第05講二元一次方程（組）及其解法（核心考點講與練）-(解析版)

第05講二元一次方程（組）及其解法（核心考點講與練）一．二元一次方程的定義（1）二元一次方程的定義含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程．（2）二元一次方程需滿足三個條件：①首先是整式方程．②方程中共含有兩個未知數(shù)．③所有未知項的次數(shù)都是一次．不符合上述任何一個條件的都不叫二元一次方程．二．二元一次方程的解（1）定義：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解．（2）在二元一次方程中，任意給出一個未知數(shù)的值，總能求出另一個未知數(shù)的一個唯一確定的值，所以二元一次方程有無數(shù)解．（3）在求一個二元一次方程的整數(shù)解時，往往采用“給一個，求一個”的方法，即先給出其中一個未知數(shù)（一般是系數(shù)絕對值較大的）的值，再依次求出另一個的對應值．三．解二元一次方程二元一次方程有無數(shù)解．求一個二元一次方程的整數(shù)解時，往往采用“給一個，求一個”的方法，即先給出其中一個未知數(shù)（一般是系數(shù)絕對值較大的）的值，再依次求出另一個的對應值．四．二元一次方程組的解（1）定義：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解．（2）一般情況下二元一次方程組的解是唯一的．數(shù)學概念是數(shù)學的基礎與出發(fā)點，當遇到有關二元一次方程組的解的問題時，要回到定義中去，通常采用代入法，即將解代入原方程組，這種方法主要用在求方程中的字母系數(shù)．五．解二元一次方程組（1）用代入法解二元一次方程組的一般步驟：①從方程組中選一個系數(shù)比較簡單的方程，將這個方程組中的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來．②將變形后的關系式代入另一個方程，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程．③解這個一元一次方程，求出x（或y）的值．④將求得的未知數(shù)的值代入變形后的關系式中，求出另一個未知數(shù)的值．⑤把求得的x、y的值用“{”聯(lián)立起來，就是方程組的解．（2）用加減法解二元一次方程組的一般步驟：①方程組的兩個方程中，如果同一個未知數(shù)的系數(shù)既不相等又不互為相反數(shù)，就用適當?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊，使某一個未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)．②把兩個方程的兩邊分別相減或相加，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程．③解這個一元一次方程，求得未知數(shù)的值．④將求出的未知數(shù)的值代入原方程組的任意一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值．⑤把所求得的兩個未知數(shù)的值寫在一起，就得到原方程組的解，用的形式表示．一．二元一次方程的定義（共2小題）1．（2021春?上城區(qū)期末）下列各式是二元一次方程的是（）A．2x2+y＝0 B． C．x﹣y D．【分析】根據(jù)二元一次方程的定義，依次分析各個選項，選出是二元一次方程的選項即可．【解答】解：A．該方程是二元二次方程，不符合二元一次方程的定義，不是二元一次方程，即A選項不合題意；B．是分式方程，不符合二元一次方程的定義，不是二元一次方程，即B選項不合題意；C．不符合二元一次方程的定義，不是二元一次方程，即C選項不合題意；D．符合二元一次方程的定義，是二元一次方程，即D選項符合題意．故選：D．【點評】本題考查了二元一次方程的定義，解決本題的關鍵是注意二元一次方程必須符合以下三個條件：（1）方程中只含有2個未知數(shù)；（2）含未知數(shù)項的最高次數(shù)為一次；（3）方程是整式方程．2．（2021秋?文山市期末）若3x2m﹣3﹣y2n﹣1＝5是二元一次方程，則m＝2，n＝1．【分析】利用二元一次方程的定義判斷即可．【解答】解：∵3x2m﹣3﹣y2n﹣1＝5是二元一次方程，∴2m﹣3＝1，2n﹣1＝1，解得：m＝2，n＝1，故答案為：2；1【點評】此題考查了二元一次方程的定義，熟練掌握二元一次方程的定義是解本題的關鍵．二．二元一次方程的解（共6小題）3．（2021?嘉興）已知二元一次方程x+3y＝14，請寫出該方程的一組整數(shù)解（答案不唯一）．【分析】把y看做已知數(shù)求出x，確定出整數(shù)解即可．【解答】解：x+3y＝14，x＝14﹣3y，當y＝1時，x＝11，則方程的一組整數(shù)解為．故答案為：（答案不唯一）．【點評】此題考查了二元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．4．（2021春?上虞區(qū)期末）二元一次方程2x+y＝7中，若x＝2，則y的值是（）A．3 B．11 C．﹣3 D．﹣11【分析】根據(jù)方程的解的定義解決此題．