2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題押題含答案解析

2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題

1.已知，點(diǎn)工（10,0）B（6,8）,點(diǎn)P為線段04上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)”、點(diǎn)。重合），以

%為半徑的。尸與線段N2的另一個(gè)交點(diǎn)為C,作于。（如圖1）

（2）求當(dāng)0尸與08相切時(shí)OP的半徑；

（3）在（2）的情況下，設(shè)（2）中。P與OB的切點(diǎn)為E,連接P8交CD于點(diǎn)尸（如圖

2）

①求CF的長；

②在線段。E上是否存在點(diǎn)G使/GPF=45°?若存在，求出EG的長；若不存在，請

說明理由.

解：（1）連接尸C,過8作8NJ_x軸于點(diǎn)N.

"：PC=PA（。尸的半徑），

.?./1=/2（等邊對等角）.

VA（10,0）,B（6,8）,

；Q=10,BN=8,ON=6,

...在RtZXOBN中，0B=y/ON2+BN2=10（勾股定理），

：.OA=OB,

：.NOB4=N1（等邊對等角），

：.ZOBA=Z2（等量代換），

J.PC//OB（同位角相等，兩直線平行）.

：.CDLPC,

...CO為G)P的切線;

第1頁共12頁

(2)如圖2,過8作軸于點(diǎn)N,設(shè)圓P的半徑為人

:。尸與。8相切于點(diǎn)E,則08J_PE,04=10,

PFr

：.在RtZXOPE中，sin/EOP=需=而三,

RNQA

在RtZkOBN中，sinZB0N=器=竟=*

r_4

10-r=5'

解得：廠=孥

（3）①如圖3,:由（2）知尸g,

...在RtZXOPE中，OE=y/OP2-PE2=J（10-等尸一（等尸=學(xué)（勾股定理）,

,/ZPCD=ZCDE=NPED=90°,

...四邊形尸8E是矩形.

又,：PE=PC（。。的半徑），

矩形PCDE是正方形，

40

：.DE=DC=r=拳

：.BD=OB-OE-DE=10-學(xué)-與=等

VZBFD=ZPFC,ZPEO=ZPCF=90°,

:.XBDFsXPCF,

2040”

BDDFV

?-----------------Rll-Z--------------1---

?'PC"CF'叩竺"CF'

9

解得，CF=翳，即C/的長度是郎；

②假設(shè)在線段QE上是否存在點(diǎn)G使NGPF=45°.

如圖4所示，在線段EP上截取EQ=EG.

TOBLPE,

：.ZGQE=45°,

：.ZGQP=135°.

第2頁共12頁

??,四邊形尸COE是正方形,

l4072

：.PD=y/2PC=ZEPD=ZPDC=45°,

???N2+N3=45°.

VZFPG=45°,

???N1+N2=45°

???N1=N3

VZBDP=ZBDC+ZPDC=900+45°=135°

:"GQP=NBDP

:?△GQPsXBDP

.GQPQ

??BD-PD

1040

*：OE=%,DE=￥，08=10,

20

：.BD=OB-ED-OE=^-.

「40

設(shè)EG=Q,則G0=伍，PQ=PE-EQ=-^--a,

l40

.y/2a-g--a

='T3TF'

9-

第3頁共12頁

2.直角坐標(biāo)系中，正方形O48C的邊OC、OZ分別在x軸、y軸上，/點(diǎn)的坐標(biāo)為(O,4).

(1)如圖1,將正方形0/8C繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得正方形OCEF,邊DE交BC于

G,求G點(diǎn)坐標(biāo).

(2)如圖2,。。1與正方形18co四邊都相切，直線M。切OOi于尸，分別交y軸、x

軸、線段8c于A/、N、Q.求證：OiN平分NMOiQ.

(3)如圖3,點(diǎn)，與點(diǎn)8關(guān)于y軸對稱，7為C4延長線上一點(diǎn)，燈為過八4、4的

。。2直徑，對于結(jié)論：?AT+AS-,@AT-AS.其中只有一個(gè)正確，請作出判斷并證明你

的結(jié)論，求出其值.

第4頁共12頁

?.?正方形OABC繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得正方形ODEF,

：.ZAOD=30°,OD=AB,

：.ZDOC^60Q,

'：OD=OC,ND=20CG,OG公共,

ARtAOOG^RtAOCG,

：.ZDOG=ZCOG,

；./COG=30°,

點(diǎn)的坐標(biāo)為（。，4）,四邊形O/8C為正方形,

：.OC=OA=4,

4/3

：.CG=

4V3

；.G點(diǎn)坐標(biāo)為（4,—^―）；

(2)證明：'JBQ//AM,

：.ZBQM+ZAMQ^180°,

根據(jù)切線長定理，NOi0A/+NOiM0=18O°x1=90°,

AZMO\Q=\SO°-90°=90°,

由切線長定理NNOi0=45°,

二。畫平分ZMOiQ；

（3）解：/T-/S的值是定值為4位.

在ZT上取點(diǎn)匕使7v=45,即ZT-4S=4V,

\'AS±AC,

第5頁共12頁

：.ZTHS=ZTAS=90°，

■:H（-4、4）,A（0、4）,

：.AHLAO；

又???NC4C=45。，

：.ZTAH=45°,

'：ZTHS=ZTAS=90°,

：.ZTSH=450,

：.HT=HS；

又/HTV=/HSA,TV=AS,

:.叢HTV"叢HSA,

???△M4P為等腰直角三角形,

：.AT-AS=AV=4>/2.

