2023年人教版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第一部分考點(diǎn)指導(dǎo)第三章函數(shù)及其應(yīng)用第八節(jié) 第2課時(shí)函數(shù)模型及其應(yīng)用

第2課時(shí)函數(shù)模型及其應(yīng)用

【考試要求】1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、幕【高考考情】考點(diǎn)考法：高考命題常以指數(shù)、

函數(shù)的增長(zhǎng)特征；結(jié)合實(shí)例體會(huì)直線上升、指對(duì)數(shù)、幕函數(shù)及分段函數(shù)為載體，考查利用函

數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類(lèi)型增長(zhǎng)的含數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題，與指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)

義.的數(shù)學(xué)文化、社會(huì)熱點(diǎn)等問(wèn)題是高考熱點(diǎn)，常

2.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、基函數(shù)、分段以選擇題形式出現(xiàn).

函數(shù)等函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用.核心素養(yǎng)：直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模

O=一、物系赫理,思推求活,一=rO

【歸納?知識(shí)必備】

1.常見(jiàn)的函數(shù)模型3

一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、累函數(shù).

注解1函數(shù)模型應(yīng)用問(wèn)題的步驟(四步八字方針)：審題，建模，解模，還原.

2.三種函數(shù)模型的性質(zhì)

產(chǎn)H(方>1)產(chǎn)logj(a>l)尸，(〃>0)

(0,+8)上

單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增

增減性

增速越來(lái)越快越來(lái)越慢相對(duì)平穩(wěn)

隨X的增大逐

圖象的

漸表現(xiàn)為與Z隨X的增大逐漸表現(xiàn)為與X軸平行隨〃值變化而各有不同

變化

軸平行

值的比較存在一個(gè)Ab,當(dāng)x>xo時(shí)，有

-智學(xué)?變式探源

1.必修一P152例62.必修一P148例3

1.(改變選項(xiàng))下列函數(shù)，增長(zhǎng)速度最快的是()

A.y=202TB.y=x021

C.y=log202iXD.y=2021x

【解析】選A.比較一次函數(shù)、基函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)可知，指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度最快.

2.（改變情景）某種細(xì)菌經(jīng)30分鐘數(shù)量變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，且該種細(xì)菌的繁殖規(guī)律為尸廠，

其中A為常數(shù)，C表示時(shí)間（單位：小時(shí)），y表示1個(gè)細(xì)菌經(jīng)繁殖后的總個(gè)數(shù)，則經(jīng)過(guò)5小時(shí),

1個(gè)細(xì)菌通過(guò)繁殖個(gè)數(shù)變?yōu)?

1-k

【解析】由題意知，當(dāng)t=~時(shí)，y=2,即2=e2,所以A=21n2,所以y=

e2"叱當(dāng)大=5時(shí)，尸02.2=2|。=1024.即經(jīng)過(guò)5小時(shí)，1個(gè)細(xì)菌通過(guò)繁殖個(gè)數(shù)變?yōu)?024.

答案：1024

一慧考?四基自測(cè)

3.基礎(chǔ)知識(shí)4.基本方法5.基本應(yīng)用6.基本能力

3.（已知函數(shù)模型解決問(wèn)題）衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步軌道衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所

在平面，軌跡高度為36000km（軌道高度指衛(wèi)星到地球表面的最短距離），把地球看成一個(gè)

球心為。半徑為6400km的球，其上點(diǎn)/的緯度是指如與赤道所在平面所成角的度數(shù)，地

球表面能直接觀測(cè)到的一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星的點(diǎn)的緯度的最大值記為叫該衛(wèi)星信號(hào)

覆蓋的地球表面面積5=2nr2（l-cosa）,（單位:km2）,則S占地球表面積的百分比為（）

A.26%B.34%C.42%D.50%

【解析】選C.由題意可得，S占地球表面積的百分比約為

6400

1-

27下(1-cosa)1—cosa6400+36000

=---------=----------------=42%.

4"

2_

4.（數(shù)形結(jié)合法）當(dāng)16<x<20時(shí),/和10g2X的大小關(guān)系為

【解析】作出f（x）=/和g（x）=log2*的圖象，如圖所示:

由圖象可知，在（0,4）內(nèi)，N>log2*;x=4或x=16時(shí)，*2=]_0g2x；在（4,16）內(nèi)，x-<log2^；

在(16,20)內(nèi),x'>log2X.

