數(shù)學建模方差分析

數(shù)學建模方差分析第一頁，共四十四頁，2022年，8月28日第七章方差分析一、什么是方差分析？常用語言：檢驗一個或多個因素對試驗結果的影響是否顯著。統(tǒng)計語言：檢驗多個方差相等的正態(tài)總體的均值是否相等。第二頁，共四十四頁，2022年，8月28日二、幾個術語1、試驗指標－－衡量試驗結果的量(定量、定性)（必須是數(shù)量）。2、因素－－影響試驗指標的條件，(不)可控記作A,B,C……3、水平－－因素所處等級、狀態(tài)，A的r個水平記作A1,A2,……,Ar

4、單(多)因素試驗－－考察一(多)個因素的試驗。第三頁，共四十四頁，2022年，8月28日第一節(jié)單因素方差分析一、基本問題1、基本數(shù)據(jù)：A的r個水平（試驗）A1A2……Ar1x11x21……xr12x12x22……xr2…………………x1t1x2t2……xrtr第四頁，共四十四頁，2022年，8月28日2、任務：檢驗因素A對試驗結果影響是否顯著？（A是否是重要因素？）第五頁，共四十四頁，2022年，8月28日二、基本原理1、數(shù)學模型（數(shù)據(jù)結構）（1）設且檢驗：說明：若要接受，表示r個水平下的平均數(shù)相同，即A對試驗結果影響不顯著；反之，影響顯著。第六頁，共四十四頁，2022年，8月28日（2）記―稱為的效應，則欲檢驗：若接受，說明A對試驗結果影響不顯著。第七頁，共四十四頁，2022年，8月28日

2、基本思想（1）、條件誤差：因條件不同引起的誤差；隨機誤差：相同條件下引起的誤差。（2）、基本思想：a、把條件誤差與試驗誤差分開；b、在某種意義下加以比較，若條件誤差明顯大于隨機誤差，則有理由認為A影響顯著。第八頁，共四十四頁，2022年，8月28日3、偏差平方和分解總樣本均值：總樣本容量：各總體的樣本均值：第九頁，共四十四頁，2022年，8月28日總偏差平方和：第十頁，共四十四頁，2022年，8月28日其中表示由A所引起的各組數(shù)據(jù)之間的偏差平方和（反映條件誤差？），稱為組間平方和；表示由隨機因素引起的各組數(shù)據(jù)內部的偏差平方和（反映隨機誤差？），稱為組內平方和。４、構造檢驗統(tǒng)計量由柯赫倫分解定理知，在假設成立的情況下，。其中稱為A的均方，稱為隨機均方。第十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日５、具體判斷利用公式（7.1.6）計算出F的值，記為F值，并根據(jù)F分布計算出相應的顯著性概率若Sig.小于給定的顯著水平，則拒絕原假設，即認為因素A對試驗指標有顯著影響；否則認為無顯著影響。通常當時，稱為有非常顯著影響，記為；當時，稱為有顯著影響，記為。第十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日三、基本計算1.建立數(shù)據(jù)文件a、定義試驗指標變量x和因素變量kind；b、輸入數(shù)據(jù)；c、保存數(shù)據(jù)文件。2．選擇統(tǒng)計方法按Analyze→Comparemeans→One-WayANOV順序選擇菜單或菜單項。3．結果說明解釋輸出結果的統(tǒng)計意義。第十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日對六種不同的農藥在相同的條件下分別進行殺蟲試驗，試驗結果如表7.1.1所示。

