數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)

數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)第一頁，共四十九頁，2022年，8月28日§5.1

引言一、什么是濾波狹義地說：濾波是把信號中的某些頻率分量分離出來或去掉，能完成這種功能的設(shè)備就稱為濾波器。廣義地說：濾波是指某種信號處理成為另一種信號的過程，因此濾波器就是一個系統(tǒng)。二、數(shù)字濾波器DF（DigitalFilter）所謂數(shù)字濾波器指的是對輸入數(shù)字信號x(n)按一定要求進行運算，然后輸出數(shù)字信號y(n)的過程。它可以是一種算法，亦可是一種數(shù)字處理設(shè)備。一般情況下，數(shù)字濾波器是一線性非移變系統(tǒng)，第二頁，共四十九頁，2022年，8月28日與模擬濾波器的差別：1、處理信號不同：數(shù)字濾波器處理數(shù)字信號（以序列表示）模擬濾波器處理連續(xù)信號（以波形表示）2、實現(xiàn)的方式不同：數(shù)字濾波器可用數(shù)字硬件結(jié)構(gòu)或軟件實現(xiàn)，或二者結(jié)合使用。 （數(shù)字硬件：加法器、乘法器、延時器）模擬濾波器由分立元件組合電路網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)。 （分立元件：電阻、電容、晶體管等。）第三頁，共四十九頁，2022年，8月28日數(shù)字濾波器是一類非常重要的線性非移變系統(tǒng)，對于一個確定的數(shù)字濾波器，就有其確定的系統(tǒng)函數(shù)H(z)與單位沖激響應(yīng)h(n)。其性能不僅由H(z)決定，還有其算法結(jié)構(gòu)密切相關(guān)。信號流圖表示法是一種有效的系統(tǒng)算法結(jié)構(gòu)表示法，用它來表示數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)，一目了然。（運算步驟、乘法、加法次數(shù)、所用存儲單元）數(shù)字濾波器第四頁，共四十九頁，2022年，8月28日§5.2數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的信號流圖一、信號流圖及其表示法信號流圖是由連接節(jié)點的有向分支構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)，是表示信號流通的幾何圖形。數(shù)字網(wǎng)絡(luò)信號流圖x(n)z-1y(n)ABa0b1a1x(n)z-1y(n)ABa0b1a1CYX第五頁，共四十九頁，2022年，8月28日1、節(jié)點。2、支路（連接兩個節(jié)點的有向線段，系數(shù)叫做支路傳輸。3、源節(jié)點，只有輸出支路與之相連的節(jié)點稱為源節(jié)點，或輸入節(jié)點。4、匯點，只有輸入支路與之相連的節(jié)點稱為匯點，或輸出節(jié)點。5、混合節(jié)點。6、開路徑或通路（從某一節(jié)點出發(fā)，終止到另一節(jié)點，且每節(jié)點只通過一次）。7、自環(huán)（從某一節(jié)點出發(fā)，終止在同一節(jié)點的路徑且每節(jié)點只通過一次）。8、節(jié)點變量值（等于流入該節(jié)點的全部信號的疊加，流出信號不計）。9、延時器z-1相當于延時器b(n)=a(n-1)x(n)z-1y(n)ABa0b1a1CYX第六頁，共四十九頁，2022年，8月28日aX1bX2X1X2a+bX1X3abX1X3abX2X1X3abX2X4cX3abX1X4ac二、信號流圖的簡化：1、支路的合并相加：相乘：2、節(jié)點的吸收：消去X2第七頁，共四十九頁，2022年，8月28日3、自環(huán)消除cX1X3abX2==X1X3X1X3abbc三、根據(jù)信號流圖求系統(tǒng)函數(shù)匯點與源點之間的函數(shù)關(guān)系，即為系統(tǒng)函數(shù)。有三種方法求解

a.將信號流圖逐步化簡，得到系統(tǒng)函數(shù)

b.用信號流圖代數(shù)方程組求解

c.用Mason公式求系統(tǒng)函數(shù)第八頁，共四十九頁，2022年，8月28日X3X1X2XX4X5YH1H2H3H4-G1-G2-G3-G41、信號流圖代數(shù)方程組法設(shè)X為源點，Y為匯點，系統(tǒng)函數(shù)為H=Y/X由流程圖可得如下方程組變形第九頁，共四十九頁，2022年，8月28日用系數(shù)行列式表示方程方程1左右兩邊同除H1

