高等數(shù)學(xué)練習(xí)題(附答案)匯編

高等數(shù)學(xué)練習(xí)題(附答案)匯編《高等數(shù)學(xué)》專(zhuān)業(yè)年級(jí)學(xué)號(hào)姓名一、判斷題.將√或×填入相應(yīng)的括號(hào)內(nèi).（每題2分，共20分）（

）1.收斂的數(shù)列必有界.（

）2.無(wú)窮大量與有界量之積是無(wú)窮大量.（

）3.閉區(qū)間上的間斷函數(shù)必?zé)o界.（

）4.單調(diào)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)也是單調(diào)函數(shù).（

）5.若f(x)f(x)在x0x0?∣?f(x)?∣∣?也在x0x0?（

）6.若連續(xù)函數(shù)y=f(x)y=f(x)在x0x0?點(diǎn)不可導(dǎo)，則曲線y=f(（

）7.若f(x)f(x)在[a,ba,b]上可積，則f（

）8.若z=f(x,y)z=f(x,y)在（x0,y0x0?,y0（

）9.微分方程的含有任意常數(shù)的解是該微分方程的通解.（

）10.設(shè)偶函數(shù)f(x)f(x)在區(qū)間(11)(?1,?1?)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且,則二、填空題.（每題2分，共20分）1.設(shè)f(x1)=x22.若f(x)=21x121x+3.設(shè)單調(diào)可微函數(shù)f(x)f(x)的反函數(shù)為4.設(shè)u=xy+xy5.曲線x2=6yy3x2=6y?y3在(2,6.設(shè)f(x7.若0f(x)t2d8.f(x?在[0,4]上的最大值為.9.廣義積分∫0+∞e2x10.設(shè)D為圓形區(qū)域x2+y2≤?dxdy=.三、計(jì)算題（每題5分，共40分）1.計(jì)算n→∞(1n2+1(n+12.求y=(x+1)(3.求不定積分∫1x(1?1?dx.4.計(jì)算定積分∫0πsin?3x?dx.5.求函數(shù)f(x,y)=6.設(shè)平面區(qū)域D是由y=x?,y=x圍成，計(jì)算?Dsin?yydx7.計(jì)算由曲線xy=?x圍成的平面圖形在第一象限的面積.8.求微分方程的通解.四、證明題（每題10分，共20分）1.證明：arc?x?

(∞<x<2.設(shè)f(x)f(x)在閉區(qū)間[a,F(x)=0xf證明：方程F(x)=0《高等數(shù)學(xué)》參考答案一、判斷題.將√或×填入相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)（每題2分，共20分）1.√；2.×；3.×；4.×；5.×；6.×；7.×；8.×；9.√；10.√.二、填空題.（每題2分，共20分）1.x2+4x+4x2+4x+45.

2/3；

6.1；

7.

363336?；

8.

8；

9.

1/2；

10.

0.三、計(jì)算題（每題5分，共40分）1.解：因?yàn)?/p>

n+1(2n)2(2n)2n+1?<1n2+1且

n→∞n+1(2n)2=0由迫斂性定理知：n→∞(1n2+1(n+12.解：先求對(duì)數(shù)lny=l1x+1+2x+2+3.解：原式=2∫11x?1?dx?=2∫11(?)2?1?dx?=2arcsinx+?+c4.解：原式=∫0πsin??dx=0π2cos?xsin?32xdx∫02π??=0π2sin?32xdsin?x∫02π??sin23=25[sin52x]0π252?[sin25?=4/55.解：

故

{x=0y=0當(dāng)

{x=0∵Δ=(8)×(2)22∴∴

（0，0）為極大值點(diǎn)且f(當(dāng)

{x=2∵Δ=4×(2)226.解：D={(x∣?0≤y≤1,y2≤x≤y??}∴?Dsin?yydxdy=01dyy2ysin?y=01(sin=[cosy]01+0=1cos1+[ycosy=1sin117.解：令u=xyu=xy，v=yxv=xy?；則?J=∣∣?xu?yu??xv?yv???∣∣?=∣∣?2uv?1?2u?v????2vv?u??v?u????∣∣?=2v1?∴∴A=Ddσ=12??2v1?dv=ln3?8.解：令

y2=由微分公式知：u=y2=e=e2x(∫=e2x(2四.證明題（每題10分，共20分）1.解：設(shè)

f(x)=?x?

