不等式及其性質(教師版)4304

初二下冊第二章一元一次不等式及一元一次不等式組一、不等式及其性質【學習目標】1．了解不等式的意義，認識不等式和等式都刻畫了現(xiàn)實世界中的數(shù)量關系；2.理解不等式的三條基本性質，并會簡單應用；3．理解并掌握一元一次不等式的概念及性質；【要點梳理】要點一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小關系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等關系的式子也是不等式．要點詮釋：(1)不等號“＜”或“＞”表示不等關系，它們具有方向性，不等號的開口所對的數(shù)較大．(2)五種不等號的讀法及其意義：符號讀法意義它說明兩個量之間的關系是不相等的，但不能確定哪個大，哪個小“≠”讀作“不等于”“＜”“＞”讀作“小于”表示左邊的量比右邊的量小讀作“大于”讀作“小于或等于”表示左邊的量比右邊的量大即“不大于”，表示左邊的量不大于右邊的量“≤”“≥”讀作“大于或等于”即“不小于”，表示左邊的量不小于右邊的量(3)有些不等式中不含未知數(shù)，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知數(shù)，如2x＞5中，x表示未知數(shù)，對于含有未知數(shù)的不等式，未當知數(shù)取某些值時，不等式的左、右兩邊符合不等號所表示的大小關系，我們說不等式成立，否則，不等式不成立．類型一、不等式的概念例1.判斷下列各式哪些是等式，哪些是不等式．（1）4＜5；（2）x2+1＞0；（3）x＜2x-5；（4）x=2x+3；（5）3a2+a；（6）a2+2a≥4a-2．變式練習：1.（2017春?城關區(qū)校級期末）貴陽市今年5月份的最高氣溫為27℃，最低氣溫為18℃，已知某一天的氣溫為t℃，則下面表示氣溫之間的不等關系正確的是（）A．18＜t＜27B．18≤t＜27C．18＜t≤27D．18≤t≤272.（2017春?未央?yún)^(qū)校級月考）下列式子：①a+b=b+a；②-2＞-5；③x≥-1；④1初二下冊第二章一元一次不等式及一元一次不等式組1y-4＜1；⑤2m≥n；⑥2x-3，其中不等式有（）3A．2個B．3個C．4個D．5個3.（2017春?南山區(qū)校級月考）下面給出了6個式子：?3＞0x+3y＞0x=3；④x-1；⑤x+2≤3；⑥2x≠0；其中不等式有（）A．2個B．3個C．4個D．5個4.（2017春?太原期中）學校組織同學們春游，租用45座和30座兩種型號的客車，若租用45座客車x輛，租用30座客車y輛，則不等式“45x+30y≥500”表示的實際意義是（）A．兩種客車總的載客量不少于500人B．兩種客車總的載客量不超過500人C．兩種客車總的載客量不足500人D．兩種客車總的載客量恰好等于500人5.已知有理數(shù)m，n的位置在數(shù)軸上如圖所示，用不等號填空．（1）n-m0；（2）m+n0；（3）m-n0；（4）n+10；（5）m?n0；（6）m+10．例2．用不等式表示：(1)x與-3的和是負數(shù)；(2)x與5的和的28％不大于-6;(3)m除以4的商加上3至多為5．舉一反三：【變式】aa的值一定是（）．A.大于零B.小于零C.不大于零D.不小于零例3.下列敘述：①a是非負數(shù)則a≥0；②“a2減去10不大于2”可表示為a2-10＜12；③“x的倒數(shù)超過10”可表示為＞10；④“a，b兩數(shù)的平方和為正數(shù)”可表x示為a2+b2＞0．其中正確的個數(shù)是（）.A.1個B.2個C.3個D.4個要點二、一元一次不等式的概念只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，2x50是一個一元一次不等式．