微專題06 圓錐曲線中的最值、范圍及探索性問題- 高考數(shù)學(xué)（文）二輪復(fù)習(xí)微專題聚焦

微專題06圓錐曲線中的最值、范圍及探索性問題——2020高考數(shù)學(xué)（文）二輪復(fù)習(xí)微專題聚焦【考情分析】與圓錐曲線有關(guān)的最值、范圍及存在性問題是高考命題的熱點(diǎn)，直線或圓錐曲線運(yùn)動(dòng)變化時(shí)，點(diǎn)、直線、曲線之間的關(guān)聯(lián)受到一定范圍的制約，于是便產(chǎn)生了對(duì)范圍的求解、最值的探求這類問題，注重與平面向量、函數(shù)、二次方程、不等式等融合與滲透，因而這類問題考查范圍廣泛，命題形式新穎，屬于解析幾何中的壓軸題?！厩皞渲R(shí)】圓錐曲線中的最值問題類型較多,解法靈活多變,但總體上主要有兩種方法:一是利用幾何法,即通過利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解;二是利用代數(shù)法,即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(gè)(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式),然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解.2、解決圓錐曲線中的取值范圍問題應(yīng)考慮的五個(gè)方面①利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系,從而確定參數(shù)的取值范圍.②利用已知參數(shù)的范圍,求新參數(shù)的范圍,解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系.③利用隱含的不等關(guān)系建立不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍.④利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍.⑤利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù),求其值域,從而確定參數(shù)的取值范圍.考點(diǎn)一圓錐曲線中的最值或取值范圍問題【例1】過F(0,1)的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，以A，B兩點(diǎn)為切點(diǎn)分別作拋物線C的切線，設(shè)交于點(diǎn).（1）求；（2）過Q，F(xiàn)的直線交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，求四邊形AMBN面積的最小值.【解析】（1）設(shè)，，直線，所以得，所以由，所以，即，同理，聯(lián)立得，即．（2）因?yàn)?，，所以，所以，即，，同理，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，四邊形面積的最小值為32.【方法歸納提煉素養(yǎng)】——數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合、方程思想，核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.求最值,取值范圍的常用方法(1)利用函數(shù)單調(diào)性:求導(dǎo),換元,變形等.(2)利用不等式:基本不等式(有一個(gè)或兩個(gè)變量都可以),三角不等式等.(3)利用線性規(guī)劃:條件是不等式組的題目,可考慮用線性規(guī)劃法.(4)利用數(shù)形結(jié)合:將代數(shù)方程與它表示的幾何圖形聯(lián)系起來.(5)利用轉(zhuǎn)化與化歸:將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)式,再求解;或?qū)⒉坏仁絾栴}轉(zhuǎn)化為等式問題,即先找到所求不等式恰好相等時(shí)的“邊界”,“邊界”將實(shí)數(shù)R分為若干部分,其中符合題意的部分即為所求取值范圍.注意:在圓錐曲線最值問題中,特別注意橢圓、雙曲線、拋物線上的點(diǎn)(x,y)橫縱坐標(biāo)x,y的取值范圍.【類比訓(xùn)練】已知拋物線E:y2=2pxp>0,過其焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于Ax1,（1）求拋物線E的方程；（2）已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2,0），記直線CA,CB的斜率分別為k1，k【解析】（1）因?yàn)橹本€過焦點(diǎn)，所以有，解得，所以拋物線的方程為． （2）由（1）知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線的方程有，所以，則有，，所以，，因此，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值．【例2】已知橢圓的右焦點(diǎn)為F2(3,0),離心率為e.(1)若,求橢圓的方程.(2)設(shè)直線y=kx與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),M,N分別為線段AF2,BF2的中點(diǎn).若坐標(biāo)原點(diǎn)O在以MN為直徑的圓上,且≤QUOTE,求k的取值范圍.【解析】(1)由已知，得即a2=12,又a2=b2+c2,解得b2=3.所以橢圓的方程為QUOTE+QUOTE=1.(2)由，得(b2+a2k2)x2-a2b2=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=0,x1x2=QUOTE,由已知可得,OM⊥ON,易證四邊形OMF2N為平行四邊形,所以AF2⊥BF2,因?yàn)?所以=(1+k2)x1x2+9=0,即QUOTE+9=0,整理為k2=-QUOTE=-1-QUOTE,因?yàn)?所以.所以,即k的取值范圍是.【方法歸納提煉素養(yǎng)】——數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程思想，核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.解決取值范圍問題的常用方法(1)構(gòu)建不等式法:利用已知或隱含的不等關(guān)系,構(gòu)建以待求量為元的不等式求解.(2)構(gòu)建函數(shù)法:先引入變量構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù),再求其值域.(3)數(shù)形結(jié)合法:利用待求量的幾何意義,確定出極端位置后數(shù)形結(jié)合求解.考點(diǎn)二圓錐曲線中的探索性（或是否存在性）問題【必備知識(shí)】探索性問題的解題思路：第一步：先假設(shè)存在，用待定系數(shù)法設(shè)出；第二步：列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，推證滿足條件的結(jié)論；第三步：解方程（組）；若方程組有實(shí)數(shù)解，則元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))不存在．注意：(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論；(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件；(3)當(dāng)條件和結(jié)論都不確定，按常規(guī)方法解題很難時(shí)，要開放思維，采取另外合適的方法．