生統(tǒng) 第五章 方差分析

生統(tǒng)第五章方差分析2023/2/26第一頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日一、為什么要學(xué)習(xí)方差分析？第四章學(xué)習(xí)的t測驗方法，只適于比較只有兩個試驗處理的平均數(shù)間差異是否顯著。對于多個處理平均數(shù)間的差異顯著性比較（或差異顯著性測驗），如仍采用t測驗方法，就會表現(xiàn)出下列一些問題：

第二頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日若進(jìn)行5個處理平均數(shù)間的差異顯著性比較，則需進(jìn)行C25=10次t測驗，無效假設(shè)分別為：H0:μ1=μ2,μ1=μ3,μ1=μ4,μ1=μ5；μ2=μ3,μ2=μ4,μ2=μ5；μ3=μ4,μ3=μ5；μ4=μ5，因此，計算量非常大。1.計算工作量大第三頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日兩個樣本平均數(shù)比較采用t測驗，α=0.05時，犯第一類錯誤的概率為0.05，推斷的可靠性為1-α=0.95。若對5個處理采用10次t測驗，10次測驗中都不犯一類錯誤的概率為0.9510=0.5987，即10次推斷總的可靠性降到0.5987，總的犯一類錯誤的概率上升到（1-0.5987)=0.4013。2.推斷的可靠性降低，犯第一類錯誤的概率增大第四頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日3.無統(tǒng)一誤差且誤差估計值偏高使檢驗真實差異的靈敏度降低有5個處理，每處理重復(fù)4次，共有20個觀察值，作t測驗每次只利用8個觀察值，誤差自由度為2（4-1）=6，若利用全部觀察值估計試驗誤差，誤差自由度為5（4-1）=15。自由度越小，誤差估計值越大，檢驗靈敏度越低；自由度越大，誤差估計值越小，檢驗靈敏度越高。第五頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日因此對多個處理平均數(shù)進(jìn)行差異顯著性測驗，不宜采用t測驗，而需采用一種新的統(tǒng)計方法——方差分析法（analysisofvariance）。第六頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日1、方差：度量一組資料的變異程度。2、方差分析基本思路：將k個樣本的觀察值作為一個整體考慮，把觀察值總變異分解成不同變異來源分量，進(jìn)而獲得不同變異來源所屬總體方差的估計值―均方。通過計算均方之適當(dāng)比值，測驗假設(shè)H0:μ1=μ2=…=μk是否成立，進(jìn)而確定多個處理平均數(shù)間是否存在顯著差異。二、方差分析的基本思路第七頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日三、方差分析的作用方差分析有助于發(fā)現(xiàn)影響生物某性狀發(fā)生變異的各種因素在總變異中所占的比重大小。從而分清主要因素與次要因素，指導(dǎo)生產(chǎn)和試驗。1、在單因素試驗中，可以分辨出最優(yōu)水平。2、在多因素試驗中，可以分辨出最優(yōu)水平組合。第八頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日第一節(jié)方差分析基本原理與步驟一、數(shù)學(xué)模型與基本假定二、平方和與自由度的分解三、F檢驗四、多重比較第九頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日一、數(shù)學(xué)模型與基本假定假設(shè)某單因素試驗有k個處理，n次重復(fù)，完全隨機(jī)設(shè)計，則共有nk個觀察值，其數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和符號如表5.1所示。第十頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日表5-1k個處理n次重復(fù)完全隨機(jī)觀察值符號表重復(fù)12…j…n處理總和處理平均處理xi.

1x11x12

…x1j

…x1nx1.2x21x22

…x2j

…x2nx2.

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…

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…xinxi.

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…

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…

┇

┇kxk1xk2

…xkj

…xknxk.x..te第十一頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日方差分析的線性數(shù)學(xué)模型上表中每個觀察值可用下式表示：第十二頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日上式叫單因素完全隨機(jī)設(shè)計試驗資料的數(shù)學(xué)模型。由于εij相互獨立且服從正態(tài)分布N（0，σ2），所以各處理Ai(i=1，2，…，k)觀察值所屬總體亦應(yīng)呈正態(tài)分布，即Ai~N(μi,σ2)。盡管各處理所在總體的平均數(shù)μi不一定相等，但總體方差σ2則必須假定是相等的。第十三頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日用樣本符號表示觀察值的數(shù)學(xué)模型每個觀察值的變異包含處理間變異和處理內(nèi)變異兩部分。第十四頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日單因素完全隨機(jī)試驗資料的數(shù)學(xué)模型包含有以下幾個基本假定：效應(yīng)的可加性（additivity）分布的正態(tài)性（normality）方差的同質(zhì)性（homogeneity）方差分析這三個基本假定也是進(jìn)行其它類型方差分析的前提。第十五頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日二、平方和與自由度的分解第十六頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日nk個觀察值的變異構(gòu)成了整個資料的總變異，總變異的平方和等于各個觀察值與總平均數(shù)的離差平方和，它反映了全部樣本觀察值間總的變異程度。1、總變異平方和與自由度dfT=nk-1第十七頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日2、處理間平方和與自由度處理間平方和指各處理的平均數(shù)與總平均數(shù)的離差平方和的和，它反映重復(fù)n次的各處理平均數(shù)的總變異程度。即dft=k-1第十八頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日3、處理內(nèi)平方和與自由度

