數(shù)學(xué)物理方法第二章復(fù)變函數(shù)的積分

數(shù)學(xué)物理方法第二章復(fù)變函數(shù)的積分第一頁，共四十一頁，2022年，8月28日1存在且與k的選取無關(guān),則這個和的極限稱為函數(shù)f(z)沿曲線l從A到B的路積分，記為即若第二頁，共四十一頁，2022年，8月28日

分量形式：f(z)=u(x,y)+iv(x,y),z=x+iyf(z)dz=(u+iv)d(x+iy)

參數(shù)形式：曲線l的參數(shù)方程{x=x(t),y=y(t)},起始點A

tA,結(jié)束點

BtB第三頁，共四十一頁，2022年，8月28日幾個重要性質(zhì)1.常數(shù)因子可以移到積分號之外2.函數(shù)和的積分等于各函數(shù)積分的和3.反轉(zhuǎn)積分路徑，積分值變號第四頁，共四十一頁，2022年，8月28日4.全路徑上的積分等于各分段上的積分之和即：如果l=l1+l2+……+ln5.積分不等式1：6.積分不等式2：其中M是|f(z)|在l上的最大值，L是l的全長。第五頁，共四十一頁，2022年，8月28日例：計算積分解：一般而言,復(fù)變函數(shù)的積分不僅與起點和終點有關(guān),同時還與路徑有關(guān)。oxyl1l1l2l211+iif(z)=Re(z)不是解析函數(shù)!(y=0)

(x=1)(x=0)(y=i)第六頁，共四十一頁，2022年，8月28日§2.2柯西（Cauchy）定理

——研究積分與路徑之間的關(guān)系（一）單連通域情形單連通域：

在其中作任何簡單閉合圍線，圍線內(nèi)的點都是屬于該區(qū)域內(nèi)的點。

單連通區(qū)域的Cauchy定理：如果函數(shù)f(z)在閉單連通區(qū)域中單值且解析，則沿中任何一個分段光滑的閉合曲線l(也可以是的邊界l0

),函數(shù)的積分為零。第七頁，共四十一頁，2022年，8月28日證明：由路徑積分的定義：因f(z)在上解析，因而在上連續(xù)。xyolL沿l環(huán)線正向走環(huán)域在左側(cè)第八頁，共四十一頁，2022年，8月28日對實部虛部分別應(yīng)用格林公式將回路積分化成面積分又u、v滿足C-R條件

平面內(nèi)曲線積分和二重積分之間關(guān)系第九頁，共四十一頁，2022年，8月28日GeorgeGreen

(14July1793–31May1841)wasaBritishmathematicianandphysicist,

whowrote"AnEssayontheApplicationofMathematicalAnalysistotheTheoriesofElectricityandMagnetism".

Green'slifestoryisremarkableinthathewasalmostentirelyself-taught,havingonlyhadaboutoneyearofformalschoolingasachildbetweentheagesof8and9.

HeenteredCambridgeUniversityasanUndergraduatein1833aged40andgraduatedin1837.AftergraduationGreenstayedonatCambridge,writingonOptics,AcousticsandHydrodynamics.However,in1840hebecameillandreturnedtoNottinghamwherehediedthefollowingyear.第十頁，共四十一頁，2022年，8月28日10推廣：若f(z)在單連通域B上解析，在閉單連通域上連續(xù)，則沿上任一分段光滑閉合曲線l(也可以是的邊界)，有

（二）復(fù)連通域情形如果區(qū)域內(nèi)存在：(1)奇點；(2)不連續(xù)線段；(3)無定義區(qū)為了把這些奇異部分排除在外，需要作適當(dāng)?shù)膰纋1、l2、l3把它們分隔開來，形成帶孔的區(qū)域—復(fù)連通區(qū)域。第十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日一般而言，在區(qū)域內(nèi)，只要有一個簡單的閉合圍線其內(nèi)有不屬于該區(qū)域的點，這樣的區(qū)域便稱為復(fù)連通域區(qū)域邊界線的正向

當(dāng)觀察者沿著這個方向前進時，區(qū)域總是在觀察者的左邊。

xyl0oBl1l2l3l0第十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日復(fù)連通區(qū)域的Cauchy定理：如果f(z)是閉復(fù)連通區(qū)域中的單值解析函數(shù)，則l

為外邊界線，li為內(nèi)邊界線，積分沿邊界線正向證：作割線連接內(nèi)外邊界線第十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日即第十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日柯西定理總結(jié)：1.若f(z)在單連通域B上解析，在閉單連通域上連續(xù)，則沿上任一分段光滑閉合曲線l(也可以是的邊界)的積分為零；2.閉復(fù)連通區(qū)域上的單值解析函數(shù)沿所有內(nèi)外境界線正方向的積分和為零；3.閉復(fù)連通區(qū)域上的單值解析函數(shù)沿外境界線逆時針方向的積分等于沿所有內(nèi)境界線逆時針方向積分之和。由Cauchy定理可推出：