=0

∞<x<令x=0x=0

∵f(0)2.解：

∵F(且

F(a)=∫ba1f(t故方程F(x)=0又

∵f

即

F(x)F(x)在區(qū)間∴∴F(x)F(x)在區(qū)間《高等數(shù)學(xué)》專(zhuān)業(yè)學(xué)號(hào)姓名一、判斷題（對(duì)的打√，錯(cuò)的打×；每題22分，共1010分）1.f(x)f(x)在點(diǎn)x0x0?處有定義是f(x2.若y=f(x)y=f(x)在點(diǎn)x0x0?不可導(dǎo)，則曲線y=f(3.若f(x)f(x)在[a,b][a,b]上可積，g(x)g(x)4.方程xyz=0xyz=05.設(shè)y?y?是一階線性非齊次微分方程的一個(gè)特解，yyˉ?y=y+y?二、填空題（每題22分，共2020分）1.設(shè)f(3?,f(a)=5,則a=a=2.設(shè)f(x)=ln(1+2x)3.設(shè)f(x)=t→4.已知f(x)f(x)在x=ax=a處可導(dǎo)，且，則h→0f(a5.若2f(x)cosx=dd6.若f(x),g(x)f(x),g(x)在點(diǎn)則f(x)f(x)與g(x)g(x)7.若y=sinx2y=sinx2，則dyd(x28.設(shè)f(x)=9.設(shè)z=ex2y∣?(1,1)??=

.10.累次積分0Rdx0R2??f(x2?y2)dy化為極坐標(biāo)下的累次積分為.三、計(jì)算題（前66題每題55分，后兩題每題66分，共4242分）1.x→00sin?x(1+t)1tdt0xtsin?，求;

3.∫sin?xcos?x4.02x24x2?dx;

5.設(shè)z=x?x?,求?z?y,?2z?x?y?y?6.求由方程2yx=(xy)ln(xy)2y7.設(shè)平面區(qū)域DD是由y=x?,y=x圍成，計(jì)算?Dsin?yydx8.求方程ylnydx+(x∣?x=1??=e下的特解.四、（77分）已知f(x)=x3+ax2+bxf(x)=x3+ax2+bx在五、應(yīng)用題（每題77分，共1414分）1.一艘輪船在航行中的燃料費(fèi)和它的速度的立方成正比.已知當(dāng)速度為10(km/h)10(km/h)時(shí)，燃料費(fèi)為每小時(shí)66元，而其它與速度無(wú)關(guān)的費(fèi)用為每小時(shí)2.過(guò)點(diǎn)(1,0)(1,0)向曲線y?作切線，求：（1）切線與曲線所圍成圖形的面積；（2）圖形繞yy軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積.六、證明題（77分）設(shè)函數(shù)f(x)f(x)在0≤x<a0≤x<a上的二階導(dǎo)數(shù)存在，且f(0)=高等數(shù)學(xué)參考答案一、判斷題

