九年級下-第4講-二次函數(shù)的最值和增減性-王曉波

第四講二次函數(shù)的最值及增減性【知識點撥】、由頂點式y(tǒng)=a(%-h)2+k(a豐0)看二次函數(shù)的最值及增減性a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)a>0向上(h,k)x=hx>h時，y隨x的增大而增大；x<h時，y隨x的增大而減小；x=h時，y有最小值k.a<0向下(h,k)x=hx>h時，y隨x的增大而減??；x<h時，y隨x的增大而增大；x=h時，y有最大值k.二、由一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a豐0)看二次函數(shù)的最值及增減性24ac—b24ac—b2+--一，可以看出拋物線的4a先用配方法將一般式化成頂點式y(tǒng)=ax+—I 2aJ一/b4ac—b2 b頂點坐標為(-，- )，對稱軸為%=——2a 4a 2a函數(shù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a豐0)圖像a>0a<0JU.0*X性質(zhì)(1)拋物線有最低點，當(dāng)x=—b時，2a一 4ac—b2y有最小值，y目…= / ；最小值 4a(2)在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<-b時，2ay隨x的增大而減小；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x>—二時，y隨x的增大而增大，2a簡記左減右增b(1)拋物線有最高點，當(dāng)x=——時，2a4a4ac—b2y有最大值，y目上拈= . ；最大值 4ab(2)在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<——2a時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的b右側(cè)，即當(dāng)x>——時，y隨x的增大2a而減小，簡記左增右減三、不同的自變量取值范圍時二次函數(shù)的最值如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值(或最小值)，b即當(dāng)b即當(dāng)x=—時，

2a4ac-b2y二 最值4a如果自變量的取值范圍是x如果自變量的取值范圍是x<x，那么，首先要看一二是否在自變量取2 2ab 4ac一b2值范圍X<x<x內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)X=--時，y^^=—--；若不1 2 2a 最值 4a在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在5<x<x2范圍內(nèi)的增減性,如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)X=X2時,

y=ax2+bx+c，當(dāng)x-x時，最大2 2 1yy最小-ax2+bx+c如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)x-x1時，y最大-ax2+bx+c，當(dāng)x-x時，y-ax2+bx+c。最小2 2【例題講解】第一部分：二次函數(shù)的最值【例1】二次函數(shù)y=(x-1)2+2的最小值是 .【例2】函數(shù)y=(x-1)2+1的最小值y等于.【例3】二次函數(shù)y=2x2-4x+5的最小值是.【例4】二次函數(shù)y=x2-2x-3的最小值是.【例5】函數(shù)y=x2-2x-1的最小值是.【例6】若拋物線y=-x2+4x+k的最大值為3,則卜=.【例7】已知二次函數(shù)y--x2+6x+m的最大值為1,那么m=。【例8】已知二次函數(shù)y-x2-4x+m-3的最小值為3,則m=?！纠?】已知二次函數(shù)y--x2+2x+3,函數(shù)的最大值為；當(dāng)-4<x<0時，函數(shù)的最大值是，最小值是；當(dāng)2<x<7時，函數(shù)的最大值是 ，最小值是 ；當(dāng)-4<x<7時，函數(shù)的最大值是 ，最小值是 ；【例10】 當(dāng)x>0時，求函數(shù)y--x(2-x)的取值范圍.【例11】 求二次函數(shù)y-2x2-3x+5在-2<x<2上的最大值和最小值，并求對應(yīng)的x的值.