第6章統(tǒng)計量及其抽樣分布

統(tǒng)計量及其抽樣分布第6章統(tǒng)計量及其抽樣分布6.1統(tǒng)計量6.2關(guān)于分布的幾個概念6.3由正態(tài)分布導(dǎo)出的幾個重要分布

6.4樣本均值的分布與中心極限定理6.5樣本比例的抽樣分布6.6兩個樣本平均值之差的分布6.7關(guān)于樣本方差的分布

學(xué)習(xí)目標(biāo)了解統(tǒng)計量及其分布的幾個概念了解由正態(tài)分布導(dǎo)出的幾個重要分布

理解樣本均值的分布與中心極限定理掌握單樣本比例和樣本方差的抽樣分布6.1

統(tǒng)計量6.1.1統(tǒng)計量的概念6.1.2常用統(tǒng)計量6.1.3次序統(tǒng)計量

6.1.4充分統(tǒng)計量

統(tǒng)計量

(statistic)設(shè)X1,X2,…,Xn是從總體X中抽取的容量為n的一個樣本，如果由此樣本構(gòu)造一個函數(shù)T(X1,X2,…,Xn)，不依賴于任何未知參數(shù)，則稱函數(shù)T(X1,X2,…,Xn)是一個統(tǒng)計量樣本均值、樣本比例、樣本方差等都是統(tǒng)計量統(tǒng)計量是樣本的一個函數(shù)統(tǒng)計量是統(tǒng)計推斷的基礎(chǔ)次序統(tǒng)計量一組樣本觀測值X1,X2,…,Xn由小到大的排序

X（1）≤X（2）≤…≤X（i）≤…≤X（n）后，稱X（1），X（2），…，X（n）為次序統(tǒng)計量中位數(shù)、分位數(shù)、四分位數(shù)等都是次序統(tǒng)計量6.2

關(guān)于分布的幾個概念6.2.1抽樣分布6.2.2漸進分布6.2.3隨機模擬獲得的近似分布

樣本統(tǒng)計量的概率分布，是一種理論分布在重復(fù)選取容量為n的樣本時，由該統(tǒng)計量的所有可能取值形成的相對頻數(shù)分布隨機變量是樣本統(tǒng)計量樣本均值,樣本比例，樣本方差等結(jié)果來自容量相同的所有可能樣本提供了樣本統(tǒng)計量長遠(yuǎn)而穩(wěn)定的信息，是進行推斷的理論基礎(chǔ)，也是抽樣推斷科學(xué)性的重要依據(jù) 抽樣分布

(samplingdistribution)6.3由正態(tài)分布導(dǎo)出的幾個重要分布6.3.12分布6.3.2t

分布6.3.3F

分布2分布由阿貝(Abbe)

于1863年首先給出，后來由海爾墨特(Hermert)和卡·皮爾遜(K·Pearson)

分別于1875年和1900年推導(dǎo)出來設(shè)，則令，則Y服從自由度為1的2分布，即

當(dāng)總體，從中抽取容量為n的樣本，則2分布

(2

distribution)分布的變量值始終為正分布的形狀取決于其自由度n的大小，通常為不對稱的正偏分布，但隨著自由度的增大逐漸趨于對稱期望為：E(2)=n，方差為：D(2)=2n(n為自由度)可加性：若U和V為兩個獨立的2分布隨機變量，U~2(n1)，V~2(n2),則U+V這一隨機變量服從自由度為n1+n2的2分布2分布

(性質(zhì)和特點)c2分布

(圖示)不同容量樣本的抽樣分布c2n=1n=4n=10n=20t

分布t分布高塞特(W.S.Gosset)于1908年在一篇以“Student”(學(xué)生)為筆名的論文中首次提出

t分布是類似正態(tài)分布的一種對稱分布，它通常要比正態(tài)分布平坦和分散一個特定的分布依賴于稱之為自由度的參數(shù)。隨著自由度的增大，分布也逐漸趨于正態(tài)分布t分布圖示xt

分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的比較t分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t不同自由度的t分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t(df=13)t(df=5)zF

分布由統(tǒng)計學(xué)家費希爾(R.A.Fisher)

提出的，以其姓氏的第一個字母來命名設(shè)若U為服從自由度為n1的2分布，即U~2(n1)，V為服從自由度為n2的2分布，即V~2(n2),且U和V相互獨立，則稱F為服從自由度n1和n2的F分布，記為F分布

