有效數(shù)字及其應(yīng)用

有效數(shù)字及其應(yīng)用第一頁，共十六頁，2022年，8月28日

第十二講第三章誤差和分析數(shù)據(jù)和得理12-2

上述分析結(jié)果共有11位數(shù)字，從運(yùn)算來講，并無錯(cuò)誤，但實(shí)際上用這樣多位數(shù)的數(shù)字來表示上述分析結(jié)果是錯(cuò)誤的，它沒有反映客觀事實(shí)，因?yàn)樗玫姆治龇椒ê蜏y量儀器不可能準(zhǔn)確到這種程度。那么在分析實(shí)驗(yàn)中記錄和計(jì)算時(shí)，究竟要準(zhǔn)確到什么程度，才符合客觀事實(shí)呢？這就必須了解“有效數(shù)字”的意義。一、有效數(shù)字的意義及位數(shù)

有效數(shù)字是指在分析工作中實(shí)際上能測量到的數(shù)字。記錄數(shù)據(jù)和計(jì)算結(jié)果時(shí)究竟應(yīng)該保留幾位數(shù)字，須根據(jù)測定方法和使用儀器的準(zhǔn)確程度來決定。在記錄數(shù)據(jù)和計(jì)算結(jié)果時(shí)，所保留的有效數(shù)字中，只有最后一位是可疑的數(shù)字。第二頁，共十六頁，2022年，8月28日

第十二講第三章誤差和分析數(shù)據(jù)和得理12-3

例如：

坩堝重18.5734克

六位有效數(shù)字

標(biāo)準(zhǔn)溶液體積24.41毫升

四位有效數(shù)字由于萬分之一的分析天平能稱準(zhǔn)至±0.0001克，滴定管的讀數(shù)能讀準(zhǔn)至±0.01毫升，故上述坩堝重應(yīng)是18.5734±0.0001克，標(biāo)準(zhǔn)溶液的體積應(yīng)是24.41±0.01毫升，因此這些數(shù)值的最后一位都是可疑的，這一位數(shù)字稱為“不定數(shù)字”。在分析工作中應(yīng)當(dāng)使測定的數(shù)值，只有最后一位是可疑的。

有效數(shù)字的位數(shù)，直接與測定的相對誤差有關(guān)。例如稱得某物重為0.5180克，它表示該物實(shí)際重量是0.5180±0.0001克，其相對誤差為：(±0.0001/0.5180)×100%＝±0.02%第三頁，共十六頁，2022年，8月28日

第十二講第三章誤差和分析數(shù)據(jù)和得理12-4

如果少取一位有效數(shù)字，則表示該物實(shí)際重量是0.518±0.001克，其相對誤差為：(±0.001/0.518)×100%＝±0.2%表明測量的準(zhǔn)確度后者比前者低10倍。所以在測量準(zhǔn)確度的范圍內(nèi)，有效數(shù)字位數(shù)越多，測量也越準(zhǔn)確。但超過測量準(zhǔn)確度的范圍，過多的位數(shù)是毫無意義的。

必須指出，如果數(shù)據(jù)中有“0”時(shí)，應(yīng)分析具體情況，然后才能肯定哪些數(shù)據(jù)中的“0”是有效數(shù)字，哪些數(shù)據(jù)中的“0”不是有效數(shù)字。第四頁，共十六頁，2022年，8月28日

第十二講第三章誤差和分析數(shù)據(jù)和得理12-5

例如:1.0005五位有效數(shù)字0.5000；31.05%；6.023×102

四位有效數(shù)字0.0540；1.86×10-5三位有效數(shù)字0.0054；0.40%兩位有效數(shù)字0.5；0.002%一位有效數(shù)字在1.0005克中的三個(gè)“0”，0.5000克中的后三個(gè)“0”，都是有效數(shù)字；在0.0054克中的“0”只起定位作用，不是有效數(shù)；在0.0540克中，前面的“0”起定位作用，最后一位“0”是有效數(shù)字。同樣，這些數(shù)值的最后一位數(shù)字，都是不定數(shù)字。第五頁，共十六頁，2022年，8月28日