【解答】解：當x＝2時，2×2+y＝7．∴y＝3．故選：A．【點評】本題主要考查方程的解的定義，熟練掌握方程的解的定義是解決本題的關鍵．5．（2021春?麗水月考）若是二元一次方程2x+y＝0的一個解（a≠0），則下列結論錯誤的是（）A．a(chǎn)，b異號 B．＝﹣2 C．2﹣6a﹣3b＝2 D．滿足條件的數(shù)對（a，b）有無數(shù)對【分析】將代入二元一次方程2x+y＝0，得到關于ab的關系式，然后對每個選項做出判斷即可得出符合題意的選項．【解答】解：將代入二元一次方程2x+y＝0得：2a+b＝0．∴b＝﹣2a．∵a≠0，∴a，b異號．∴A選項不符合題意；∵b＝﹣2a，∴．∴B選項符合題意；∵2﹣6a﹣3b＝2﹣3（2a+b）＝2﹣0＝2，∴C選項不符合題意；∵方程2a+b＝0有無數(shù)組解，∴滿足條件的數(shù)對（a，b）有無數(shù)對．∴D選項不符合題意．∴錯誤的結論是：B．故選：B．【點評】本題主要考查了二元一次方程的解，求代數(shù)式的值，有理數(shù)的混合運算．將方程的解代入原方程是解題的關鍵．6．（2020春?江北區(qū)期末）已知是方程3x+by＝8的解．當a＝2時，請分別求出b和9a2+6ab+b2+1的值．【分析】將a＝2代入方程即可求出b值，把代數(shù)式9a2+6ab+b2+1變形為（3a+b）2+1，然后計算．【解答】解：把x＝a，y＝1代入方程3x+by＝8，得3a+b＝8，∵a＝2，∴b＝2；∵3a+b＝8，∴9a2+6ab+b2+1＝（3a+b）2+1＝82+1＝65．【點評】本題主要考查公式法分解因式，把（3a+b）作為一個整體是解題的關鍵，而9a2+6ab+b2+1也需要運用公式變形以便計算．7．（2021春?長興縣月考）已知二元一次方程3x+2y＝19．（1）用關于x的代數(shù)式表示y；（2）寫出此方程的正整數(shù)解．【分析】（1）先將含x的項移到等式右邊，再兩邊都除以2即可得；（2）取x＝1，3，5分別得到y(tǒng)的值即可．【解答】解：（1）∵3x+2y＝19，∴2y＝19﹣3x，∴y＝，（2）當x＝1時，y＝8；當x＝3時，y＝5；當x＝5時，y＝2∴正整數(shù)解為，，．【點評】此題考查的是二元一次方程的解，能夠讓一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)是解決此題關鍵．8．（2021春?南潯區(qū)期末）定義一種新的運算：a☆b＝2a﹣b，例如：3☆（﹣1）＝2×3﹣（﹣1）＝7．若a☆b＝0，且關于x，y的二元一次方程（a+1）x﹣by﹣a+3＝0，當a，b取不同值時，方程都有一個公共解，那么這個公共解為．【分析】根據(jù)“a☆b＝2a﹣b，a☆b＝0”得到b＝2a，代入方程（a+1）x﹣by﹣a+3＝0得到（x﹣2y﹣1）a＝﹣3﹣x，根據(jù)“當a，b取不同值時，方程都有一個公共解”，得到關于x、y的方程組，解之即可．【解答】解：∵a☆b＝2a﹣b，a☆b＝0，∴2a﹣b＝0，即b＝2a，則方程（a+1）x﹣by﹣a+3＝0可轉化為（a+1）x﹣2ay﹣a+3＝0，則（x﹣2y﹣1）a＝﹣3﹣x，∵當a，b取不同值時，方程都有一個公共解，∴，解得，故答案為：．【點評】本題考查了新定義和二元一次方程的解，解題的關鍵是得到關于x、y的方程組．三．解二元一次方程（共3小題）9．（2021秋?路北區(qū)期末）已知二元一次方程4x+5y＝5，用含x的代數(shù)式表示y，則可表示為（）A．y＝﹣x+1 B．y＝﹣x﹣1 C．y＝x+1 D．y＝x﹣1【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，等式兩邊減去﹣4x，得5y＝5﹣4x．等式兩邊同時除以5，得y＝1﹣，即y＝，故選A．【解答】解：∵4x+5y＝5，∴5y＝5﹣4x．∴y＝．∴y＝1﹣．即y＝．故選：A．【點評】本題主要考查利用等式的性質(zhì)對等式進行變形，熟練掌握等式的性質(zhì)是解題的關鍵．10．（2021秋?白銀期末）已知2x﹣3y＝1，用含x的代數(shù)式表示y，則y＝x．【分析】首先移項、然后系數(shù)化1，繼而可求得答案．【解答】解：∵2x﹣3y＝1，∴3y＝2x﹣1，解得：y＝x﹣．故答案為：x﹣．【點評】此題考查了二元一次方程的知識．此題比較簡單，注意掌握解方程的步驟．11．（2020秋?寧波期末）已知等式：①＝；②2x＝5y﹣x；③3x﹣5y＝0；④＝，其中可以通過適當變形得到3x＝5y的等式是②③④．（填序號）【分析】對每一個等式進行變形可得：①方程兩邊同時乘15，得5x＝3y；②移項、合并同類項得，3x＝5y；③移項，得3x＝5y；④先去分母，再移項、合并同類項得，3x＝5y．【解答】解：①＝，方程兩邊同時乘15，得5x＝3y，不符合題意；②2x＝5y﹣x，移項、合并同類項得，3x＝5y，符合題意；③3x﹣5y＝0，移項，得3x＝5y，符合題意；④＝，方程兩邊同時乘以3y，得3x﹣3y＝2y，移項、合并同類項得，3x＝5y，符合題意；故答案為：②③④．【點評】本題考查二元一次方程的解，熟練掌握等式的基本性質(zhì)，靈活對等式進行變形是解題的關鍵．四．二元一次方程組的解（共8小題）12．（2021春?長興縣月考）若是下列某二元一次方程組的解，則這個方程組為（）A． B． C． D．【分析】運用代入排除法進行選擇或分別解每一個方程組求解．