2022年新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（回扣篇）第31練　分類討論思想

分類討論思想第31練專項(xiàng)典題精練高考匯編1.(2020·浙江)已知空間中不過同一點(diǎn)的三條直線l，m，n，“l(fā)，m，n共面”是“l(fā)，m，n兩兩相交”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件12345678910111213141516√12345678910111213141516解析如圖，直線l，m，n不過同一點(diǎn)，且l，m，n共面有三種情況：①同一平面內(nèi)三線平行；②兩平行線與另一線相交；③三線兩兩相交.因此，“l(fā)，m，n兩兩相交”是“l(fā)，m，n共面”的一種情況，即“l(fā)，m，n共面”是“l(fā)，m，n兩兩相交”的必要不充分條件.2.(2014·浙江)在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的圖象可能是12345678910111213141516√解析方法一當(dāng)a>1時(shí)，y＝xa與y＝logax均為增函數(shù)，但y＝xa遞增較快，排除C；當(dāng)0<a<1時(shí)，y＝xa為增函數(shù)，y＝logax為減函數(shù)，排除A.由于y＝xa遞增較慢，所以選D.方法二冪函數(shù)f(x)＝xa的圖象不過(0,1)點(diǎn)，排除A；B項(xiàng)中由對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)＝logax的圖象知0<a<1，而此時(shí)冪函數(shù)f(x)＝xa的圖象應(yīng)是增長越來越慢的變化趨勢，故B錯(cuò)，D對(duì)；C項(xiàng)中由對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)＝logax的圖象知a>1，而此時(shí)冪函數(shù)f(x)＝xa的圖象應(yīng)是增長越來越快的變化趨勢，故C錯(cuò).123456789101112131415163.(2015·山東)設(shè)函數(shù)f(x)＝

則滿足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范圍是12345678910111213141516√解析由f(f(a))＝2f(a)得，f(a)≥1.當(dāng)a<1時(shí)，有3a－1≥1，當(dāng)a≥1時(shí)，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1.4.(2017·全國Ⅰ)設(shè)A，B是橢圓C：

長軸的兩個(gè)端點(diǎn).若C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB＝120°，則m的取值范圍是12345678910111213141516√解析方法一設(shè)焦點(diǎn)在x軸上，點(diǎn)M(x，y).過點(diǎn)M作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)N，則N(x,0).1234567891011121314151612345678910111213141516對(duì)于焦點(diǎn)在y軸上的情況，同理亦可得m≥9.則m的取值范圍是(0,1]∪[9，＋∞).方法二當(dāng)0<m<3時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上，要使C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB＝120°，12345678910111213141516解得0<m≤1.當(dāng)m>3時(shí)，焦點(diǎn)在y軸上，要使C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB＝120°，故m的取值范圍為(0,1]∪[9，＋∞).5.(2018·全國Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，則△ABC的面積為______.12345678910111213141516解析方法一△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，bsinC＋csinB＝4asinBsinC，利用正弦定理可得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC，由于0<B<π，0<C<π，所以sinBsinC≠0，12345678910111213141516由于b2＋c2－a2＝8，12345678910111213141516方法二∵bsinC＋csinB＝4asinBsinC，∴由正弦定理得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC.123456789101112131415166.(2014·福建)函數(shù)f(x)＝

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是____.123456789101112131415162所以在(－∞，0]上有一個(gè)零點(diǎn).所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增.又因?yàn)閒(2)＝－2＋ln2<0，f(3)＝ln3>0，f(2)·f(3)<0，所以f(x)在(2,3)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn).綜上，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.7.(2017·全國Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝ex(ex－a)－a2x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；12345678910111213141516解函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，＋∞)，f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a).①若a＝0，則f(x)＝e2x在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增.②若a>0，則由f′(x)＝0，得x＝lna.當(dāng)x∈(－∞，lna)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(lna，＋∞)時(shí)，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，＋∞)上單調(diào)遞增.1234567891011121314151612345678910111213141516(2)若f(x)≥0，求a的取值范圍.12345678910111213141516解①若a＝0，則f(x)＝e2x，所以f(x)>0，符合題意.②若a>0，則由(1)知，當(dāng)x＝lna時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f(lna)＝－a2lna，從而當(dāng)且僅當(dāng)－a2lna≥0，即0<a≤1時(shí)，f(x)≥0.1234567891011121314151612345678910111213141516即