第十二講第三章誤差和分析數(shù)據(jù)和得理12-6

因此，在記錄測量數(shù)據(jù)和計(jì)算結(jié)果時(shí)，應(yīng)根據(jù)所使用的儀器的準(zhǔn)確度，必須使所保留的有效數(shù)字中，只有最后一位數(shù)是“不定數(shù)字”。例如，用感量為百分之一克的臺秤稱物體的重量，由于儀器本身能準(zhǔn)確稱到±0.0l克，所以物體的重量如果是10.4克，就應(yīng)寫成10.40克，不能寫成10.4克。分析化學(xué)中還經(jīng)常遇到pH、pC、lgK等對數(shù)值，其有效數(shù)字的位數(shù)僅取決于小數(shù)部分?jǐn)?shù)字的位數(shù)，因整數(shù)部分只說明該數(shù)的方次。例如，pH＝12.68，即[H+]＝2.1×l0-13mol/L，其有效數(shù)字為兩位，而不是四位。第六頁，共十六頁，2022年，8月28日

第十二講第三章誤差和分析數(shù)據(jù)和得理12-7

對于非測量所得的數(shù)字，如倍數(shù)、分?jǐn)?shù)、π、e等等，它們沒有不確定性，其有效數(shù)字可視為無限多位，根據(jù)具體情況來確定。另外，如果有效數(shù)字位數(shù)最少的因數(shù)的首位數(shù)是“8”或“9”，則有效數(shù)字可認(rèn)為比這個(gè)因數(shù)多取一位。二、數(shù)字修約規(guī)則“四舍六入五留雙”。具體的做法是，當(dāng)尾數(shù)≤4時(shí)將其舍去；尾數(shù)≥6時(shí)就進(jìn)一位；如果尾數(shù)為5而后面的數(shù)為0時(shí)則看前方：前方為奇數(shù)就進(jìn)位，前方為偶數(shù)則舍去；當(dāng)“5”后面還有不是0的任何數(shù)時(shí)，都須向前進(jìn)一位，無論前方是奇還是偶數(shù)，“0”則以偶數(shù)論。第七頁，共十六頁，2022年，8月28日

第十二講第三章誤差和分析數(shù)據(jù)和得理12-8

0.53664→0.53660.58346→0.583510.2750→10.2816.4050→16.4027.1850→27.1818.06501→18.07必須注意：進(jìn)行數(shù)字修約時(shí)只能一次修約到指定的位數(shù)，不能數(shù)次修約，否則會得出名正錯(cuò)誤的結(jié)果。三、有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則(一)加減法

當(dāng)幾個(gè)數(shù)據(jù)相加或相減時(shí)、它們的和或差的有效數(shù)字的保留，應(yīng)以小數(shù)點(diǎn)后位效最少，即絕對誤差最大的的數(shù)據(jù)為依據(jù)。例如0.0121、25.64及1.05782三數(shù)相加，若各數(shù)最后一位為可疑數(shù)字，則25.64中的4已是可疑數(shù)字。因此，三數(shù)相加后，第二位小數(shù)已屬可疑，其余兩個(gè)數(shù)據(jù)可按規(guī)則進(jìn)行修約、整理到只保留兩位小數(shù)。第八頁，共十六頁，2022年，8月28日

第十二講第三章誤差和分析數(shù)據(jù)和得理12-9

因此，0.0121應(yīng)寫成0.01；1.05782應(yīng)寫成1.06；三者之和為：0.01+25.64+1.06＝26.71在大量數(shù)據(jù)的運(yùn)算中。為使誤差不迅速積累，對參加運(yùn)算的所有數(shù)據(jù)，可以多保留一位可疑數(shù)字(多保留的這一位數(shù)字叫“安全數(shù)字”)。如計(jì)算5.2727、0.075、3.7及2.12的總和時(shí)，根據(jù)上述規(guī)則，只應(yīng)保留一位小數(shù)。但在運(yùn)算中可以多保留一位，故5.2727應(yīng)寫成5.27；0.075應(yīng)寫成0.08；2.12應(yīng)寫成2.12。因此其和為：5.27+0.08+3.7+2.12＝11.17然后、再根據(jù)修約規(guī)則把11.17整化成11.2。第九頁，共十六頁，2022年，8月28日

第十二講第三章誤差和分析數(shù)據(jù)和得理12-10

(二)乘除法

幾個(gè)數(shù)據(jù)相乘除時(shí)，積或商的有效數(shù)字的保留，應(yīng)以其中相對誤差最大的那個(gè)數(shù)，即有效數(shù)字位數(shù)最少的那個(gè)數(shù)為依據(jù)。