【解答】解：A、x＝2，y＝﹣1不是方程x+3y＝5的解，故該選項不合題意；B、x＝2，y＝﹣1不是方程組中每一個方程的解，故該選項不合題意．C、x＝2，y＝﹣1不是方程組中每一個方程的解，故該選項不合題意；D、x＝2，y＝﹣1適合方程組中的每一個方程，故本選項符合題意；故選：D．【點評】此題考查了方程組的解的定義，即適合方程組的每一個方程的解是方程組的解．13．（2021春?南潯區(qū)期末）已知是二元一次方程組的解，則a﹣3b的值為（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4【分析】把代入方程組得到關于a、b的方程組，再將兩個方程相減即可得到a﹣3b的值．【解答】解：把代入方程組可得：，①﹣②得a﹣3b＝﹣2．故選：A．【點評】本題考查二元一次方程組的解，能得出關于a、b的方程組是解題的關鍵．14．（2021春?上城區(qū)期末）已知方程組，下列說法正確的有（）個①a2+b2＝12；②（a﹣b）2＝8；③；④．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)完全平方公式進行變形，利用整體代入思想即可進行計算．【解答】解：因為方程組，①a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣4＝12，故①正確；②（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝42﹣8＝8，故②正確；③+＝＝＝2，故③正確；④+＝＝＝6，故④正確．故選：D．【點評】本題考查了二元一次方程組的解，解決本題的關鍵是利用完全平方公式進行變形．15．（2021春?嵊州市期末）關于x，y的二元一次方程組的解也是二元一次方程2x+y＝16的解，則k的值為1．【分析】將方程組中兩個方程相加得，2x＝14k，相減得2y＝4k，再由2x+y＝16，即可求k．【解答】解：，①+②得，2x＝14k，①﹣②得，2y＝4k，∴y＝2k，∵2x+y＝16，∴16k＝16，∴k＝1，故答案為1．【點評】本題考查二元一次方程組的解，通過觀察方程之間的關系，靈活處理方程組是解題的關鍵．16．（2021春?蕭山區(qū)期末）若是方程組的解，則a與c的關系是9a﹣4c＝23．【分析】將x、y的值代入方程組得到，然后計算①×3﹣②×2即可得出答案．【解答】解：根據(jù)題意知，①×3﹣②×2，得：9a﹣4c＝23，故答案為：9a﹣4c＝23．【點評】本題主要考查二元一次方程組的解，當遇到有關二元一次方程組的解的問題時，要回到定義中去，通常采用代入法，即將解代入原方程組，這種方法主要用在求方程中的字母系數(shù)．17．（2021春?饒平縣校級期末）已知的解是，求的解為．【分析】把x＝3，y＝4代入第一個方程組，可得關于a1，b1方程組，兩方程同時乘5可得出，再結合第二個方程組即可得出結論．【解答】解：把代入方程組得：，方程同時×5，得：，∴方程組的解為．故答案為：．【點評】本題考查了二元一次方程組的解，發(fā)現(xiàn)兩方程組之間互相聯(lián)系是解題的關鍵．18．（2021春?下城區(qū)期中）已知關于x，y的方程組，則下列結論中正確的是②③⑤．①當a＝1時，方程組的解是；②當x，y的值互為相反數(shù)時，a＝20；③若z＝（x﹣20）y，則z存在最小值為﹣25；④若22a﹣3y＝27，則a＝2；⑤不存在一個實數(shù)a使得x＝y(tǒng)．【分析】先解方程組，用含a的代數(shù)式分別表示x，y，再根據(jù)條件分別代入求解．【解答】解：，①﹣②×3得：y＝15﹣a③，把③代入②得：x＝25﹣a．①a＝1時，x＝24，不符合題意．②x，y的值互為相反數(shù)時15﹣a+25﹣a＝0，解得a＝20，符合題意．③z＝（x﹣20）y＝（25﹣a﹣20）（15﹣a）＝a2﹣20a+75＝（a﹣10）2﹣25，當a＝10時z有最小值﹣25，符合題意．④若22a﹣3y＝27，則2a﹣3y＝7，即2a﹣3（15﹣a）＝7，解得a＝，不符題意．⑤解方程15﹣a＝25﹣a，無解，符合題意．故答案為：②③⑤．【點評】本題考查二元一次方程組的解，解題關鍵是熟練掌握二元一次方程組的計算方法．19．（2021春?蕭山區(qū)校級期中）已知關于x，y的方程組與有相同的解，求（a+b）2020的值．【分析】把只含x，y的兩個方程聯(lián)立，求出x，y的值，代入其余的兩個方程，得到關于a，b的方程組，解方程組求得a，b的值，代入代數(shù)式求值即可．【解答】解：聯(lián)立，解得：，把x，y的值代入其余的兩個方程得：，解得：，則原式＝（1﹣2）2020＝（﹣1）2020＝1．【點評】本題考查了二元一次方程組的解，把只含x，y的兩個方程聯(lián)立，求出x，y的值是解題的關鍵．五．解二元一次方程組（共12小題）20．（2021春?嘉興期末）用加減消元法解二元一次方程組時，下列方法中能消元的是（）A．①×2+② B．①×2﹣② C．①×3+② D．①×（﹣3）﹣②【分析】根據(jù)①×2+②得出5x﹣4y＝23，即可判斷A；根據(jù)①×2﹣②得出﹣x＝5，即可判斷B；根據(jù)①×3+②得出6x﹣5y＝30，即可判斷C；根據(jù)①×（﹣3）﹣②得出﹣6x﹣y＝﹣3，即可判斷D．【解答】解：A．