2023屆浙江省溫州市鹿城區(qū)八年級數(shù)學第一學期期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

2022-2023學年八上數(shù)學期末模擬試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷

上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非

選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.甲、乙兩人在筆直的湖邊公路上同起點、同終點、同方向勻速步行2400米，先到終

點的人原地休息.已知甲先出發(fā)4分鐘，在整個步行過程中，甲、乙兩人的距離y（米）

與甲出發(fā)的時間t（分）之間的關(guān)系如圖所示，下列結(jié)論:

①甲步行的速度為60米/分；

②乙走完全程用了32分鐘；

③乙用16分鐘追上甲；

④乙到達終點時，甲離終點還有300米

其中正確的結(jié)論有（）

D.4個

Y

2.要使分式—有意義的x的取值范圍是（）

x—3

A.x>3B.xW3C.x<3D.x=3

3.已知V一3%+1=0,則f+x-2+3值為（）

A.10B.9C.12D.3

4.下列方程組中，不是二元一次方程組的是（)

Af3x-2y=OB.{mC.(^-2x=x2+yD.{干

14x-l=y1x-y=2Q

5.已知孫=3,x—y=-2,則代數(shù)式Vy一孫2的值是（）

A?6B.-1C.-5D.-6

6.已知x2+2-1）x+9是一個完全平方式，則小的值為（)

A.4B.4或-2C.±4D.-2

7.我國古代數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，上有三

十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何設(shè)雞X只，兔y只，可列方程組為（）

x+y=35fx+y=35fx+y=35fx+y=35

A.《'B.sC.sD.5

2x+2y=94[4x+2y=94[4x+4y=94[2x+4y=94

8.一次函數(shù)y=-2x+l的圖象與〉軸的交點坐標是()

1

A.(-2,0)B.(-,0)C.(0,2)D.(0,1)

2

9.如圖，已知AB=AC=BD,則N1與N2的關(guān)系是()

B.2N1+N2=18O。

C.Zl+3Z2=180°D.Z1=2Z2

10.現(xiàn)有7張如圖1的長為a,寬為b（a＞b）的小長方形紙片，按圖2的方式不重疊

地放在矩形ABCD內(nèi)，未被覆蓋的部分（兩個矩形）用陰影表示.設(shè)左上角與右下角

的陰影部分的面積的差為S,當BC的長度變化時，按照同樣的放置方式，S始終保持

不變，則a,b滿足（）

A.a=2bB.a=3bC.a=3.5bD.a=4b

二、填空題（每小題3分，共24分）

11.已知a＜幣＜b，且b為兩個連續(xù)的整數(shù)，貝！|。+8=.

12.如圖，AABC^AADE,ZB=70°,ZC=30",ZDAC=20°,則NEAC的度

數(shù)為______

13.如圖，邊長為acm的正方形，將它的邊長增加加機，根據(jù)圖形寫一個等式

[x=3

14.如果，△是方程5x+處=35的解，貝！J）=_____

[y=2

15.如圖，A4BC中，NAC8=90°,以它的各邊為邊向外作三個正方形，面積分別

為3、邑、S3,已知S|=6,S2=8,貝1|S3=

16.如圖，已知RfAABC的兩條直角邊長分別為6、8,分別以它的三邊為直徑向上作

三個半圓，求圖中陰影部分的面積為.

17.對于非零的兩個實數(shù)a、b,規(guī)定a&b=，若2十（2x-1）=1,則x的值為一.

H1-----

ba

18.如圖（1）,在三角形A3C中，NA=38。NC=72。，8c邊繞點C按逆時針方向

旋轉(zhuǎn)c（0°<aK18（）。），在旋轉(zhuǎn)過程中（圖2）,當CB'//A3時，旋轉(zhuǎn)角為

度；當CB'所在直線垂直于A8時，旋轉(zhuǎn)角為度.

