考點(diǎn)05直線和圓大題歸類

考點(diǎn)05直線和圓大題歸類1、求與圓有關(guān)的軌跡問題時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法：（1）直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．特別是類似阿波羅尼斯圓這類型。（2）定義法：根據(jù)圓定義列方程．（3）幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程．（4）代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式等2、非圓形特別是未知型曲線，常用求軌跡的方法：（1）定義法：根據(jù)題目所給的幾何條件判斷動(dòng)點(diǎn)滿足哪類常見軌跡，確定相應(yīng)基本量得出方程；（2）參數(shù)法：找出動(dòng)點(diǎn)縱橫坐標(biāo)與第三變量的關(guān)系，消參后得出方程；（3）轉(zhuǎn)譯法：找出動(dòng)點(diǎn)與相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，利用相關(guān)點(diǎn)的方程得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（4）幾何法：建系設(shè)點(diǎn)，由題設(shè)所給出的幾何等式，轉(zhuǎn)化為代數(shù)等式，整理可得方程.3、解決直線與圓相交問題，韋達(dá)定理題型常用步驟：（1）得出直線方程，設(shè)交點(diǎn)為，；（2）聯(lián)立直線與圓方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程；（3）寫出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.4、求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來證明.5、解答直線與圓的題目要注意的兩點(diǎn)：（1）常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．（2）涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．考點(diǎn)一直線和圓的切線問題1．（2022秋·浙江金華·高二統(tǒng)考期末）在①圓心在直線上，是圓上的點(diǎn)；②圓過直線和圓的交點(diǎn)．這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并進(jìn)行解答．問題：已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓過點(diǎn)，且．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求過點(diǎn)的圓的切線方程．【答案】(1)選①，；選②，.(2)選①，；選②，.【分析】（1）選①，求出線段的垂直平分線所在直線的方程，將其與直線的方程聯(lián)立，求出圓心的坐標(biāo)，并求出圓的半徑，即可得出圓的半徑；選②，設(shè)圓的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程，求出的值，即可得出圓的方程；（2）選①或選②，求出直線的斜率，可得出切線的斜率，再利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程.【詳解】（1）解：若選①，直線的斜率為，線段的中點(diǎn)為，所以，線段的垂直平分線所在直線的方程為，即，聯(lián)立可得，故圓心為，圓的半徑為，因此，圓的方程為.若選②，設(shè)圓的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程可得，解得，所以，圓的方程為，即.（2）解：若選①，，故所求切線的斜率為，則過點(diǎn)的圓的切線方程為，即；若選②，圓心為，，故所求切線的斜率為，則過點(diǎn)的圓的切線方程為，即.2．（2022秋·北京昌平·高二統(tǒng)考期末）已知圓的圓心坐標(biāo)為，且經(jīng)過點(diǎn).(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點(diǎn)作圓的切線與軸交于點(diǎn)，求直線的方程及的面積.【答案】(1)(2)；【分析】（1）利用待定系數(shù)法設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，代入即可求解.（2）首先利用點(diǎn)斜式設(shè)出直線方程，再利用直線與圓相切的條件求出斜率，即可得到直線方程，再結(jié)合三角形為直角，即可求解面積.【詳解】（1）有題意可知，設(shè)圓的方程為，又因?yàn)樵趫A上，則，則，故圓的方程為.（2）由題意知，直線的斜率存在，則設(shè)直線方程為，即，因?yàn)橹本€與圓相切，則圓心到直線的距離，解得，則直線方程為.則點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)題意知，為直角三角形，其中，而，所以的面積為.3．（2022秋·河南信陽·高二統(tǒng)考期中）已知圓經(jīng)過，且圓心在直線上.(1)求圓的方程；(2)若直線與圓交于兩點(diǎn)，求；(3)過作圓的兩條切線，求切線的長.【答案】(1)(2)(3)3【分析】（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，解得答案,（2）計(jì)算圓心到直線的距離，再利用弦長公式計(jì)算即可,（3）計(jì)算，再利用切線長公式計(jì)算得到答案,【詳解】（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，解得，圓心，半徑為，所求圓的方程為.（2）圓心到直線即的距離為，則.（3）設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)分別為，，則，即切線長為3.4．（2022秋·湖北武漢·高二武漢市第十七中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，已知圓，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為、，且兩條切線、與軸分別交于、兩點(diǎn)．(1)當(dāng)在直線上時(shí)，求的值；(2)當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請說明理由．