≤a<0時(shí)，f(x)≥0.綜上，a的取值范圍是[，1].8.(2018·全國Ⅰ)設(shè)拋物線C：y2＝2x，點(diǎn)A(2,0)，B(－2,0)，過點(diǎn)A的直線l與C交于M，N兩點(diǎn).(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線BM的方程；12345678910111213141516解當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，l的方程為x＝2，可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,2)或(2，－2).即x－2y＋2＝0或x＋2y＋2＝0.(2)證明：∠ABM＝∠ABN.12345678910111213141516證明當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，AB為MN的垂直平分線，所以∠ABM＝∠ABN.當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1>0，x2>0.1234567891011121314151612345678910111213141516所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的傾斜角互補(bǔ)，所以∠ABM＝∠ABN.綜上，∠ABM＝∠ABN.12345678910111213141516模擬精選√解析由m是1和9的等比中項(xiàng)，可得m＝±3，12345678910111213141516該曲線為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，該曲線為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，10.(2021·遂寧模擬)已知過點(diǎn)(0,2)的直線l與圓心為C的圓(x－2)2＋(y－1)2＝10相交于A，B兩點(diǎn)，若CA⊥CB，則直線l的方程為A.2x－y＋2＝0B.2x－y＋2＝0或2x＋y－2＝0C.x＝0D.x＝0或2x＋y－2＝0√1234567891011121314151612345678910111213141516所以△ABC是以∠ACB為直角的等腰直角三角形，若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x＝0，此時(shí)點(diǎn)C到直線l的距離為2，不符合題意；若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0，整理得(k－2)2＝0，解得k＝2，所以直線l的方程為y＝2x＋2，即2x－y＋2＝0.1234567891011121314151611.若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0對(duì)任意實(shí)數(shù)x均成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.(－2,2) B.[－2,2]C.(2，＋∞) D.(－2,2]√解析當(dāng)a－2＝0，即a＝2時(shí)，此時(shí)－4<0恒成立，滿足條件；當(dāng)a－2≠0時(shí)，因?yàn)?a－2)x2＋2(a－2)x－4<0對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，解得a∈(－2,2)，綜上可知，a∈(－2,2].12345678910111213141516√解析由已知得f′(x)＝a(sinx＋xcosx)，12345678910111213141516又函數(shù)圖象是連續(xù)不斷的，12345678910111213141516又函數(shù)圖象是連續(xù)不斷的，13.已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B?A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________.12345678910111213141516(－∞，4]解析當(dāng)B＝?時(shí)，有m＋1≥2m－1，則m≤2；當(dāng)B≠?時(shí)，若B?A，如圖.綜上，m的取值范圍為(－∞，4].14.(2021·杭州模擬)一排有11個(gè)座位，現(xiàn)安排2人就座，規(guī)定中間的3個(gè)座位不能坐，且2人不相鄰，則不同排法的種數(shù)是____.1234567891011121314151644解析根據(jù)兩人在三個(gè)空位同側(cè)與異側(cè)進(jìn)行分類，即共6＋6＋32＝44(種).15.(2021·柳州模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn，且滿足Sn＝2an－1，n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；12345678910111213141516解依題意得，當(dāng)n＝1時(shí)，有S1＝2a1－1，又S1＝a1，故a1＝1，又Sn＝2an－1，

①當(dāng)n≥2時(shí)，有Sn－1＝2an－1－1，

②①－②得Sn－Sn－1＝an＝2an－2an－1，化簡得an＝2an－1，∴{an}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴an＝2n－1.(2)若bn＝2n－1，且數(shù)列{cn}由a1，b1，a2，b2，a3，b3，…，an，bn，…組成，求{cn}的前n項(xiàng)和Tn.12345678910111213141516解當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，12345678910111213141516Tn＝a1＋b1＋a2＋b2＋a3＋b3＋…＋＝a1＋a2＋a3＋…＋

＋b1＋b2＋b3＋…＋＝＝＝當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，12345678910111213141516Tn＝a1＋b1＋a2＋b2＋a3＋b3＋…＋＝a1＋a2＋a3＋…＋