3要點詮釋：(1)一元一次不等式滿足的條件：①左右兩邊都是整式(單項式或多項式)；②只含有一個未知數(shù)；2初二下冊第二章一元一次不等式及一元一次不等式組3初二下冊第二章一元一次不等式及一元一次不等式組（2）如果﹣5x＞20，兩邊同除以﹣5不等號方向改變，故錯誤；（3）若a＞b，當c=0時則ac2＞bc2錯誤，故錯誤；（4）由ac2＞bc2得c2＞0，故正確；（5）若a＞b，根據(jù)c2+1，則a（c2+1）＞b（c2+1）正確．（6）若a＞b＞0，如a=2，b=1，則＜正確．故答案為：√、×、×、√、√、√．【總結升華】本題考查了不等式的性質，兩邊同乘以或除以一個不為零的負數(shù)，不等號方向改變．例4.（2017?青浦區(qū)一模）已知a＞b，下列關系式中一定正確的是（）A．a2＜b2B．2a＜2bC．a+2＜b+2D．﹣a＜﹣b【思路點撥】根據(jù)不等式的性質分析判斷．【答案】D.【解析】解：A，a2＜b2，錯誤，例如：2＞﹣1，則22＞（﹣1）2；B、若a＞b，則2a＞2b，故本選項錯誤；C、若a＞b，則a+2＞b+2，故本選項錯誤；D、若a＞b，則﹣a＜﹣b，故本選項正確.【總結升華】不等式的性質是不等式變形的重要依據(jù)．關鍵要注意不等號的方向．性質1和性質2類似于等式的性質但性質3中，當不等式兩邊乘以或除以同一個負數(shù)時，不等號的方向要改變．舉一反三：3【變式】根據(jù)不等式的基本性質，將“mx＜3”變形為“x＞”，則m的取值范圍是．m【答案】m＜0.3解：∵將“mx＜3”變形為“x＞”，m∴m的取值范圍是m＜0．故答案為：m＜0．【鞏固練習】一、選題擇1.（2016春?北京期末）在式子﹣3＜0，x≥2，x=a，x2﹣2x，x≠3，x+1＞y中，是不等式的有（）A．2個B．3個C．4個D．5個2．下列不等式表示正確的是().A．a不是負數(shù)表示為a＞0B．x不大于5可表示為x＞5C．x與1的和是非負數(shù)可表示為x+1＞0D．m與4的差是負數(shù)可表示為m-4＜03.式子“①x+y=1；②x＞y；③x+2y；④x-y≥1；⑤x＜0”屬于不等式的有（）A．2個B．3個C．4個D．5個4初二下冊第二章一元一次不等式及一元一次不等式組4．已知a＜b，則下列不等式一定成立的是()A．a+3＞b+3B．2a＞2bC．-a＜-bD．a-b＜05．若圖示的兩架天平都保持平衡，則對a、b、c三種物體的重量判斷正確的是（）.A.a>cB.a<cC.a<bD.b<c6．下列變形中，錯誤的是（）.A．若3a+5＞2，則3a＞2-5B．若2x1，則x233C．若x1，則x＞-5D．若115x1，則x51511二、填空題7．（2016秋?太倉市校級期末）如果a＜b，則﹣3a﹣3b（用“＞”或“＜”填空）．8．用不等式表示“x與a的平方差不是正數(shù)”為．129．在-l，，0，，2中，能使不等式5x＞3x+3成立的x的值是________；________23是不等式-x＞0的解．10．假設a＞b，請用“＞”或“＜”填空(1)a-1________b-1；(2)2a______2b；11b2a(3)_______；(4)a+l________b+1．211．已知a＞b，且c≠0，用“＞”或“＜”填空．ba(1)2a________a+b(2)_______cc22(3)c-a_______c-b(4)-a|c|_______-b|c|12.k的值大于-1且不大于3，則用不等式表示k的取值范圍是_______．（使用形如a≤x≤b的類似式子填空．）三、解答題13．現(xiàn)有不等式的性質：①在不等式的兩邊都加上（或減去）同一個整式，不等號的方向不變；②在不等式的兩邊都乘以同一個數(shù)（或整式），乘的數(shù)（或整式）為正時不等號的方向不變，乘的數(shù)（或整式）為負時不等式的方向改變．請解以決下兩個問題：（1）利用性質①比較2a與a的大?。╝≠0）；（2）利用性質②比較2a與a的大?。╝≠0）．14.