【答案】(1)(2)直線過定點(diǎn)【分析】（1）求出點(diǎn)的坐標(biāo)，分析可知過點(diǎn)且與圓相切的直線的斜率存在，設(shè)出切線方程，利用圓心到切線的距離等于圓的半徑求出切線的斜率，求出兩條切線的方程，可求得點(diǎn)、的坐標(biāo)，再利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式可求得的值；（2）設(shè)點(diǎn)，寫出以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的方程，將圓的方程與圓的方程作差，可得出直線的方程，化簡直線的方程，可得出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）解：聯(lián)立可得，即點(diǎn)，若過點(diǎn)的直線垂直于軸，則該直線的方程為，顯然直線與圓不相切，設(shè)過點(diǎn)且與圓相切的直線的方程為，即，則圓心到切線的距離為，整理可得，解得，，由圖可知，直線的方程為，則直線的方程為，在直線的方程中，令，可得，即點(diǎn)，在直線的方程中，令，可得，即點(diǎn)，，，因此，.（2）解：分析知、在以為圓心，為半徑的圓上，設(shè)，，，，所以，以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓的方程為，將圓和圓的方程作差，消去、可得，即，故直線的方程為.由可得，因此，直線過定點(diǎn).5．（2022·高二單元測試）已知圓．(1)若圓的切線在軸和軸上的截距相等，且截距不為零，求此切線的方程；(2)從圓外一點(diǎn)向該圓引一條切線，切點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有，求使得的長度取得最小值的點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)或(2)【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)所求切線方程為，利用圓心到直線的距離等于圓的半徑，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，解出的值，即可得出所求切線的方程；（2）利用兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合勾股定理可知點(diǎn)在直線上，再由可知當(dāng)與直線垂直時(shí)，取最小值，求出此時(shí)的方程，與直線的方程聯(lián)立可求得點(diǎn)的坐標(biāo).（1）解：切線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等且截距不為零，設(shè)切線方程為，又圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，圓心到切線的距離等于圓的半徑，則，解得或，因此，所求切線的方程為或.（2）解：，，又，，所以，，則．所以，點(diǎn)在直線上．，的長度的最小值就是長度的最小值，而長度的最小值為到直線的距離，此時(shí)直線的方程為．由，解得，因此，使得的長度取得最小值的點(diǎn)的坐標(biāo)為．6．（2022秋·四川瀘州·高二四川省瀘縣第四中學(xué)校考期中）已知圓C：，直線l：．(1)求證：直線l與圓C恒相交；(2)當(dāng)時(shí)，過圓C上點(diǎn)作圓的切線交直線l于點(diǎn)P，Q為圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）直線方程整理為關(guān)于的方程，然后由恒等式知識列方程組求解得出直線所過定點(diǎn)坐標(biāo)，證明定點(diǎn)在圓內(nèi)即可；（2）求出點(diǎn)坐標(biāo)，再計(jì)算（為圓心），由加減半徑得距離的最大值和最小值，從而得所求范圍．【詳解】（1）∵直線l的方程可化為m(x＋2y－7)＋2x＋y－8＝0，故l恒過點(diǎn)A(3，2)．∵(3－2)2＋(2－3)2＝2＜4，即點(diǎn)A在圓C內(nèi)，∴直線l與圓C恒相交．（2）圓心是,圓半徑為2,因此過的切線方程為x＝0．又當(dāng)m＝1時(shí)，l：x＋y＝5，∴聯(lián)立，得交點(diǎn)P（0，5），∴，圓半徑為2，∴．7．（2022秋·遼寧葫蘆島·高二校聯(lián)考期中）已知的頂點(diǎn)分別為，，．(1)求外接圓的方程；(2)直線上有一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作外接圓的一條切線，切點(diǎn)為，求的最小值，并求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)的最小值為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.【分析】（1）設(shè)出圓的一般方程，代入三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)得到方程組，解出即可；（2）設(shè)圓心為，首先判斷與圓相離.根據(jù)已知條件，可得出，則當(dāng)最小時(shí)，，即圓心到直線的距離，進(jìn)而根據(jù)已知可求出最小時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）設(shè)外接圓的方程為，代入，，，可得，即，解得，所以外接圓的方程為．（2）由（1）知，外接圓可化為，圓心設(shè)為，半徑.設(shè)為點(diǎn)到直線的距離，則，所以與圓相離.由已知，是圓的一條切線，切點(diǎn)為，則，在中，有，所以要使最小，只需最?。?dāng)時(shí)，最小，即，.設(shè)，因?yàn)?，可設(shè)直線方程為，又，所以，所以.所以，直線方程為，又在上，聯(lián)立與的方程，解得，即．8．（2022秋·山東淄博·高二沂源縣第一中學(xué)校考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，過坐標(biāo)原點(diǎn)的圓（圓心在第一象限）的半徑為2，且與軸正半軸交于點(diǎn).(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，是圓的兩條切線，為切點(diǎn)，求四邊形面積的最小值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由軸上的弦長及半徑得圓心坐標(biāo)，從而得圓方程；（2）由四邊形的面積得面積最小，則切線長最小，從而最小，最小值即為圓心到直線的距離，由此計(jì)算可得．【詳解】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意得，，所以，解得，，圓心得坐標(biāo)為.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）四邊形得面積，在Rt中，，要使四邊形面積最小，則最小即可.此時(shí)，∴，所以，四邊形BCMD面積的最小值為.考點(diǎn)二直線和圓的弦長問題9．（2022秋·新疆哈密·高二校考期末）已知點(diǎn),直線，直線過點(diǎn)且與垂直，直線交圓于兩點(diǎn)．(1)求直線的方程．(2)求弦的長．(3)求與直線平行且與圓相切的直線方程．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）由垂直求出直線m的斜率，由點(diǎn)斜式方程可求出直線；（2）求出圓心和半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離d，由即可求解．（3）先設(shè)出所求直線方程，再根據(jù)題意建立方程即可求解．