優(yōu)選課件：高中數(shù)學(xué)人教B版 必修 第一冊(cè) 函數(shù)與方程不等式之間的關(guān)系

第三章函數(shù)3.2函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系素養(yǎng)目標(biāo)·定方向課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)法解讀1．結(jié)合具體連續(xù)函數(shù)及其圖像的特點(diǎn)，了解函數(shù)零點(diǎn)存在性定理．2．了解二分法求方程解的一般性.1．會(huì)求函數(shù)的零點(diǎn)，掌握函數(shù)零點(diǎn)存在的條件，并會(huì)判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．(數(shù)學(xué)抽象)2．掌握用二分法求方程近似解的步驟．3．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生學(xué)習(xí)運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)求方程近似解的方法，逐步幫助學(xué)生樹立數(shù)學(xué)建模的思想.第2課時(shí)零點(diǎn)的存在性及其近似值的求法必備知識(shí)·探新知關(guān)鍵能力·攻重難課堂檢測(cè)·固雙基素養(yǎng)作業(yè)·提技能必備知識(shí)·探新知1．函數(shù)零點(diǎn)存在定理(1)條件：函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的曲線，并且f(a)f(b)＜0.(2)結(jié)論：函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)中至少有一個(gè)零點(diǎn)，___________________________.基礎(chǔ)知識(shí)即?x0∈(a，b)，f(x0)＝0

思考1：(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理是否能確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)？(2)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上有零點(diǎn)，是不是一定有f(a)f(b)＜0?提示：(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理只能判斷出零點(diǎn)是否存在，而不能確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．如圖(1)(2)，雖然都有f(a)·f(b)＜0，但圖(1)中的函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)．圖(2)中的函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)僅有1個(gè)零點(diǎn)．(2)若函數(shù)y＝f(x)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，則由f(a)·f(b)＜0可以推出函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)存在零點(diǎn)；但是，由函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)存在零點(diǎn)不一定能推出f(a)·f(b)＜0.如圖(3)雖然在區(qū)間(a，b)內(nèi)函數(shù)f(x)有零點(diǎn)，但f(a)·f(b)＞0.2．二分法的概念對(duì)于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)＜0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到函數(shù)零點(diǎn)的方法稱為二分法．思考2：當(dāng)|b－a|＜2ε時(shí)，取區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)作為零點(diǎn)的近似解，區(qū)間(a，b)上的其他點(diǎn)一定不是零點(diǎn)的近似解嗎？為什么不取其他的點(diǎn)作為近似解？提示：設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)是x0，區(qū)間(a，b)的其他點(diǎn)為x′，x′也可能是零點(diǎn)的近似解，即滿足|x′－x0|＜ε，但是也可能不滿足，而區(qū)間的中點(diǎn)一定滿足，因此只取區(qū)間的中點(diǎn)作為近似解，而不取其他的點(diǎn)．1．對(duì)于函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)＞0，f(b)＞0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]內(nèi)(

)A．一定有零點(diǎn)

B．一定沒有零點(diǎn)C．可能有兩個(gè)零點(diǎn)

D．至多有一個(gè)零點(diǎn)解析：如圖所示，當(dāng)f(a)＞0，f(b)＞0時(shí)，函數(shù)圖像與x軸可以有一個(gè)或兩個(gè)交點(diǎn)，還可以沒有交點(diǎn)．故A、B、D不正確，C正確．C

基礎(chǔ)自測(cè)2．方程x3－x－3＝0的實(shí)數(shù)解所在的區(qū)間是(

)A．[－1,0]

B．[0,1]

C．[1,2]

D．[2,3]解析：令f(x)＝x3－x－3，易知函數(shù)f(x)＝x3－x－3在R上的圖像是連續(xù)不斷的，f(1)＝－3＜0，f(2)＝8－2－3＝3＞0，f(－1)＝－3＜0，f(0)＝－3＜0，f(3)＝21＞0，結(jié)合選項(xiàng)知，f(1)·f(2)＜0，故函數(shù)f(x)＝x3－x－3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為[1,2]，即方程x3－x－3＝0的實(shí)數(shù)解所在的區(qū)間為[1,2]．C

3．用二分法求函數(shù)f(x)＝－4x2＋8x－1的零點(diǎn)x0時(shí)，第一次計(jì)算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，f(1)＞0，則由此可得零點(diǎn)所在的區(qū)間和第二次應(yīng)計(jì)算的函數(shù)值分別為(

)A．(0.5,1)，f(0.75)

B．(0,0.5)，f(0.125)C．(0,0.5)，f(0.25)

D．(0,1)，f(0.125)解析：由用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的步驟，知x0∈(0,0.5)，第二次應(yīng)計(jì)算的函數(shù)值為f(0.25)．C

4．用二分法求函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，參考數(shù)據(jù)如下：據(jù)此數(shù)據(jù)，可得f(x)的一個(gè)零點(diǎn)的近似值(精度0.01)為_________.解析：由參考數(shù)據(jù)知，f(1.5625)≈0.003＞0，f(1.5495)≈－0.029＜0，即f(1.5495)·f(1.5625)＜0，又1.5625－1.5495＝0.013＜0.02，所以f(x)的一個(gè)零點(diǎn)的近似值可取為(1.5495＋1.5625)÷2＝1.556.f(1.6000)≈0.200f(1.5875)≈0.133f(1.5750)≈0.067f(1.5625)≈0.003f(1.5495)≈－0.029f(1.5400)≈－0.0601.556