①當a=3，b=5時用不等式表示a2+b2與2ab的大小是_______；②當a=-3，b=5時用不等式表示a2+b2與2ab的大小是__________；③當a=1，b=1時用不等式表示a2+b2與2ab的大小是________；④根據(jù)上述數(shù)學實驗你猜想a2+b2與2ab的大小關系_______；5初二下冊第二章一元一次不等式及一元一次不等式組⑤用a、b的其他值檢驗你的猜想______．15．已知x＜y，比較下列各對數(shù)的大小．(1)8x-3和8y-3；(2)x1和5y1；(3)x-2和y-1．566【答案與解析】一、選擇題1.【答案】C；【解析】解：﹣3＜0是不等式，x≥2是不等式，x=a是等式，x2﹣2x是代數(shù)式，x≠3是不等式，x+1＞y是不等式．不等式共有4個．故選C.2.【答案】D；【解析】a不是負數(shù)應表示為a≥0，故A錯誤；x不大于5應表示為x≤5，故B錯誤；x與1的和是非負數(shù)應表示為x+1≥0，故C錯誤；m與4的差是負數(shù)應表示為m-4＜0，故D正確。3.【答案】B.4.【答案】D；【解析】從不等式a＜b入手，由不等式的性質1，不等式a＜b的兩邊都加上3后，不等號的方向不變，得a+3＜b+3，故選項A不成立；由不等式的性質2，不等式a＜b的兩邊都乘以2后，不等號的方向不變，得2a＜2b，故選項B不成立；由不等式的性質3，不等式a＜b的兩邊都乘以-1后，不等號的方向改變，得-a＞-b，故選項C也不成立；由不等式的性質1，不等式a＜b的兩邊都減去b后，不等號的方向不變，得a-b＜0．故應選D．5.【答案】A.6.【答案】B；22，兩邊同除以，可得：3x?！窘馕觥緽錯誤，應改為：x1332二、填空題7.【答案】＞.【解析】在a＜b的兩邊同時乘以﹣3，得：﹣3a＞﹣3b，兩邊同時加上，得：﹣3a＞﹣3b．故答案為：＞．8.【答案】x2﹣a2≤0；9.【答案】2；-1、12【解析】一一代入驗證.10．【答案】(1)＞(2)＞(3)＜(4)＞；11.【答案】(1)＞(2)＞(3)＜(4)＜；【解析】利用不等式的性質進行判斷。12.【答案】-1＜k≤3．三、解答題13.【解析】解：（1）a＞0時，a+a＞a+0，即2a＞a，6初二下冊第二章一元一次不等式及一元一次不等式組a＜0時，a+a＜a+0，即2a＜a；（2）a＞0時，2＞1，得2?a＞1?a，即2a＞a；a＜0時，2＞1，得2?a＜1?a，即2a＜a．14.【解析】解：①當a=3，b=5時，a2+b2=34，2ab=30，∵34＞30，∴a2+b2＞2ab；②當a=-3，b=5時，a2+b2=34，2ab=-30，∵34＞-30，∴a2+b2＞2ab；③當a=1，b=1時a2+b2=2，2ab=2，∵1=1，∴a2+b2=2ab；④綜合①②③得出結論：a2+b2≥2ab（a=b時，取“=”）．證明：∵（a-b）2≥0（a=b時，取“=”），∴a2+b2-2ab≥0，∴a2+b2≥2ab．⑤設a=2，b=2，則a2+b2=2ab=8，上述結論正確；設a=5，b=3，則a2+b2=34，2ab=30，所以a2+b2＞2ab，綜上所述，a2+b2≥2ab（a=b≠0時，取“=”）正確．15.【解析】解：(1)∵x＜y∴8x＜8y，∴8x-3＜8y-3．55(2)∵x＜y，∴xy，6655∴x1y1．66(3)∵x＜y，∴x-2＜y-2，而y-2＜y-1，∴x-2＜y-1．拓展：類型一、不等式的概念1．有數(shù)顆等重的糖果和數(shù)個大、小砝碼，其中大砝碼皆為5克、小砝碼皆為1克，且下圖是將糖果與砝碼放在等臂天平上的兩種情形．判斷下列正確的情形是().7初二下冊第二章一元一次不等式及一元一次不等式組【思路點撥】根據(jù)圖示可知1個糖果的質量＞5克，3個糖果的質量＜16克，依此求出1個糖果的質量取值范圍，再在4個選項中找出情形正確的．【答案】D.【解析】解：由圖(1)知，每一個糖果的重量大于5克，由圖(2)知：3個糖果的重量小于16克，即32216每一個糖果的重量小于克．