農藥試驗號A1A2A3A4A5A61879056559275285886248997238087958149491問殺蟲率是否因農藥的不同而有顯著性的差異（顯著水平）？第十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日單因素方差分析要注意的兩點：1、模型的條件（1）、服從正態(tài)分布；（2）、r個總體方差相等？（要求驗證）2、多重比較若，則拒絕，意味著上式中至少有一個不等號，到底哪些不等？（要比較）第十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日練習：１、將５種不同品種的種子，分別種在土質、氣候條件基本相同的8塊面積相等的小區(qū)域上，得到的收獲量如下表。水平試驗號A1A2A3A4A51767662656727867706871365706968724726473716957167716174672836969797837273657687973696984第十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日現(xiàn)欲檢驗種子品種（因素A）對收獲量（試驗指標）的影響是否顯著。２、四支溫度計和被用來測定氫化奎寧的熔點，得如下結果：溫度計T1T2T3T4觀測值174.0173.0171.5173.5173.0172.0171.0171.0173.5173.0173.0試檢驗在測量氫化奎寧熔點時，這四支溫度計之間有無顯著性差異。第十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日第二節(jié)兩因素方差分析一、基本問題

A因素水平r個：；

B因素水平s個：。

A、B的每種搭配下進行試驗t次，得到下表的試驗數(shù)據(jù)：第十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日第十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日所謂兩因素方差分析就是考察：1、因素A對試驗指標的影響是否顯著？2、因素B對試驗指標的影響是否顯著？3、交互作用A×B對試驗指標的影響是否顯著？注：若要考察A×B、每種搭配下試驗次數(shù)。第二十頁，共四十四頁，2022年，8月28日什么是交互作用？例子：一種水稻品種種在四塊面積與地力等條件相同的小區(qū)域上，各小區(qū)的施肥情況及產(chǎn)量如下表：區(qū)號一二三四施肥氮肥5斤磷肥5斤氮肥5斤＋磷肥5斤產(chǎn)量(斤)608070110一般地，在兩個因素的試驗中，有時除了每個因素獨立地起作用外，還可以聯(lián)合起來起作用，這種作用，叫做這兩個因素的交互作用。第二十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日二、基本原理1、模型：來自總體的樣本，記總體平均數(shù)水平下的平均數(shù)水平下的平均數(shù)第二十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日－－水平的效應－－水平的效應－－的交互效應第二十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日則雙因素方差分析模型為：其中，相互獨立且滿足第二十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日要檢驗的統(tǒng)計假設為：若拒絕，則認為因素A的不同水平對試驗結果有顯著影響；若拒絕，則認為因素B的不同水平對試驗結果有顯著影響；若拒絕，則認為因素A與B不同水平搭配的交互效應對試驗結果有顯著影響；若三者均不拒絕，則認為因素A與B的不同水平搭配對試驗結果無顯著影響。第二十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日2、偏差平方和分解總樣本平均數(shù)：水平下樣本平均數(shù)：水平下樣本平均數(shù)：搭配下樣本平均數(shù)：第二十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日總偏差平方和：第二十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日

其中，是因素A的離差平方和；是因素B的離差平方和；是誤差平方和。是交互作用的離差平方和。上式說明，總離差平方和可以分解成由隨機因素引起的誤差平方和；由因素A各水平的效應引起的離差平方和；由因素B各水平的效應引起的離差平方和以及A與B的交互效應引起的離差平方和四部分。第二十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日３、構造檢驗統(tǒng)計量對檢驗：對檢驗：對檢驗：由柯赫倫分解定理知，在假設成立的情況下，第二十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日４、具體判斷利用的公式計算出的具體數(shù)值，記為，并根據(jù)的分布計算出顯著性概率。若Sig.<給定顯著水平，則認為因素A對試驗指標有顯著性影響；否則無顯著性影響。(2)利用的公式計算出的具體數(shù)值，記為，并根據(jù)的分布計算出顯著性概率。第三十頁，共四十四頁，2022年，8月28日若Sig.<給定顯著水平，則認為因素B對試驗指標有顯著性影響；否則無顯著性影響。(3)利用的公式計算出的具體數(shù)值，記為，并根據(jù)的分布計算出顯著性概率。若Sig.<給定顯著水平，則認為交互作用對試驗指標有顯著性影響；否則無顯著性影響。第三十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日三、基本計算1.建立數(shù)據(jù)文件a、定義試驗指標變量x和兩個因素變量a,b；b、輸入數(shù)據(jù)；c、保存數(shù)據(jù)文件。2．選擇統(tǒng)計方法按Analyze→GeneralLinearModel→Univariate順序選擇菜單或菜單項。3．結果說明解釋輸出結果的統(tǒng)計意義。第三十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日在某化工廠產(chǎn)品的生產(chǎn)過程中，對三種濃度，四種溫度的每一種搭配重復試驗二次，測得產(chǎn)量如下表7.2.2（單位：千克）。

