八年級數(shù)學經典難題(答案 解析)

初二數(shù)學典難題一解題共小題滿100分分已知：如圖是方形ABCD內，PAD=∠PDA=15eq\o\ac(△,：)PBC是正三角形二分已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，MN分是ABCD的點AD、的長線交于E．求證：∠DEN=∠F．

分如圖，分別eq\o\ac(△,)的邊AC、BC為一邊，eq\o\ac(△,)ABC外作正方形ACDE和CBFG點P是的點，求證：點到的離是的半．分設是行四邊形內的一點，且∠PBA=PDA求證：∠PAB=PCB．

分P為方形內一點，并且PA=aPB=2aPC=3a求正方形的邊長．10）一個圓柱形容器的容積為V立米，開始用一根小水管向容器內注水，水面高度達到容器高度一半后，改用一根口徑為小水管2倍大水管注水．向容器中注滿水的全過程共用時間t分．求兩根水管各自注水的速度．

分2009郴州）如圖，已知正比例函數(shù)和反比例函的圖象都經過點（﹣，1（﹣，2為雙曲線上的一點，Q坐標平面上一動點垂直于x軸QB垂于y軸垂足分別是A、B（1寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關系式；（2當點在線MO運動時，直線上否存在這樣的點Q，使eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)OAP面相等？如果存在，請求出點的坐標，如果不存在，請說明理由；（3如圖2，當點在一象限中的曲線上運動時，作以OPOQ為邊的平四邊形，求平行四邊形周的最小值．

分2008?南）如圖是長為1的正方ABCD對線AC上動點與A、C不重合E在線段BC上且．（1求證：①PE=PD②⊥PD（2設AP=xeq\o\ac(△,，)PBE面積為y．①求關函數(shù)關系式，并寫出的取值范圍；②當取何值時，y取最大值，并求出這個大值．

112分河）如圖，直線y=k與比例函數(shù)（1求、k的．112

（x＞0的圖象交于A16（，3）兩點．（2直接寫出

時x的值范圍；（3如圖，等腰梯形中，∥，，邊x軸上，過點作CEOD于，CE和比例函數(shù)的圖象交于點P，梯形OBCD面積為12，請判斷PC和大小關系，并說明理由．

分福）如圖，已知直線y=x與曲線（1求的值；

交于AB兩點，且點A的橫坐標為4．（2若雙曲線

上一點的縱坐標為，eq\o\ac(△,求)的面積；（3過原點的一條直線l交曲線頂點組成的四邊形面積為24，求點P的標．

于P，Q兩在第一象限由A，B，，Q為

初二數(shù)學典難題參考答案試題解析一解題共小題滿100分分已知：如圖是方形ABCD內，PAD=∠PDA=15．證eq\o\ac(△,)PBC正三角形二考點：正形的性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質；等邊三角形的判定。專題：證題。分析：在方形內eq\o\ac(△,)DGCeq\o\ac(△,)ADP全，根據(jù)全等三角形的性質求eq\o\ac(△,)為等邊，三角形，根據(jù)SAS證出≌，推出，推出，根據(jù)等邊三角形的判定求出即可．解答：證：∵正方形ABCD∴，∠BAD=∠，∵∠PAD=∠PDA=15，∴，PAB=∠，在正方形內eq\o\ac(△,)DGCeq\o\ac(△,)ADP全，∴DP=DG，∠∠GDC=∠DAP=∠°，∴∠PDG=90﹣﹣15=60，∴△為等邊三角形（有一個角等于60度等腰三形是等邊三角形∴DP=DG=PG∵∠DGC=180﹣15﹣=150，∴∠PGC=360﹣150﹣=150∠DGC，在DGC和PGC中，∴△≌△PGC，∴，和∠DCG=∠，同理，∠﹣15﹣15，∴△PBC是三角形．

點評：本考查了正方形的性質，等邊三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定等知識的應用，關鍵是正確作出輔助線，又是難點，題型較好，但有一定的難度，對學生提出了較高的要求．分已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，MN分是ABCD的點AD、的長線交于E．求證：∠DEN=∠F．考點：三形中位線定理。專題：證題。分析：