1.√；

2.×；

3.√；

4.×；

5.√.二、填空題1.36；

2.2332?；

3.4(1+x)e2x4(1+x)e2x；

4.5A7.cosx2,2xcosx2cosx2,2xcosx2；8.ln2ln2；

9.2d三、計(jì)算題1.原式=x→0(1+sin?=e1=2.=e2x12e2x?2e=11e23．原式=∫sin?xcos?=∫1(si=1sin?4．設(shè)x=2sint原式=0π24sin?2t=160π2sin=40π2sin?2=2(t14sin4t∣?02π??=π5．?z?y=x?2y2x2?2y??=?(x2+y2)23?xy??2z?x?y=y(x2+y2)32xy?=(2x2??6．兩邊同時(shí)微分得：2dydx=(dxdy)ln(x即2dydx=ln(xy)故dy=2+ln(（本題求出導(dǎo)數(shù)后，用解出結(jié)果也可）7．Dsin?yydxdy=01d=01(si=cosy∣01+∣?01?+ycosy?∣∣?01??∫01?cosydy=1cos1+cos1siny∣?01?=1sin18．原方程可化為dxdy+1y通解為x=e∫1yln?ydy[=elnlny[=1ln?y[∫1ylnyd=12lnyy∣x=1∣?x=1?=e代入通解得C=故所求特解為：(lny四、解：因?yàn)閒(x)f(x)在x=1x=1處有極值2?故又f(1)解得：a=0,于是f(x)由得x=±0","styleStr":"width:109px;height:21px;"}]'class='enhanced-wkformula'>，在x=1x=1處有極小值f(，在x=1x=?1處有極大值f(五、1.解：設(shè)船速為x(km/h)y=1x又x=10x=10時(shí)，k?103=y=1x(0.006x令，得駐點(diǎn)x=由極值第一充分條件檢驗(yàn)得x=20x=20是極小值點(diǎn).由于在(0,+∞)(0,+∞)上該函數(shù)處處可導(dǎo)，且只有唯一的極值點(diǎn)，當(dāng)它為極小值點(diǎn)時(shí)必為最小值點(diǎn)，所以求得船速為20(km/h2.解：（1）設(shè)切線與拋物線交點(diǎn)為(x0,y0)(x0?,y0?)，則切線的斜率為又因?yàn)閥2=x2y2=x?2上的切線斜率滿足，在(x0所以2y0?y0x01=又因?yàn)?x0,y0)(x0?,y0?)滿足y{2y02=x01y02=x02{2y02?=x0所以切線方程為y=12(x則所圍成圖形的面積為：S=01[2+（2）圖形繞xx軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為：V=π0114(x1)2dxπ六、證：在[0,x][0,x]上，對(duì)f(代入上式得由假設(shè)0","styleStr":"width:81px;height:21px;"}]'class='enhanced-wkformula'>知為增函數(shù)，又x>ξx>ξ，則于是0","styleStr":"width:135px;height:21px;"}]'class='enhanced-wkformula'>,從而0","styleStr":"width:97px;height:43px;"}]'class='enhanced-wkformula'>，故f(x)xxf(x)?在《高等數(shù)學(xué)》試卷專(zhuān)業(yè)學(xué)號(hào)姓名一、填空題（每小題1分，共10分）1．函數(shù)y=arcsin1x?+1?x2?1?的定義域?yàn)開(kāi)______________。2．函數(shù)y=x+e3．設(shè)f(x)f(x)在x0x0?可導(dǎo)且，則h→0f(x0+2h4．設(shè)曲線過(guò)(0,1)(0,1)，且其上任意點(diǎn)(x,y5．∫x1x4dx∫1?６．x→∞xsin1xx→∞lim7．設(shè)f(x,y)=sinxy8．累次積分0Rdx0R2??f(x2+y2)dy化為極坐標(biāo)下的累次積分為_(kāi)_______。9．微分方程d3ydx3+3x(d10．