中考數(shù)學(xué)壓軸題 《費(fèi)馬點(diǎn)》

所以NPAP=NCACW60所以在等腰4PAP中，APNPP所以PA+PB+PC^PP+PB+PC>BC=AB+AC所以點(diǎn)A為AABC的費(fèi)馬點(diǎn)二、若三角形的內(nèi)角均小于120。，則以三角形的任意兩邊向外作等邊三角形，兩個(gè)等邊三角形外接圓在三角形內(nèi)的交點(diǎn)即為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn).如圖，在AABC中三個(gè)內(nèi)角均小于120。，分另U以AB、AC為邊向外作等邊三角形，兩個(gè)等邊三角形的外接圓在AABC內(nèi)的交點(diǎn)為0,求證:點(diǎn)。為AABC的費(fèi)馬點(diǎn)證明：在AABC內(nèi)部任意取一點(diǎn)0,；連接0A、OB、OC將AAOC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△AO,D連接0。/則0'D=OC所以△AOO/為等邊三角形，00'=AO所以0A+0C+0B=00,+0B+0/D則當(dāng)點(diǎn)B、0、0,、D四點(diǎn)共線時(shí)，OA+OB+OC最小此時(shí)ABAC為邊向外作等邊三角形，兩個(gè)等邊三角形的外接圓在△ABC內(nèi)的交點(diǎn)即為點(diǎn)0如圖，在AABC中，若NBAC、NABC、NACB均小于120°,0為費(fèi)馬點(diǎn)，則有NA0B=NB0C=NC0A=120°,所以三角形的費(fèi)馬點(diǎn)也叫三角形的等角中心A例1如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（一6,0）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6,0）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6,43），延長(zhǎng)AC至點(diǎn)D使得CD=AC,過點(diǎn)DE作DE//AB,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,設(shè)G為y軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)P從直線y=.3x+63與y軸的交點(diǎn)M出發(fā)，先沿y軸到達(dá)點(diǎn)G,再沿GA到達(dá)點(diǎn)A,若點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)的速度是它在直線GA上運(yùn)動(dòng)速度的2倍，試確定點(diǎn)G的位置，使點(diǎn)P按照上述要求到達(dá)A所用的時(shí)間最短解解?.?t=GMGA_2GA+GM2vv2v??當(dāng)2GA+GM最小時(shí)，時(shí)間最短如圖，假設(shè)在OM上存在一點(diǎn)G,則BG=AG?.MG+2AG=MG+AG+BG把4MGB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到AM，G/B,連結(jié)GG',MM,??AGG'B、AMM，B都為等邊三角形貝IJGG，=G，B=GB又???M,G，=MG?.MG+AG+BG=M/G，+GG，+AG?,點(diǎn)A、M，為定點(diǎn)??AM，與OM的交點(diǎn)為G,此時(shí)MG+AG+BG最小??點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0,23）例2A、B、C、D四個(gè)城市恰好為一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，要建立一個(gè)公路系統(tǒng)使得每?jī)蓚€(gè)城市之間都有公路相通，并是整個(gè)公路系統(tǒng)的總長(zhǎng)度為最小，則應(yīng)當(dāng)如何修建？解：如圖，將4ABP繞點(diǎn)N逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到4EB此同樣，將△DCQ繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△FCN,連結(jié)AE、DF,WAAfil△DCF均為等邊三角形，連結(jié)PM、QN,則ABPM,4CQN均為等邊三角形所以當(dāng)點(diǎn)E,M,P,Q,N,F共線時(shí)，整個(gè)公路系統(tǒng)的總長(zhǎng)取到最小值，為線段EF的長(zhǎng)，如圖，此時(shí)點(diǎn)P,Q在EF上，1=2=3=4=30.MNPQBC進(jìn)階訓(xùn)練1.如圖，在ABC中,ABC=60,1.如圖，在ABC中,內(nèi)一點(diǎn)，求PA+PB+PC的最小值，并確定當(dāng)PA+PB+PC取得最小值時(shí)，APC的度數(shù).P

BC答案：PA+PB+PC的最小值為7,此時(shí)APC=120.A'APrPEBC【提示】如圖，將APB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，得至UA'BP',連結(jié)PP',A'C.過點(diǎn)A'作A'EBC,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.解RtA'EC求A'C的長(zhǎng)，所得即為PA+PB+PC的最小值.2.如圖，四邊形ABCD是正方形，ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得至UBN,連結(jié)AM,CM,EN.(1)當(dāng)M在何處時(shí)，AM+CM的值最小？(2)當(dāng)M在何處時(shí)，AM+BM+CM的值最小？請(qǐng)說明理由；(3)當(dāng)AM+BM+CM的最小值為3+1時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng).TOC\o"1-5"\h\zADENMBC答案：(1)當(dāng)點(diǎn)M落在BD的中點(diǎn)時(shí)，AM+CM的值最小，最小值為AC的長(zhǎng)；(2)連結(jié)CE,當(dāng)點(diǎn)M位于BD與CE的