3.如圖，在中，ZACB=90°,以斜邊力8上的中線CO為直徑作。。，與8c交

于點(diǎn)與48的另一個(gè)交點(diǎn)為￡,過例作MNJ_48,垂足為M

(1)求證：是OO的切線；

第6頁共12頁

【解答】(1)證明：連接0M,如圖1,

'：OC=OM,

J.ZOCM^AOMC,

在RtZ\/8C中，CD是斜邊上的中線,

：.CD=^AB=BD,

：.NDCB=NDBC,

NOMC=ZDBC,

C.OM//BD,

■:MNLBD,

：.OMLMN,

,.,。歷過O,

是。。的切線;

(2)解：連接。M,CE,

；8是。。的直徑,

.".ZCED=90°,ZDMC=90°,

即ZW_L8C,CErAB,

由（1）知：BD=CD=5,

為BC的中點(diǎn)，

3

VsinB=引

第7頁共12頁

/.cos5=引

在Rt△員3中，BM=BDsB=4,

:?BC=2BM=8,

在RtACEB中，BE=BC?cosB=考，

327

：.ED=BE-BD=節(jié)-5=g

4.已知NMPN的兩邊分別與。。相切于點(diǎn)4B,。0的半徑為八

（1）如圖1,點(diǎn)C在點(diǎn)48之間的優(yōu)弧上，ZMPN=80°,求N/CB的度數(shù)；

（2）如圖2,點(diǎn)C在圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)尸C最大時(shí)，要使四邊形/P8C為菱形，NZP5的度

數(shù)應(yīng)為多少？請說明理由；

（3）若尸C交。。于點(diǎn)。，求第（2）問中對應(yīng)的陰影部分的周長（用含，?的式子表示）.

【解答】解：（I）如圖1,連接。Z,08,

圖1

'：PA,P8為。。的切線，

：.ZPAO^ZPBO=90Q,

VZAPB+ZPAO+ZPBO+ZAOB^360,1,

：.ZAPB+ZAOB=ISO°,

VZAPB=iO°,

AZAOS=100°,

AZACB=50°；

第8頁共12頁

(2)如圖2,當(dāng)//尸8=60°時(shí)，四邊形/P8C是菱形,

連接。4,OB,

由(1)可知，N/O8+N/P8=180°,

VZAPB=60°,

AZAOB=120°,

AZACB=60°=/APB,

?.?點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到PC距離最大，

經(jīng)過圓心，

,：PA,尸8為。。的切線，

:.PA=PB,NAPC=NBPC=30°,

又?：PC=PC,

:.△APgtXBPC(SAS),

：.ZACP=ZBCP=30°,AC=BC,

...N/PC=N4CP=30°,

:.AP=AC,

：.AP=AC=PB=BC,

四邊形/P8C是菱形；

(3);?。的半徑為r,

'.OA—r,OP—2r,

：.AP=V3r,PD=r,

VZJOP=90°-ZAPO=60a,

而的長度==^r,

...陰影部分的周長=以+尸。+崩=倔廿+$=(V3+1+1)r.

第9頁共12頁

5.如圖，以為。。的切線，尸8c為。。的割線，4），。產(chǎn)于點(diǎn)Q,△4JC的外接圓與8c

的另一個(gè)交點(diǎn)為E.證明：NBAE=NACB.

【解答】證明：連接04,OB,OC,BD.

'：OA±AP,ADA,0P,

二由射影定理可得：PA2=PD'PO,4￡）2=p。.。。…（5分）

又由切割線定理可得PA2=PB-PC,

：.PB'PC=PD'P0,

:.D、B、C、。四點(diǎn)共圓，…（10分）

NPDB=aPC0=N0BC=NODC,NPBD=/COD,

：./\PBD^/\C0D,

..P.D布=B布D，…（15分）

:.BD*CD=PD*OD=AN,

?BDAD

"'AD=而

又NBDA=NBDP+90°=NOQC+90°=AADC,

：.^XBDA^/\ADC,

:?NBAD=NACD,

：.AB是4ADC的外接圓的切線,

：.ZBAE=ZACB.

第10頁共12頁

6.如圖，點(diǎn)/為夕軸正半軸上一點(diǎn),48兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，過點(diǎn)/任作直線交拋物線y=#

于P,0兩點(diǎn).

（1）求證：ZABP=AABQ-,

（2）若點(diǎn)/的坐標(biāo)為（0,1）,且NP80=6O°,試求所有滿足條件的直線尸。的函數(shù)

解析式.

【解答】（1）證明：如圖，分別過點(diǎn)P,。作y軸的垂線，垂足分別為C,D.

設(shè)點(diǎn)/的坐標(biāo)為（0,/）,則點(diǎn)8的坐標(biāo)為（0,-Z）.

設(shè)直線P0的函數(shù)解析式為歹=h十八并設(shè)尸，0的坐標(biāo)分別為（xp,yp）,（x。，J0）.由

'y=kx+t

y=lx2

x2—kx—t=0,

于是%P%Q=_|t,即t=—^xPxQ.

BCy+t|%p2+t|%p2一|xp%Q|xp(xp-%Q)

PXp

——2=22-2

BDyQ+t-%Q2+t-XQ2--XpXQ-XQ(XQ-Xp)XQ

P