19.（10分）把下列各式因式分解:

(1)9a2。一4A

(2)(/〃+〃)2—+n)+4/?2；

20.（6分）在AABC中，AB=AC,點。在8C邊上，且ZAD8=60°,E是射線D4

上一動點（不與點。重合，且A4HOB）,在射線。8上截取。尸=DE,連接封.

（1）當點E在線段AZ）上時，

①若點E與點A重合時，請說明線段BF=DC；

②如圖2,若點E不與點A重合，請說明3E=OC+AE；

（2）當點E在線段DA的延長線上（OE>08）時，用等式表示線段AE,BF,CD之間

的數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)果，不需要證明）.

21.（6分）老師在黑板上寫出三個算式：52—32=8x2,92-52=8x7,

152—32=8x27,王華接著又寫了兩個具有同樣規(guī)律的算式：1『—52=8X12,

152-72=8x22,…

（1）請你再寫出一個（不同于上面算式）具有上述規(guī)律的算式；

（2）用文字表述上述算式的規(guī)律；

（3）證明這個規(guī)律的正確性.

22.（8分）如圖，已知RSABCgRSAOE,ZABC=ZADE=9Q°,BC與。E相交

于點F,連結(jié)C。、BE.

（1）請你找出圖中其他的全等三角形；

（2）試證明Cf=E/.

23.（8分）已知，點P是等邊三角形aABC中一點，線段AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°到

AQ,連接PQ、QC.

(1)求證：PB=QC；

(2)若PA=3,PB=4,ZAPB=150°,求PC的長度.

24.(8分)在aABC中，ZC=90°,AD平分NBAC,DE_LAB于點E,點F在AC

上，BD=DF.

求證：CF=EB

25.（10分）某地有兩所大學和兩條相交叉的公路，如圖所示（點M,N表示大學，

AO,BO表示公路）現(xiàn)計劃修建一座圖書館，希望圖書館到兩所大學的距離相等，到

兩條公路的距離也相等.你能確定圖書館應(yīng)該建在什么位置嗎？在所給的圖形中畫出你

的設(shè)計方案.（保留作圖痕跡，不寫作法）

26.（10分）⑴計算：（一3孫一2X2.（3孫37^-9x4y2；

/[\2019

（2）先化簡，再求值：（》+3；）2+（工一y）（2%+^）-3/，其中；1=2238,丁=1

參考答案

一、選擇題(每小題3分，共30分)

1、A

【解析】根據(jù)題意和函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以判斷各個小題中的結(jié)論是否正確，從而可以

解答本題.

【詳解】由圖可得，

甲步行的速度為：240+4=60米/分，故①正確，

乙走完全程用的時間為：2400+(16x604.12)=30(分鐘)，故②錯誤，

乙追上甲用的時間為：16-4=12(分鐘)，故③錯誤，

乙到達終點時，甲離終點距離是：2400-(4+30)x60=360米，故④錯誤，

故選A.

【點睛】本題考查了函數(shù)圖象，弄清題意，讀懂圖象，從中找到必要的信息是解題的關(guān)

鍵.

2、B

【分析】根據(jù)分式的分母不為。可得關(guān)于x的不等式，解不等式即得答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，得：1-3/0,解得：刀。3.

故選：B.

【點睛】

本題考查了分式有意義的條件，屬于應(yīng)知應(yīng)會題型，熟練掌握基本知識是解題關(guān)鍵.

3、A

【分析】由題意根據(jù)等式和分式的基本性質(zhì)以及完全平方公式對式子進行變形，進而整

體代入求解.

【詳解】解：由/+廠2+3=/+二+3=。+_1)2+1,可知無。0,

XX

已知￡-3X+1=0，等式兩邊同時除以x可得：x+-=3,

X

將x+'=3,^A(X+-)2+1=32+1=10,

XX

所以/+/+3=10.

故選：A.

【點睛】

本題考查完全平方公式,結(jié)合等式和分式的基本性質(zhì)運用整體替換的思想進行分析是解

題的關(guān)鍵.