【例12】 已知二次函數(shù)y=2x2—4x+1,求：⑴函數(shù)的最小值；⑵當(dāng)-4<x<0時，函數(shù)的最大值與最小值；⑶當(dāng)2<x<11時，函數(shù)的最大值與最小值；⑷當(dāng)-4<x<11時，函數(shù)的最大值與最小值?！纠?3】 已知關(guān)于x的函數(shù)y=x2+2ax+2在-5<x<5上.⑴當(dāng)a=-1時，求函數(shù)的最大值和最小值；⑵當(dāng)a為實數(shù)時，求函數(shù)的最大值.【例14】 已知二次函數(shù)y=x2-2ax+a2—1,當(dāng)x>1時，函數(shù)的最小值為-1,求a的取值范圍?！纠?5】 函數(shù)y=x2+2x+3在m<x<0上的最大值為3,最小值為2,求m的取值范圍.【例16】 已知函數(shù)y=x2+2ax+1在-1<x<2上的最大值為4,求a的值.【例17】 已知二次函數(shù)y=x2-2ax+2a+3，當(dāng)a時，該函數(shù)y的最小值為o?【例18】 （2011株洲）某廣場有一噴水池，水從地面噴出，如圖，以水平地面為x軸，出水點為原點，建立平面直角坐標系，水在空中劃出的曲線是拋物線y=-x2+4x（單位：米）的一部分，則水噴出的最大高度是（ ）為了牢固起見，每段護欄需要間距0.4m加設(shè)一根不銹鋼的支柱，防護欄組成的最高點距底部0.5m（如圖），則這條防護欄需要不銹鋼支柱的總長度至少為）（）（50m100m160m200m50m100m160m200m【例20】（2011?濟南）豎直向上發(fā)射的小球的高度h（m）關(guān)于運動時間t（【例20】的函數(shù)表達式為h=at2+bt,其圖象如圖所示，若小球在發(fā)射后第2秒與第6秒A.第3秒BA.第3秒B.M3.5秒C.M4.2秒D.第6.5秒時的高度相等，則下列時刻中小球的高度最高的是（ ）【例21】（2011?河北）一小球被拋出后，距離地面的高度【例21】t（秒）滿足下面函數(shù)關(guān)系式：h=-5（t-1）2+6,則小球距離地面的最大高度是1米5米1米5米6米7米【例22】（2010?定西）向空中發(fā)射一枚炮彈，經(jīng)x秒后的高度為【例22】與高度的關(guān)系為y=ax2+bx+c（a，0）、若此炮彈在第7秒與第14秒時的高度相等，則在下列時間中炮彈所在高度最高的是（ ）A.第8A.第8秒B.第10秒C.第12秒D.第15秒【例23】（2009?臺灣）向上發(fā)射一枚炮彈，經(jīng)x秒后的高度為【例23】與高度關(guān)系為y=ax2+bx.若此炮彈在第7秒與第14秒時的高度相等，則在下列哪一個時間的高度是最高的（）A.第8秒B.第10秒C.第12秒D.第15秒【例【例24】（2007?雅安）為搞好環(huán)保，某公司準備修建一個長方體的污水處理池，池底矩形的周長為100m,則池底的最大面積是（ ）600m2625m2650m2675m2【例25】 （2007?孝感）小敏用一根長為8cm的細鐵絲圍成矩形，則矩形的最大面積是（ ）A.4cm2 B.8cm2 C.16cm2 D.32cm2【例26】 （2007?日照）某民俗旅游村為接待游客住宿需要，開設(shè)了有100張床位的旅館，當(dāng)每張床位每天收費100元時，床位可全部租出.若每張床位每天收費提高20元，則相應(yīng)的減少了10張床位租出.如果每張床位每天以20元為單位提高收費，為使租出的床位少且租金高，那么每張床位每天最合適的收費是（）A.140元 B.150元 C.160元 D.180元【例27】 （2007?臨沂）如圖，某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料，為節(jié)約資源，現(xiàn)要按圖中所示的方法從這些邊角料上截取矩形（陰影部分）片備用，當(dāng)截取的矩形面積最大時，矩形兩邊長x、y應(yīng)分別為（ ）A.x=10,y=14B.x=14,y=10 C.x=12,y=15D.x=15,y=12【例28】 （2007?濟寧）一件工藝品進價為100元，標價135元售出，每天可售出100件.根據(jù)銷售統(tǒng)計，一件工藝品每降價1元出售，則每天可多售出4件，要使每天獲得的利潤最大，每件需降價的錢數(shù)為（）A.5元 B.10元 C.0元 D.3600元第二部分：二次函數(shù)的增減性【例29】 （2012?泰安）設(shè)A（-2,y1）,B（1,y2）,C（2,yj是拋物線y=-TOC\o"1-5"\h\z（x+1）2+a上的三點，則yjy2，y3的大小關(guān)系為（ ）人工注注民工＞丫3＞丫2 C-y3＞y2＞yi ＞丫3＞工＞丫2【例30】 （2012?