＋b1＋b2＋b3＋…＋＝＝12345678910111213141516＝∴Tn＝16.(2021·豐臺(tái)區(qū)模擬)已知橢圓C：

，過點(diǎn)(－1,0)的直線l交橢圓C于點(diǎn)A，B.(1)當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，求|AB|；12345678910111213141516解當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，其方程為x＝－1.1234567891011121314151612345678910111213141516①當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，得(1＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－3＝0.顯然Δ>0，12345678910111213141516＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋k2(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋k2x1x2＋k2(x1＋x2)＋k2＝(k2－m)(x1＋x2)＋(k2＋1)x1x2＋k2＋m212345678910111213141516②當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，考情分析練后疑難精講分類討論思想是當(dāng)問題的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對(duì)研究的對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，然后對(duì)每一類分別研究，給出每一類的結(jié)論，最終綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問題的解答.實(shí)質(zhì)上分類討論就是“化整為零，各個(gè)擊破，再集零為整”的數(shù)學(xué)思想.一、由概念、法則、公式、性質(zhì)引起的分類討論核心提煉解決由概念、法則、公式引起的分類討論問題的步驟第一步：確定需分類的目標(biāo)與對(duì)象.即確定需要分類的目標(biāo)，一般把需要用到公式、定理解決問題的對(duì)象作為分類目標(biāo).第二步：根據(jù)公式、定理確定分類標(biāo)準(zhǔn).運(yùn)用公式、定理對(duì)分類對(duì)象進(jìn)行區(qū)分.第三步：分類解決“分目標(biāo)”問題.對(duì)分類出來的“分目標(biāo)”分別進(jìn)行處理.第四步：匯總“分目標(biāo)”.將“分目標(biāo)”問題進(jìn)行匯總，并作進(jìn)一步處理.題/p>

二、由參數(shù)變化引起的分類討論核心提煉含有參數(shù)的分類討論問題主要包括：(1)含有參數(shù)的不等式的求解；(2)含有參數(shù)的方程的求解；(3)函數(shù)解析式中含參數(shù)的最值與單調(diào)性問題；(4)二元二次方程表示曲線類型的判定等.求解這類問題的一般思路是：結(jié)合參數(shù)的意義及參數(shù)對(duì)結(jié)果的影響進(jìn)行分類討論.討論時(shí)，應(yīng)全面分析參數(shù)變化引起結(jié)論的變化情況，參數(shù)有幾何意義時(shí)還要考慮適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想.題號(hào)3471112

三、由圖形位置或形狀引起的分類討論核心提煉1.一般由圖形的位置或形狀變動(dòng)引發(fā)的討論包括：二次函數(shù)對(duì)稱軸位置的變動(dòng)；函數(shù)問題中區(qū)間的變動(dòng)；函數(shù)圖象形狀的變動(dòng)；直線由斜率引起的位置變動(dòng)；圓錐曲線由焦點(diǎn)引起的位置變動(dòng)或由離心率引起的形狀變動(dòng)；立體幾何中點(diǎn)、線、面的位置變動(dòng)等.2.圓錐曲線形狀不確定時(shí)，常按橢圓、雙曲線來分類討論，求圓錐曲線的方程時(shí)，常按焦點(diǎn)的位置不同來分類討論.3.相關(guān)計(jì)算中，涉及圖形問題時(shí)，也常按圖形的位置不同、大小差異等來分類討論.題號(hào)28916

12345易錯(cuò)對(duì)點(diǎn)精補(bǔ)1.[T1補(bǔ)償](2021·房山區(qū)模擬)“a2＝1”是“直線x＋ay＝1與ax＋y＝1平行”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件√12345解析因?yàn)橹本€x＋ay＝1與ax＋y＝1平行，解得a＝±1；而當(dāng)a＝1時(shí)，直線x＋ay＝1為x＋y＝1，同時(shí)ax＋y＝1為x＋y＝1，兩直線重合不滿足題意；當(dāng)a＝－1時(shí)，x－y＝1與－x＋y＝1平行，滿足題意；故a＝－1，根據(jù)小范圍推大范圍可得，a2＝1是a＝－1的必要不充分條件.12345√12345123453.[T6補(bǔ)償]已知λ∈R，函數(shù)f(x)＝

當(dāng)λ＝2時(shí)，不等式f(x)<0的解集是_____.若函數(shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則λ的取值范圍是__