新教材人教b版選擇性必修第三冊導數(shù)及其應用階段復習課課件

階段復習課第二課導數(shù)及其應用網(wǎng)絡體系構建【答案速填】①瞬時變化率②運動的瞬時速度③曲線的切線斜率④基本初等函數(shù)求導⑤導數(shù)的運算法則⑥函數(shù)的極值與最值易錯案例警示易錯點一理解導數(shù)的概念不透徹而出現(xiàn)錯誤【案例1】若一輛汽車從靜止到速度為100km/h只用了8s,則它的平均加速度大約為______m/s2(精確到0.01) (

)

【解析】選A.因為速度的改變量為Δv=100000/3600,時間的改變量為Δt=8s,所以它的平均加速度≈3.47.【錯因探究】本題中,出錯原因有:(1)不知道速度的改變量與時間的改變量的比值是平均加速度,(2)單位沒有換算,直接用100除以8算出結果為B.【避錯警示】準確理解平均速度,平均加速度,函數(shù)的平均變化率以及瞬時速度,瞬時變化率(導數(shù))的概念,還有要注意實際問題中的單位要統(tǒng)一.易錯點二導數(shù)的幾何意義掌握不好而出現(xiàn)錯誤【案例2】已知曲線y=x+lnx在點(1,1)處的切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切,則a=________

.

【解析】由y′=1+可得曲線y=x+lnx在點(1,1)處的切線斜率為2,故切線方程為y=2x-1,與y=ax2+(a+2)x+1聯(lián)立得ax2+ax+2=0,顯然a≠0,所以由Δ=a2-8a=0?a=8.答案:8【錯因探究】本題中,出錯原因有:(1)導數(shù)計算錯誤;(2)不能區(qū)分“在”“過”;(3)不能掌握函數(shù)在某點處的導數(shù),就是函數(shù)圖像在這個點處的切線斜率.【避錯警示】(1)熟練掌握求導公式及求導法則,是解決導數(shù)問題的前提.(2)牢記導數(shù)的幾何意義:f′(x0)是曲線y=f(x)在點x0處的切線斜率.易錯點三求導公式、復合函數(shù)求導法則混淆導致錯誤【案例3】討論函數(shù)f=logax-lna2x

的單調(diào)性.【解析】函數(shù)的定義域為,f′=-2lna=,因為lna≠0,所以1-2x=0,解得x=.下面對a分類討論:當a>1時,lna>0,所以在區(qū)間上,f′>0,f單調(diào)遞增,在區(qū)間 上,f′<0,f單調(diào)遞減.當0<a<1時,lna<0,所以在區(qū)間上,f′<0,f單調(diào)遞減,在區(qū)間上,f′>0,f單調(diào)遞增.【錯因探究】本題中,出錯原因有:(1)求導公式記錯,(2)求導數(shù)時運算錯誤.【避錯警示】熟記求導公式、導數(shù)的四則運算法則、復合函數(shù)的求導法則,計算準確無誤.易錯點四利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性時忽略定義域而出現(xiàn)錯誤【案例4】已知函數(shù)f(x)=x2-5x+2lnx,則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是____________.

【解析】函數(shù)求導可得f′(x)=2x-5+(x>0),當f′(x)=>0,即(2x-1)(x-2)>0,解得x>2或0<x<,綜上所述,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是和(2,+∞).答案:

和(2,+∞)【錯因探究】本題中,容易出現(xiàn)增區(qū)間為,(2,+∞)的錯誤,原因是忽略了函數(shù)的定義域是.【避錯警示】解答函數(shù)的單調(diào)性問題,應該首先確定函數(shù)的定義域,否則寫出的單調(diào)區(qū)間易出錯;另外,函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不能出現(xiàn)“并”的錯誤寫法.易錯點五利用導數(shù)研究函數(shù)的極值時忽略導數(shù)的符號改變而出現(xiàn)錯誤【案例5】對二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a為非零常數(shù)),四位同學分別給出下列結論,其中有且僅有一個結論是錯誤的,則錯誤的結論是 (