4、B

【分析】組成二元一次方程組的兩個方程應(yīng)共含有兩個未知數(shù)，且未知數(shù)的項最高次數(shù)

都應(yīng)是一次的整式方程.

【詳解】解：A、是二元一次方程組，故A正確；

5、是三元一次方程組，故8錯誤；

C、是二元一次方程，故C正確；

。、是二元一次方程組，故。正確；

故選：B.

【點睛】

本題考查了二元一次方程組的定義，一定要緊扣二元一次方程組的定義“由兩個二元一

次方程組成的方程組”，細心觀察排除，得出正確答案.

5、D

【分析】將代數(shù)式fy-xj提公因式，即可變形為9(％—y),代入對應(yīng)的值即可求

出答案.

【詳解】解：-xy2=xy(x-y)=3x(-2)=-6

故選：D.

【點睛】

本題主要考查了因式分解，熟練提公因式以及整體代入求值是解決本題的關(guān)鍵.

6、B

【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可確定出，〃的值.

【詳解】'：x2+2(/n-1)x+9是一個完全平方式，

.*.2(m-1)=±6,

解得：/w=4或，”=-2,

故選：B.

【點睛】

本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵.

7、D

【分析】等量關(guān)系為：雞的只數(shù)+兔的只數(shù)=35,2x雞的只數(shù)+4x兔的只數(shù)=94,把相關(guān)

數(shù)值代入即可得到所求的方程組.

【詳解】解：???雞有2只腳，兔有4只腳，

x+y=35

...可列方程組為:

2x+4y=94

故選D.

【點睛】

本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組.如何列出二元一次方程組的關(guān)鍵點在于

從題干中找出等量關(guān)系.

8、D

【分析】令x=0,代入函數(shù)解析式，求得y的值，即可得到答案.

【詳解】令x=0,代入y=-2x+l得：y=-2x0+l=l,

.?.一次函數(shù)y=-2x+l的圖象與》軸的交點坐標是：（0,1）.

故選D.

【點睛】

本題主要考查一次函數(shù)圖象與y軸的交點坐標，掌握直線與y軸的交點坐標的特征，是

解題的關(guān)鍵.

9、A

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得N1和NC之間的關(guān)系，再

根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得N1和N2之間的關(guān)系.

[W1'：AB=AC=BD,

.?.ZB=ZC=18O0-2Z1,

AZI-Z2=18O°-2Z1,

/.3Z1-Z2=180°.

故選A.

【點睛】

本題考查等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩個底角相等，三角形內(nèi)角和定理以及三角

形外角的性質(zhì)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，弄清角之間的數(shù)量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，

本題難度適中.

10>B

【解析】表示出左上角與右下角部分的面積，求出之差，根據(jù)差與BC無關(guān)即可求出a

與b的關(guān)系式.

【詳解】解：法1：左上角陰影部分的長為AE,寬為AF=3b,右下角陰影部分的長為

PC,寬為a,

VAD=BC,即AE+ED=AE+a,BC=BP+PC=4b+PC,

，AE+a=4b+PC,即AE-PC=4b-a,

，陰影部分面積之差S=AE*AF-PC?CG=3bAE-aPC=3b(PC+4b-a)-aPC=(3b

-a)PC+12b2-3ab,

則3b-a=0,即a=3b.

法2：既然BC是變化的，當點P與點C重合開始，然后BC向右伸展，

設(shè)向右伸展長度為x,左上陰影增加的是3bx,右下陰影增加的是ax,因為S不變，

增加的面積相等，

.*.3bx=ax,

；.a=3b.

【點睛】

此題考查了整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

二、填空題(每小題3分，共24分)

11,2

【分析】先估算出近的取值范圍，得出a,b的值，進而可得出結(jié)論.

【詳解】V4<7<9,

：.2〈近<1.

???a、b為兩個連續(xù)整數(shù)，

??a=2,b—1,

a+b=2+l=2.

故答案為2.

【點睛】

本題考查的是估算無理數(shù)的大小，先根據(jù)題意求出a,b的值是解答此題的關(guān)鍵.