，①×2+②，得5x﹣4y＝23，不能消元，故本選項不符合題意；B．，①×2﹣②，得﹣x＝5，能消元，故本選項符合題意；C．，①×3+②，得6x﹣5y＝30，不能消元，故本選項不符合題意；D．，①×（﹣3）﹣②，得﹣6x﹣y＝﹣30，不能消元，故本選項不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了解二元一次方程組，能把二元一次方程組轉化成一元一次方程是解此題的關鍵．21．（2021春?奉化區(qū)校級期末）已知關于x、y的方程組的解是，則關于x、y的方程組的解是（）A． B． C． D．【分析】仿照已知方程組的解，確定出所求方程組的解即可．【解答】解：∵關于x、y的方程組的解是，∴關于x、y的方程組，即的解為，即，故選：B．【點評】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．22．（2021?柯城區(qū)校級模擬）若a+2b＝5，3a+4b＝13，則a+b的值為4．【分析】先得出方程組，①×2﹣②得出﹣a＝﹣3，求出a，再把a＝3代入①求出b即可．【解答】解：根據(jù)題意得：，①×2﹣②，得﹣a＝﹣3，解得：a＝3，把a＝3代入①，得3+2b＝5，解得：b＝1，所以a+b＝3+1＝4，故答案為：4．【點評】本題考查了解二元一次方程組，能把二元一次方程組轉化成一元一次方程是解此題的關鍵．23．（2021秋?拱墅區(qū)校級期中）在關于x、y的方程組中，未知數(shù)滿足x、y＞0，那么m的取值范圍是﹣＜m＜．【分析】把m看作已知數(shù)表示出方程組的解，根據(jù)x與y大于0，求出m的范圍即可．【解答】解：，①×2﹣②得：3x＝9m+6，解得：x＝3m+2，把x＝3m+2代入②得：3m+2+2y＝8﹣m，解得：y＝3﹣2m，∵x＞0，y＞0，∴，解得：﹣＜m＜．故答案為：﹣＜m＜．【點評】此題考查了解二元一次方程組，以及解一元一次不等式組，熟練掌握各自的解法是解本題的關鍵．24．（2021?海曙區(qū)模擬）已知方程組，則y的值為﹣1．【分析】應用加減消元法，求出y的值是多少即可．【解答】解：，①﹣②，可得2y＝﹣2，解得y＝﹣1．故答案為：﹣1．【點評】此題主要考查了解二元一次方程組的方法，要熟練掌握，注意代入消元法和加減消元法的應用．25．（2021?蕭山區(qū)模擬）設M＝2x﹣3y，N＝3x﹣2y，P＝xy．若M＝5，N＝0，則P＝6．【分析】根據(jù)題意得到關于x、y的方程組，利用加減消元法求得方程組的解，即可求得P的值，【解答】解：由題意得，①+②得5x﹣5y＝5，即x﹣y＝1③，①﹣③×2得﹣y＝3，解得y＝﹣3，把y＝﹣3代入③得，x＝﹣2，∴P＝xy＝﹣2×（﹣3）＝6，故答案為6．【點評】本題考查了解一元二次方程組，解方程組的方法有加減消元法和代入消元法．26．（2021春?上虞區(qū)期末）解二元一次方程組時，為快速求出未知數(shù)y的值，宜采用加減法消元．【分析】要求出y的值，觀察得兩方程中x系數(shù)相等，故相減即可求出．【解答】解：解二元一次方程組時，為快速求出未知數(shù)y的值，宜采用加減法消元．故答案為：加減．【點評】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．27．（2021春?浦江縣期末）解方程組：（1）；（2）．【分析】（1）應用代入消元法，求出方程組的解是多少即可．（2）應用加減消元法，求出方程組的解是多少即可．【解答】解：（1），由①，可得：x＝0.6y③，③代入②，可得：0.6y﹣y＝4，解得y＝﹣10，把y＝﹣10代入③，解得x＝﹣6，∴原方程組的解是．（2），①﹣②×7，可得﹣19m＝19，解得m＝﹣1，把m＝﹣1代入①，解得n＝1，∴原方程組的解是．【點評】此題主要考查了解二元一次方程組的方法，注意代入消元法和加減消元法的應用．28．（2021春?永嘉縣校級期末）解下列方程組：（1）；（2）．【分析】（1）把①代入②，用代入消元法解即可；（2）先將原方程組化簡，再用加減消元法解即可．【解答】解：（1），把①代入②得：3x﹣8（3﹣x）＝9，∴x＝3，把x＝3代入①得：y＝0，∴原方程組的解為；（2）原方程組化簡為，②﹣①得：2x＝4，∴x＝2，把x＝2代入①得：y＝﹣，∴原方程組的解為．【點評】本題考查了解二元一次方程組，解二元一次方程組的基本思路是消元，把二元一次方程組轉化為一元一次方程是解題的關鍵．29．（2021?嘉興二模）解方程組：．小海同學的解題過程如下：判斷小海同學的解題過程是否正確，若不正確，請指出錯誤的步驟序號，并給出正確的解題過程．【分析】第（1）步，移項沒有變號，第（2）步?jīng)]有用乘法分配律，去括號也錯誤了，第（3）步移項沒有變號，寫出正確的解答過程即可．【解答】解：錯誤的是（1），（2），（3），正確的解答過程：由②得：y＝5﹣x③把③代入①得：3x﹣10+2x＝6，解得：，把代入③得：，∴此方程組的解為．【點評】本題考查了二元一次方程組的解法，解二元一次方程組的基本思路是消元，把二元方程轉化為一元方程是解題的關鍵．30．（2021春?太康縣期末）解下列方程（組）：（1）﹣＝4；（2）．【分析】（1）方程整理后，去分母，去括號，移項合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解；（2）方程組整理后，利用加減消元法求出解即可．