故A選項錯；兩個糖果的重量小于1033克故B選項錯；316三個糖果的重量大于15克小于16克故C選項錯，四個糖果的重量小于3464211克33故D選項對．【總結升華】觀察圖示，確定大?。绢}涉及的知識點是不等式，涉及的數(shù)學思想是數(shù)形結合思想，解決問題的基本思路是根據(jù)圖示信息列出不等式．舉一反三：【變式】設“▲”、“●”、“■”分別表示三種不同的物體，現(xiàn)用天平秤兩次，情況如圖所示，那么▲、●、■這三種物體按質量從大到小排列應為（）.A．■、●、▲B．▲、■、●C．■、▲、●D．●、▲、■【答案】C.類型二、不等式的基本性質2.下面四個命題：（1）ac2bc2ababacbc；（3）若,則；（2），則bab，則；（4）若，則bab.其中正確的個數(shù)是（）.1a0aA.1個B.2個C.3個D.4個【答案】B.【解析】(1)由ac2bc2得c0，因為c2>0,所以，正確；ab（2）因為ab，當c0時，acbc，所以錯誤；8初二下冊第二章一元一次不等式及一元一次不等式組b時，沒有意義，而當ba01時，，所以錯誤；a（3）因為ab，當a0a（4）因為a0，所以a0，bab，正確.【總結升華】不等式的基本性質是不等式變形的主要依據(jù)，要認真弄清楚不等式的基本性質與等式的基本性質的異同點，特別是不等式兩邊同時乘以（或除以）同一個數(shù)時，不僅要考慮這個數(shù)不等于0，而且先必須確定這個數(shù)是正數(shù)還是負數(shù).舉一反三：【變式1】a、b是有理數(shù)，下列各式中成立的是()．A．若a＞b，則a2＞b2；B．若a2＞b2，則a＞bC．若a≠b，則｜a｜≠|b|D．若｜a｜≠|b|，則a≠b【答案】D.【變式2】若點P（1﹣m，m）在第一象限，則（m﹣1）x＞1﹣m的解集為．【答案】x＜﹣1.解：∵點P（1﹣m，m）在第一象限，∴1﹣m＞0，即m﹣1＜0；∴不等式（m﹣1）x＞1﹣m，∴（m﹣1）x＞﹣（m﹣1），不等式兩邊同時除以m﹣1，得：x＜﹣1，故答案為：x＜﹣1．bcacab3.設a＞0＞b＞c，且a+b+c=-1，若M＝，N＝，P＝，abc試比較M、N、P的大?。敬鸢概c解析】∵a+b+c=-1，∴b+c=-1-a，1a1∴M==?1?，aa11同理可得N=?1?，P=?1?；bc又∵a＞0＞b＞c，111∴＞0＞＞，acb111∴?1?＜?1＜?1?＜?1?acb即M＜P＜N．【總結升華】本考題查不等式的基本性質，關鍵是M、N、P的等價變形，利用了整體思想消元，轉化為a、b、c的大小關系．4.（2016春?唐河縣期中）【提出問題】已知x﹣y=2，且x＞1，y＜0，試確定x+y的取值范圍．【分析問題】先根據(jù)已知條件用一個量如y取表示另一個量如x，然后根據(jù)中題已知量x的9初二下冊第二章一元一次不等式及一元一次不等式組取值范圍，構建另一量y的不等式，從而確定該量y的取值范圍，同法再確定另一未知量x的取值范圍，最后利用不等式性質即可獲解．【解決問題】解：∵x﹣y=2，∴x=y+2．又∵x＞1，∴y+2＞1，∴y＞﹣1．又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0，…①同理得1＜x＜2…②由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2．∴x+y的取值范圍是0＜x+y＜2．【嘗試應用】已知x﹣y=﹣3，且x＜﹣1，y＞1，求x+y的取值范圍．【思路點撥】先根據(jù)已知條件用一個量如y取表示另一個量如x，然后根據(jù)題中已知量x的取值范圍，構建另一量y的不等式，從而確定該量y的取值范圍，同法再確定另一未知量x的取值范圍，最后利用不等式性質即可獲解．【答案與解析】解：∵x﹣y=﹣3，∴x=y﹣3．又∵x＜﹣1，∴y﹣3＜﹣1，∴y＜2．又∵y＞1，∴1＜y＜2，…①同理得﹣2＜x＜﹣1…②由①+②得1﹣2＜y+x＜2﹣1．∴x+y的取值范圍是﹣1＜x+y＜1．【總結升華】此題主要考查了等量代換及不等式的基本性質（1）不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；（2）不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變；（3）不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變．10