在閉單連通區(qū)域或復(fù)連通區(qū)域中解析的函數(shù)f(z)，其路積分值只依賴于起點和終點，而與積分路徑無關(guān)。第十五頁，共四十一頁，2022年，8月28日證明：由圖可知其中表示C2的反方向。由積分的基本性質(zhì)可得：只要起點和終點固定不變，當(dāng)積分路徑連續(xù)變形時（不跳過“孔”）時，函數(shù)的路積分值不變。C1C2BAD第十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日§2.3不定積分（原函數(shù)）

根據(jù)Cauchy定理，若函數(shù)f(z)在單連通區(qū)域B上解析，則沿B上任一分段光滑曲線l的積分只與起點和終點有關(guān)，而與路徑無關(guān)。因此如果固定起點z0而變化終點z,這個不定積分便定義了一個單值函數(shù)F(z):第十七頁，共四十一頁，2022年，8月28日F(z)的性質(zhì)：(1)F(z)在B上是解析的；(2)即F(z)是f(z)的一個原函數(shù)。原函數(shù)不是唯一的，但原函數(shù)之間僅僅相差一常數(shù)，這一常數(shù)決定于起點z0。可以證明：第十八頁，共四十一頁，2022年，8月28日

例一：計算積分解：（1）當(dāng)n-1時，zn的原函數(shù)是z(n+1)/(n+1)故（2）當(dāng)n=-1時，z-1的原函數(shù)是ln(z),故此積分與路徑有關(guān)系！因z=0是1/z的一個奇點。如被積函數(shù)有奇點，則由不定積分給出的函數(shù)可能是多值的。被積函數(shù)的奇點，可能是該函數(shù)的支點。第十九頁，共四十一頁，2022年，8月28日例二：計算積分其中l(wèi)是正向圓周|z|=a>0。解：顯然函數(shù)ezsinz在復(fù)平面上處處解析，由Cauchy定理知

故此題若用復(fù)積分的計算公式則非常復(fù)雜。第二十頁，共四十一頁，2022年，8月28日例三（重要）：計算

(n為整數(shù)）

解：（1）如果l不包含點，被積函數(shù)總解析,按柯西定理，I=0;(2)如果l包含點,又要分兩種情況：(a)n0,因被積函數(shù)解析，

I=0;(b)n<0,被積函數(shù)在l內(nèi)有奇點。

xyl0oBlCR第二十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日用半徑為R的圓周C包圍

點，則l+C構(gòu)成復(fù)連通區(qū)域，因此原積分變成圓周C上的積分，在C上故:第二十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日這樣,(a)n-1

(b)n=-1總結(jié)起來有第二十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日§2.4柯西（Cauchy）公式

解析函數(shù)是一類具特殊性質(zhì)的函數(shù)，特殊性表現(xiàn)之一是，在解析區(qū)域各處的函數(shù)值并不相互獨立，而是密切相關(guān)，這種關(guān)聯(lián)的表現(xiàn)之一就是Cauchy積分公式。一、單連通域情形若f(z)在閉單通區(qū)域上單值解析；l為的境界線，為內(nèi)的任一點，則有Cauchy積分公式：第二十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日證明：由（2.3.4）式從而僅需證明因被積函數(shù)一般以為奇點，作如圖所示回路，有??l第二十五頁，共四十一頁，2022年，8月28日對右端值作一估計因于是（2.4.2）左端與無關(guān)，故必有第二十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日正向作變量代換對復(fù)連通區(qū)域，（2.4.3）式仍成立，只要將l理解成所有境界線，且均取正向Bl?

z將l2l1第二十七頁，共四十一頁，2022年，8月28日二、無界區(qū)域的Cauchy積分公式

如果：f(z)在l’外部解析，且當(dāng)|z|時，f(z)0(一致)，則：注意：l和l’的方向不同，但都是所考慮區(qū)域的正方向（正方向是指：當(dāng)沿著該方向走動時，所考慮的區(qū)域始終在左方）?

zl’第二十八頁，共四十一頁，2022年，8月28日三、Cauchy積分公式的重要推論（任意次可導(dǎo)?。?/p>

第二十九頁，共四十一頁，2022年，8月28日本章基本要求：1.掌握科希定理和科希公式，理解其證明方法及關(guān)鍵步驟。2．掌握(2．3．4)式及(2．3．5)式作業(yè)§2.4.2(本章作業(yè)免做免交）

第三十頁，共四十一頁，2022年，8月28日例一、計算積分I,其中C為不經(jīng)過點0和1的正向曲線。解：(1)如果0和1都不在C中，則被積函數(shù)解析，因此,由Cauchy定理得I=0; (2)若僅0在C內(nèi),函數(shù)在C上及C包圍的區(qū)域解析，由Cauchy積分公式，得到?

z=1?

z=0C(2)C(1)第三十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日（3）若僅1在C內(nèi),在C上及C包圍的區(qū)域解析，由Cauchy積分公式，得到?

z=1?

z=0C(3)第三十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日第三十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日33

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