方程組補齊變量第十頁，共四十九頁，2022年，8月28日為X的代數(shù)余子式Y(jié)=X5

只需求X5由克萊姆法則X5=D5/D

；D是系數(shù)矩陣的行列式第十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日2、Mason公式通路傳輸：通路邊界間（開始節(jié)點與終止節(jié)點之間）各支路傳輸之積為通路傳輸；環(huán)路傳輸：繞環(huán)路一周，各支路傳輸之積；不接觸：兩條通路間或兩個環(huán)路間或一條通路與一個環(huán)路之間，若無公共節(jié)點則稱它們互不接觸。Mason公式：D為流圖的行列式。D=1-（所有環(huán)路傳輸之和）+（每兩個互不接觸的環(huán)路傳輸乘積之和）-（每三個互不接觸的環(huán)路傳輸乘積之和）+……gi

是從源點到匯點的第i條通路傳輸。Di則是此通路流圖的余子式。Di=1-（與此通路不接觸的各環(huán)路傳輸之和）+（與此通路不接觸的每兩個互不接觸的環(huán)路傳輸乘積之和）-（與此通路不接觸的每三個互不接觸的環(huán)路傳輸乘積之和）+……第十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日所有環(huán)路：①-G2H2②

-G3H3③

-G4H4④-G1H2H3H4

D=1-(-G2H2-G3H3-G4H4-G1H2H3H4)+(G2H2G3H3+

G2H2G4H4)所有通路g1=H1H2H3H4此通路流圖余子式D1=1X3X1X2XX4X5YH1H2H3H4-G1-G2-G3-G4例：第十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日x(n)X(z)cY(z)y(n)az-1x(n)X(z)cY(z)y(n)az-1x(n)X(z)cY(z)y(n)az-1四、信號流圖的轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置定理：將信號流圖全部支路反向，且保持全部支路傳輸不變，并將源點和匯點交換位置，則當信號流圖中只有一個源點和一個匯點時，轉(zhuǎn)置后的流圖與原圖傳輸函數(shù)相同。第十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日說明：對于同一傳輸函數(shù)，存在著多種不同的算法結(jié)構(gòu)，即對同一個系統(tǒng)有多種不同的實現(xiàn)方案。不同的方案，數(shù)學運算復(fù)雜度不同，所用加法器、乘法器、延遲器件數(shù)目不同，系統(tǒng)特性對于乘法器系數(shù)變化的靈敏度不同。應(yīng)選擇乘法器少的結(jié)構(gòu)，提高速度應(yīng)選擇延遲器少的結(jié)構(gòu)，減少存儲電路應(yīng)選擇對乘法器系數(shù)變化靈敏度低的結(jié)構(gòu)，提高系統(tǒng)穩(wěn)定性算法結(jié)構(gòu)的選擇對于一個系統(tǒng)的實現(xiàn)非常重要。第十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日§5.3IIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)離散系統(tǒng)差分方程描述分為遞歸型和非遞歸型數(shù)字濾波器可分為:

無限沖擊響應(yīng)IIR（InfiniteImpulseResponse）

有限沖擊響應(yīng)FIR（FiniteImpulseResponse）IIR濾波器都是遞歸型的，F(xiàn)IR濾波器一般都是非遞歸的IIR濾波器特點： ⑴h(n)無限長； ⑵H(z)在有限z平面上存在極點，因果穩(wěn)定的系統(tǒng)其全部極點一定在單位圓內(nèi)； ⑶結(jié)構(gòu)存在輸出到輸入的反饋，即遞歸型。第十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日x(n)z-1y(n)a0b1a1z-1z-1z-1z-1z-1aMaM-1b2bN根據(jù)方程直接得到圖1

數(shù)字網(wǎng)絡(luò)一、直接型遞歸差分方程：第十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日圖2