【詳解】（1）由可得，所以直線的斜率為，因?yàn)橹本€與直線垂直，則直線的斜率為，又因?yàn)橹本€過點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可知直線為：，即；（2）由可得圓心，半徑，則圓心到直線的距離為，∴弦長；（3）根據(jù)（1）可設(shè)所求直線方程為，又其與圓相切，∴圓心到直線的距離，，∴所求直線方程為或．10．（2022秋·廣東廣州·高二校考期末）圓的圓心為，且過點(diǎn).(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線與圓交兩點(diǎn)，且，求.【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用兩點(diǎn)間距離公式求出圓的半徑，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求出圓心到直線的距離，利用垂徑定領(lǐng)列出方程，求出.【詳解】（1）設(shè)圓的半徑為，則，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）設(shè)圓心到直線的距離為，則，由垂徑定理得：，即，解得：或.11．（2022秋·安徽合肥·高二合肥市第七中學(xué)校聯(lián)考期中）已知圓的圓心為原點(diǎn)，且與直線相切，直線過點(diǎn).(1)若直線與圓相切，求直線的方程；(2)若直線被圓所截得的弦長為，求直線的方程.【答案】(1)或(2)或【分析】（1）首先根據(jù)圓與直線相切的幾何特征求解圓的方程，再分別討論斜率存在與斜率不存在兩種情況，采用待定系數(shù)法，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求解切線方程即可；（2）首先根據(jù)弦長求出圓心到直線的距離，再分別討論斜率存在與斜率不存在兩種情況，采用待定系數(shù)法，根據(jù)圓心到直線的距離求解直線方程即可.【詳解】（1）圓心到直線的距離，圓的半徑為2，所以圓的方程為；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，圓心到直線的距離為，不相切.直線斜率存在，設(shè)直線，由，得或所以切線方程為，或.（2）設(shè)圓心到直線的距離為，則，由，解得.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，圓心到直線的距離，即直線被圓所截得的弦長為，符合題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，則，解得：，故的方程是，即，綜上所述，直線的方程為或.12．（2022秋·山西·高二校聯(lián)考期末）已知圓和直線.(1)證明：不論m為何實(shí)數(shù)，直線l都與圓C相交；(2)當(dāng)直線l被圓C截得的弦長最小時(shí)，求直線l的方程；(3)已知點(diǎn)在圓C上，求的最大值.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）把直線的方程變形后，根據(jù)直線恒過定點(diǎn)，得到關(guān)于與的二元一次方程組，求出方程組的解即為直線恒過的定點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求出此點(diǎn)到圓心的距離,發(fā)現(xiàn)小于圓的半徑，得到此點(diǎn)在圓內(nèi)，故直線與圓恒交于兩點(diǎn)；（2）根據(jù)直線與圓相交弦長公式，可確定當(dāng)圓心到直線的距離最大值時(shí)，弦長最小，即直線與垂直時(shí)，求得直線方程；（3）表示圓C上的點(diǎn)到的距離的平方，求其最值即轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的距離最大值的平方，結(jié)合圓的性質(zhì)可求．【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以，令解得，所以直線l過定點(diǎn)，而，即點(diǎn)在圓內(nèi)部，所以直線l與圓C相交；（2）解：如圖所示，過圓心作于，設(shè)所過定點(diǎn)為由圖可知圓心到直線的距離，且，又直線l被圓C截得的弦長為，故當(dāng)取最大值時(shí)，弦長最小所以當(dāng)，即直線時(shí)直線被圓C截得的弦長最小時(shí)，又圓心，所以，所以直線l的斜率，所以直線l的方程為，即.（3）解：因?yàn)椋硎緢AC上的點(diǎn)到的距離的平方，因?yàn)閳A心到原點(diǎn)的距離，所以.13．（2022秋·浙江寧波·高二余姚中學(xué)?？计谥校┮阎獔AC經(jīng)過點(diǎn)M（0，-2）和N（3，1），圓心C在直線上．直線l的方程為(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求直線l被圓C截得的弦長的最大值和最小值．【答案】(1)(2)最長等于6；最短等于4【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）先判斷出直線l過定點(diǎn)P（2，-2），得到最長弦為直徑，利用垂徑定理求出最短弦.【詳解】（1）因?yàn)閳A心C在直線上，所以可設(shè)由圓C經(jīng)過點(diǎn)M（0，-2）和N（3，1），可得：解得：，即圓心坐標(biāo)為，所以半徑.所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）將直線l的方程整理為，令得，故直線l過定點(diǎn)P（2，-2）.又點(diǎn)P在圓C內(nèi)，故當(dāng)直線l與直線PC重合時(shí)，弦長最長，等于直徑長為6；當(dāng)直線l與直線PC垂直時(shí)，弦長最短，此時(shí)圓心到l的距離為，由垂徑定理得，弦長為．考點(diǎn)三與圓有關(guān)的軌跡問題14．（2022秋·新疆巴音郭楞·高二校考期中）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)A（6，0）的距離等于M到點(diǎn)的距離的3倍，(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；(2)若直線與軌跡C沒有交點(diǎn)，求k的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)已知條件列方程，化簡求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程.（2）聯(lián)立直線與軌跡的方程，結(jié)合判別式列不等式來求得的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)（x，y），由題意得：|MA|=3|MB|，即：,整理得：,故軌跡C是以（0，0）點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，其方程為：.（2）由題意可聯(lián)立方程組，消去y，得方程：，因?yàn)橹本€與圓C沒有交點(diǎn)，所以，即：，解得：.15．（2022秋·福建泉州·高二校考期中）已知圓:，點(diǎn)坐標(biāo)為，為圓上動(dòng)點(diǎn)，中點(diǎn)為.