溫度B濃度AB1B2B3B4A121，2322，2325，2327，25A2

23，2526，2428，2726，24A3

26，2329，2724，2524，23試檢驗不同的濃度，不同的溫度以及它們之間的交互作用對產(chǎn)量有無顯著性的差異（顯著水平）？第三十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日練習：１、設四名工人分別操作機床甲、乙、丙各一天，生產(chǎn)同樣產(chǎn)品，其日產(chǎn)量統(tǒng)計如下表(單位：件)：

工人機床張某李某王某趙某甲53475745乙56506352丙45475442問工人的不同和機床的不同在日產(chǎn)量上有無顯著性差異？（假定四名工人對這三臺機床的熟悉情況是一樣的。）第三十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日２、將一塊耕地等分為24個小區(qū)，今有３個不同的小麥品種（A1，A2，A3）和２中不同的肥料（B1，B2）。現(xiàn)將各小麥品種與各種肥料進行搭配，對每種搭配都在４個小區(qū)上試驗，測得每個小區(qū)產(chǎn)量（千克）如下：ABA1A2A3B19109812119813141512B291012111213111222162018試分析品種、肥料以及它們的交互作用對產(chǎn)量有無顯著性的影響。第三十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日第三節(jié)多因素方差分析一、多因素試驗的設計問題1、必要性有r個因素，每個因素有s個水平，所有搭配方式有：次（很大）。要做那么多的試驗顯然是不可能的，即使是因素及水平較少，全面試驗也不一定是必要的，對試驗費高或帶有破壞性的試驗更是如此。第三十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日２、考慮：能否在所有的搭配的試驗中，選出有代表性的部分試驗，通過這一部分試驗分析所關心問題（影響是否顯著）。３、解決此問題就涉及到試驗設計。４、試驗設計的主要內容是討論如何合理地安排試驗以及試驗后如何對數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析。５、試驗設計的種類：正交設計、區(qū)組設計、回歸設計等。第三十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日二、正交設計１、正交試驗設計：用“正交表”來安排試驗和分析試驗結果的一種數(shù)理統(tǒng)計方法。２、正交表(1)、定義：具有以下兩個性質的表都稱為正交表：a、每一列中不同的數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相等。b、任意兩列中，將同一行的兩個數(shù)字看成有序數(shù)對，每種數(shù)對出現(xiàn)的次數(shù)相等。一般記為：，其中L：正交表符號，n：試驗次數(shù)，a：因素水平數(shù)，b：正交表的列數(shù)（因素個數(shù)）。第三十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日例子：試驗號列號1234111112122231333421235223162312731328321393321第三十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日特點：a、將正交表中的任意兩行交換或任意兩列交換，它仍然是正交表。b、將某一列中的數(shù)字號碼相互對換，它仍然是正交表。３、正交表的使用步驟：a、找出“合適”的正交表。第四十頁，共四十四頁，2022年，8月28日“合適”指：（１）正交表水平數(shù)必須和因素水平表中水平數(shù)一致。（２）正交表列數(shù)不少于因素的個數(shù)（所考慮的一個交互作用作為一個因素）。說明：若要進行（方差）分析時，一般要求正交表列數(shù)必須大于因素的個數(shù)，以便使正交表留出空列；此空列是（方差）分析中的試驗指標以及誤差平方和所在列。b、表頭設計－－因素放在表的哪一列。（１）若不考慮交互作用，可以任意放。第四十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日（２）若考慮交互作用，先安排有交互作用的主因素的所在列，再由交互作用表決定交互作用所在列沒有交互作用的主因素的安排，以盡量避免主因素與交互作用