設(shè)級(jí)數(shù)∑n=1∞ann=1∑∞?an?發(fā)散，則級(jí)數(shù)∑二、單項(xiàng)選擇題（在每小題的四個(gè)備選答案中，選出一個(gè)正確的答案，將其碼寫(xiě)在題干的（）內(nèi)，（1～10每小題1分，11～17每小題2分，共24分）1．設(shè)函數(shù)f(x)=1x,g(①11x1?x1?②1+1x1+x1?③12．x→0x→0時(shí)，xsin1①無(wú)窮大量②無(wú)窮小量③有界變量④無(wú)界變量3．下列說(shuō)法正確的是（）①若f(x)f(x)在x=x0x=x0?連續(xù)，則f②若f(x)f(x)在x=x0x=x0?不可導(dǎo)，則f③若f(x)f(x)在x=x0x=x0?不可微，則f④若f(x)f(x)在x=x0x=x0?不連續(xù)，則f4．若在(a,b)(a,b)內(nèi)恒有0","styleStr":"width:167px;height:21px;"}]'class='enhanced-wkformula'>，則在(a,①上升的凸?、谙陆档耐够、凵仙陌蓟、芟陆档陌蓟?．設(shè)，則（）①F(x)+G(x)③F(x)G(x)=0F(x)?6．11∣x∣dx∣?x?∣∣?dx＝（）①０②１③２④３7．方程2x=①平行于xOyxOy面的平面②平行于O③過(guò)OzOz軸的平面④8．設(shè)f(x,y)①tf(x,y)tf(x,y)②t2f(x,y)t2f(x,y)③t3f(x,y)t3f(x,y)④1t2f(x,①在p>1p>1時(shí)收斂，p<1p<1時(shí)發(fā)散②在P≥③在p≤1p≤1時(shí)收斂，p>1p>1時(shí)發(fā)散④在p<10．方程是（）①一階線性非齊次微分方程②齊次微分方程③可分離變量的微分方程④二階微分方程11．下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（）①y=exy=ex②y=x3+1∣?x?∣∣?12．設(shè)f(x)f(x)在(a,b)(a,b)可導(dǎo)，a<x①②③④13．設(shè)f(x)f(x)在x=x0x=x0?的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等是f①充分必要的條件②必要非充分的條件③必要且充分的條件④既非必要又非充分的條件14．設(shè)2f(x)cosx=d①cosxcosx②2cosx2?cosx③1+sinx15．過(guò)點(diǎn)（１，２）且切線斜率為4x3①ｘ4②ｘ4＋ｃ③ｘ4＋１④4x16．設(shè)冪級(jí)數(shù)∑n=0∞anxnn=0∑∞?an?xn在x0x0?（x0≠0x0?∣?x?∣∣?<∣∣?x0??∣∣?（）①絕對(duì)收斂②條件收斂③發(fā)散④收斂性與anan?17．設(shè)Ｄ域由y=x,y=x2y=x,y=x2所圍成，則?①01dxx1sin?xxdy∫01?dx∫x1??xsinx?dx；③01dxx??xsinx?dy；④01dyx??xsinx?dx.三、計(jì)算題（1～3每小題5分，4～9每小題6分，共51分）１．設(shè)y=x1x(?求.２．求x→4/3sin(9x2３．計(jì)算∫dx(４．設(shè)x=∫0t(cosu)５．求過(guò)點(diǎn)Ａ（２，１，－１），Ｂ（１，１，２）的直線方程.６．設(shè)u=e?+sinz，求ｄｕ.７．計(jì)算0x0asin?θ８．求微分方程dy=(y+９．將f(x)=3(四、應(yīng)用和證明題（共15分）１．（８分）設(shè)一質(zhì)量為ｍ的物體從高空自由落下，空氣阻力正比于速度（比例常數(shù)為k>0２．（７分）借助于函數(shù)的單調(diào)性證明：當(dāng)x>1x>1時(shí)，2?>3?x1?。高等數(shù)學(xué)參考答案一、填空題（每小題1分，共10分）１．（－１，１）２．２ｘ－ｙ＋１＝０３．５Ａ４．ｙ＝ｘ2＋１５．12arctanx2８．0π2dθ0π二、單項(xiàng)選擇題（在每小題的四個(gè)備選答案中，選出一個(gè)正確的答案，將其碼寫(xiě)在題干的（）內(nèi)，1～10每小題1分，11～17每小題2分，共24分）1．③