連接AC作∥AC于G連MG根中位線定理證明MG∥且BC根AD=BC證明GM=GN，可得∠GNM=，據(jù)平行線性質可得：∠GMF=F∠GNM=∠從得出∠DEN=∠．解答：證：連接AC作GNAD交AC于，接MG∵是的中點，且NG∥AD，∴NG=ADGAC的點，又∴M是AB的點，∴MG∥，且BC∵，∴，△GNM為腰三角形，∴∠GNM=∠GMN∵GM∥BF∴∠GMF=∠，∵GN，∴∠GNM=∠，∴∠DEN=F

點評：此主要考查平行線性質，以及三角形中位線定理，關鍵是證eq\o\ac(△,)為腰三角形．分如圖，分別eq\o\ac(△,)的邊AC、BC為一邊，eq\o\ac(△,)ABC外作正方形ACDE和CBFG點P是的點，求證：點到的離是的半．考點：梯中位線定理；全等三角形的判定與性質。專題：證題。分析：

分別過EC作的線垂足依次為R則PQ=（eq\o\ac(△,)AER≌eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)，則ER=ATFS=BT，即可得證．解答：解分別過EF，，作的線，垂足依次為，ST，Q則∥PQ∥FS，∵是的中點，∴Q為的點，∴為形的位線，∴PQ=（∵AE=AC正方形的邊長相等AER=CAT同角的余角相等∠ATC=90∴eq\o\ac(△,)≌eq\o\ac(△,)CAT（AAS同理eq\o\ac(△,)≌eq\o\ac(△,)CBT∴，F(xiàn)S=BT∴ER+FS=AT+BT=AB，∴PQ=AB點評：此綜合考查了梯形中位線定理、全等三角形的判定以及正方形的性質等知識點，輔助的作法很關鍵．分設是行四邊形內的一點，且∠PBA=PDA求證：∠PAB=PCB．

222考點：專題：分析：解答：

四點共圓；平行四邊形的性質。證明題。根據(jù)已知作過點行于的線，并選一點E，使PE=AD=BC，利用AD∥EPAD∥BC，進而得出∠ABP=∠ADP=∠，得出AEBP共，即可得出答案．證明：作過P點行于AD直線，并選一點E，PE=AD=BC，∵AD∥EP，AD∥．∴四邊形AEPD是行四邊形，四邊形PEBC是平行四邊形，∴AE，∥，∴∠∠ADP=AEP，∴共圓（一邊所對兩角相等∴∠∠∠BCP∴∠PAB=∠PCB．點評：此主要考查了四點共圓的性質以及平行四邊形的性質，熟練利用四點共圓的性質得出解題關鍵．分P為方形內一點，并且PA=aPB=2aPC=3a求正方形的邊長．考點：專題：分析：解答：

正方形的性質；勾股定理；等腰直角三角形；旋轉的性質。綜合題。把ABP順針旋轉90得到，根據(jù)勾股定理得到PE=2a再根據(jù)勾股定理逆定理證eq\o\ac(△,)是直角三角形，從而得到∠BEC=135，點C作⊥BE于Feq\o\ac(△,)是腰直角三角形，然后再根據(jù)勾股定理求出BC的度，即可得到正方形的邊長．解：如圖所示，eq\o\ac(△,)ABP順針旋轉90得eq\o\ac(△,)，∴△APB≌CEB，∴∴PE=

=2

a在=PE+CE，∴△PEC是角三角形，∴∠°，∴∠°=135，過點C作CF⊥于F，則是腰直角三角形，

∴CF=EF=CE=，在eq\o\ac(△,Rt)中，即正方形的邊長為．

==，點評：本查了正方形的性，旋轉變化的性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理以及逆理的應用，作出輔助線構造出直角三角形是解題關鍵．6分）一個圓柱形容器的積為米，開始用一根小水管向容器內注水，水面高度達到器高度一半后，改用一根口徑為小水管2倍大管注水．向容器中注滿水的全過程共用時間．求兩根水管自注水的速度．考點：分程的應用。分析：設管進水速度為x大水管進水速度為4x一個圓柱形容器的容積為V方米，始用一根小水管向容器內注水，水面高度達到容高度一半后，改用一根口徑為小水管的大水管注水．向容中注滿水的全過程共用時間t可列方求解．解答：解小水管進水速度x立方，大水管進水速度為立．意得：解之得：經檢驗得：