12、60°

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NBAC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)計算即可.

【詳解】解：???NB=70。，ZC=30°,

:.ZBAC=180o-70°-30o=80°,

VAABC^AADE,

/.ZDAE=ZBAC=80°,

:.ZEAC=ZDAE-ZDAC=60°,

故答案為60°.

【點睛】

本題考查全等三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的對應(yīng)角相等是解題

的關(guān)鍵.

13、a1+2ah+b2=(a+b)2.

【解析】依據(jù)大正方形的面積的不同表示方法，即可得到等式.

【詳解】由題可得，大正方形的面積=a2+2ab+b2；大正方形的面積=(a+bR

a2+2ab+b2=(a+b)2,

故答案為a2+2ab+b2=(a+b)2

【點睛】

本題主要考查了完全平方公式的幾何應(yīng)用，即運用幾何直觀理解、解決完全平方公式的

推導過程，通過幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對完全平方公式做出幾何解釋.

14、1

【分析】由方程的解與方程的關(guān)系，直接將給出的解代入二元一次方程即可求出b.

x=3

【詳解】解：c是方程5x+勿=35的解，

U=2

.,.3X5+23=35,

:.b=l,

故答案為L

【點睛】

本題考查方程的解與方程的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是理解并掌握方程的解的意義：能使方程

左右兩邊的值都相等.

15、1

【分析】由AABC中，NACB=90°,得AC?+8C?=鉆?，結(jié)合正方形的面積公式,

得9+'=§3,進而即可得到答案.

【詳解】：AABC中，NAC3=90。,

，AC2+BC2=AB2,

*：S[=AC~，其=BC~，S3=AB~>

5]+5：；=S3,

S]=6,S2=8,

S3=6+8=1,

故答案是：1.

【點睛】

本題主要考查勾股定理與正方形的面積，掌握勾股定理，是解題的關(guān)鍵.

16、1

【分析】先分別求出以6、8為直徑的三個半圓的面積，再求出三角形ABC的面積，陰

影部分的面積是三角形ABC的面積加以AC為直徑和以BC為直徑的兩個半圓的面積

再減去以AB為直徑的半圓的面積.

【詳解】解：由勾股定理不難得到AB=10

19

以AC為直徑的半圓的面積：nX(64-2)2X-=-n=4.5n,

22

以BC為直徑的半圓的面積：冗X(8+2)2X=8n,

以AB為直徑的半圓的面積：JtX(104-2)2X=12.5Jt,

三角形ABC的面積：6X8Xy=1,

陰影部分的面積：1+4.5兀+8兀-：12.5兀=1；

故答案是:1.

【點睛】

本題考查了勾股定理的運用，解答此題的關(guān)鍵是，根據(jù)圖形中半圓的面積、三角形的面

積與陰影部分的面積的關(guān)系，找出對應(yīng)部分的面積，列式解答即可.

17、.

5

6

【分析】先根據(jù)規(guī)定運算把方程轉(zhuǎn)化為一般形式，然后把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解,

再進行檢驗即可得解.

【詳解】解：2@(2x7)=1可化為-=1,

方程兩邊都乘以2(2x-1)得，2-(2x-1)=2(2x-1),

解得X=$,

6

檢驗：當x=時，2(2x-1)=2(2x-1)=#0,

554

663

所以，X二是原分式方程的解,

6

即X的值為.

5

6

故答案為$.

【點睛】

本題考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為

整式方程求解.（2）解分式方程一定注意要驗根.

18、701

【分析】在三角形ABC中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到/8=180。-38。-72。=70。，如圖1,

當CB，〃AB時，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；如圖2,當CB，J_AB時根據(jù)垂直的

定義即可得到結(jié)論.