直接Ⅰ型信號流圖x(n)y(n)z-1y1(n)z-1z-1z-1z-1z-1z-1z-1a1b1a0a2aM-1aMb2bN-1bN將差分方程兩邊Z變換用信號流圖表示為第十八頁，共四十九頁，2022年，8月28日如圖2所示，直接I型可看成兩個獨立網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)。故有故有得系統(tǒng)函數(shù)是N節(jié)延時鏈結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，不過它是對y(n)延時，因而是個反饋網(wǎng)絡(luò)；與H(z)分母對應(yīng)，實現(xiàn)濾波器極點。第二個網(wǎng)絡(luò)是對輸入x(n)的M節(jié)延時鏈結(jié)構(gòu)，即每個延時抽頭后加權(quán)相加，即是一個橫向網(wǎng)絡(luò)；與H(z)分子對應(yīng)，實現(xiàn)濾波器零點。第一個網(wǎng)絡(luò)第十九頁，共四十九頁，2022年，8月28日圖3

直接Ⅱ型信號流圖x(n)y(n)z-1z-1z-1z-1a1a0a2aM-1aMz-1z-1z-1z-1b1b2bN-1bN線性非移變級聯(lián)系統(tǒng)總輸入輸出關(guān)系和子系統(tǒng)級聯(lián)次序無關(guān)H(z)=H1(z)·H2(z)=H2(z)·H1(z)可將兩個子網(wǎng)絡(luò)交換，得第二十頁，共四十九頁，2022年，8月28日x(n)y(n)a1a0a2aM-1aMz-1z-1z-1z-1b1b2bN-1bN圖4

正準型直接型與正準型共同缺點是系數(shù)ai與bi對濾波器的性能控制作用不明顯，且系統(tǒng)頻率特性對于其零、極點位置變化靈敏度高。易出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象，尤其當階次高時更明顯（N大）。所以，直接型一般不用，正準型當階次高時也不采用。二、正準型（典范型）由圖3知兩列傳輸為z-1的支路有相同的輸入可把它們合并。這樣可節(jié)省一半延時單元。第二十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日例5-3-1已知某IIR系統(tǒng)函數(shù)，畫出直接型、正準型的結(jié)構(gòu)流圖解：為了得到直接型結(jié)構(gòu)，必須將H(z)代為z-1的有理式；注意反饋部分系數(shù)符號x(n)8-411z-1-2z-1z-1y(n)5/4-3/41/8z-1z-1z-1y(n)5/4-3/41/8-411-28x(n)z-1z-1z-1第二十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日由于系數(shù)ai與bi為實數(shù)，零點ci與極點di只有兩種可能，或是實根，或是共軛復(fù)根。(A=a0/b0=a0)三、級聯(lián)型對H(z)因式分解第二十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日把單實根因子看成a2i與b2i為0的二階因子的特例，并設(shè)N≥ML為N/2到N范圍內(nèi)的某一整數(shù)，當M=N時（L對(N+1)/2取整）將共軛因子組合成實系數(shù)的二階因子。第二十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日xi(n)yi(n)a1iz-1z-1-b1ia2i-b2i二階基本結(jié)構(gòu)xi(n)yi(n)a1iz-1-b1i一階基本結(jié)構(gòu)圖5