【解答】解：（1）方程整理得：5x+5﹣2x+2＝4，移項合并得：3x＝﹣3，解得：x＝﹣1；（2）方程組整理得：，把①代入②得：﹣7y+3y＝﹣4，解得：y＝1，把y＝1代入①得：x＝7，則方程組的解為．【點評】此題考查了解二元一次方程組，以及解一元一次方程，熟練掌握各自的解法是解本題的關鍵．31．（2021春?奉化區(qū)校級期末）已知關于x，y的二元一次方程組（a為實數(shù)）（1）若方程組的解始終滿足y＝a+1，求a的值；（2）已知方程組的解也是方程bx+3y＝1（b為實數(shù)，b≠0且b≠﹣6）的解①探究實數(shù)a，b滿足的關系式；②若a，b都是整數(shù)，求b的最大值和最小值．【分析】（1）方程組消去x表示出y，代入y＝2a﹣1中計算即可求出a的值；（2）①表示出方程組的解，代入bx+3y＝1中計算即可求出a與b的關系式；②由a與b的關系式表示出b，根據(jù)a，b為整數(shù)確定出b的最大值與最小值即可．【解答】解：（1），②﹣①得：3y＝6a﹣3，即y＝2a﹣1，把y＝2a﹣1代入y＝a+1中得：2a﹣1＝a+1，解得：a＝2；（2）①把y＝2a﹣1代入方程組第一個方程得：x＝a+2，方程組的解為，代入bx+3y＝1得：ab+2b+6a﹣3＝1，即ab+6a+2b＝4；②由ab+6a+2b＝4，得到b＝＝＝＝﹣6，∵a，b都是整數(shù)，∴a+2＝±1，±2，±4，±8，±16，當a+2＝1，即a＝﹣1時，b取得最大值10；當a+2＝﹣1，即a＝﹣3時，b取得最小值﹣22．【點評】此題考查了解二元一次方程組，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．分層提分分層提分題組A基礎過關練一．選擇題（共8小題）1．（2021春?蕭山區(qū)校級期中）下列四組數(shù)值是二元一次方程2x﹣y＝6的解的是（）A． B． C． D．【分析】把各項中x與y的值代入方程檢驗即可．【解答】解：A．把代入方程2x﹣y＝6得：左邊＝2﹣4＝﹣2，右邊＝6，∵左邊≠右邊，∴不是方程的解，不符合題意；B．把代入方程2x﹣y＝6得：左邊＝8﹣2＝6，右邊＝6，∵左邊＝右邊，∴是方程的解，符合題意；C．把代入方程2x﹣y＝6得：左邊＝4﹣4＝0，右邊＝6，∵左邊≠右邊，∴不是方程的解，不符合題意；D．把代入方程2x﹣y＝6得：左邊＝4﹣3＝1，右邊＝6，∵左邊≠右邊，∴不是方程的解，不符合題意；故選：B．【點評】此題考查了二元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．2．（2021春?來鳳縣期末）已知關于x，y的方程組和的解相同，則（a+b）2021的值為（）A．0 B．﹣1 C．1 D．2021【分析】聯(lián)立不含a與b的方程組成方程組，求出方程組的解得到x與y的值，進而求出a與b的值，即可求出所求．【解答】解：聯(lián)立得：，①×5+②×3得：29x＝58，解得：x＝2，把x＝2代入①得：y＝1，代入得：，解得：，則原式＝（﹣2+2）2021＝0．故選：A．【點評】此題考查了二元一次方程組的解，以及解二元一次方程組，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數(shù)的值．3．（2021春?鎮(zhèn)海區(qū)期中）|x+2y﹣3|+|x﹣y+3|＝0，則xy的值是（）A．﹣1 B．1 C． D．2【分析】根據(jù)絕對值的非負性得出方程組，求出方程組的解，再求出答案即可．【解答】解：∵|x+2y﹣3|+|x﹣y+3|＝0∴x+2y﹣3＝0且x﹣y+3＝0，即，①﹣②，得3y＝6，解得：y＝2，把y＝2代入②，得x﹣2＝﹣3，解得：x＝﹣1，∴xy＝（﹣1）2＝1，故選：B．【點評】本題考查了絕對值的非負性和解二元一次方程組，能把二元一次方程組轉化成一元一次方程是解此題的關鍵．4．（2020秋?黃石期末）二元一次方程組的解為（）A． B． C． D．【分析】方程組利用加減消元法求出解即可．【解答】解：方程組整理得：，①+②得：3x＝﹣9，解得：x＝﹣3，把x＝﹣3代入①得：y＝﹣2，則方程組的解為．故選：A．【點評】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．5．（2021春?潢川縣期末）由方程組可得x與y的關系式是（）A．3x＝7+3m B．5x﹣2y＝10 C．﹣3x+6y＝2 D．3x﹣6y＝2【分析】方程組消去m即可得到x與y的關系式．【解答】解：，①×2﹣②得：3x﹣6y＝2，故選：D．【點評】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．6．（2021春?奉化區(qū)校級期末）用加減法解方程組時，方程①+②得（）A．2y＝2 B．3x＝6 C．x﹣2y＝﹣2 D．x+y＝6【分析】方程組兩方程相加消去y得到結果，即可作出判斷．【解答】解：用加減法解方程組時，方程①+②得：3x＝6．故選：B．【點評】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．7．（2021?西湖區(qū)校級三模）解方程組加減消元法消元后，正確的方程為（）A．6x﹣y＝4 B．3y＝2 C．﹣3y＝2 D．