衢州）已知二次函數(shù)y=-Jx2-7x肯，若自變量x分別取x「x2,x3,且0Vxi＜x2＜x3,則對應(yīng)的函數(shù)值yjy2，y3的大小關(guān)系正確的是（ ）A，＞丫2＞丫3 1匕六^ 仁丫2＞丫3＞， ＞丫2^^【例31】 （2012?廣元）若二次函數(shù)y=ax2+bx+a2-2（a、b為常數(shù)）的圖象如圖，2,0）、O（0,0）、B（-3,y）、C（3,y2）四點，則丫］與丫"勺大小關(guān)系正確的是（）A.y1＜y2 B.y1＞y2 C.y1=y2 D.不能確定【例33】 （2012?常州）已知二次函數(shù)y=a（x-2）2+c（@＞0）,當(dāng)自變量x分別取血、3、0時，對應(yīng)的函數(shù)值分別：y/y2,y3,則y/y2,y3的大小關(guān)系正確的是（）A.y3<y2<y1 B.y1<y2<y3 C.y2<y1<y3 D.y3<y1<y2【例34】 （2011?臺灣）如圖，坐標平面上二次函數(shù)y=x2+1的圖形通過A、B兩點,且坐標分別為⑶苧、（b，詈則AB的長度為何？（）【例35】(2011?濟寧)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c中,其函數(shù)y與自變量x之間的部分對應(yīng)值如下表所示:TOC\o"1-5"\h\zx … 0 1 2 3 4 …y … 4 1 0 1 4 …點A(x「yj、B(x2，y2)在函數(shù)的圖象上，則當(dāng)1<x]<2,3<x2<4時，y1與y2的大小關(guān)系正確的是( )A.y1>y2 氏丫下2 。一122 ^工瓶【例36】 (2010?咸寧)已知拋物線y=ax2+bx+c(a<0)過A(-2,0)、O(0,0)、B(-3,y〉、C(3,y2)四點，則上與力的大小關(guān)系是( )A.y1>y2 B.y1=y2 C.y1<y2 D.不能確定【例37】 (2008?威海)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過點A(1,2),B(3,2),C(5,7).若點M(-2,yJ,N(-1,yJ,K(8,yJ也在二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象上，則下列結(jié)論正確的是( )A―"” A―"” —丫3C.y3<y1<y2 D.y1<y3<y2【例38】 (2008?紹興)已知點(x/y1),(x2,yj均在拋物線y=x2-1上，下列說法中正確的是( )A.若A.若yjy2,則Ux1=x2B.若x1=-x2,則y1=-y2C.若C.若0<x]<x2,則y1>y2D.若一”0,則工可【例39】（2008?萊蕪）若A（-￥,【例39】TOC\o"1-5"\h\z1 2 3數(shù)y=x2+4x-5的圖象上的三點，則yjy2,y3的大小關(guān)系是（ ）A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 C.y3<y1<y2 D.y1<y3<y2【例40】 （2006?臨沂）若A（-竽y1）,B（-1,y2）,C（|,yj為二次函數(shù)y=-x2-4x+5的圖象上的三點，則y「八，工的大小關(guān)系是（ ）A.y1<y2<y3 B.y3<y2<y1 C.y3<y1<y2 D.y2<y1<y3【例41】 （2003?濰坊）已知二次函數(shù)y=3（x-1）2+k的圖象上有三點A（:巧,y）,B（2,y）,C（-O,y）,則y、y、y的大小關(guān)系為（ ）2 3 1 2 3A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y3>y1>y2 D.y3>y2>y1123 213 312 321【例42】 2003?蘇州）已知a<-1,點（a-1,yj,（a,y2）,（a+1,yj都在函數(shù)y=x2的圖象上，則（ ）A.y1<y2<y3 B.y1<y3<y2 C.y3<y2<y1 D.y2<y1<y3【例43】 （2004?湖州）已知拋物線和直線l在同一直角坐標系中的圖象如圖所示，拋物線的對稱軸為直線x'-l.rixjyJ、P2（x2，y2）是拋物線上的點，P3（x3，y3）是直線l上的點，且-1<x1<x2,%<-1,則y1、八、工的大小關(guān)A.yi<y2<y3 8—3<工<丫2 —<丫2<工 D,y2<yi<y3【例44】 二次函數(shù)丫=@乂2+匕乂+。的圖象如圖所示，若點A（1,yJ、B（2,y2）是A.yi<y2 B.yi=y2 C.yi>y2 D.不能確定【課后練習(xí)】.二次函數(shù)y=2（x+3）2-5的最小值是..二次函數(shù)y=-x2-4x+5的最大值是.TOC\