(F

distribution)F分布

(圖示)

不同自由度的F分布F（1,10)(5,10)(10,10)6.4樣本均值的分布與中心極限定理在重復(fù)選取容量為n的樣本時，由樣本均值的所有可能取值形成的相對頻數(shù)分布一種理論概率分布推斷總體均值的理論基礎(chǔ) 樣本均值的抽樣分布樣本均值的抽樣分布

與中心極限定理=50

=10X總體分布n=4抽樣分布xn=16當(dāng)總體服從正態(tài)分布N(μ,σ2)時，來自該總體的所有容量為n的樣本的均值x也服從正態(tài)分布，x

的數(shù)學(xué)期望為μ，方差為σ2/n。即x～N(μ,σ2/n)中心極限定理

(centrallimittheorem)當(dāng)樣本容量足夠大時(n

30)，樣本均值的抽樣分布逐漸趨于正態(tài)分布從均值為，方差為

2的一個任意總體中抽取容量為n的樣本，當(dāng)n充分大時，樣本均值的抽樣分布近似服從均值為μ、方差為σ2/n的正態(tài)分布一個任意分布的總體x中心極限定理

(centrallimittheorem)x的分布趨于正態(tài)分布的過程6.5樣本比例的抽樣分布總體(或樣本)中具有某種屬性的單位與全部單位總數(shù)之比不同性別的人與全部人數(shù)之比合格品(或不合格品)與全部產(chǎn)品總數(shù)之比總體比例可表示為樣本比例可表示為

比例

(proportion)在重復(fù)選取容量為n的樣本時，由樣本比例的所有可能取值形成的相對頻數(shù)分布一種理論概率分布當(dāng)樣本容量很大時，樣本比例的抽樣分布可用正態(tài)分布近似推斷總體比例的理論基礎(chǔ) 樣本比例的抽樣分布樣本比例的數(shù)學(xué)期望樣本比例的方差重復(fù)抽樣不重復(fù)抽樣樣本比例的抽樣分布

(數(shù)學(xué)期望與方差)6.6兩個樣本均值之差的抽樣分布兩個總體都為正態(tài)分布，即，兩個樣本均值之差的抽樣分布服從正態(tài)分布，其分布的數(shù)學(xué)期望為兩個總體均值之差方差為各自的方差之和 兩個樣本均值之差的抽樣分布6.7關(guān)于樣本方差的分布6.7.1樣本方差的分布

6.7.2兩個樣本方差比的分布

樣本方差的分布在重復(fù)選取容量為n的樣本時，由樣本方差的所有可能取值形成的相對頻數(shù)分布對于來自正態(tài)總體的簡單隨機樣本，則比值的抽樣分布服從自由度為(n-1)的2分布，即兩個樣本方差比的分布

兩個總體都為正態(tài)分布，即X1~N(μ1,σ12)，X2~N(μ2,σ22)從兩個總體中分別抽取容量為n1和n2的獨立樣本兩個樣本方差比的抽樣分布，服從分子自由度為(n1-1)，分母自由度為(n2-1)的F分布，即本章小結(jié)統(tǒng)計量及其分布由正態(tài)分布導(dǎo)出的幾個重要分布樣本均值的分布與中心極限定理樣本比例的抽樣分布兩個樣本平均值之差的分布關(guān)于樣本方差的分布1.設(shè)X1,X2,..,Xn是某總體X中抽取的一個樣本，下面哪一個不是統(tǒng)計量（）。

ABCD2.下列不是次序統(tǒng)計量的是（）。A.中位數(shù)B.均值C.四分位數(shù)D.極差3.抽樣分布是指（）。A.一個樣本各觀測值的分布B.總體中各觀測值的分布C.樣本統(tǒng)計量的分布D.樣本數(shù)量的分布4.根據(jù)中心極限定理可知，當(dāng)樣本容量充分大時，樣本均值的抽樣分布服從正態(tài)分布，其分布的均值為（）。其方差為（）。