(1)當(dāng)點(diǎn)在圓上動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程；(2)過點(diǎn)的直線與的軌跡相交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）設(shè)，利用代入法求得點(diǎn)的軌跡方程.（2）對直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，結(jié)合求得直線的方程.【詳解】（1），所以在圓外.設(shè)，由于的中點(diǎn)是，所以，所以，整理得，所以點(diǎn)的軌跡方程為.（2）點(diǎn)的軌跡方程為，所以是以為圓心，半徑為的圓，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，由，解得或，滿足.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，由于，，，所以圓心到直線的距離為，即，解得，所以直線的方程為，即.綜上所述，直線的方程為或.16．（2022秋·內(nèi)蒙古包頭·高二包頭一中?？计谥校┮阎獔AC經(jīng)過點(diǎn)，，且圓心C在直線上．(1)求圓C的一般方程；(2)若線段OP的端點(diǎn)P在圓C上運(yùn)動(dòng)，端點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求線段OP的中點(diǎn)M的軌跡方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得圓C的一般方程；（2）利用直接代入法即可求得點(diǎn)M的軌跡方程.【詳解】（1）設(shè)所求圓的C的一般方程為，則圓心，由題意得，解得，所以圓的C的一般方程為.（2）依題意，設(shè)，，因?yàn)镸為線段OP的中點(diǎn)，，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)P在圓C上運(yùn)動(dòng)，所以，故，整理得：，所以點(diǎn)M的軌跡方程為.17．（2022秋·山東青島·高二山東省青島第十九中學(xué)?？计谥校┮阎獔AC的圓心在直線上，并經(jīng)過點(diǎn)，與直線相切．(1)求圓C的方程；(2)已知，動(dòng)點(diǎn)到圓C的切線長等于的2倍，求出點(diǎn)的軌跡方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)出圓心坐標(biāo)，利用半徑相等，列出方程，求出圓心坐標(biāo)，得到圓C的方程；（2）設(shè)出，表達(dá)出點(diǎn)到圓C的切線長，從而列出方程，求出軌跡方程.【詳解】（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為，故，解得：，故圓心為，半徑為，故圓C的方程為；（2）設(shè)，則，故動(dòng)點(diǎn)到圓C的切線長為，，所以，化簡得：，故點(diǎn)的軌跡方程為：.考點(diǎn)四直線和圓的最值問題18．（2022秋·廣東茂名·高二統(tǒng)考期中）已知圓C：與直線l：(1)證明：直線和圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)；(2)若直線和圓交于兩點(diǎn)，求的最小值及此時(shí)直線的方程．【答案】(1)證明見解析(2)，【分析】（1）變換得到，得到，得到直線過定點(diǎn)，確定定點(diǎn)在圓內(nèi)，得到證明.（2）當(dāng)直線時(shí)，被圓C截得的弦最短，根據(jù)垂直關(guān)系得到直線斜率，過點(diǎn)得到直線方程.【詳解】（1）直線，即，聯(lián)立，解得，所以不論取何值，直線必過定點(diǎn)，圓C：，圓心坐標(biāo)為，半徑，因?yàn)椋渣c(diǎn)P在圓C內(nèi)部，則直線l與圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)．（2）直線經(jīng)過圓C內(nèi)定點(diǎn)，圓心，當(dāng)直線時(shí)，被圓截得的弦最短，此時(shí)，因?yàn)椋灾本€l的斜率為，又直線l過點(diǎn)，所以當(dāng)取得最小值時(shí)，直線l的方程為，即，綜上：最小值為，此時(shí)直線l方程為19．（2022秋·海南?？凇じ叨？计谥校┮阎獔A內(nèi)有一點(diǎn)為過點(diǎn)且傾斜角為的弦.(1)當(dāng)時(shí)，求弦的長；(2)已知點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，試求點(diǎn)到直線的距離的最小值.【答案】(1)；(2)．【分析】（1）求出直線的方程，然后求得圓心到直線的距離，由勾股定理得弦長；（2）求出圓心到直線的距離，此距離減去圓半徑可得最小值．【詳解】（1）由已知直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，圓半徑為，∴；（2）圓心到直線的距離為，∴到直線的距離的最小值是．20．（2022秋·吉林長春·高二?？计谥校┮阎獔AC的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，且過點(diǎn)．(1)求圓C的方程；(2)若直線l與圓C相切，且l與x，y軸的正半軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，求的面積最小值．【答案】(1)(2)4【分析】（1）根據(jù)圓C的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)圓的方程為：，再將點(diǎn)代入求解；（2）設(shè)直線方程為，根據(jù)直線與圓相切，得到k，b的關(guān)系，再分別令，，由，結(jié)合基本不等式求解.【詳解】（1）解：因?yàn)閳AC的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)圓的方程為：，又因?yàn)閳A過點(diǎn)，所以，所以圓C的方程為；（2）由題意，設(shè)直線方程為：，因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離與半徑相等，即，即，令，得，令，得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的面積最小值為4．21．（2022秋·湖南衡陽·高二?？计谥校┮阎獔AC：，直線l過定點(diǎn)．（1）若直線l與圓C相切，求直線l的方程；（2）若直線l與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，求的面積的最大值，并求此時(shí)直線l的方程．【答案】（1）或【分析】（1）通過直線的斜率存在與不存在兩種情況，利用直線的方程與圓C相切，圓心到直線的距離等于半徑即可求解直線的方程；（2）設(shè)直線方程為，求出圓心到直線的距離、求得弦長，得到的面積的表達(dá)式，利用二次函數(shù)求出面積的最大值時(shí)的距離，然后求出直線的斜率，即可得到直線的方程.【詳解】（1）①若直線l1的斜率不存在，則直線l1：x＝1，符合題意.