級聯(lián)型H1(z)H2(z)HL(z)x(n)y(n)A級聯(lián)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)第二十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日例5-3-2設(shè)IIR數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)為：11z-1z-111y(n)1z-11x(n)解：設(shè)將系統(tǒng)函數(shù)變形為：第二十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日級聯(lián)型結(jié)構(gòu)特點：a1i與a2i確定第i對零點，b1i與b2i確定第i對極點，即子網(wǎng)絡(luò)零、極點是系統(tǒng)的零極點；調(diào)整任何一個子網(wǎng)絡(luò)的零極點都不影響其它零、極點，具有獨立性，便于較準確的實現(xiàn)H(z)特性，靈敏度特性好；級聯(lián)次序可以互換，零、極點對的搭配為任意，不同的方案總的系統(tǒng)函數(shù)都相同，但系統(tǒng)特性對于零、極點位置變化的靈敏度不同，涉及到最優(yōu)化問題。第二十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日式中若M=N，第三項為c0，若M<N，第三項為零將共軛因子組合成實系數(shù)的二階因子。四、并聯(lián)型將H(z)按部分分式展開第二十八頁，共四十九頁，2022年，8月28日并聯(lián)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)xi(n)yi(n)a1iz-1z-1-b1ia0i-b2i二階基本結(jié)構(gòu)xi(n)yi(n)a0iz-1-b1i一階基本結(jié)構(gòu)由上式可知系統(tǒng)由N1個一階系統(tǒng)、N2個二階系統(tǒng)，以及延時加權(quán)單元并聯(lián)組合而成。當M=N時，延時單元為c0

將一階實極點看成二階的特例，且令M=N，則有分子比分母小一階第二十九頁，共四十九頁，2022年，8月28日圖6

并聯(lián)型特點：并聯(lián)支路極點是整個網(wǎng)絡(luò)的極點，但零點不是，因而可獨立調(diào)整極點位置，靈敏度特性好（但不能控制零點）；此外，并聯(lián)型結(jié)構(gòu)運算誤差比級聯(lián)型結(jié)構(gòu)?。壜?lián)型結(jié)構(gòu),前級的輸出是后級的輸入）。H1(z)H2(z)HL(z)x(n)y(n)c0由系統(tǒng)函數(shù)可得第三十頁，共四十九頁，2022年，8月28日例5-3-3用并聯(lián)結(jié)構(gòu)實現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)解：系統(tǒng)函數(shù)變形為：x(n)y(n)1z-161z-114-61z-1第三十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日§5.4FIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)FIR濾波器特點： ⑴h(n)在有限個n值處不為零，即有限長； ⑵H(z)在|z|>0處收斂，在|z|>0處只有零點，而全部極點都在z=0處（因果系統(tǒng)）； ⑶結(jié)構(gòu)上主要是非遞歸結(jié)構(gòu)，沒有輸出到輸入的反饋，但有些結(jié)構(gòu)中（例如頻率抽樣結(jié)構(gòu)）也包含有反饋的遞歸部分。第三十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日令x(n)=d(n)，代入差分方程y(n)即為單位沖激響應(yīng)h(n)，則有h(n)在0～N-1

區(qū)間外為0，即h(n)長度有限，因此這樣的濾波器叫有限沖激響應(yīng)(FIR)濾波器。非遞歸差分方程：由第三十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日z=0為系統(tǒng)的N-1階極點，有N-1個零點在有限z平面的任意位置一、直接型根據(jù)上式可畫出FIR濾波器的直接型結(jié)構(gòu)；因為是卷積和，又可稱為是卷積型；或者稱為FIR濾波器的橫截型結(jié)構(gòu)。將H(z)展開，可得h(0)h(1)h(2)h(N-1)z-1z-1z-1z-1x(n)y(n)h(N-2)第三十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日x(n)y(n)z-1z-1h(0)z-1h(1)h(2)h(N-1)z-1圖7

橫截型（一）根據(jù)轉(zhuǎn)置定理圖8

橫截型（二）x(n)y(n)z-1z-1h(0)z-1h(1)h(N-1)z-1h(N-2)將上圖放倒，得到第三十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日若系數(shù)a2i=0，則為一階因式；K表示(N-1)/2到(N-1)范圍內(nèi)的某一整數(shù)x(n)y(n)a11z-1z-1a01a21a12z-1z-1a02a22a1Kz-1z-1a0Ka2K圖9

級聯(lián)型圖中每個網(wǎng)絡(luò)控制一對零點，即零點可單獨控制，且系統(tǒng)特性隨零點位置變化的靈敏度好；但此結(jié)構(gòu)所需的乘法次數(shù)比橫截型多二、級聯(lián)型將H(z)分解成實系數(shù)二階因子的乘積形式第三十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日設(shè)則(把系統(tǒng)分為兩部分級聯(lián)的形式)1、第一個子網(wǎng)絡(luò)He(z)