A.B.C.D.5.從均值為μ，方差為σ2（有限）的任意一個總體中抽取大小為n的樣本，則（）。A.當(dāng)n充分大時，樣本均值的分布近似服從正態(tài)分布B.只有當(dāng)n<30時，樣本均值的分布近似服從正態(tài)分布C.樣本均值的分布與n無關(guān)D.無論n多大，樣本均值的分布都為非正態(tài)分布6.從一個均值μ=10、標(biāo)準(zhǔn)差σ=0.6的總體中隨機選取容量n=36的樣本。假定該樣本并不是很偏的，則樣本均值小于9.9的近似概率（）。A.0.1587B.0.1268C.0.2735D.0.63247.假設(shè)總體服從均勻分布，從此總體中抽取容量為36的樣本，則樣本均值的抽樣分布（）。A.服從非正態(tài)分布B.近似正態(tài)分布C.服從正態(tài)分布D.服從χ2分布8.服從正太分布的無限總體中分別抽取容量為4,16,36的樣本，當(dāng)樣本容量增大時，樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差（）。A.保持不變B.增加C.減少D.無法確定9.總體均值為50，標(biāo)準(zhǔn)差為8，從此總體中隨機抽取容量為64的樣本，樣本均值的抽樣分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差（）。A.50,8B.50,1C.50,4D.8,810.某大學(xué)的一家快餐店記錄了過去5年每天的營業(yè)額，每天營業(yè)額的均值為2500元，標(biāo)準(zhǔn)差為400元。由于在某些節(jié)日的營業(yè)額偏高，所以每日營業(yè)額的分布是右偏的，假設(shè)從這5年中隨機抽取100天，并計算這100天的平均營業(yè)額，則樣本均值的抽樣分布是（）。A.正態(tài)分布，均值為250元，標(biāo)準(zhǔn)差為40元B.正態(tài)分布，均值為2500元，標(biāo)準(zhǔn)差為40元C.右偏，均值為2500元，標(biāo)準(zhǔn)差為400元D.正態(tài)分布，均值為2500元，標(biāo)準(zhǔn)差為400元11.某班學(xué)生的年齡分布是右偏的，均值為22，標(biāo)準(zhǔn)差為4.45。如果采取重復(fù)抽樣的方法從該班抽取容量為100的樣本，則樣本均值的抽樣分布是（）。A.正態(tài)分布，均值為22，標(biāo)準(zhǔn)差為0.445B.分布形狀未知，均值為22，標(biāo)準(zhǔn)差為4.45C.正態(tài)分布，均值為22，標(biāo)準(zhǔn)差為4.45D.分布形狀未知，均值為22，標(biāo)準(zhǔn)差為0.44512.在一個飯店門口等待出租車的時間是左偏的，均值為12分鐘，標(biāo)準(zhǔn)差為3分鐘。如果從飯店門口隨機抽取100名顧客并記錄他們等待出租車的時間，則該樣本均值的分布服從（）。A.正態(tài)分布，均值為12分鐘，標(biāo)準(zhǔn)差為0.3分鐘B.正態(tài)分布，均值為12分鐘，標(biāo)準(zhǔn)差為3分鐘C.左偏分布，均值為12分鐘，標(biāo)準(zhǔn)差為3分鐘D.左偏分布，均值為12分鐘，標(biāo)準(zhǔn)差為0.3分鐘13.某廠家生產(chǎn)的燈泡壽命的均值為60小時，標(biāo)準(zhǔn)差為4小時。如果從中隨機抽取30只燈泡進行檢測，則樣本均值（）。A.抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)差為4小時B.抽樣分布近似等同于總體分布C.抽樣分布的中位數(shù)為60小時D.抽樣分布近似等同于正態(tài)分布，均值為60小時14.假設(shè)某學(xué)校學(xué)生的年齡分布是右偏的，均值為23歲，標(biāo)準(zhǔn)差為3歲。如果隨機抽取100名學(xué)生，下列關(guān)于樣本均值抽樣分布描述不正確的是（）。A.抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)差等于3B.抽樣分布近似服從正態(tài)分布C.抽樣分布的均值近似為23D.抽樣分布為非正態(tài)分布15.從均值為200，標(biāo)準(zhǔn)差為50的總體中抽取容量為100的簡單隨機樣本，標(biāo)準(zhǔn)差為（）。A.150B.200C.100D.250樣本均值的期望值是（）。A.50B.10C.5D.1516.樣本方差的抽樣分布服從（）。A.正態(tài)分布B.χ2分布C.F分布D.未知17.大樣本的樣本比例的抽樣分布服從（）。A.正態(tài)分布B.t分布C.F分布D.χ2分布18