②若直線l1斜率存在，設(shè)直線l1的方程為，即．由題意知，圓心（3，4）到已知直線l1的距離等于半徑2，即：，解之得.

所求直線l1的方程是或.(2)直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0,設(shè)直線方程為，則圓心到直線l1的距離

又∵△CPQ的面積

＝∴當(dāng)d＝時(shí)，S取得最大值2.

∴＝

∴k＝1或k＝7所求直線l1方程為x－y－1＝0或7x－y－7＝0.22．（2022秋·浙江寧波·高二寧波市北侖中學(xué)?？计谥校┮阎獔A和圓外一點(diǎn)．(1)若過點(diǎn)P的直線截圓所得的弦長為8，求該直線的方程；(2)求的最大值和最小值．【答案】(1)或(2)最大值為75；最小值為-25【分析】（1）根據(jù)直線斜率是否存在進(jìn)行分類討論，結(jié)合弦長求得直線的方程.（2）根據(jù)“兩點(diǎn)間的距離”求得正確答案.【詳解】（1）當(dāng)過的直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，由解得或，則弦長為，符合題意.當(dāng)過的直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，圓的圓心為，半徑為，設(shè)圓心到直線的距離為，則，即，解得，直線方程為，即.（2），表示圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方減去，點(diǎn)在圓上，所以圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方的取值范圍是即，所以的取值范圍是，所以的最大值為，最小值為.23．（2022秋·四川成都·高二校聯(lián)考期中）已知圓過點(diǎn)，且與軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)，過直線上的一動(dòng)點(diǎn)引圓的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最大值．【答案】(1)(2)．【分析】（1）根據(jù)圓且與軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)圓心為，再根據(jù)圓過點(diǎn)，，可得的值與半徑，即可得圓的方程；（2）設(shè)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，點(diǎn)為，得直線，方程，確定直線過定點(diǎn)，再根據(jù)幾何性質(zhì)確定點(diǎn)的軌跡方程，從而可求，再求得最值即可.【詳解】（1）解：∵圓與軸相切，∴可設(shè)圓心的坐標(biāo)為；又∵圓過點(diǎn)，，∴，解得，∴圓心為，半徑為1，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）解：如圖，設(shè)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，再設(shè)點(diǎn)為，直線的方程為，又∵過點(diǎn)，且與直線垂直，∴為，又知過點(diǎn)，得到，整理可知點(diǎn)滿足：，同理點(diǎn)滿足：，∴直線的方程為，∴直線恒過定點(diǎn)，設(shè)定點(diǎn)為點(diǎn)，由題意可知當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，，點(diǎn)在以為直徑的圓上（不包括點(diǎn)），當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)也在該圓上，∴點(diǎn)的軌跡為（去掉），設(shè)圓心為，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，∵，又∵即點(diǎn)與點(diǎn)所在直線的斜率，范圍是．進(jìn)而，∴，綜上：，∴的最大值為．考點(diǎn)五韋達(dá)定理及其應(yīng)用24．（2022秋·廣東廣州·高二廣州市第七中學(xué)校考期中）已知過點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：交于M，N兩點(diǎn)．(1)求k的取值范圍；(2)若，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)直線l方程為：.因與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，則其到圓心距離小于半徑.（2）將與圓方程聯(lián)立，消去，利用韋達(dá)定理結(jié)合求出k.，并由此算出的面積.【詳解】（1）由題設(shè)直線l方程為：，則其到圓C圓心距離為.解得.（2）將與聯(lián)立得：，消去得：.由題其大于0，則設(shè).由韋達(dá)定理有：，又則，得.得直線l方程為：，其過圓心，故直線l到原點(diǎn)距離為.故.25．（2022·全國·高二期末）已知與直線.(1)若，判斷直線與位置關(guān)系；(2)若直線與相交于兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的值.【答案】(1)直線與相交(2)3【分析】（1）求出圓心到直線的距離，與半徑比較可得；（2）設(shè)，直線方程代入圓方程后，應(yīng)用韋達(dá)定理得，由求得值，注意判別式大于0．(1)當(dāng)時(shí)，可化為：，表示圓心為，半徑的圓，設(shè)到的距離為，則，直線與相交.(2)設(shè)，由，直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，，這兩點(diǎn)不可能同時(shí)在圓上，因此斜率都存在，所以，即，由消元，得.經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，.26．（2022秋·北京·高二北京四中?？计谥校┮阎獔AC與圓關(guān)于直線對稱.(1)求圓C的方程；(2)若A，B為圓C上兩個(gè)不同的點(diǎn)，OOA，OB，AB的斜率分別為，，，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，利用兩個(gè)圓心關(guān)于已知直線對稱求得圓心C的坐標(biāo)，即可的出圓C的方程.（2）設(shè)點(diǎn)，，直線AB的方程為，直線方程代入圓方程，消去y后應(yīng)用韋達(dá)定理得，，代入求得k，m的關(guān)系，由此得出k的一個(gè)范圍，由直線與圓相交，判別式，又得一個(gè)范圍，由，，存在得，，又得出k的限制條件，綜合后可得k的范圍.【詳解】（1）設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意得，即，解得，所以圓C的圓心為，所以圓C的方程為.（2）設(shè)點(diǎn)，，直線AB的方程為，由，得，即①，由，消去，整理得，由韋達(dá)定理，，將其代入①整理得，解得②，由直線與圓相交，故，得，即，解得或③，又要使，，有意義，則，，且，所以0不是方程（*）的根，所以，即且④，由②③④得，的取值范圍為.27．