例如求0.0121、25.64和1.05782三數(shù)相乘之積。設(shè)此三數(shù)的最后一位數(shù)字為可疑數(shù)字，且最后一位數(shù)字都有±1的絕對誤差，則它們的相對誤差分別為：0.0121：±1/121×1000‰＝±8‰25.64：

±1/2564×1000‰＝±0.4‰1.05782：±1/105782×1000‰＝±0.009‰第一個(gè)數(shù)是三位有效數(shù)字，其相對誤差最大，以此數(shù)據(jù)為依據(jù)，確定其他數(shù)據(jù)的位數(shù)，即按規(guī)則將各數(shù)都保留三位有效數(shù)字然后相乘：第十頁，共十六頁，2022年，8月28日

第十二講第三章誤差和分析數(shù)據(jù)和得理12-11

0.0121×25.6×1.06=0.328

若是多保留一位可疑數(shù)字時(shí)，則0.0121×25.64×1.058=0.3282

然后再按“四舍六入五留雙”規(guī)則，將0.3282，改寫成0.328。四、有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則在分析化學(xué)實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用

1．根據(jù)分析儀器和分析方法的準(zhǔn)確度正確讀出和記錄測定值，且只保留一位可疑數(shù)字。2．在計(jì)算結(jié)果之前，先根據(jù)運(yùn)算方法確定欲保留的位數(shù)，然后按照數(shù)字修約規(guī)則對各測定值進(jìn)行修約，先修約，后計(jì)算。

第十一頁，共十六頁，2022年，8月28日

第十二講第三章誤差和分析數(shù)據(jù)和得理12-12

3.分析化學(xué)中的計(jì)算主要有兩大類。一類是各種化學(xué)平衡中有關(guān)濃度的計(jì)算。另一類是計(jì)算測定結(jié)果，確定其有效數(shù)字位數(shù)與待測組分在試樣中的相對含量有關(guān)，一般具體要求如下：對于高含量組分（10%）的測定，四位有效數(shù)字；對中含量組分（1%-10%），三位有效數(shù)字；微量組分（<1%），兩位有效數(shù)字。3-6提高分析結(jié)果準(zhǔn)確度的方法

一、選擇適當(dāng)?shù)姆治龇椒?/p>

第十二頁，共十六頁，2022年，8月28日

第十二講第三章誤差和分析數(shù)據(jù)和得理12-13

在生產(chǎn)實(shí)踐和一般科研工作中，對測定結(jié)果要求的準(zhǔn)確度常與試樣的組成、性質(zhì)和待測組分的相對含量有關(guān)?；瘜W(xué)分析的靈敏度雖然不高，但對于常量組分的測定能得到較準(zhǔn)確的結(jié)果，一般相對誤差不越過千分之幾。儀器分析具有較高的靈敏度，用于微量或痕量組分含量的測定，對測定結(jié)果允許有較大的相對誤差。

二、減小測量的相對誤差儀器和量器的測量誤差也是產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的因素之一。分析天平一般的絕對誤差為±0.0002g，如人欲稱量的相對誤差不大于0.1%，那么應(yīng)稱量的最小質(zhì)量不小于0.2g。第十三頁，共十六頁，2022年，8月28日

第十二講第三章誤差和分析數(shù)據(jù)和得理12-14

在滴定分析中，滴定管的讀數(shù)誤差一般為±0.02ml。為使讀數(shù)的相對誤差不大于0.1%，那么滴劑的體積就應(yīng)不小于20ml。稱量的準(zhǔn)確度還與分析方法的準(zhǔn)確度一致。如光度法的誤差為2%，若稱取0.5g試樣，那么就不必要像滴定分析法和重量法那樣強(qiáng)調(diào)將試樣稱準(zhǔn)到±0.0001g。稱準(zhǔn)至±0.001g比較適宜。三、檢驗(yàn)和消除系統(tǒng)誤差（一）

對照試驗(yàn)

對照實(shí)驗(yàn)用于檢驗(yàn)和消除方法誤差。用待檢驗(yàn)的分析方法測定某標(biāo)準(zhǔn)試樣或純物質(zhì)，并將結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)值或純物質(zhì)的理論值相對照。

第十四頁，共十六頁，2022年