是原方程解．∴小口徑水管速度為

立方，徑水管速度為

立方米．點評：本查理解題意的能，設出速度以時間做為等量關系列方程求解．7郴）如圖，知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經過點（﹣2P（）為雙曲線上的一點Q為平上一動點PA垂直x軸QB垂直于y軸垂足分別是A．（1）寫出正比例函數(shù)和反比例數(shù)的關系式；（2）當點Q直線MO運動，直線MO上存在這樣的點Q，eq\o\ac(△,得)eq\o\ac(△,與)面相？果在請求出點的坐標，如果不存在，說明理由；

2212222（3如圖2，當點在一象限中的曲線上運動時，作以OPOQ為邊的平四邊形，求平行四邊形2212222周的最小值．考點：反例函數(shù)綜合題。專題：壓題。分析：（1）正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖都經過點M﹣2﹣出比例函數(shù)和比例函數(shù)的解析式，運用待定系數(shù)法可求它們解析式；（2因為P﹣1，2為雙曲線上的一點，所eq\o\ac(△,)OBQeq\o\ac(△,)面積為1，依據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質，點在曲線上，即符合條件的點存在，是正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象的交點；（3因為四邊形是行四邊形，所以OP=CQ，OQ=PC，而點P（﹣1，﹣2是定點，所以OP長也是定長，所以要求平行四邊形OPCQ長的最小值就只需求OQ的最小值．解答：解）正比例函數(shù)解析式為，將點（﹣2，）坐標代入得，以正比例函數(shù)解析式為y=x，同樣可得，反比例函數(shù)解析式為；（2當點在線OM上動時，設點的標為Q（mm于是eq\o\ac(△,)=×BQ|=××m=m，而eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)OAP（1×（2），所以有，m=1，得m=2所以點Q的標為Q（21）和Q（﹣2﹣（3因為四邊形是行四邊形，所以OP=CQ，OQ=PC，而點P（﹣，﹣2）是定點，所以的也是定長，所以要求平行四邊形周的最小值就只需求的小值分因為點Q在一象限中雙曲線上，所以可設點的坐標為（，由勾股定理可得

=（n﹣）+4，

22所以當（﹣）=0即﹣時OQ有最小值4，22又因為為值，所以與同取得最小值，所以有小值，由勾股定理得OP=，所以平行四邊形OPCQ周的最小值是（OP+OQ=2）=210分點評：此難度稍大，考查一次函數(shù)反比例函數(shù)二次函數(shù)的圖形和性質，綜合性比較強．要注對各個知識點的靈活應用．分2008?南）如圖是長為1的正方ABCD對線AC上動點與A、C不重合E在線段BC上且．（1求證：①PE=PD②⊥PD（2設AP=xeq\o\ac(△,)PBE面積為．①求關函數(shù)關系式，并寫出的取值范圍；②當取何值時，y取最大值，并求出這個大值．考點：專題：分析：解答：

二次函數(shù)綜合題。動點型。（1可通過構建全等三角形來求解．過點P作GFAB，別交AD、于、，那么可通過證三角形和全來求PD=PE以及⊥．在直角三角形中由于CAD=45因三角形AGP是等腰直角三角形，那么AG=PG而，PFBE，那么根等腰三角形三線合一的特點可得出，理可得出兩三角形的一組對應邊DG相，因此可得出兩直角三角形全等．可得出PD=PEGDP=∠EPF∠GDP+°么可得出∠GPD+°由此可得出⊥．（2求三角形PBE的面積，就要知道底BE和的）已得出，那么可用AP在等腰直角三角形AGP中出，GP，F(xiàn)E的，那么知道了底邊BE的，而高PF=CD，也就可求出的長，可根據(jù)三角形的面積公式得出，的數(shù)關系式．然后可根據(jù)函數(shù)的性質及自變量的取值范圍求出y的大值以及對應的x的值．（1證明過點PGFAB分別交AD、BC于G．如圖所示．∵四邊形ABCD是方形，∴四邊形ABFG和邊形GFCD都是矩形，eq\o\ac(△,)都等腰直角三角形．∴GD=FC=FP，，∠∠度．又∵PB=PE∴BF=FE，∴GP=FE∴△EFP≌△（∴PE=PD．②∴1=∠2∴∠1+∠3=∠∠3=90度∴∠DPE=90度∴PE⊥PD．（2解過作⊥AB，eq\o\ac(△,)AMP為等腰直角角形，