﹣y＝2【分析】方程組中兩方程相減即可得到結果．【解答】解：，②﹣①得：3y＝2．故選：B．【點評】此題考查了解二元一次方程組，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．8．（2021春?西湖區(qū)校級期末）若是的解，則有（）A．4b﹣9a＝7 B．9a+4b+7＝0 C．3a+2b＝1 D．4b﹣9a+7＝0【分析】先把解代入方程組，再消去字母c即得結論．【解答】解：把方程的解代入方程組，得，①×3+②×2，得﹣9a﹣4b＝7．∴9a+4b+7＝0．故選：B．【點評】本題考查了解二元一次方程組，理解方程組的解是解決本題的關鍵．二．填空題（共6小題）9．（2021春?鹿城區(qū)校級期中）已知y﹣2x＝6，用含x的代數(shù)式表示y，則y＝2x+6．【分析】把x看做已知數(shù)求出y即可．【解答】解：方程y﹣2x＝6，解得：y＝2x+6．故答案為：2x+6．【點評】此題考查了解二元一次方程，解題的關鍵是將x看做已知數(shù)求出y．10．（2021春?麗水月考）若（m﹣2）x﹣2y|m﹣1|＝3是關于x，y的二元一次方程，則m＝0．【分析】直接根據(jù)二元一次方程的定義解答即可．【解答】解：根據(jù)題意，得m﹣2≠0，|m﹣1|＝1，解得：m＝0．故答案為：0．【點評】此題考查的是二元一次方程的定義，掌握其定義是解決此題關鍵．11．（2021春?奉化區(qū)校級期末）已知關于x，y的方程組的解互為相反數(shù)，則常數(shù)a的值為15．【分析】②﹣①求出2x+2y＝a﹣15，根據(jù)已知得出a﹣15＝0，求出即可．【解答】解：∵②﹣①得：2x+2y＝a﹣15，∵關于x，y的方程組的解互為相反數(shù)，∴x+y＝0，即2x+2y＝0，∴a﹣15＝0，∴a＝15，故答案為15．【點評】本題考查了二元一次方程組的解，關鍵是能得出關于a的方程．12．（2021春?奉化區(qū)校級期末）已知（m為常數(shù)），則x﹣y＝﹣．【分析】把兩個式子的左右兩邊分別相加，求出x﹣y的值是多少即可．【解答】解：①+②，可得2x﹣2y＝﹣1，∴x﹣y＝﹣．故答案為：﹣．【點評】此題主要考查了解二元一次方程組的方法，要熟練掌握，注意代入消元法和加減消元法的應用．13．（2021春?漣水縣期末）已知二元一次方程組，則2a+4b＝6．【分析】將兩方程相減即可得．【解答】解：，①﹣②，得：2a+4b＝6，故答案為：6．【點評】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．14．（2021春?樂清市期末）已知方程組的解是方程x﹣2y＝5的一個解，則a的值為3．【分析】根據(jù)“方程組的解是方程x﹣2y＝5的一個解”可得，求出x，y的值，再代入3x+ay＝﹣3中，即可求出a的值．【解答】解：由題可知：，解得，把代入3x+ay＝﹣3得：3×1﹣2a＝﹣3，解得a＝3．故答案為：3．【點評】本題考查二元一次方程組的解，能求出x、y的值是解題的關鍵．三．解答題（共7小題）15．（2020春?下城區(qū)期末）關于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c是常數(shù)），b＝a+1，c＝b+1．（1）當時，求c的值．（2）當a＝時，求滿足|x|＜5，|y|＜5的方程的整數(shù)解．（3）若a是正整數(shù)，求證：僅當a＝1時，該方程有正整數(shù)解．【分析】（1）由題意，得3a+a+1＝a+2，解得a＝，即可求得c＝；（2）當a＝時，方程為+y＝，即x+3y＝5，根據(jù)方程即可求得；（3）由題意，得a（x+y﹣1）＝2﹣y①，x、y均為正整數(shù)，則x+y﹣1是正整數(shù)，a是正整數(shù)，則2﹣y是正整數(shù)，從而求得y＝1，把y＝1代入①得，ax＝1，即可求得a＝1，此時方程的正整數(shù)解是．【解答】解：（1）∵b＝a+1，c＝b+1．∴c＝a+2，由題意，得3a+a+1＝a+2，解得a＝，∴c＝a+2＝；（2）當a＝時，+y＝，化簡得，x+3y＝5，∴符合題意的整數(shù)解是：，，；（3）由題意，得ax+（a+1）y＝a+2，整理得，a（x+y﹣1）＝2﹣y①，∵x、y均為正整數(shù)，∴x+y﹣1是正整數(shù)，∵a是正整數(shù)，∴2﹣y是正整數(shù)，∴y＝1，把y＝1代入①得，ax＝1，∴a＝1，此時，a＝1，b＝2，c＝3，方程的正整數(shù)解是．【點評】本題考查了二元一次方程的解，絕對值的性質(zhì)，熟知一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解是解答此題的關鍵．16．（2019秋?蘭州期末）若關于x，y的二元一次方程組與方程組有相同的解．（1）求這個相同的解；（2）求m﹣n的值．【分析】（1）根據(jù)題意列不含m、n的方程組求解即可；（2）將（1）求得的方程組的解代入原方程組中含m、n的方程中求得m、n的值即可．【解答】解：（1）∵關于x，y的二元一次方程組與方程組有相同的解，∴解得∴這個相同的解為（2）∵關于x，y的二元一次方程組與方程組有相同的解，∴解得∴m﹣n＝3﹣2＝1．答：m﹣n的值為1．【點評】本題考查了二元一次方程組的解，解決本題的關鍵是根據(jù)題意重新聯(lián)立方程組．17．