2．③3．④

4．④

5．②

6．②

7．②

8．⑤

9．④

10．③11．④

12．④

13．⑤

14．③

15．③16．①

17．②三、計(jì)算題（1～3每小題5分，4～9每小題6分，共51分）1．解：lny=12[ln(x２．解：原式＝x→4/318xco＝18(43)cos(9３．解：原式＝∫(1+e＝∫dx(1+e＝∫(1+exex＝xln(1+４．解：因?yàn)閐x=(dydx=(sint５．解：所求直線的方向數(shù)為｛１，０，－３｝所求直線方程為x11=y10=z231x?1?６．解：du=?+sinzd(x+y?+sinz)=ex?+sinz(dx+2y?1?dy+coszdz)７．解：原積分＝0πsin?θdθ0asin＝a20π2sin８．解：兩邊同除以(y+1)2(y+1)2得兩邊積分得∫dy(1亦即所求通解為1x+11y９．解：分解，得f(x)f(x)＝11x+==11x+1211+x2＝∑n=0∞xn+12n=0∞(∣?x?∣∣?<1且∣x2∣?2x??∣∣?<1）＝n=0∞[1+(1)n12n∣?x?∣∣?<1）四、應(yīng)用和證明題（共１５分）１．解：設(shè)速度為ｕ，則ｕ滿足m=dudt解方程得u=1k(mgc由ｕ│t=0＝０定出ｃ，得u=mgk(1e２．證：令f(x)f(x)?+x1??3則f(x)f(x)而且當(dāng)x>1x>1因此f(x)f(x)從而當(dāng)x>1x>1時(shí)，f(x即當(dāng)x>1x>1時(shí)，2?>3?x1?《高等數(shù)學(xué)》專(zhuān)業(yè)學(xué)號(hào)姓名一、判斷正誤（每題2分，共20分）1.兩個(gè)無(wú)窮大量之和必定是無(wú)窮大量.2.初等函數(shù)在其定義域內(nèi)必定為連續(xù)函數(shù).3.y=f(x)y=f(x?)在點(diǎn)x0x0?連續(xù)，則y=f(4.若xOxO?點(diǎn)為y=f(x)y=f(x5.初等函數(shù)在其定義域區(qū)間內(nèi)必定存在原函數(shù).6.方程x2+y7.若z=f(x,y)z=f(x,y?)在點(diǎn)0(x0,y0)M0?(x0?,□y0??)可微，則z8.是二階微分方程.9.ddx1xsin?td10.若y=f(x)y=f(x?)為連續(xù)函數(shù)，則axf二、填空題（每題4分，共20分）11.∫dx1+22.x→∞sin?2x33.設(shè)，且f(0)=1f(0?)=1，則44.z=xy2z=xy255.ddxabsin?三、計(jì)算題與證明題（共計(jì)60分）11.(1)n→+∞(n2n+1(2)x→0(1x1ex1)(222.求函數(shù)y=(sinx)cos?x33.若在(∞,+∞)(?∞,+∞?)上0,f\\begin{pmatrix}0\\end{pmatrix}<0","styleStr":"width:nullpx;height:nullpx;"}]'class='enhanced-wkformula'>.證明：F(x)=f(x)xF(x?)=xf(x?)?在區(qū)間(∞44.對(duì)物體長(zhǎng)度進(jìn)行了nn次測(cè)量，得到nn個(gè)數(shù)x1,x2,?,xnx1?,x2?,?,xn??，F(xiàn)在要確定一個(gè)量55.計(jì)算∫xsinx2d6.由曲線y=lnxy=lnx與兩直線y=e+1x77.求微分方程xdydx=xyxdxdy?=x?∣?x=2??=0的特解。（5分）88.計(jì)算二重積分?Dx2dxdy,D??x2dxdy,DD是由圓x2高等數(shù)學(xué)參考答案一、判斷正誤（每題2分，共20分）1-5．╳，╳，╳，╳，√.