2_

2

答案：^r>log2x

5.（二次函數(shù)模型應(yīng)用）生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費(fèi)用稱(chēng)為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個(gè)月生產(chǎn)某

種商品x萬(wàn)件時(shí)的生產(chǎn)成本為C（x）/+2T+20（萬(wàn)元）.一萬(wàn)件售價(jià)為20萬(wàn)元，為獲取更

大利潤(rùn)，該企業(yè)一個(gè)月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為萬(wàn)件.

【解析】利潤(rùn)￡（x）=20x—C（x）=—3（x—18T+142,當(dāng)x=18時(shí)，￡（x）有最大值.

答案：18

6.（函數(shù)模型的選擇）在某個(gè)物理實(shí)驗(yàn)中，測(cè)量得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如表:

X0.500.992.013.98

y-0.990.010.982.00

則對(duì)x,y最適合的擬合函數(shù)是（）

A.y=2xB.y=x~\

C.產(chǎn):2x—2D.y=log2-￥

【解析】選D.根據(jù)x=0.50,y=-0.99,代入計(jì)算，可以排除A；根據(jù)x=2.01,y=0.98,

代入計(jì)算，可以排除B,C；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)尸log2%可知滿足題意.

c―考點(diǎn)探究?憎法培優(yōu),。

7考點(diǎn)一利用函數(shù)的圖象刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題自主練透

1.某電信公司推出兩種手機(jī)收費(fèi)方式：A種方式是月租20元，B種方式是月租0元.一個(gè)月

的本地網(wǎng)內(nèi)打出電話時(shí)間t（分鐘）與打出電話費(fèi)s（元）的函數(shù)關(guān)系如圖，當(dāng)通話150分鐘時(shí),

這兩種方式電話費(fèi)相差（）

410元8.20元C.30元w■元

O

【解析】選4設(shè)A種方式對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為s=k,t+20,B種方式對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為s

=k2t,

當(dāng)t=10°時(shí),1。*+2。=1。*，化簡(jiǎn)得kLk尸除

當(dāng)t=150時(shí)，150k2—150冗-20=150*!-20=10(元).

5

2.如圖所示，向放在水槽底部的燒杯注水(流量一定)，注滿燒杯后，繼續(xù)注水，直至注滿水

槽，水槽中水面上升高度h與注水時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系大致是()

【解析】選8.開(kāi)始的一段時(shí)間，水槽底部沒(méi)有水，燒杯滿了之后水槽中水面上升速度先快后

慢，與6圖象相吻合.

3.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)開(kāi)始沿折線BCDA向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的

路程為x,4ABP的面積為S,則函數(shù)S=f(x)的圖象是()

O\4812x

D

【解析】選〃依題意知當(dāng)0WxW4時(shí)，f(x)=2x；當(dāng)4<xW8時(shí)，f(x)=8；當(dāng)8<xW12時(shí),

f(x)=24-2x,觀察四個(gè)選項(xiàng)知與〃圖象相吻合.

教師專(zhuān)用司【規(guī)律方法】

判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問(wèn)題變化過(guò)程相吻合方法

(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)由題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，可建立函數(shù)模型，結(jié)合模型選圖象.

(2)驗(yàn)證法：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢(shì)，驗(yàn)證是否吻合,

從中排除不符合實(shí)際的情況，選擇出符合實(shí)際情況的答案.K

is

【加練備選】

如圖所示，一直角墻角，兩邊的長(zhǎng)度足夠長(zhǎng)，在P處有一棵樹(shù)與兩墻的距離分別是a?)(0

VaV12),4勿，不考慮樹(shù)的粗細(xì)，現(xiàn)在用16加長(zhǎng)的籬笆，借助墻角圍成一個(gè)矩形的花園ABCD.

設(shè)此矩形花園的面積為S(/),S的最大值為f(a),若將這棵樹(shù)圍在花園內(nèi)，則函數(shù)u=f(a)

的圖象大致是()

B"c

777777777777777777777/7777777777'

【解析】選C設(shè)BC=xm,則DC=(16—x)/，

由，得aWx<12.

,16—x^4,

Y—I—(］6—x)2

矩形面積S=x(16—x)W-----------=64

當(dāng)x=8時(shí)取等號(hào).當(dāng)0VaW8時(shí)，u=f(a)=64；

當(dāng)a>8時(shí)，由于函數(shù)在［a,12］上為減函數(shù)，所以當(dāng)x=a時(shí)，矩形面積取最大值S%.=f(a)

=a(16—a).