梳狀濾波器，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖x(n)-z-Ny(n)三、頻率采樣型FIR濾波器也可以用遞歸算法來計算。H(z)可由H(k)通過一個內(nèi)插式精確的恢復(fù)。第三十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日在z=0處有N階極點，零點是1的N次方根，共N個均勻的分布在單位圓上

k=0～Ｎ-1Im(z)Re(z)0z0zN-1z1He(z)的頻率響應(yīng)為故其幅度響應(yīng)為w02p/N4p/N6p/N……性質(zhì)：He(z)是一個FIR子系統(tǒng)第三十八頁，共四十九頁，2022年，8月28日x(n)y(n)z-1WN0z-1WN-1z-1WN-(N-1)…H(0)H(1)H(N-1)Im(z)Re(z)0z0zN-1z1此外該網(wǎng)絡(luò)在z=0處有一階零點，在有限z平面上有N-1個零點，此網(wǎng)絡(luò)稱為無損耗并聯(lián)諧振器。2、第二個子網(wǎng)絡(luò)Hk(z)是N個一階網(wǎng)絡(luò)的并聯(lián)結(jié)構(gòu)是一個IIR子系統(tǒng)。每個一階網(wǎng)絡(luò)都有一個極點WN-k，此子網(wǎng)絡(luò)共有N個極點均勻分布在單位圓上。第三十九頁，共四十九頁，2022年，8月28日Im(z)Re(z)0z0zN-1z1Im(z)Re(z)0z0zN-1z1梳狀濾波器在單位圓上的零點正是并聯(lián)諧振器在單位圓上的極點，因此當兩網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)時，相互抵消。另外在z=0處的極點與一階零點也相互抵消，最后保留在z=0處的N-1階極點和有限z平面上的N-1個零點。兩系統(tǒng)級聯(lián)第四十頁，共四十九頁，2022年，8月28日y(n)z-1WN0z-1WN-1z-1WN-(N-1)…H(0)H(1)H(N-1)x(n)-z-N1/N圖10

頻率抽樣型結(jié)構(gòu)頻率抽樣型結(jié)構(gòu)主要特點是在頻率采樣點wk，H(ejwk)=H(k)因此只要調(diào)整H(k)就可以有效的調(diào)整系統(tǒng)的頻率特性。缺點：He(z)的零點由延時來實現(xiàn)，Hk(z)的極點由復(fù)數(shù)乘法來實現(xiàn)，因此在實際上二者不能準確的完全抵消，從而影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如果極點落在單位圓外，系統(tǒng)就不穩(wěn)定了。結(jié)構(gòu)如圖：第四十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日Im(z)Re(z)0z0zN-1z1r1Im(z)Re(z)0z0zN-1z1r1這樣即使極點不能完全被零點抵消由于是在單位圓內(nèi)，也不會導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定但要注意H(k)未作修正。頻率采樣型的修正1、將單位圓上所有零、極點移到單位圓內(nèi)半徑為r的圓上，r≈1，用rz-1來代替He(z)和Hk(z)中的z-1第四十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日Re(z)0z0zN-1z1r1因此可將第k個和第N-k個諧振器合并成一個實系數(shù)的二階網(wǎng)絡(luò)N為偶數(shù)2、將并聯(lián)諧振器中的運算都化為實數(shù)運算諧振器的各個根為使系數(shù)為實數(shù)，將共軛根合并。共軛根在半徑為r的圓周上以實軸為軸成對稱分布，滿足利用即可導(dǎo)出第四十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日N為偶數(shù)時總共合并了N-2個（i=1～N/2-1）還剩k=0和k=N/2兩點0z0zN-1z1r1zN/2當k=N/2時0z0zN-1z1r1N為奇數(shù)時總共合并了N-1個（i=1～(N-1)/2）還剩k=0點當k=0時第四十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日z-1-rH(N/2)z-1rH(0)z-1z-1b1i-r2b0i2rcos(2pi/N)圖11

頻率抽樣型修正結(jié)構(gòu)N為奇數(shù)時無此項H1(z)H2(z)