考點05方程與方程組（原卷版）

考點05方程與方程組課標對考點的要求對方程與方程組問題，中考命題需要滿足下列要求：（1）能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的有效模型。（2）經(jīng)歷估計方程解的過程。（3）掌握等式的基本性質(zhì)。（4）能解一元一次方程、可化為一元一次方程的分式方程。（5）掌握代入消元法和加減消元法，能解二元一次方程組。（6）能解簡單的三元一次方程組（選學，不做考試要求）。（7）理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程。（8）會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根和兩個實根是否相等。（9）了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（不要求應用這個關(guān)系解決其他問題）。（10）能根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗方程的解是否合理。重要問題解題思維方法總結(jié)一、解與列一元一次方程的一般步驟1.解一元一次方程的一般步驟：（1）去分母。在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)，依據(jù)等式基本性質(zhì)2，注意防止漏乘（尤其整數(shù)項），注意添括號。（2）去括號。一般先去小括號，再去中括號，最后去大括號，依據(jù)去括號法則、分配律，注意變號，防止漏乘。（3）移項。把含有未知數(shù)的項都移到方程的一邊，其他項都移到方程的另一邊(記住移項要變號)，依據(jù)等式基本性質(zhì)1，移項要變號，不移不變號。（4）合并同類項。把方程化成ax＝b(a≠0)的形式，依據(jù)合并同類項法則，計算要仔細，不要出差錯。（5）系數(shù)化為1。在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a，得到方程的解x＝b/a,依據(jù)等式基本性質(zhì)2，計算要仔細，分子分母勿顛倒。說明：理解方程ax=b在不同條件下解的各種情況，并能進行簡單應用:①a≠0時，方程有唯一解x＝b/a；②a=0，b=0時，方程有無數(shù)個解；③a=0，b≠0時，方程無解。2.列一元一次方程解應用題的一般步驟：（1）審—審題：認真審題，弄清題意，找出能夠表示本題含義的相等關(guān)系。（2）設—設出未知數(shù)：根據(jù)提問，巧設未知數(shù)．（3）列—列出方程：設出未知數(shù)后，利用等量關(guān)系寫出等式，即列方程。（4）解—解方程：解所列的方程，求出未知數(shù)的值．（5）答—檢驗，寫答案：檢驗所求出的未知數(shù)的值是否是方程的解，是否符合實際，檢驗后寫出答案，注意帶上單位。二、解與列二元一次方程組的一般步驟將未知數(shù)的個數(shù)由多化少，逐一解決的想法，叫做消元思想。（1）代入消元：將一個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個方程，實現(xiàn)消元，進而求得這個二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法。（2）加減消元法：當兩個方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時，將兩個方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數(shù)，這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法。2.列方程（組）解應用題的一般步驟（1）審：有什么，求什么，干什么；（2）設：設未知數(shù)，并注意單位；（3）找：等量關(guān)系；（4）列：用數(shù)學語言表達出來；（5）解：解方程(組)．（6）驗：檢驗方程(組)的解是否符合實際題意．（7）答：完整寫出答案(包括單位)．注意：找出相等關(guān)系“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”.有幾個未知數(shù)就列出幾個方程，所列方程必須滿足：(1)方程兩邊表示的是同類量；(2)同類量的單位要統(tǒng)一；(3)方程兩邊的數(shù)值要相等三、解分式方程方法1．分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.2．解分式方程的一般方法:解分式方程的思想是將“分式方程”轉(zhuǎn)化為“整式方程”。（1）去分母(方程兩邊同時乘以最簡公分母,將分式方程化為整式方程);（2）按解整式方程的步驟求出未知數(shù)的值;（3）驗根：將所得的根代入最簡公分母，若等于零，就是增根，原分式方程無解；若不等于零，就是原方程的根。四、解與列二元一次方程組的一般步驟1．一元二次方程的解法（1）直接開方法：適用形式：x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p。（2）配方法：套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步驟是：①將已知方程化為一般形式；②化二次項系數(shù)為1；③常數(shù)項移到右邊；④方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個完全平方式；變形為(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程無實根．（3）公式法：當b2-4ac≥0時，方程ax2+bx+c=0的實數(shù)根可寫為：的形式，這個式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。這種解一元二次方程的方法叫做公式法。