【詳解】解：,??在三角形ABC中，NA=38。，ZC=72°,

ZB=180O-38o-72o=70o,

如圖1,

當CB，〃AB時，旋轉(zhuǎn)角=NB=70。,

.,.當CB，〃AB時,旋轉(zhuǎn)角為70。；

如圖2,

當CB，J_AB時，NBCB"=90O-7(F=20。，

二旋轉(zhuǎn)角=180。-20。=1。，

.?.當CB，_LAB時,旋轉(zhuǎn)角為1。；

故答案為：70；1.

【點睛】

本題考查了三角形的內(nèi)角和，平行線的性質(zhì)，正確的畫出圖形是解題的關(guān)鍵.

三、解答題(共66分)

19、(1)c(3a+2b)(3a-2b)(2)(m-n)2

【分析】(1)根據(jù)題意先提取公因式c,再利用平方差公式進行因式分解即可；

(2)由題意先化簡合并同類項，進而利用完全平方差公式進行因式分解即可.

【詳解】解：⑴9a2c-4b2c

=c(9a2-4b2)

=c[(3a)2—(力)2]

=c(3a+22)(3〃—2h)

(2)(m+n)2-4-n)+4m2

=m2+2mn+zz2—4m2—4mn+4m2

=m2-2mn+rr

-(加一〃了

【點睛】

本題考查因式分解，熟練掌握利用提取公因式法和公式法分解因式是解題的關(guān)鍵.

20、(1)①證明見解析；②證明見解析；(2)BF=AE?CD

【分析】(1)①根據(jù)等邊對等角，求到N5=NC,再由含有60°角的等腰三角形是等

邊三角形得到AAJ9F是等邊三角形，之后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及鄰補角的性質(zhì)得

到NAEB=NAT）C=120°,推出AAB歹名A4CD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出

結(jié)論；②過點A做AG〃EF交BC于點G,由4DEF為等邊三角形得到DA=DG,再

推出AE=GF,根據(jù)線段的和差即可整理出結(jié)論；

（2）根據(jù)題意畫出圖形，作出AG,由（1）可知，AE=GF,DC=BG,再由線段的和

差和等量代換即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）①證明：?.?A8=AC

.?.ZB=NC

-.DF=DE,ZADB=60°,且E與A重合，

.?.AADb是等邊三角形

:.ZADF^ZAFD^60°

：.ZAFB^ZADC^i2Q°

在ZVW尸和AAC￡>中

ZAFB=ZADC

<ZB=ZC

AB^AC

：.MBF^MCD

:.BF=DC

②如圖2,過點A做AG〃EF交BC于點G,

VZADB=60°DE=DF

/.△DEF為等邊三角形

VAG/7EF

，ZDAG=ZDEF=60°,NAGD=ZEFD=60°

.\ZDAG=ZAGD

/.DA=DG

，DA-DE=DG-DF,即AE=GF

由①易證△AGBgZkADC

r.BG=CD

，BF=BG+GF=CD+AE

(2)如圖3,和(1)中②相同，過點A做AG〃EF交BC于點G,

FBGDC

圖3

由(1)可知，AE=GF,DC=BG,

BF+CD=BF+BG=GF=AE

故=

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和

性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

21、(1)152-92=8X18,132-92=8xll；(2)任意兩個奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù)；(3)證

明見解析.

【分析】(1)根據(jù)算式的規(guī)律可見：左邊是兩個奇數(shù)的平方差，右邊是8的倍數(shù)；可寫

出相同規(guī)律的算式；

(2)任意兩個奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù)；

(3)可設(shè)任意兩個奇數(shù)為：2n+l,2m+l(其中n、m為整數(shù))計算即可.

