專題05 解析幾何-2020年高考數(shù)學（理）大題分解

專題05解析幾何直線與拋物線大題肢解一直線與拋物線大題肢解一（2019年全國卷=1\*ROMANI）已知拋物線：的焦點為F，斜率為的直線與的交點為，，與軸的交點為．（1）若，求的方程；（2）若，求．【肢解1】若，求的方程；【肢解2】若，求．【肢解1】若，求的方程；【解析】設直線方程為，，，由拋物線焦半徑公式可知，所以，聯(lián)立得，由得，所以，解得，所以直線的方程為，即.【肢解2】若，求．【解析】設直線方程為，聯(lián)立得，由得，由韋達定理知，因為，所以，所以，，所以，.則.設拋物線的焦點為，過點的而直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋p.弦長的計算方法：求弦長時可利用弦長公式，根據(jù)直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立消元后得到的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系得到兩根之和、兩根之積的代數(shù)式，然后進行整體代入弦長公式求解．溫馨提示：注意兩種特殊情況：(1)直線與圓錐曲線的對稱軸平行或垂直；(2)直線過圓錐曲線的焦點．【拓展1】已知拋物線：的焦點為F，斜率為的直線與的交點為，，與軸的交點為．若，求在軸上的截距.【解析】設直線方程為，，，由拋物線焦半徑公式可知，所以，聯(lián)立得，由得，所以，解得，所以直線的方程為，令得，所以直線在軸上的截距為.【拓展2】已知拋物線：的焦點為F，斜率為的直線與的交點為，，與軸的交點為．若，，求的面積．【解析】設直線方程為，聯(lián)立得，由得，由韋達定理知，，因為，所以，所以，，所以.，所以，直線方程為，即，所以點到的距離，所以的面積為．變式訓練一變式訓練一1.（2019年山西太原一模)已知拋物線的焦點為，過焦點的直線交拋物線于，兩點，為坐標原點，若的面積為，求.【解析】由題意知拋物線的焦點的坐標為，易知當直線垂直于軸時，的面積為2，不滿足題意，所以可設直線的方程為，與聯(lián)立，消去得，設，，由韋達定理知，，所以，所以的面積為，解得，所以.2.（2019年湖北荊州模擬)已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于兩點.（1）若，求直線的斜率；（2）設點在線段上運動，原點關于點的對稱點為，求四邊形面積的最小值.【解析】（1）依題意可設直線，將直線與拋物線聯(lián)立，設，，由韋達定理得，因為，所以，即，所以直線的斜率為或．（2），當時，四邊形的面積最小，最小值為4．大題肢解二大題肢解二（2020屆廣東省珠海市高三上學期期末）中心在坐標原點，對稱軸為坐標軸的橢圓過、兩點，（1）求橢圓的方程；（2）設直線與橢圓交于，兩點，求當所取何值時，的面積最大.【肢解1】求橢圓的方程；【肢解2】設直線與橢圓交于，兩點，求當所取何值時，的面積最大.【肢解1】求橢圓的方程；【解析】（1）由題意可設橢圓的方程為，代入、兩點得解得，，所以橢圓.【肢解2】設直線與橢圓交于，兩點，求當所取何值時，的面積最大.【解析】將直線代入得：.整理得.得.由韋達定理得，..由二次函數(shù)可知當即時，的面積的最大．直線與圓錐曲線的相交弦長問題：設斜率為k(k≠0)的直線l與圓錐曲線C相交于A，B兩點，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2).變式訓練二變式訓練二【變式1】中心在坐標原點，對稱軸為坐標軸的橢圓過、兩點，（1）求橢圓的方程；（2）設直線與橢圓交于，兩點，若的面積為，求的值.【解析】（1）由題意可設橢圓的方程為，代入、兩點得解得，.所以橢圓.（2）將直線代入得.整理得.得.設，，韋達定理得，.所以，由點到直線的距離公式得點到直線的距離.