處理內(nèi)平方和SSi指各處理內(nèi)的n個觀察值與其相應(yīng)平均數(shù)的離差平方和，它反映了同一處理內(nèi)重復(fù)觀察值間的變異程度。處理1(第一組)：處理2(第二組)：┇處理k(第k組)：

第十九頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日由于同一處理內(nèi)各觀察值的差異是由偶然因素造成的，因而，SS1、SS2、…、SSk實際上都屬于隨機(jī)誤差平方和，將其合并得全試驗資料處理內(nèi)變異的平方和：第二十頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日各處理內(nèi)自由度：處理1(第1組)：df1=n-1處理2(第2組)：df2=n-1┇處理k(第k組)：dfk=n-1整個資料處理內(nèi)總自由度為：dfe=df1+df2+…+dfk=k(n-1)=(nk-1)-(k-1)dfe=dfT-dft第二十一頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日第二十二頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日于是，處理間均方：

處理內(nèi)均方：總變異均方：注意第二十三頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日【例5-1】有一水稻施肥的盆栽試驗，設(shè)5個處理：①和②系分別施用兩種不同的氨水，③施碳酸氫銨，④施尿素，⑤不施氮肥。每處理各4盆（每盆純氮相同），共5×4=20盆，隨機(jī)放置于同一盆栽場。其稻谷產(chǎn)量（克/盆）列于表5-2。請分析這五種施肥處理之間是否存在顯著差異。第二十四頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日處理觀察值（Ｘij）xi.①氨水12430282610827.0②氨水2272421269824.5③碳銨3128253011428.5④尿素3233332812631.5⑤不施212216218020.0x..=∑xi.=526=26.3表5-2水稻施肥盆栽試驗的產(chǎn)量結(jié)果（g/盆）第二十五頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日如果以離均差形式表示20個觀察值xij的各種變異，就得以下結(jié)果：總變異處理間變異誤差項變異①②

③

④

⑤-2.33.71.7-0.30.7-2.3-5.3-0.34.71.7-1.33.75.76.76.71.7-5.3-4.3-10.3-5.30.70.70.70.7-1.8-1.8-1.8-1.82.22.22.22.25.25.25.25.2-6.3-6.3-6.3-6.3-331-12.5-0.5-3.51.52.5-0.5-3.51.50.51.51.5-3.512-41SST=402.2dft=19SSt=301.2dft=4SSe=101.0dfe=15第二十六頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日總變異處理間變異和試驗誤差例5-1的處理數(shù)k=5，每一處理觀察值個數(shù)n=4根據(jù)單因素完全隨機(jī)試驗資料的數(shù)學(xué)模型例5-1平方和與自由度的分解第二十七頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日各變異來源平方和計算矯正數(shù)：總變異：處理間變異：處理內(nèi)變異：第二十八頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日各項變異來源自由度計算總變異自由度:處理間變異自由度:處理內(nèi)變異自由度:第二十九頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日總變異:處理間變異:處理內(nèi)變異:各變異來源的均方本研究目的就是想明確5種施肥處理對水稻產(chǎn)量的效應(yīng)是否存在顯著差異。第三十頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日三、F檢驗（一）EMSe=σ2方差分析的一個基本假定是要求各處理觀察值所在總體的方差相等。即學(xué)習(xí)第三章時我們知道，樣本方差是總體方差的無偏估計值。即第三十一頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日統(tǒng)計學(xué)已證明，各的合并均方（以各處理內(nèi)的自由度n-1為權(quán)的加權(quán)平均數(shù)）也是σ2的無偏估計量，且估計的精確度更高。很容易推證處理內(nèi)均方MSe就是各樣本方差的合并均方。第三十二頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日（二）EMSt=試驗中各處理所屬總體的本質(zhì)差異體現(xiàn)在處理效應(yīng)的差異上。我們把稱為處理效應(yīng)方差，它反映了各處理觀察值所屬總體的平均數(shù)μi的變異程度大小。第三十三頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日因為各未知，所以無法求得的確切值，只能通過試驗結(jié)果中各處理均數(shù)的差異去估計。然而，并非的無偏估計。第三十四頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日因為各處理均數(shù)間的差異來源于兩方面：一是各處理所在總體μi本質(zhì)不同，二是平均數(shù)的抽樣誤差。統(tǒng)計學(xué)已證明：所以處理間總均方MSt實際上是的無偏估計。它一般比誤差均方MSe來得大。即EMSt=第三十五頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日因為σ2，分別是誤差均方MSe和處理間均方MSt的數(shù)學(xué)期望（mathematicalexpectation），所以又稱它們?yōu)槠谕?，簡記為EMS（expectedmeansquares）。第三十六頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日（三）F檢驗當(dāng)處理效應(yīng)的方差=0，亦即各處理觀測值所在總體的平均數(shù)μi(i=1，2，…,k）相等時(即μ1=μ2=…=μk