5．在26枚嶄新的金幣中，混入了一枚外表與它們完全相同的假幣，但質(zhì)量稍輕，若現(xiàn)在只有一臺(tái)天平，最多需要稱____次就可以發(fā)現(xiàn)這枚假幣．解析：第一次兩端各13枚稱重，選出較輕的一端的13枚，繼續(xù)稱；第二次兩端各6枚，若平衡，則剩下的一枚為假幣，否則選出較輕的6枚，繼續(xù)稱；第三次兩端各3枚，選出較輕的3枚，繼續(xù)稱；第四次兩端各1枚，若不平衡，可找出假幣，若平衡，則剩下的是假幣．即最多稱四次就可以發(fā)現(xiàn)這枚假幣．4

關(guān)鍵能力·攻重難

(1)若a＜b＜c，則函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間(

)A．(a，b)和(b，c)內(nèi)

B．(－∞，a)和(a，b)內(nèi)C．(b，c)和(c，＋∞)內(nèi)

D．(－∞，a)和(c，＋∞)內(nèi)函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的求法類型一典例剖析典例1A

思路探究：求函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的關(guān)鍵是判斷區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值與0的大小關(guān)系．B

歸納提升：判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的三個(gè)步驟(1)代入：將區(qū)間端點(diǎn)值代入函數(shù)求出函數(shù)的值．(2)判斷：把所得的函數(shù)值相乘，并進(jìn)行符號(hào)判斷．(3)結(jié)論：若符號(hào)為正且函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則在該區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，若符號(hào)為負(fù)且函數(shù)連續(xù)，則在該區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．1．已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝(x2－5x＋6)g(x)＋x2－8，其中函數(shù)y＝g(x)的圖像是一條連續(xù)曲線，則方程f(x)＝0在下面哪個(gè)范圍內(nèi)必有實(shí)數(shù)根(

)A．(0,1)

B．(1,2)

C．(2,3)

D．(3,4)對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練C

解析：令x2－5x＋6＝0，解得x＝2或x＝3.∵f(2)＝4－8＝－4＜0，f(3)＝9－8＝1＞0，又易知函數(shù)f(x)的圖像在R上連續(xù)不間斷，∴函數(shù)f(x)在(2,3)內(nèi)必有零點(diǎn)，故方程f(x)＝0在(2,3)內(nèi)必有實(shí)數(shù)根．

求函數(shù)f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一個(gè)為正數(shù)的零點(diǎn)(精確到0.1)．思路探究：先找一個(gè)兩端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)相反的區(qū)間，然后用二分法逐步縮小零點(diǎn)所在的區(qū)間，直到達(dá)到要求的近似值，最后確定要求的近似值．用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值類型二典例剖析典例2解析：由于f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，可取區(qū)間[1,2]作為計(jì)算的初始區(qū)間．用二分法逐次計(jì)算，列表如下：2．(1)用二分法求函數(shù)f(x)＝x3＋5的零點(diǎn)可以取的初始區(qū)間是(

)A．[－2,1]

B．[－1,0]

C．[0,1]

D．[1,2](2)用二分法求f(x)＝0的近似解，f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)＝－0.984，f(1.375)＝－0.260，下一個(gè)求f(m)，則m＝___________.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練A

1.4375

已知函數(shù)f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間(－1,0)與(1,2)內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．思路探究：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理，求解不等式，確定參數(shù)的取值范圍．零點(diǎn)存在定理的綜合應(yīng)用類型三典例剖析典例3歸納提升：二次函數(shù)的零點(diǎn)問題，一般需要考慮以下四個(gè)方面：(1)判別式．(2)端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)．(3)對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系．(4)根與系數(shù)的關(guān)系．3．若函數(shù)f(x)＝3x2－5x＋a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(－2,0)內(nèi)，另一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,3)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(－12，0)

錯(cuò)用零點(diǎn)存在性定理易混易錯(cuò)警示典例剖析典例41

誤區(qū)警示：利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理判斷函數(shù)是否存在零點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)條件是缺一不可的．因此，判斷函數(shù)在已知區(qū)間上是否存在零點(diǎn)時(shí)，應(yīng)先判斷函數(shù)圖像在該區(qū)間上是不是連續(xù)不斷的，而且不能一味地將區(qū)間[a，b]的左、右端點(diǎn)值代入解析式，根據(jù)f(a)·f(b)＜0是否成立來判斷，這是因?yàn)槟承┖瘮?shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間可能是已知區(qū)間的子區(qū)間或函數(shù)零點(diǎn)可能為不變號(hào)零點(diǎn)．

在一個(gè)風(fēng)雨交加的夜里，從某水庫閘房到防洪指揮部的電話線路發(fā)生故障，這是一條10km長的筆直的線路，怎樣迅速查出故障所在？如果沿著線路一小段一小段查找，困難很多，每查一個(gè)點(diǎn)要爬一次電線桿子，10km有200多根電線桿．想一想，維修線路的工人師傅怎樣查找故障最合理？二分法的思想就是通過“無限逼近”思想來體現(xiàn)的，二分法不僅可以求根，還可以用于查找線路、水管、煤氣管等的故障，也有用于實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、資料查詢等，在日常生活中有著廣泛的應(yīng)用．學(xué)科核心素養(yǎng)典例剖析典例