)是f(x)的零點 是f(x)的極值點是f(x)的極值 D.點(2,8)在曲線y=f(x)上【解析】選A.若選項A錯誤,則選項B,C,D正確,f′(x)=2ax+b,因為1是f(x)的極值點,3是f(x)的極值,所以即 解得:因為點(2,8)在曲線y=f(x)上,所以4a+2b+c=8,即4a+2×(-2a)+a+3=8,解得:a=5,所以b=-10,c=8,所以f(x)=5x2-10x+8,因為f(-1)=5×(-1)2-10×(-1)+8=23≠0,所以-1不是f(x)的零點,所以選項A錯誤,選項B,C,D正確,故選A.【錯因探究】本題中,不能掌握函數(shù)的導數(shù)為零與極值的關系而出錯.【避錯警示】掌握:(1)可導函數(shù)在極值點處的導數(shù)為零,反之不成立.(2)可導函數(shù)的極值點的個數(shù)等于導數(shù)的變號零點個數(shù).易錯點六因忽視對所得參數(shù)進行檢驗而致誤【案例6】若函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處取得極值10,試求a,b的值.【解析】由導數(shù)公式表和求導法則得,f′(x)=3x2+2ax+b,依題意得即解得 或但由于當a=-3,b=3時,f′(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,故f(x)在R上單調(diào)遞增,不可能在x=1處取得極值,所以不符合題意,應舍去.而當時,經(jīng)檢驗知符合題意,故a,b的值分別為4,-11.【錯因探究】由于函數(shù)在一點的導數(shù)值為0是函數(shù)在這點取得極值的必要條件,而非充分條件.因此,本題在解答時很容易忽略對得出的兩組解進行檢驗而出錯.【避錯警示】根據(jù)極值條件求參數(shù)的值的問題中,在得到參數(shù)的兩組解后,應按照函數(shù)在這一點處取得極值所對應的條件進行檢驗,探究每一組解所對應的函數(shù)在該點處是否能取得極值,從而進行取舍.易錯點七求最值時因忽略極值與區(qū)間端點值的對比致誤【案例7】求函數(shù)f(x)=x3-2x2+1在區(qū)間[-1,2]上的最大值與最小值.【解析】由已知得f′(x)=3x2-4x.令f′(x)=0,解得x1=0,x2=.當x∈(-1,0)時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,當x∈時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,當x∈時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,所以函數(shù)f(x)在x=0處取得極大值f(0)=1,在x=處取得極小值f.又f(-1)=-2,f(2)=1,所以函數(shù)f(x)的最大值是1,最小值是-2.【錯因探究】求出函數(shù)的極值后,要與區(qū)間端點的函數(shù)值進行比較方可確定函數(shù)的最值,否則會出現(xiàn)錯誤.【避錯警示】若連續(xù)函數(shù)y=f(x)在[a,b]上為單調(diào)函數(shù),則其最值必在區(qū)間端點處取得;若該函數(shù)在[a,b]上不單調(diào),即存在極值點,則最值可能在端點處取得,也可能在極值點處取得.易錯點八因沒有注意問題的實際意義而出錯【案例8】某船由甲地逆水行駛到乙地,甲、乙兩地相距s(km),水的流速為常量a(km/h),船在靜水中的最大速度為b(km/h)(b>a),已知船每小時的燃料費用(以元為單位)與船在靜水中的速度的平方成正比,比例系數(shù)為k,則船在靜水中的航行速度為多少時,其全程的燃料費用最省?【解析】設船在靜水中的航行速度為xkm/h,全程的燃料費用為y元,由題設可得y=f(x)=·kx2=sk·,x∈(a,b],所以y′=sk·,令y′=0,得x=2a或x=0(舍).(1)當2a≤b時,若x∈(a,2a),則y′<0,f(x)單調(diào)遞減,若x∈(2a,b],則y′>0,f(x)單調(diào)遞增,所以當x=2a時,ymin=4ask.(2)當2a>b時,y′=sk·,當x∈(a,b]時,y′<0,所以f(x)在(a,b]上是減函數(shù),所以當x=b時,ymin=sk·b2·.綜上可知,若b<2a,則當船在靜水中的速度為