/考點(diǎn)二已知函數(shù)模型求解實(shí)際問(wèn)題|講練互動(dòng)

［典例1］(1)“喊泉”是一種地下水的毛細(xì)現(xiàn)象.人們?cè)谌诤鸾谢虬l(fā)出其他聲音時(shí)聲波傳入

泉洞內(nèi)的儲(chǔ)水池，進(jìn)而產(chǎn)生“共鳴”等作用，激起水波，形成涌泉.聲音越大，涌起的泉水

越高.已知聽(tīng)到的聲強(qiáng)I與標(biāo)準(zhǔn)聲強(qiáng)1。(1。約為10一%單位：〃狗之比的常用對(duì)數(shù)稱(chēng)作聲強(qiáng)

的聲強(qiáng)級(jí)，記作L(貝爾)，即L=/g；.取貝爾的10倍作為響度的常用單位，簡(jiǎn)稱(chēng)為分貝.已

-Lo

知某處“喊泉”的聲音強(qiáng)度y(分貝)與噴出的泉水高度x(血之間滿足關(guān)系式y(tǒng)=2x,甲、乙

兩名同學(xué)大喊一聲激起的涌泉的最高高度分別為70勿，60m.若甲同學(xué)大喊一聲的聲強(qiáng)大約

相當(dāng)于n個(gè)乙同學(xué)同時(shí)大喊一聲的聲強(qiáng)，則n的值約為（）

A.10B.100C.200D.1000

⑵★（命題?新視角）（多選題）漳州市龍海區(qū)港尾鎮(zhèn)和浮宮鎮(zhèn)盛產(chǎn)楊梅，楊梅果味酸甜適中，

有開(kāi)胃健脾、生津止渴、消暑除煩，抑菌止瀉，降血脂血壓等功效.楊梅的保鮮時(shí)間很短，

當(dāng)?shù)丶夹g(shù)人員采用某種保鮮方法后可使得楊梅采摘之后的時(shí)間t（單位：小時(shí)）與失去的新鮮

L:mo<t<io,

度y滿足函數(shù)關(guān)系y=S1000，其中m,a為常數(shù).已知采用該種保鮮方法后，

[ma1,10<tW100,

楊梅采摘10小時(shí)之后失去10%的新鮮度，采摘40小時(shí)之后失去20%的新鮮度.如今我國(guó)物流

行業(yè)蓬勃發(fā)展，為了保證港尾鎮(zhèn)的楊梅運(yùn)輸?shù)奖狈侥吵鞘袖N(xiāo)售時(shí)的新鮮度不低于85%,則物

流時(shí)間（從楊梅采摘的時(shí)刻算起）可以是（參考數(shù)據(jù)：/儂3勺1.6）（）

A.20小時(shí)B.25小時(shí)C.28小時(shí)D.35小時(shí)

【解析】（1）選8.設(shè)甲同學(xué)的聲強(qiáng)為L(zhǎng),乙同學(xué)的聲強(qiáng)為Iz,則140=10/g*，120=107^

LI,

77^77，所以L=101L=L從而7=100.所以n的值約為100.

1U12

10%=ma10

⑵選力比:由題意可知La10，

20%=ma

1

所以a:,0=2即a=230由題意可知當(dāng)t<10時(shí)，失去的新鮮度小于10%沒(méi)有超

過(guò),當(dāng)，時(shí)則有。.即

汨，所以三W/o及|

W15%,所以^2

+log^2,解得tW28.

，規(guī)律方法

求解所給函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)注點(diǎn)

（1）認(rèn)清函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù).

（2）根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).

（3）利用該模型求解實(shí)際問(wèn)題.

，對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練

1.（2021?齊齊哈爾模擬）碳一14測(cè)年法是由威拉得?利比發(fā)明的一種測(cè)定含碳物質(zhì)年齡的

方法，在考古中有大量的應(yīng)用放射性元素的衰變滿足規(guī)律N=N°ef1（表示的是放射性元素在

生物體中最初的含量N。與經(jīng)過(guò)時(shí)間t后的含量N間的關(guān)系），其中X=牛（T為半衰期）.已

知碳一14的半衰期為5730年，No=1.2XlO^2,經(jīng)測(cè)量某地出土的生物化石中碳一14含量

為4X10-3,據(jù)此推測(cè)該化石活體生物生活的年代距今約（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)log^

1.585）（）

A.7650年B.8890年C.9082年D.10098年

T7N。

【解析】選C.由題意知t=7

In、2

l,2X10~12

5730X7/7

4X10-1357307/73

In2=~In2

=57301?？?心5730X1.585^9082（年）.