其中：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判別式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。①Δ=b2-4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根。，②Δ=b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根。③Δ=b2-4ac＜0時，方程無實數(shù)根。定義：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判別式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。（4）因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡單易行，是解一元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。第1步：審題。認真讀題，分析題中各個量之間的關(guān)系；第2步：設未知數(shù)。根據(jù)題意及各個量的關(guān)系設未知數(shù)；第3步：列方程。根據(jù)題中各個量的關(guān)系列出方程；第4步：解方程。根據(jù)方程的類型采用相應的解法；第5步：檢驗。檢驗所求得的根是否滿足題意。第6步：答。中考典例解析【例題1】（2021山東東營）某玩具商店周年店慶，全場八折促銷，持會員卡可在促銷活動的基礎上再打六折．某電動汽車原價300元，小明持會員卡購買這個電動汽車需要花（）元．A．240 B．180 C．160 D．144【例題2】（2021齊齊哈爾）周末，小明的媽媽讓他到藥店購買口罩和消精濕巾，已知口罩每包3元，酒精濕巾每包2元，共用了30元錢（兩種物品都買），小明的購買方案共有（）A.3種 B.4種 C.5種 D.6種【例題3】（2021湖南邵陽）《九章算術(shù)》中有一道闡述“盈不足術(shù)”的問題，原文如下：今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數(shù)、物價各幾何？意思是：幾個人一起去購買某物品，如果每人出8錢，則多了3錢；如果每人出7錢，則少了4錢．問有多少人，物品的價值是多少？該問題中物品的價值是錢．【例題4】（2021廣西來賓）解分式方程：x【例題5】（2021齊齊哈爾）解方程：．【例題6】（2021吉林長春）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的值可能是（）A．8 B．9 C．10 D．11【例題7】（2021山東東營）“雜交水稻之父”﹣﹣袁隆平先生所率領(lǐng)的科研團隊在增產(chǎn)攻堅第一階段實現(xiàn)水稻畝產(chǎn)量700公斤的目標，第三階段實現(xiàn)水稻畝產(chǎn)量1008公斤的目標．（1）如果第二階段、第三階段畝產(chǎn)量的增長率相同，求畝產(chǎn)量的平均增長率；（2）按照（1）中畝產(chǎn)量增長率，科研團隊期望第四階段水稻畝產(chǎn)量達到1200公斤，請通過計算說明他們的目標能否實現(xiàn)．考點問題綜合訓練一、選擇題1．（2021浙江溫州）解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括號正確的是（）A．﹣4x+1＝﹣x B．﹣4x+2＝﹣x C．﹣4x﹣1＝x D．﹣4x﹣2＝x2.（2020?重慶）解一元一次方程12（x+1）＝1-1A．3（x+1）＝1﹣2x B．2（x+1）＝1﹣3x C．2（x+1）＝6﹣3x D．3（x+1）＝6﹣2x3.（2020?內(nèi)江）我國古代數(shù)學著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載“繩索量竿”問題：“一條竿子一條索，索比竿子長一托．折回索子卻量竿，卻比竿子短一托．”其大意為：現(xiàn)有一根竿和一條繩索，用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；如果將繩索對半折后再去量竿，就比竿短5尺．設繩索長x尺．則符合題意的方程是（）A．12x＝（x﹣5）﹣5 B．12x＝（xC．2x＝（x﹣5）﹣5 D．2x＝（x+5）+54．（2021湖南益陽）解方程組時，若將①﹣②可得（）A．﹣2y＝﹣1 B．﹣2y＝1 C．4y＝1 D．4y＝﹣15．（2021新疆）某校舉行籃球賽，每場比賽都要分出勝負，每隊勝一場得2分，負一場得1分．八年級一班在16場比賽中得26分．設該班勝x場，負y場，則根據(jù)題意，下列方程組中正確的是（）A．B． C．D．6.（2021廣西來賓）《九章算術(shù)》是人類科學史上應用數(shù)學的“算經(jīng)之首”，書中記載：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步問：人與車各幾何？譯文：若3人坐一輛車，則兩輛車是空的；若2人坐一輛車，則9人需要步行，問：人與車各多少？設有x輛車，人數(shù)為y，根據(jù)題意可列方程組為（）A.y=3x-2y=2x+9 B.y=3(x-2)y=2x+97.（2022湖南邵陽模擬）某出租車起步價所包含的路程為，超過的部分按每千米另收費．津津乘坐這種出租車走了，付了16元；盼盼乘坐這種出租車走了，付了28元．設這種出租車的起步價為元，超過后每千米收費元，則下列方程正確的是A． B． C． D．8.（20122哈爾濱模擬）方程＝的解為（）A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝9.（2020?齊齊哈爾）若關(guān)于x的分式方程3xx-2A．m＜﹣10 B．m≤﹣10 C．m≥﹣10且m≠﹣6 D．m＞﹣10且m≠﹣610.（2020?