6-10.╳，√，╳，╳，√.二、填空題（每題4分，共20分）1.tanx1cos?x+c1.tanx?cosx1?+c；2.02.0；3.三、計(jì)算題與證明題。（共計(jì)60分）11.(1)n→+∞(n2n+1)n(1?)n→+∞lim?(n+1n?2??)n=n=en→+∞3n(2)x→0(1x1ex1)(2?)x→0lim?(x1??ex?11??)=x→0(ex1xx(ex=x→0(ex12x)=x→0lim?(2xex?2.

令y1=(sinx)cos?xy1?=(sinx?)cosxy2y_{1}^{′}=e^{\cosxlnsinx}^{′}=ecos?xlnsi同理y2=cosxsin?xcosxsin?x+3.

∵F(x)=f=令則0","styleStr":"width:nullpx;height:nullpx;"}]'class='enhanced-wkformula'>∴x>0,g則當(dāng)x>0x>0時(shí)g(當(dāng)x<0x<0時(shí)g(故命題成立。4.令f(x)=(xx1)2+(xx2)2則令0","styleStr":"width:nullpx;height:nullpx;"}]'class='enhanced-wkformula'>∴x0f(x∴xx1+?+5.∫xsinx2dx∫xsinx2dx=∫x1cos?2x2d=14x214xsin2x186.S=01(e+1yey)d∣?01???21?y2∣∣?01???ey∣∣?01??=23?7.方程變形為而y=e∫1xdx[∫1e∫1xdx初始條件：y∣x∣?x=2???=0?c=?1∴y?=1x+12x8、D?={(r,∣?1≤r≤2,0≤θ≤2π??}∴Dx2dxdy=D?r2cos《高等數(shù)學(xué)》專(zhuān)業(yè)學(xué)號(hào)姓名一、判斷（每小題2分，共20分）1.f(x)在點(diǎn)x00?處有定義是f(x)在點(diǎn)x00?處連續(xù)的必要條件.(

)2.無(wú)窮小量與有界變量之積為無(wú)窮小量.

(

)3.y=f(x)在x00?處可導(dǎo),則y=|f(x)|在x00?處也可導(dǎo).(

)4.初等函數(shù)在其定義域內(nèi)必連續(xù).

(

)5.可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)一定是f(x)的駐點(diǎn).(

)6.對(duì)任意常數(shù)k,有∫kf(x)d7.若f(x)在[a,b]上可積,則f(x)在[a,b]上有界.(

)8.若f(x,y)在區(qū)域D上連續(xù)且區(qū)域D關(guān)于y軸對(duì)稱,則當(dāng)f(x,y)為關(guān)于x的奇函數(shù)時(shí),Df(x,y)9.22=-2x-exx的通解中含有兩個(gè)獨(dú)立任意常數(shù).(

)10.若z=f(x,y)在Poo?的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在,則z=f(x,y)在P00?連續(xù).(

)二、填空（每空2分，共20分）1.x→∞x→∞lim?[xsin1xx1?+1xx1?sinx+(2+xx2.函數(shù)f(x)=x3x3?x?在[0,3]上滿足羅爾定理的條件,定理中的數(shù)值ξξ=.3.設(shè)f(x)={exx<0a+xx≥0{exa+x?x<0x≥04.設(shè)z=ex2+2yx2+2y,則5.函數(shù)f(x)=exx-x-1在內(nèi)單調(diào)增加;在內(nèi)單調(diào)減少.6.函數(shù)y=ax3+7.ddxdxd?absin?x2∫ab8.(x)=1且f(0)=0f(0)=0,9.若I=01dxx2xf(三、計(jì)算（每小題5分,共40分）1.求x→0x→0lim?(1x2x21?-1xtgxxtgx1?)；

2.∫1exln?t3.求∫1x?(1+x)1?dx；

4.求∫34111x1d??11?dx；

5.求0+∞xe2x6.設(shè)z=ln(x22+y22)求?z?x?x?z?,?2z?x?7.計(jì)算I=DxdxdyD??xdxdy