【詳解】解：(1)通過對老師和王華算式的觀察，可以知道，左邊是奇數(shù)的平方差，右

邊是8的倍數(shù)，

.,.152-92=8X18,132-92=8x11,…；

(2)上述規(guī)律可用文字描述為：任意兩個奇數(shù)的平方差等于8的倍數(shù)；

(3)證明：設(shè)m、n為整數(shù)，則任意兩個奇數(shù)可表示為2m+l和2n+l,

:.(2m+l)2-(2n+l)2=(2m-2n)(2m+2n+2)=4(m-n)(m+n+1),

又,①當m、n同奇數(shù)或同偶數(shù)時；m-n一定是偶數(shù)，設(shè)m-n=2a；

②m、n一奇數(shù)一偶數(shù)；m+n+1一定是偶數(shù)，設(shè)m+n+l=2a

(2m+l)2-(2n+l)2=8a(m+n+1),

而a(m+n+1)是整數(shù)，

二任意兩個奇數(shù)的平方差等于8的倍數(shù)成立.

【點睛】

本題考查了一個數(shù)學規(guī)律，即任意兩個奇數(shù)的平方差等于8的倍數(shù).通過本題的學習可

見數(shù)字世界的奇妙變換，很有意義.

22、(1)圖中其它的全等三角形為：①△ACZ)g△AE5,②(2)證

明過程見解析；

【分析】(1)圖中除了已知的RtAABC^RtAADE,還有①△AC。與△AEB,?/\DCF

與ABEF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AC=4E,AB=AD,ZBAC=ZDAE,進一步

即可根據(jù)SAS判斷①中兩個三角形應(yīng)是全等關(guān)系，然后根據(jù)這兩對全等三角形的性質(zhì)

即可判斷②中兩個三角形的關(guān)系，問題從而解決；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和SAS可證△C4。g△EA5,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)

可得NACB=NAE￡>,ZACD=ZAEB,CD=BE,再利用AAS即可證明

△CDF94EBF,進一步即可推出結(jié)論.

【詳解】解：(1)圖中其它的全等三角形為：①△ACDg△AE8,②△OC尸義尸;

①TRtAABC^RtAADE,

：.AC=AE,AB=AD,ZBAC=ZDAE,

VZBAC-NBAD=NDAE-ZBAD,

：.ZDAC=NBAE,

在△AOC和△A5E中，

'：AC=AE,AD=AB,ZDAC=ZBAE,

(SAS)；

(2)VRtARtAADE,ZkAOCg△ABE,

/.ZACB=ZAED,ZACD=ZAEB,DC=BE,

:.NDCF=NBEF,

在△OCf■和△BEF中，

VZCFD=ZEFB,NDCF=NBEF,DC=BE,

:ACDF義4EBF(AAS).

(2)VRtAABC^RtAADE,

：.AC=AE,AD=AB,NCAB=NEAD,

：.NCAB-ZDAB=ZEAD-NDAB.

即NCAO=NEA8.

(SAS),

VRtAABC^RtAAZ)E,△AOCgZiABE,

：.ZACB=ZAED,ZACD=ZAEB,DC=BE,

:.NDCF=NBEF,

在△￡)(7尸和△BEk中，

VZCFD=ZEFB,NDCF=NBEF,DC=BE,

/.△CDF^AEBF(AAS)

：.CF=EF.

【點睛】

本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，屬于?？碱}型，靈活應(yīng)用全等三角形的判定

和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

23、（1）證明見解析；（2）1.

【分析】（1）直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AP=A。，/尸4。=60。，然后根據(jù)“SAS”證明

△BAP^^CAQ,結(jié)合全等三角形的性質(zhì)得出答案；

（2）由△AP。是等邊三角形可得AP=PQ=3,NAQP=60。，由全等的性質(zhì)可得NAQC

=NAPB=UO。,從而可求NPQC=90。，然后根據(jù)勾股定理求PC的長即可.直接利用等邊

三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理即可得出答案.

【詳解】（1）證明：???線段AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。到AQ,

；.AP=AQ,NPAQ=60。，

...△APQ是等邊三角形，ZPAC+ZCAQ=60°,

???△ABC是等邊三角形，

.?.ZBAP+ZPAC=60°,AB=AC,

；.NBAP=NCAQ,

在ABAP和ACAQ中

BA=CA

<ZBAP=ZCAQ,

AP=AQ

/.△BAP^ACAQ（SAS）,