長沙）隨著5G網(wǎng)絡技術(shù)的發(fā)展，市場對5G產(chǎn)品的需求越來越大，為滿足市場需求，某大型5G產(chǎn)品生產(chǎn)廠家更新技術(shù)后，加快了生產(chǎn)速度，現(xiàn)在平均每天比更新技術(shù)前多生產(chǎn)30萬件產(chǎn)品，現(xiàn)在生產(chǎn)500萬件產(chǎn)品所需時間與更新技術(shù)前生產(chǎn)400萬件產(chǎn)品所需時間相同．設更新技術(shù)前每天生產(chǎn)x萬件產(chǎn)品，依題意得（）A．400x-30=C．400x=50011．（2021新疆）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的解為（）A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝3 C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣312．（2021江蘇鹽城）設x1、x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個根，則x1+x2的值為（）A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．313.（2020貴州黔西南）已知關(guān)于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0有實數(shù)根，則m的取值范圍是（）A.m＜2 B.m≤2 C.m＜2且m≠1 D.m≤2且m≠114.（2020?衡陽）如圖，學校課外生物小組的試驗園地的形狀是長35米、寬20米的矩形．為便于管理，要在中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道，使種植面積為600平方米，則小道的寬為多少米？若設小道的寬為x米，則根據(jù)題意，列方程為（）A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600 B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600 C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600 D．（35﹣x）（20﹣2x）＝600二、填空題1．（2021浙江紹興）我國明代數(shù)學讀本《算法統(tǒng)宗》有一道題，其題意為：客人一起分銀子，若每人7兩；若每人9兩，則差8兩．銀子共有兩．2.（2020?岳陽）我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》上有這樣一個問題：“今有醇酒一斗，直錢五十；行酒一斗，直錢一十．今將錢三十，得酒二斗．問醇、行酒各得幾何？”其大意是：今有醇酒（優(yōu)質(zhì)酒）1斗，價值50錢；行酒（劣質(zhì)酒）1斗，價值10錢．現(xiàn)用30錢，買得2斗酒．問醇酒、行酒各能買得多少？設醇酒為x斗，行酒為y斗，根據(jù)題意，可列方程組為．3.（2021齊齊哈爾）若關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，則m的取值范圍是_________．4．（2021山東東營）某地積極響應“把綠水青山變成金山銀山，用綠色杠桿撬動經(jīng)濟轉(zhuǎn)型”發(fā)展理念，開展荒山綠化，打造美好家園，促進旅游發(fā)展．某工程隊承接了90萬平方米的荒山綠化任務，為了迎接雨季的到來，實際工作時每天的工作效率比原計劃提高了25%，結(jié)果提前30天完成了任務．設原計劃每天綠化的面積為x萬平方米，則所列方程為．5.（2022湖北黃石模擬）分式方程：﹣＝1的解為．6.（2022四川巴中模擬）若關(guān)于x的分式方程+＝2m有增根，則m的值為．7．（2021湖北黃岡）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的值可以是．（寫出一個即可）8．（2021長春）若關(guān)于x的一元二次方程3x2﹣2x﹣k＝0有兩個相等的實數(shù)根，則k的值為．9．（2020?天水）一個三角形的兩邊長分別為2和5，第三邊長是方程x2﹣8x+12＝0的根，則該三角形的周長為．10．（2020?揚州）方程（x+1）2＝9的根是．11．（2021江蘇鹽城）勞動教育已納入人才培養(yǎng)全過程，某學校加大投入，建設校園農(nóng)場，該農(nóng)場一種作物的產(chǎn)量兩年內(nèi)從300千克增加到363千克．設平均每年增產(chǎn)的百分率為x，則可列方程為．三、解答題1．（2021哈爾濱）方程＝的解為（）A．x＝5 B．x＝3 C．x＝1 D．x＝22.解方程：（1）4﹣x=3（2﹣x）；（2）．3.（2020?杭州）以下是圓圓解方程x+12-x-33=1的解答過程．解：去分母，得3（x去括號，得3x+1﹣2x+3＝1．移項，合并同類項，得x＝﹣3．圓圓的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，寫出正確的解答過程．4．（2020?連云港）解方程組2x+4y=55.（2021呼和浩特）解方程組．6．（2020?江西）放學后，小賢和小藝來到學校附近的地攤上購買一種特殊型號的筆芯和卡通筆記本，這種筆芯每盒10支，如果整盒買比單支買每支可優(yōu)惠0.5元．小賢要買3支筆芯，2本筆記本需花費19元；小藝要買7支筆芯，1本筆記本需花費26元．（1）求筆記本的單價和單獨購買一支筆芯的價格；（2）小賢和小藝都還想再買一件單價為3元的小工藝品，但如果他們各自為要買的文具付款后，只有小賢還剩2元錢．他們要怎樣做才能既買到各自的文具，又都買到小工藝品，請通過運算說明．7.（2022年山東煙臺模擬）亞洲文明對話大會召開期間，大批的大學生志愿者參與服務工作．某大學計劃組織本校全體志愿者統(tǒng)一乘車去會場，若單獨調(diào)配36座新能源客車若干輛，則有2人沒有座位；若只調(diào)配22座新能源客車，則用車數(shù)量將增加4輛，并空出2個座