（2022秋·重慶九龍坡·高二重慶市鐵路中學(xué)校?？计谥校┮阎獔A過點(diǎn)，且圓心在直線上.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)且斜率為的直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，若，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的方程，圓心坐標(biāo)代入直線方程，解出三個(gè)參數(shù)，即可求出圓的方程；（2）根據(jù)條件設(shè)出直線的方程，消去得到關(guān)于的一元二次方程，將韋達(dá)定理的表達(dá)式代入，解出的值，分別判斷是否滿足，從而得出直線方程.【詳解】（1）設(shè)所求圓的方程為，則由題可得：，解得：a=3b=2r故所求圓C的方程為.（2）由題設(shè)，可知直線的方程為.代入方程，整理得，設(shè)，則，，由題設(shè)可得，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)不滿足滿足所以的方程為.考點(diǎn)六直線和圓的定點(diǎn)、定值問題28．（2022秋·內(nèi)蒙古赤峰·高二赤峰市元寶山區(qū)第一中學(xué)校考期中）已知圓C經(jīng)過，兩點(diǎn)，且圓心在直線上.(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線l經(jīng)過點(diǎn)，且l與圓C相交所得弦長為，求直線l的方程；(3)若Q是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作圓C的兩條切線QM、QN，切點(diǎn)分別為M、N，探究：直線MN是否恒過定點(diǎn).若存在請寫出坐標(biāo)；若不存在請說明理由.【答案】(1)(2)或.(3)過定點(diǎn)【分析】（1）求圓的方程,需要三個(gè)獨(dú)立條件,一般設(shè)標(biāo)準(zhǔn)式,代入三個(gè)條件,解方程組即可;本題也可設(shè)成圓的一般式,再將兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)代入,解方程組可得.（2）涉及圓中弦長問題，一般利用垂徑定理，即將弦長條件轉(zhuǎn)化為圓心到直線距離，再根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求直線斜率，注意驗(yàn)證直線斜率不存在的情形.（3）根據(jù)題意求出以為圓心，為半徑的圓的方程與圓的方程作差，即可得到直線的方程，從而得到定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，依題意，有，解得，所以，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）依題意，圓的圓心到直線的距離為，（1）若直線的斜率不存在，則，符合題意，此時(shí)直線的方程為.（2）若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，則，解得.此時(shí)直線的方程為綜上，直線的方程為或.（3）根據(jù)題意，設(shè)，又因?yàn)镼M、QN是過圓做的兩條切線，則則是圓與以為圓心，為半徑的圓的兩圓的公共弦，且以為圓心，為半徑的圓的方程為①且圓方程為②所以①②可得即為直線的方程令解得，則直線必過點(diǎn)29．（2022秋·河北張家口·高二校聯(lián)考期中）已知圓，P是圓C上動(dòng)點(diǎn)，Q為圓C與x軸負(fù)半軸交點(diǎn)，E是中點(diǎn)．(1)求點(diǎn)E的軌跡方程；(2)過點(diǎn)的直線與點(diǎn)E的軌跡交于A，B兩點(diǎn)（A在x軸上方），問在x軸正半軸上是否存在定點(diǎn)N，使得x軸平分？若存在，請求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在；點(diǎn)N為【分析】（1）根據(jù)相關(guān)點(diǎn)法求出點(diǎn)E的軌跡方程即可；（2）斜率不存在時(shí)顯然成立；斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，，將若x軸平分，轉(zhuǎn)化為，再通過聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理將轉(zhuǎn)化為含與的等式即可求解.【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)镻是圓C上動(dòng)點(diǎn)，所以，因?yàn)镼為圓C與x軸負(fù)半軸交點(diǎn)，所以，設(shè)，因?yàn)镋是中點(diǎn)，所以，即，所以，即，所以點(diǎn)E的軌跡方程為.（2）當(dāng)直線軸時(shí)，x軸平分.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，，由，得，所以，．若x軸平分，則，∴，∴，∴，∴，所以當(dāng)點(diǎn)N為時(shí)，能使得x軸平分總成立30．（2022秋·廣東茂名·高二統(tǒng)考期中）已知圓M與直線x=2相切，圓心M在直線x+y=0上，且直線被圓M截得的弦長為2.(1)求圓M的方程，并判斷圓M與圓N：的位置關(guān)系；(2)若在x軸上的截距為且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l與圓M交于A，B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在定點(diǎn)Q，使得?若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【答案】(1)，相交(2)存在，【分析】（1）設(shè)圓心與半徑，根據(jù)條件求解即可得到圓方程；根據(jù)兩圓心之間的距離與半徑的關(guān)系判斷兩圓位置關(guān)系.（2）設(shè)Q(t，0)，直線，代入圓方程寫出韋達(dá)定理，將用表示，代入韋達(dá)定理即可得到為定值.【詳解】（1）設(shè)圓M的圓心為，半徑為r，因?yàn)閳AM與直線x=2相切，所以，又因?yàn)橹本€被圓M截得的弦長為2，所以解得即圓心坐標(biāo)為(0，0)，r=2，所以圓M的方程為.由題意知，圓N的圓心為(3，-4)，半徑R=，，.因?yàn)椋?，所以圓M與圓N相交.（2）存在.設(shè)l：，，，由得.由根與系數(shù)的關(guān)系，得假設(shè)存在Q(t，0)滿足條件，則,由，得，即即即且m≠0，所以.所以存在滿足條件.31．（2022秋·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）己知圓，直線與圓O交于A，B兩點(diǎn)．