【例2】已知橢圓C：()的離心率為,且以原點(diǎn)O為圓心，橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；已知?jiǎng)又本€過右焦點(diǎn)F,且與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，試問x軸上是否存在定點(diǎn)Q,使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由?！窘馕觥浚?）由離心率為，可得，且以原點(diǎn)O為圓心，橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓的方程為，因與直線相切，則有，即，故而橢圓方程為（2）假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)Q（m,0）,使得恒成立。當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，A(1,),B(1,),由于（）()=,所以，下面證明時(shí)，恒成立。當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，A（，0）B（，0）則（，0）（，0）=，符合題意。當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為x=ty+1,A,B,由x=ty+1及得有∴；，∴==，綜上所述：在x軸上存在點(diǎn)Q（，0）使得恒成立?！痉椒w納提煉素養(yǎng)】——數(shù)學(xué)思想是分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程思想，核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.1、有關(guān)存在性問題的求解策略此類問題一般分為探究條件、探究結(jié)論兩種.若探究條件，則可先假設(shè)條件成立，再驗(yàn)證結(jié)論是否成立，若成立則存在，否則不存在；若探究結(jié)論，則應(yīng)先求出結(jié)論的表達(dá)式，在針對(duì)其表達(dá)式進(jìn)行討論，其中往往涉及對(duì)參數(shù)的討論.求解策略通常有一下三種：存在性問題通常采用“肯定順推法”，將不確定的問題明朗化.其步驟如下：假設(shè)滿足條件的元素（點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù)）存在并設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程（組），若方程（組）有實(shí)數(shù)解，則元素（點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù)）存在，否則（點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù)）不存在反證法與驗(yàn)證法也是求解存在性問題的常用方法.解決存在性問題時(shí)要注意解題的規(guī)范性，一般先做出結(jié)論，后給出證明（或理由）.2、關(guān)于兩類定點(diǎn)的探索性問題定點(diǎn)的存在問題與過定點(diǎn)問題稍有差異.過定點(diǎn)問題實(shí)際上是恒成立問題.例如直線過定點(diǎn)解決方法有:①將方程化為一邊為0,此時(shí)是恒等于0,所以變量的系數(shù)都為0,列出方程組求解,得定點(diǎn);②取兩條直線,聯(lián)立解出交點(diǎn)坐標(biāo),再證明此交點(diǎn)在動(dòng)直線上.做高考真題提能力素養(yǎng)【解答題】1、（2019全國(guó)II文20）已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）若為等邊三角形，求C的離心率；（2）如果存在點(diǎn)P，使得，且的面積等于16，求b的值和a的取值范圍.【解析】（1）連結(jié)，由為等邊三角形可知在中，，，，于是，故的離心率是.（2）由題意可知，滿足條件的點(diǎn)存在當(dāng)且僅當(dāng)，，，即，①，②，③由②③及得，又由①知，故.由②③得，所以，從而故.當(dāng)，時(shí)，存在滿足條件的點(diǎn)P.所以，的取值范圍為.2、（2019浙江21）如圖，已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線上，使得的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點(diǎn)Q，且Q在點(diǎn)F右側(cè).記的面積為.（1）求p的值及拋物線的準(zhǔn)線方程；（2）求的最小值及此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo).【解析】（I）由題意得，即p=2.所以，拋物線的準(zhǔn)線方程為x=?1.（Ⅱ）設(shè)，重心.令，則.由于直線AB過F，故直線AB方程為，代入，得，故，即，所以.又由于及重心G在x軸上，故，得.所以，直線AC方程為，得.由于Q在焦點(diǎn)F的右側(cè)，故.從而.令，則m>0，.當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)G（2，0）.3、（2018北京）已知橢圓的離心率為，焦距為．斜率為的直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，．(1)求橢圓的方程；(2)若，求的最大值；(3)設(shè)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為．若，和點(diǎn)共線，求．【解析】(1)由題意得，所以，又，所以，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(2)設(shè)直線的方程為，由消去可得，則，即，設(shè)，，則，，則，易得當(dāng)時(shí)，，故的最大值為．(3)設(shè)，，，，則①，②，又，所以可設(shè)，直線的方程為，由消去可得，則，即，又，代入①式可得，所以，所以，同理可得．故，，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入化簡(jiǎn)可得，即．4、（2018浙江）如圖，已知點(diǎn)是軸左側(cè)(不含軸)一點(diǎn)，拋物線：上存在不同的兩點(diǎn)，滿足，的中點(diǎn)均在上．(1)設(shè)中點(diǎn)為，證明：垂直于軸；(2)若是半橢圓()上的動(dòng)點(diǎn)，求面積的取值范圍．【解析】(1)設(shè)，，．因?yàn)椋闹悬c(diǎn)在拋物線上，所以，為方程即的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．所以．因此，垂直于軸．(2)由(1)可知所以，．因此，的面積．因?yàn)?，所以．因此，面積的取值范圍是．5、（2017山東）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C:的離心率為，橢圓截直線所得線段的長(zhǎng)度為．(Ⅰ)求橢圓的方程；(Ⅱ)動(dòng)直線：交橢圓于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．點(diǎn)是關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，的半徑為．設(shè)為的中點(diǎn)，，與分別相切于點(diǎn)，，求的最小值．【解析】（Ⅰ）由橢圓的離心率為，得，又當(dāng)時(shí)，，得，所以，，因此橢圓方程為．（Ⅱ）設(shè)，聯(lián)立方程得，由得（*）且，因此，所以，又，所以整理得：，因?yàn)樗粤?，故所以．令，所以．?dāng)時(shí)，，從而在上單調(diào)遞增，因此，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，此時(shí)，所以，由（*）得且，故，設(shè)，