2222最大值112四邊形為形，可得PM=BF，∵，PM=x，2222最大值112∴BF=PM=

，PF=1．∴eq\o\ac(△,S)PBE?PF=即﹣x+x=﹣（﹣x＜x＜②y=﹣x+

x（1）+

x）﹣x+

x．∵﹣＜，∴當x=

時，y=．點評：本主要考查了正方形，矩形的性質，全等三角形的判定以及二次函數(shù)的綜合應用等知點，通過構建全等三角形來得出相關的邊和角相等是解題的關鍵．分2010河）如圖，直線y=k與比例函數(shù)（1求、k的．

（x＞0的圖象交于A16（，3）兩點．（2直接寫出

時x的值范圍；（3如圖，等腰梯形中，∥，，邊x軸上，過點作CEOD于，CE和比例函數(shù)的圖象交于點P，梯形OBCD面積為12，請判斷PC和大小關系，并說明理由．

112112OBCDOBCD考點：反例函數(shù)綜合題；一次函數(shù)的性質；反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義。112112OBCDOBCD專題：綜題。分析：（1先點A入反比例函數(shù)求得反比例函數(shù)的解析式把B代反比例函數(shù)解析式求得的值把點AB代一函數(shù)解析式利用待定系數(shù)法求得的．（2當＞y時直線在雙曲線上方，即的范圍是在AB之，故可直接寫出范圍．（3設點P坐標為（m得（，3CE=3BC=m﹣2，，利用梯形的面積是列方程，可求得m值，從而求得點P的坐標，根據(jù)線段的長度關系可知．解答：解）題意知k∴反比例函數(shù)的解析式為（x＞0）∵x＞0∴反比例函數(shù)的圖象只在第一象限，又∵，3）在y=的象上，∴，∴B，3）∵直線x+b過A1B，）兩點∴∴故k的值為3，k的值為；（2由1）得出3x+9＞，即直線的函數(shù)值大于反比例函數(shù)值，由圖象可知，此時＜x＜，則x的值范圍為＜x＜；（3當時PC=PE梯形設點P坐標為，n作BF⊥x軸，∵∥，⊥OD，BO=CD，（23∴C，，﹣2，OD=OE+ED=OE+BF=m+2∴梯形∴，又

，即

eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)ONCeq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)ONCeq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)矩形ONDM∴PC=PE點評：此綜合考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的性質，此題難度稍大，綜合性比較強，注意反例函數(shù)上的點的特點和利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法．要靈活的利用梯形的面積公式來求得相關的線段長度，從而確定關鍵點的坐標是解題的關鍵．分福）如圖，已知直線y=x與曲線（1求的值；

交于AB兩點，且點A的橫坐標為4．（2若雙曲線

上一點的縱坐標為，eq\o\ac(△,)AOC的積；（3過原點的一條直線l交曲線頂點組成的四邊形面積為24，求點P的標．

于P，Q兩在第一象限由A，B，，Q為考點：反例函數(shù)綜合題。專題：綜題；壓軸題。分析：（1）先根據(jù)直線的解析式求出A點坐標，然后將A點標代入雙曲線的解析式中即可求出的值；（2）由（1）得出的雙曲線的解析式，可求出C點坐標，由eq\o\ac(△,)面積無法直接求出，因此可通過作輔助線，通過其他圖形面積的和差關系來求得不唯一（3由于雙曲線是關于原點的中心對稱圖形，因此以A、BP為頂點的四邊形應該是平行四邊形，那么POA的積就應該是四邊形面積的四分之一即．根據(jù)雙曲線的解析式設出P點坐標，然后參照（2的角形面積的求法表示eq\o\ac(△,)的面積eq\o\ac(△,)POA面積為由可得出關于點坐標的方程，即可求出點坐標．解答：解）點A橫標為，把代y=x中得，∴A（4∵點A是直線y=x與雙曲線（k＞0的交點，∴k=4（2解法一：如圖，∵點C在曲線上，當時x=1∴點C的標為，8過點AC分做軸、y軸垂線，垂足為M、，得矩形DMON∵=32，=4=4．

eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)ONCeq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)OAMONDMeq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)AOFeq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)COAeq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)ONCeq\o\ac