(1)求；(2)設(shè)過點(diǎn)的直線交圓O于M，N兩點(diǎn)，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)S滿足．證明：直線SN過定點(diǎn)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求圓心到直線的距離，再根據(jù)勾股定理即可求得弦長；（2）分直線的斜率不存在和存在兩種情況討論，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，表示出直線SN的方程，從而確定定點(diǎn).【詳解】（1）易知圓心，半徑，圓心到直線的距離，所以弦長.（2）當(dāng)直線的斜率不存在，即軸時(shí)，直線的方程為，代入圓方程得：或，設(shè)，，則直線方程為，代入直線得：，故，因?yàn)椋允堑闹悬c(diǎn)，得，所以，所以直線的方程為：，即，直線過點(diǎn).當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，如圖所示：設(shè)直線方程為：，即，設(shè)，聯(lián)立得：，，解得或，由韋達(dá)定理得：，所以③，④，且⑤，將代入直線得：，所以，是的中點(diǎn)，得，所以，所以直線的方程為：，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入并整理，化簡得：，將①③④⑤代入上式得：，顯然成立.綜上可得：直線過定點(diǎn).32．（2022秋·山東濰坊·高二統(tǒng)考期中）已知曲線C是到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比等于常數(shù)的點(diǎn)組成的集合．(1)求曲線C的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)B的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)；問在x軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及定值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在定點(diǎn)，使得為定值【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)距離之比等于常數(shù)列出等式，即可得到曲線方程；（2）設(shè)直線l方程為，點(diǎn)，聯(lián)立曲線C的方程，利用韋達(dá)定理可以求出，由于為定值可知，可求出參數(shù)t的值，即可得定點(diǎn)坐標(biāo)和定值，當(dāng)斜率不存在時(shí)，也符合題意.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，由題意可知，則有，整理得，故曲線C的方程為.（2）設(shè)直線l方程為，點(diǎn)，，聯(lián)立，得，所以，因此若，即時(shí)，，所以定值為，當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線l為，聯(lián)立可求得，，所以，符合題意.故存在定點(diǎn)，使得為定值.33．（2022秋·山東泰安·高二統(tǒng)考期中）已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是曲線，線段的中點(diǎn)的軌跡方程是．(1)求曲線的方程；(2)已知斜率為的直線與曲線相交于異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)直線的斜率分別為，，且．若，為垂足，證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及求軌跡方程的方法求解；（2）利用韋達(dá)定理結(jié)合題意求解.【詳解】（1）設(shè)，，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得．因?yàn)辄c(diǎn)M的軌跡方程是，所以，整理得曲線C的方程為．（2）設(shè)直線l的方程為，，，，由，得，所以，，所以，所以，且即，即，所以直線的方程為，即直線過定點(diǎn)．因?yàn)闉槎ㄖ?，且為直角三角形，為斜邊，所以?dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，為定值．因?yàn)?，，所以由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得．所以存在定點(diǎn)使得為定值．34．（2022秋·山東菏澤·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為Q，以Q為圓心的圓與直線相交于A，B兩點(diǎn)，且．(1)求圓Q的方程；(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)O任作一直線交圓Q于C，D兩點(diǎn)，求證：為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）先求出點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)圓心到直線的距離公式及的值求出半徑即可求得圓的方程.（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立圓和直線方程利用韋達(dá)定理來求解.（1）解：點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)Q為由Q到直線的距離，所以所以圓的方程為．（2）當(dāng)直線CD斜率不存在時(shí)，，所以．當(dāng)直線CD斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則直線為，記，聯(lián)立，得所以，．．綜上，為定值5．考點(diǎn)七直線和圓的探索性問題35．（2022秋·山東·高二沂水縣第一中學(xué)期末）已知直線：，圓C：．(1)若直線與圓C相切，求k的值．(2)若直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)，是否存在過點(diǎn)的直線垂直平分弦AB？若存在，求出直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)或(2)存在，交點(diǎn)坐標(biāo)為【分析】（1）由題意圓心到直線的距離等于半徑，列出方程求解即可；（2）由直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)，可得圓心到直線的距離，由此求出的范圍．根據(jù)圓的性質(zhì)可知直線必經(jīng)過圓心，從而求得直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得直線的方程，由求得，聯(lián)立直線與的方程，可得交點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）圓，則圓心，半徑∵若直線與圓C相切，∴圓心到直線的距離，即，即，解得或．