（2021?德清縣校級模擬）解方程組：．【分析】方程組利用加減消元法求出解即可．【解答】解：，①+②得：6x＝12，解得：x＝2，把x＝2代入①得：2﹣y＝1，解得：y＝1，則方程組的解為．【點評】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．18．（2021春?鎮(zhèn)海區(qū)期中）解下列方程組：（1）；（2）．【分析】（1）把①代入②得出5x+2x﹣3＝11，求出x，把x＝2代入①求出y即可；（2）①+②得出3x＝7，求出x，把x＝代入①求出y即可．【解答】解：（1），把①代入②，得5x+2x﹣3＝11，解得：x＝2，把x＝2代入①，得y＝4﹣3＝1，所以方程組的解是：；（2）整理得：，①+②，得3x＝7，解得：x＝，把x＝代入①，得+5y＝0，解得：y＝﹣，所以方程組的解是：．【點評】本題考查了解二元一次方程組，能把二元一次方程組轉化成一元一次方程是解此題的關鍵．19．（2019春?西湖區(qū)期末）已知是方程3x+by＝的解．（1）當a＝2時，求b的值．（2）求9a2+6ab+b2+1的值．【分析】（1）根據(jù)方程解的定義，把和a＝2代入方程3x+by＝，即可得出b的值；（2）把3a+b作為整體，代入9a2+6ab+b2+1＝（3a+b）2+1，求值即可．【解答】解：（1）∵是方程3x+by＝的解，∴3a+b＝，∵a＝2，∴b＝﹣5；（2）∵3a+b＝，∴9a2+6ab+b2+1＝（3a+b）2+1＝5+1＝6．【點評】本題考查了二元一次方程的解，把3a+b作為整體，是數(shù)學中常用的整體思想．20．（2019春?拱墅區(qū)校級期中）已知關于x，y的方程組，以下結論：①k＝0時，方程組的解也是方程x﹣2y＝﹣4的解；②論k取什么實數(shù)，x+3y的值始終不變；③若z＝﹣xy，則z的最小值為﹣；請判斷以上結論是否正確，并說明理由．【分析】①利用消元法解二元一次方程組，然后把x、y的值代入方程x﹣2y＝﹣4即可求解；②利用消元法解二元一次方程組，將用含k的式子表示出的方程組的解代入x+3y，即可得結論；③把z＝﹣xy配方成2（k﹣）2﹣即可得結論．【解答】解：結論正確，理由如下：①當k＝0時，方程組為，解這個方程組，得，把x＝﹣2，y＝1代入x﹣2y＝﹣4中，使方程左右兩邊相等，所以當k＝0時，方程組的解也是方程x﹣2y＝﹣4的解；②解方程組得，∴x+3y＝3k﹣2+3（﹣k+1）＝3k﹣2﹣3k+3＝1，所以不論k取什么實數(shù)，x+3y的值始終不變．③z＝﹣xy＝﹣（3k﹣2）（﹣k+1）＝2k2﹣k+＝2（k﹣）2﹣，∴當k＝時，z有最小值為﹣．【點評】本題考查了二元一次方程的解、二元一次方程組的解，解題關鍵是用字母正確表示方程組的解．題組B能力提升練一．選擇題（共2小題）1．（2021春?諸暨市月考）若關于x，y的二元一次方程組的解滿足x﹣y＝2，則m的值為（）A．3 B．2 C．﹣3 D．0【分析】先求出只含x，y的方程組的解，再將解代入3x+my＝6求解．【解答】解：聯(lián)立方程，①+②得2x＝6，解得x＝3，將x＝3代入②得3﹣y＝2，解得y＝1，∴方程組的解為，將代入3x+my＝6得9+m＝6，解得m＝﹣3，故選：C．【點評】本題考查二元一次方程組的計算，解題關鍵是根據(jù)題意聯(lián)立只含x，y的方程求解．2．（2020春?紹興期中）若方程組的解x與y的和為2，則m的值為（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1【分析】利用加減消元法解方程組，可得用含m的式子表示的x和y，再根據(jù)x+y＝2，即可求出m的值．【解答】解：解方程組，得，因為x+y＝2，所以m+1+＝2，解得m＝1．則m的值為1．故選：D．【點評】本題考查了二元一次方程組的解，解決本題的關鍵是掌握二元一次方程組的解法．二．填空題（共7小題）3．（2021春?奉化區(qū)校級期末）已知二元一次方程．若用含x的代數(shù)式表示y，可得y＝2﹣；方程的正整數(shù)解是．【分析】先將含x的項移到等式右邊，再兩邊都乘以2即可得，【解答】解：∵，∴，正整數(shù)解為．故答案為：2﹣，【點評】本題主要考查解二元一次方程組，解題的關鍵是掌握代入消元法解二元一次方程組的步驟．4．（2021春?奉化區(qū)校級期末）已知方程3x﹣y＝5，用含x的代數(shù)式表示y，則y＝3x﹣5．【分析】把x看做已知數(shù)求出y即可．【解答】解：方程3x﹣y＝5，解得：y＝3x﹣5，故答案為：y＝3x﹣5【點評】此題考查了解二元一次方程，解題的關鍵是將x看做已知數(shù)求出y．5．（2021春?奉化區(qū)校級期末）若方程組的解是，則方程組的解為．【分析】把x+2018與y﹣2019看做一個整體，根據(jù)已知方程組的解確定出所求即可．【解答】解：∵方程組的解是，∴方程組的解為，即，故答案為：【點評】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數(shù)的值．6．（2021春?奉化區(qū)校級期末）若方程x﹣y＝﹣1的一個解與方程組的解相同，則k的值為﹣4．【分析】聯(lián)立不含k的方程組成方程組，求出方程組的解得到x與y的值，即可確定出k的值．