D.－312345解析∵α，β是方程x2＋x－2＝0的兩個實(shí)數(shù)根，∴α＋β＝－1，αβ＝－2，∴α＋β－αβ＝－1＋2＝1，故選B.√123454.關(guān)于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則m的值為__.解析

∵關(guān)于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝b2－4ac＝0，即22－4(m－1)＝0，解得m＝2.2123455.關(guān)于x的一元二次方程x2＋2x－2m＋1＝0的兩個實(shí)數(shù)根為負(fù)，則實(shí)數(shù)m解析設(shè)方程的兩個實(shí)數(shù)根為x1，x2，則x1＜0，x2＜0，的取值范圍是______.課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE1.知識清單：(1)配方法求方程的解集.(2)一元二次方程判別式的應(yīng)用.(3)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.2.方法歸納：配方法、公式法.3.常見誤區(qū)：忽視對二次項(xiàng)系數(shù)的討論.4課時對點(diǎn)練PARTFOUR1.(多選)用配方法解下列方程，配方不正確的是y2－4y－4＝0可化為(y－1)2＝4B.x2－2x－9＝0可化為(x－1)2＝8C.x2＋8x－9＝0可化為(x＋4)2＝16D.x2－4x＝0可化為(x－2)2＝4基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516√√√解析A項(xiàng)，2y2－4y－4＝0可化為(y－1)2＝3，故選項(xiàng)錯誤；B項(xiàng)，x2－2x－9＝0可化為(x－1)2＝10，故選項(xiàng)錯誤；C項(xiàng)，x2＋8x－9＝0可化為(x＋4)2＝25，故選項(xiàng)錯誤；D項(xiàng)，x2－4x＝0可化為(x－2)2＝4，故選項(xiàng)正確.2.已知關(guān)于x的方程x2＋3x＋a＝0有一個根為－2，則另一個根為A.5 B.－1 C.2 D.－512345678910111213141516√解析

設(shè)方程的另一個根為x0，則－2＋x0＝－3，即x0＝－1.3.(多選)關(guān)于x的方程mx2－4x－m＋5＝0，以下說法正確的是A.當(dāng)m＝0時，方程只有一個實(shí)數(shù)根B.當(dāng)m＝1時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根C.當(dāng)m＝－1時，方程沒有實(shí)數(shù)根D.當(dāng)m＝2時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根12345678910111213141516√√解析當(dāng)m＝0時，方程化為－4x＋5＝0，解得x＝

，此時方程只有一個實(shí)數(shù)根，A正確；當(dāng)m＝1時，方程化為x2－4x＋4＝0，因?yàn)棣ぃ?－4)2－4×1×4＝0，所以此時方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，B正確；當(dāng)m＝－1時，方程化為－x2－4x＋6＝0，因?yàn)棣ぃ?－4)2－4×(－1)×6>0，所以此時方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，C錯誤；當(dāng)m＝2時，方程化為2x2－4x＋3＝0，因?yàn)棣ぃ?－4)2－4×2×3＝－8<0，所以此時方程無實(shí)數(shù)根，D錯誤.123456789101112131415164.已知關(guān)于x的一元二次方程2x2－kx＋3＝0的解集中只有一個元素，則k的值為A.±

B.±C.－2或3 或－312345678910111213141516解析

∵a＝2，b＝－k，c＝3，∴Δ＝b2－4ac＝k2－4×2×3＝k2－24，∵方程的解集中只有一個元素，∴Δ＝k2－24＝0，√5.已知x1，x2是關(guān)于x的方程x2＋bx－3＝0的兩根，且滿足x1＋x2－3x1x2＝5，那么b的值為A.4 B.－4 C.3 D.－3√12345678910111213141516解析由題意知x1＋x2＝－b，x1x2＝－3，則x1＋x2－3x1x2＝－b－3×(－3)＝5，解得b＝4.123456789101112131415166.將方程x2－2x＝3化為(x－m)2＝n的形式，則m＝__，n＝__.解析x2－2x＝3，配方得x2－2x＋1＝4，即(x－1)2＝4，∴m＝1，n＝4.14123456789101112131415167.若關(guān)于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的解集中只有一個元素，則m的值為____.－1解析