（2）若直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)，則圓心到直線的距離，即，即，解得.過點(diǎn)的直線垂直平分弦，則直線必經(jīng)過圓心，直線的斜率為，直線的方程為，即，又，且直線，則，解得，符合題意，所以直線的方程為，聯(lián)立直線與的方程得，解得所以，存在符合題意的直線，直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為．36．（2022秋·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）已知圓經(jīng)過點(diǎn)，與軸正半軸交于點(diǎn).(1)求的值；(2)圓上是否存在點(diǎn)，使得的面積為15？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【答案】(1)(2)存在，或【分析】（1）直接由已知條件可得r；（2）由（1）可得圓的方程，依題意，，，求出，直線的方程為，又由的面積，可得點(diǎn)到直線的距離，設(shè)點(diǎn)，解得或（顯然此時(shí)點(diǎn)不在圓上，故舍去），聯(lián)立方程組，求解即可得答案．【詳解】（1）因?yàn)閳A經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得.（2）存在，因?yàn)閞=5，所以圓O的方程為x2+y2=25，依題意，得A（0，5），B（5，0），所以，直線AB的方程為，又因?yàn)椤鱌AB的面積為15，所以點(diǎn)P到直線AB的距離為，設(shè)點(diǎn)，所以點(diǎn)P到直線AB的距離為，解得或，圓O到的距離為大于，此時(shí)點(diǎn)P不在圓上，故舍去建立方程組解得或所以存在點(diǎn)或滿足題意.37．（2022秋·河北張家口·高二校聯(lián)考期中）已知圓．(1)求過點(diǎn)與圓O相切的直線方程；(2)點(diǎn)在直線上，若在圓O上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，使，求的取值范圍．【答案】(1)和；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用點(diǎn)到直線的距離公式，并按切線斜率存在和不存在分別討論作答.（2）利用給定的向量關(guān)系，結(jié)合切線長定理可得OP與AB互相垂直平分，再利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系列出不等式求解作答.【詳解】（1）當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，直線與圓相切，此時(shí)切線方程為，當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線斜率為k，直線方程為，即，因此有，解得，此時(shí)直線方程為，所以過點(diǎn)與圓O相切的直線方程為和．（2）如圖，，故四邊形為平行四邊形，因?yàn)?，所以四邊形為菱形，故與互相垂直平分，則線段OP的中點(diǎn)在圓O內(nèi)，因此，即，又，即，因此，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．38．（2022秋·山東·高二山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓上．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)，在圓上是否存在點(diǎn)使，若存在，請求出滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)；若無，請說明理由．【答案】(1)；(2)存在，滿足條件的點(diǎn)有2個(gè).【分析】（1）根據(jù)二次曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)及圓的性質(zhì)求得圓的方程；（2）設(shè)，根據(jù)題設(shè)及兩點(diǎn)距離公式可得，問題轉(zhuǎn)化為圓與圓的交點(diǎn)問題，進(jìn)而即得.【詳解】（1）由題設(shè)，與y軸的交點(diǎn)為，對稱軸為，若與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，則，，∴，設(shè)圓半徑為，圓心為，∴，解得，∴圓半徑為，圓心為，則圓的方程為；（2）設(shè)，由題意得，整理得，∴點(diǎn)在圓心為半徑為2的圓上，所以兩圓的圓心距離，∴兩圓相交．故滿足條件的點(diǎn)有2個(gè)．39．（2022秋·福建泉州·高二校聯(lián)考期中）已知圓：.(1)若過點(diǎn)的直線與圓相切，求直線的方程；(2)當(dāng)圓與x軸相交于兩點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)）時(shí).問：是否存在圓：，使得過點(diǎn)M的任一條直線與該圓的交點(diǎn)，，都有？若存在，求出圓方程，若不存在，請說明理由.【答案】(1)或(2)存在圓：，使得.【分析】（1）分直線斜率存在和不存在兩種情況討論即可；（2）聯(lián)立直線與圓的方程，根據(jù)斜率關(guān)系結(jié)合韋達(dá)定理即可求解.【詳解】（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程，與圓相切，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，因?yàn)橹本€與圓相切，所以，解得，故所求直線的方程或.（2）令，得，即，求得，或，所以，.假設(shè)存在圓：，當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線方程，聯(lián)立得：，設(shè)，，從而，.因?yàn)?、的斜率之和為，因?yàn)椋浴⒌男甭驶橄喾磾?shù)，即，所以，即.當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，仍然滿足，即、的斜率互為相反數(shù).綜上，存在圓：，使得.40．（2022秋·四川內(nèi)江·高二統(tǒng)考期末）已知圓心為的圓，滿足下列條件：圓心在軸上，與直線相切，且被軸截得的弦長為，圓的面積小于．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與圓交于不同的兩點(diǎn)、，以、為鄰邊作平行四邊形．是否存在這樣的直線，使得直線與恰好平行？如果存在，求出的方程，如果不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)不存在，理由見解析.【分析】（1）設(shè)圓心，設(shè)圓的半徑為，可得出，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的方