所以的面積為，因為的面積為，所以，解得或（舍去）.所以．【變式2】已知橢圓的離心率為，其中左焦點為．（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于不同的兩點，，的面積為，求直線的方程．【解析】(1)由題意，得解得，所以橢圓的方程為.（2）設點，，由消去得，由得，由韋達定理知，，所以，由點到直線的距離公式得到直線的距離，所以的面積為，解得，滿足，所以所求直線方程為或.1.（2019年山東高考模擬）已知圓，拋物線．（1）若拋物線的焦點在圓上，且為拋物線和圓的一個交點，求；（2）若直線與拋物線和圓分別相切于兩點，設，當時，求的最大值．【解析】（1）由題意知，所以.所以拋物線的方程為.將與聯(lián)立得點的縱坐標為，結合拋物線定義得.（2）由得，，所以直線的斜率為，故直線的方程為.即.又由得且，所以.令，，則，令，則；當時，單調遞減，當時，單調遞增，又，，所以，即的最大值為.2.（2020黑龍江省齊市地區(qū)普高聯(lián)誼高二上學期期末）已知橢圓：過點與點.（1）求橢圓的方程；（2）設直線過定點，且斜率為，若橢圓上存在，兩點關于直線對稱，為坐標原點，求的取值范圍及面積的最大值.【解析】（1）由題意，可得，解得，所以橢圓的方程為.（2）由題意，設直線的方程為，由，整理得，所以，即，……….①且，所以線段的中點橫坐標，縱坐標為，將代入直線方程，可得………②，由①②可得，又，所以，又，且原點到直線AB的距離，所以，所以時，最大值，此時，所以時，最大值.3.（2020福建省寧德市高三第一次質量檢查）已知拋物線的焦點為，在拋物線上，且.（1）求拋物線的方程及的值；（2）若過點的直線與相交于兩點，為的中點，是坐標原點，且，求直線的方程.【解析】（1）因為，所以，所以，拋物線的方程為：，將代入得，（2）設，顯然直線的斜率存在，設直線：，聯(lián)立，消去得，因為，得且，所以，因為，所以，所以，即，因為是的中點，所以，所以，整理得所以，解得，所以直線的方程為：或.4.（2020福建省龍巖市上杭縣第一中學月考）已知點A(0，－2)，橢圓E：(a>b>0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為，為坐標原點.（1）求E的方程；（2）設過點A的動直線與E相交于P，Q兩點.當△OPQ的面積最大時，求的方程.【解析】（1）設，因為直線的斜率為，，所以，.又，解得，所以橢圓的方程為.（2）設由題意可設直線的方程為：，聯(lián)立消去得，當，所以，所以或，由韋達定理知.所以，點到直線的距離，所以，設，則，所以，當且僅當，即，解得時取等號，滿足，所以的面積最大時直線的方程為：或.5.（2020廣東省佛山市高三教學質量檢測）已知橢圓：的離心率為，點在橢圓上，直線過橢圓的右焦點與上頂點，動直線：與橢圓交于，兩點，交于點.（1）求橢圓的方程；（2）已知為坐標原點，若點滿足，求此時的長度.【解析】（1）由題意得，，結合，解得，，，故所求橢圓的方程為.（2）易知定直線的方程為.聯(lián)立，整理得，解得，令點的坐標為.因為，由對稱性可知，點為的中點，故，又在直線：上，故，解得，，所以點的坐標為或，所以或，所以的長度為4或.6.（2020廣西名校高三上學期12月高考模擬）如圖，中心為坐標原點O的兩圓半徑分別為，，射線OT與兩圓分別交于A、B兩點，分別過A、B作垂直于x軸、y軸的直線、，交于點P．（1）當射線繞點旋轉時，求P點的軌跡E的方程；（2）直線l：與曲線E交于M、N兩點，兩圓上共有6個點到直線的距離為時，求的取值范圍．【解析】（1）設,OT與x軸正方向夾角為,則，即，化簡得,即P點的軌跡E的方程為.（2）當兩圓上有6個點到直線1的距離為時,原點至直線的距離,即,解得，聯(lián)立方程得，設,,則,，所以，則.7.（2020遼寧省沈陽市東北育才學校高三模擬）已知為橢圓的右頂點，點在橢圓的長軸上，過點且不與軸重合的直線