∵關(guān)于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的解集中只有一個元素，∴Δ＝b2－4ac＝0，即22－4(－m)＝0，解得m＝－1.8.已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0的兩個實(shí)數(shù)根，且－

＝10，則a＝___.12345678910111213141516解析由題意知x1＋x2＝5，x1x2＝a.所以x1－x2＝2，所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝25－4a＝4，解

令y＝x2≥0，得y2－3y＋2＝0，∴y＝1或y＝2，即x2＝1或x2＝2，123456789101112131415169.求下列方程的解集.(1)x4－3x2＋2＝0；得y2＋2y－1＝0，12345678910111213141516解

令x2－x＝t，得t2－t－2＝0，∴t1＝－1或t2＝2，即x2－x＋1＝0，

①或x2－x－2＝0，

②對①，Δ＝－3＜0，無實(shí)數(shù)解；對②，易得x＝－1或x＝2，故原方程的解集為{－1,2}.12345678910111213141516(3)(x2－x)2－(x2－x)－2＝0.1234567891011121314151610.已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－2＝0.(1)若該方程有兩個實(shí)數(shù)根，求m的最小整數(shù)值；解

根據(jù)題意得Δ＝(2m＋1)2－4(m2－2)≥0，∴m的最小整數(shù)值為－2.12345678910111213141516(2)若方程的兩個實(shí)數(shù)根為x1，x2，且(x1－x2)2＋m2＝21，求m的值.解

根據(jù)題意得x1＋x2＝－(2m＋1)，x1x2＝m2－2，∵(x1－x2)2＋m2＝21，∴(x1＋x2)2－4x1x2＋m2＝21，∴(2m＋1)2－4(m2－2)＋m2＝21，整理得m2＋4m－12＝0，即m2＋4m＋4＝16，∴(m＋2)2＝16，解得m1＝2，m2＝－6，11.若α，β是一元二次方程3x2＋2x－9＝0的兩根，則

的值是綜合運(yùn)用12345678910111213141516√解析∵α，β是一元二次方程3x2＋2x－9＝0的兩根，1234567891011121314151612.已知關(guān)于x的方程m(x＋a)2＋n＝0的解集是{－3,1}，則關(guān)于x的方程m(x＋a－2)2＋n＝0的解集是A.{1,3} B.{－1,3}C.{2,3} D.{3}√解析

∵關(guān)于x的方程m(x＋a)2＋n＝0的解集是{－3,1}，∴方程m(x＋a－2)2＋n＝0可變形為m[(x－2)＋a]2＋n＝0，此方程中x－2＝－3或x－2＝1，解得x＝－1或x＝3.∴關(guān)于x的方程m(x＋a－2)2＋n＝0的解集是{－1,3}.1234567891011121314151613.對于任意實(shí)數(shù)a，b，定義：a◆b＝a2＋ab＋b2.若方程(x◆2)－5＝0的兩根記為m，n，則m2＋n2＝__.解析∵(x◆2)－5＝x2＋2x＋4－5＝x2＋2x－1，∴m，n為方程x2＋2x－1＝0的兩個根，∴m＋n＝－2，mn＝－1，∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝6.614.已知(x2＋y2＋1)(x2＋y2－3)＝5，則x2＋y2＝__.12345678910111213141516解析

令t＝x2＋y2≥0，則原方程可化為(t＋1)(t－3)＝5，即t2－2t－8＝0.∴t＝4或t＝－2(舍去)，故x2＋y2＝4.415.已知x1，x2是關(guān)于x的方程x2－m2x＋n＝0的兩個實(shí)數(shù)根，y1，y2是關(guān)于y的方程y2－3my＋6＝0的兩個實(shí)數(shù)根，其中m，n是常數(shù)，且x