2.（2021?昆明模擬）在計(jì)算機(jī)的算法分析中，常用時(shí)間復(fù)雜度來(lái)衡量一個(gè)算法的優(yōu)劣，算法

的時(shí)間復(fù)雜度是指算法完成一次運(yùn)行所需要的運(yùn)算次數(shù)，若用T（n）（單位：次）表示算法的時(shí)

間復(fù)雜度，它是算法求解問(wèn)題數(shù)據(jù)規(guī)模n的函數(shù).已知某算法的時(shí)間復(fù)雜度T（n）=20n'+

nJ儂n（nGN*）,一臺(tái)計(jì)算機(jī)每秒可以進(jìn)行1.3億次運(yùn)算，則要保證該算法能在此計(jì)算機(jī)上1

秒內(nèi)完成一次運(yùn)行，則〃的最大值為（）

A.40B.50C.60D.70

【解析】選B.只需要7（A）=20G+z71og2〃Wl.3XIO*的最大〃即可,當(dāng)〃=40時(shí)，7（40）=20

47

X40+40Xlog240^5.12X10<l.3X10%當(dāng)〃=50時(shí)，7（50）=20X50'+50Xlog250^1.25

888

X1O<1.3X10,當(dāng)/7=60時(shí)，7（60）=20X60'+60Xlog260^2.592X10>l.3X10%

綜上所述，保證該算法能在此計(jì)算機(jī)上1秒內(nèi)完成一次運(yùn)行，〃的最大值為50.

,考點(diǎn)三構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題|講練互動(dòng)

[典例2]（1）（2022?咸陽(yáng)模擬）某城鎮(zhèn)為改善當(dāng)?shù)厣鷳B(tài)環(huán)境，2016年初投入資金120萬(wàn)元，以

后每年投入資金比上一年增加10萬(wàn)元，從2020年初開(kāi)始每年投入資金比上一年增加10%,

到2025年底該城鎮(zhèn)生態(tài)環(huán)境建設(shè)共投資大約為（）

A.1600萬(wàn)元B.1660萬(wàn)元

C.1700萬(wàn)元D.1810萬(wàn)元

(2)(2022?長(zhǎng)沙模擬)由于近年來(lái)，冬季氣候干燥，冷空氣頻繁來(lái)襲.為提高公民的取暖水平,

某社區(qū)決定建立一個(gè)取暖供熱站.已知供熱站每月自然消費(fèi)與供熱站到社區(qū)的距離成反比，

每月供熱費(fèi)與供熱站到社區(qū)的距離成正比，如果在距離社區(qū)20千米處建立供熱站，這兩項(xiàng)費(fèi)

用分別為5千元和8萬(wàn)元.那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，供熱站應(yīng)建在離社區(qū)_______處

()

A.5千米B.6千米C.7千米D.8千米

【解析】(1)選〃設(shè)2016年到2025年每年投入資金分別為④，a2,a：,,a”b,,也，…，b6,

由已知a”a2,a：?,a”為等差數(shù)列，ai=120,34—150,其和為Si=ai+a2+a3+a4=540,乂b”

b2,be為等比數(shù)列,bi=150Xl.1,公比q=Ll,

150X11(1—1r)

其和為S=b+b+-+b=-----；一.一=1650(1.16-1),又1.16=(1+0.1)6^1

21261—1.1

1

+C0.1+

6

23

C0.12+C0.13^1.77,所以S2-1270,所以I+S2Pl810,即共投入資金大約為1810萬(wàn)

66

元.

(2)選4設(shè)供熱站建在離社區(qū)x千米處，則自然消費(fèi),供熱費(fèi)y2=k2X,當(dāng)x=20時(shí)，

2

Yi=0.5,y=8,所以ki=10,^2=7，兩項(xiàng)費(fèi)用之和：

25

y=y1+y2=W+|X^2A—?=4,當(dāng)且僅當(dāng)史=曰x,即x=5時(shí)取等號(hào)，故供熱站應(yīng)