【解答】解：聯(lián)立得：，解得：，代入方程得：2﹣6＝k，解得：k＝﹣4，故答案為：﹣4【點評】此題考查了二元一次方程組的解，以及二元一次方程的解，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．7．（2021春?長興縣月考）已知二元一次方程組，則8x+7y＝25．【分析】方程組中兩方程左右兩邊相加即可求出所求式子的值．【解答】解：，①+②得：8x+7y＝25，故答案為：25．【點評】此題考查了解二元一次方程組，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．8．（2021春?奉化區(qū)校級期末）已知方程組和方程組有相同的解，則m的值是5．【分析】既然兩方程組有相同的解，那么將有一組x、y值同時適合題中四個方程，把題中已知的兩個方程組成一個方程組，解出x、y后，代入x+y+m＝0中直接求解即可．【解答】解：解方程組，得，代入x+y+m＝0得，m＝5．【點評】當給出的未知數(shù)較多時，應選擇只含有2個相同未知數(shù)的2個方程組成方程組求解．9．（2021春?寧波期末）對x，y定義一種新運算F，規(guī)定：F（x，y）＝（mx+ny）（3x﹣y）（其中m，n均為非零常數(shù)）．例如：F（1，1）＝2m+2n，F(xiàn)（﹣1，0）＝3m．當F（1，﹣1）＝﹣8，F(xiàn)（1，2）＝13，則F（x，y）＝9x2+12xy﹣5y2；當x2≠y2時，F(xiàn)（x，y）＝F（y，x）對任意有理數(shù)x，y都成立，則m，n滿足的關系式是3m+n＝0．【分析】（1）根據(jù)新運算F的定義，得m﹣n＝﹣2，m+2n＝13，故m＝3，n＝5．那么，F(xiàn)（x，y）＝（mx+ny）（3x﹣y）＝（3x+5y）（3x﹣y）＝9x2+12xy﹣5y2．（2）由F（x，y）＝F（y，x），得3mx2+（3n﹣m）xy﹣ny2＝3my2+（3n﹣m）xy﹣nx2，故（3m+n）x2＝（3m+n）y2．由當x2≠y2時，F(xiàn)（x，y）＝F（y，x）對任意有理數(shù)x，y都成立，故當x2≠y2時，（3m+n）x2＝（3m+n）y2對任意有理數(shù)x，y都成立．那么，3m+n＝0．【解答】解：（1）∵F（1，﹣1）＝﹣8，F(xiàn)（1，2）＝13，∴（m﹣n）×[3﹣（﹣1）]＝﹣8，（m+2n）（3×1﹣2）＝13．∴m﹣n＝﹣2，m+2n＝13．∴m＝3，n＝5．∴F（x，y）＝（mx+ny）（3x﹣y）＝（3x+5y）（3x﹣y）＝9x2﹣3xy+15xy﹣5y2＝9x2+12xy﹣5y2．（2）∵F（x，y）＝（mx+ny）（3x﹣y），F(xiàn)（y，x）＝（my+nx）（3y﹣x），∴F（x，y）＝3mx2﹣mxy+3nxy﹣ny2＝3mx2+（3n﹣m）xy﹣ny2．F（y，x）＝3my2﹣mxy+3nxy﹣nx2＝3my2+（3n﹣m）xy﹣nx2．若當x2≠y2時，F(xiàn)（x，y）＝F（y，x）對任意有理數(shù)x，y都成立，∴當x2≠y2時，3mx2+（3n﹣m）xy﹣ny2＝3my2+（3n﹣m）xy﹣nx2對任意有理數(shù)x，y都成立．∴當x2≠y2時，（3m+n）x2＝（3m+n）y2對任意有理數(shù)x，y都成立．∴3m+n＝0．故答案為：9x2+12xy﹣5y2，3m+n＝0．【點評】本題主要考查整式的運算以及解二元一次方程組，熟練掌握二元一次方程組的解法以及整式的運算是解題的關鍵．三．解答題（共7小題）10．已知方程x﹣y＝7，用含x的代數(shù)式表示y．【分析】將x看做已知數(shù)，求出y即可．【解答】解：方程x﹣y＝7，去分母得：5x﹣3y＝105，解得：y＝．【點評】此題考查了解二元一次方程，解題的關鍵是將x看做已知數(shù)，y看做未知數(shù)．11．已知關于x，y的二元一次方程（a﹣3）x+（2a﹣5）y+6﹣a＝0，當a每取一個值時就有一個方程，這些方程有一個公共解．（1）求出這個公共解；（2）請說明，無論a取何值，這個公共解都是二元一次方程（a﹣3）x+（2a﹣5）y+6﹣a＝0的解．【分析】（1）先把原方程去括號整理得出（x+2y﹣1）a﹣3x﹣5y+6＝0，再由題意得出，解方程即可；（2）按照（1）的思路去做即可．【解答】解：（1）原方程去括號整理得：（x+2y﹣1）a﹣3x﹣5y+6＝0，由題意得：，解得；（2）∵把（a﹣3）x+（2a﹣5）y+6﹣a＝0化為下面的形式：（x+2y﹣1）a﹣3x﹣5y+6＝0，∴，解得（3分）∴無論a取何值，這個公共解都是二元一次方程（a﹣3）x+（2a﹣5）y+6﹣a＝0的解（2分）【點評】本題考查了二元一次方程的解，難度適中，是個不錯的題目．12．（2018?舟山）用消元法解方程組時，兩位同學的解法如下：解法一：由①﹣②，得3x＝3．解法二：由②，得3x+（x﹣3y）＝2，③把①代入③，得3x+5＝2．（1）反思：上述兩個解題過程中有無計算錯誤？若有誤，請在錯誤處打“ד．（2）請選擇一種你喜歡的方法，完成解答．【分析】（1）觀察兩個解題過程即可求解；（2）根據(jù)加減消元法解方程即可求解．【解答】解：（1）解法一中的解題過程有錯誤，由①﹣②，得3x＝3“×”，應為由①﹣②，得﹣3x＝3；（2）由①﹣②，得﹣3x＝3，解得x＝﹣1，把x＝﹣1代入①，得﹣1﹣3y＝5，解得y＝﹣2．故原方程組的解是．【點評】此題考查