初二下冊第二章一元一次不等式及一元一次不等式組【鞏固練習】一、選擇題1．下列不等式中，一定成立的有().①5＞-2；②a21a；③x+3＞2；④+1≥1；⑤(a21)(b21)0．A．4個B．3個C．2個D．1個2.若a+b＞0，且b＜0，則a，b，-a，-b的大小關系為（）.A．-a＜-b＜b＜aB．-a＜b＜-b＜aC．-a＜b＜a＜-bD．b＜-a＜-b＜a3．若a＜b，則下列不等式：①11a11b；②5a15b1；22③a2b2．其中成立的有().A．1個B．2個C．3個D．0個14．若0＜x＜1，則x，，x2的大小關系是().x1xx2B．x1x2C．x2x11xx2xA．xxD．xac5.已知a、b、c、d都是正實數(shù)，且<，給出下列四個不等式：bdaccadbbd①abcd；②cdab；③cdab；④abcd其中不等式正確的是（）.A.①③B．①④C．②④D．②③6．（2016春?豐臺區(qū)期末）下列不等式變形正確的是（）A．由a＞b，得a﹣2＜b﹣2B．由a＞b，得﹣a＜﹣bC．由a＞b，得二、填空題D．由a＞b，得ac＞bc7．在行駛中的汽車上，我們會看到一些不同的交通標志圖形，它們有著不同的意義，如圖所示，如果汽車的寬度為xm，則用不等式表示圖中標志的意義為________．ab8．(1)若c2c2，則a_________b；(2)若m＜0，ma＜mb，則a_________b．9．已知|3x12|(2xym)20，若y＜0，則m________．10．已知關于x的方程3x-(2a-3)=5x+(3a+6)的解是負數(shù)，則a的取值范圍是________．11．（2016春?濟南校級期末）下列判斷中，正確的序號為．11初二下冊第二章一元一次不等式及一元一次不等式組①若﹣a＞b＞0，則ab＜0；②若ab＞0，則a＞0，b＞0；③若a＞b，c≠0，則ac＞bc；④若a＞b，c≠0，則ac2＞bc2；⑤若a＞b，c≠0，則﹣a﹣c＜﹣b﹣c．12．如果不等式3x-m≤0的正整數(shù)解有且只有3個，那么m的取值范圍是________．三、解答題13．用不等式表示：(1)某工人5月份計劃生產零件198個，前16天平均每天生產6個，后來改進技術，提前3天，并超額完成任務，設他16天之后平均每天生產零件x個，請寫出滿足條件的x的關系式；(2)今年，小明x歲、小強y歲、爺爺m歲；明年，小明年齡的3倍與小強年齡的6倍之和大于爺爺?shù)哪挲g．14．若a＞b，討論ac與bc的大小關系．15．根據(jù)等式和不等式的基本性質，我們可以得到比較兩數(shù)大小的方法．若A-B＞0，則A＞B；若A-B＝0，則A＝B；若A-B＜0，則A＜B．這種比較大小的方法稱為“作差法比較大小”，請運用這種嘗試解決下列問題．(1)比較3a2-2b+1與5+3a2-2b+b2的大小；(2)比較a+b與a-b的大??；(3)比較3a+2b與2a+3b的大小．【答案與解析】一、選擇題1.【答案】B；【解析】一定成立的是：①④⑤；2.【答案】B.3.【答案】A；【解析】根據(jù)不等式的性質可得，只有①成立.4.【答案】C；1【解析】∵0＜x＜1，∴x2≤x≤.x5.【答案】A；ac【解析】∵<，a、b、c、d都是正實數(shù)，bd∴ad＜bc，∴ac+ad＜ac+bc，即a（c+d）＜c（a+b），ac∴abcd，所以①正確，②不正確；12初二