)，處理間均方MSt與處理內(nèi)均方MSe的期望均方相同，都是誤差方差σ2的估計值。第三十七頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日

F檢驗就是通過對MSt

與MSe的比較來推斷是否為零，即是否相等。統(tǒng)計學(xué)已證明，在=0的條件下，MSt/MSe服從自由度df1=k-1與df2=k（n-1）的F分布。

附表4列出了檢驗MSt所代表的總體方差是否顯著比MSe代表的總體方差大的臨界F值,供F檢驗時查用。F值越大，對應(yīng)的右尾概率越小。第三十八頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日這種利用F分布計算概率來推斷一個總體方差是否顯著大于另一個總體方差的假設(shè)測驗稱F檢驗。這種F檢驗是一尾檢驗。第三十九頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日所以F檢驗的無效假設(shè)是備擇假設(shè)是而且在進(jìn)行F檢驗時，把被檢驗因素的均方作分子，誤差均方作分母。分母項的選擇以期望均方所決定。第四十頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日這里誤差均方６.73系五種處理內(nèi)變異的合并均方，它是表5-2資料的試驗誤差的估計；處理間均方75.3則是試驗誤差與不同施肥處理效應(yīng)對產(chǎn)量共同作用的結(jié)果。例5-1，我們計算了處理間均方：誤差均方：第四十一頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日表5-1資料的方差分析表變異來源DFSSMSF處理間k-1SStMStMSt/MSe處理內(nèi)k(n-1)SSeMSe總變異kn-1SST第四十二頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日表5-2資料方差分析表變異來源dfSSMSFF0.05F0.01處理間處理內(nèi)415301.2101.075.36.7311.18**3.064.89總變異19402.2上述F測驗表明，F(xiàn)＞＞F0.01，則P＜＜0.01，所以否定H0，接受HA，即5種施肥處理對水稻產(chǎn)量的效應(yīng)存在極顯著差異。第四十三頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日四、

多重比較（multiplecomparisons）F檢驗只是對所有處理整體上是否存在顯著差異的測驗，并不能提供任何兩個平均數(shù)是否存在顯著性差異的具體信息。要明確各個處理平均數(shù)彼此間的差異顯著性，還必須對各個平均數(shù)作相互比較，這種多個處理平均數(shù)兩兩間的相互比較稱為多重比較。第四十四頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日（一）、最小顯著差數(shù)法（LSD）最小顯著差數(shù)法的實質(zhì)是在F測驗顯著前提下兩個樣本平均數(shù)相比較的t測驗。1、計算平均數(shù)差數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤；2、計算出顯著水平下的最小顯著差數(shù)LSDα。第四十五頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日3、將任意兩個處理平均數(shù)差的絕對值與LSDα相比較。第四十六頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日對【例5-1】用ＬＳＤ法測驗各處理平均數(shù)與對照的差異顯著性。由前面的分析可知：MSe=6.73;n=4查t值表，當(dāng)dfe=15時，t0.05,15=2.131t0.01,15=2.947故：LSD0.05=2.131×1.834=3.90(克/盆)LSD0.01=2.947×1.834=5.40(克/盆)第四十七頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日處理平均產(chǎn)量（克/盆）差數(shù)（克/盆）④施尿素31.511.5**③施碳銨28.58.5**①施氨水127.07.0**②施氨水224.54.5*⑤不施氮肥20.0---五種施肥效果的多重比較表（LSD法）

推斷:施氨水2顯著高于不施氮肥；施碳銨、尿素、氨水1均極顯著高于不施氮肥。LSD0.05=3.9LSD0.01=5.4第四十八頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日LSD法的特點LSD是在F測驗保護(hù)下的兩兩平均數(shù)間的t測驗，避免了檢驗工作量大和無統(tǒng)一誤差及誤差估計值過高的問題；但LSD沒有考慮相互比較的平均數(shù)大小排列上的秩次，所有平均數(shù)間比較，都采用同一個標(biāo)準(zhǔn)，使得秩次大的平均數(shù)間比較的標(biāo)準(zhǔn)偏小，容易否定無效假設(shè)，增大犯I型錯誤的概率。第四十九頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日（二）、最小顯著極差法最小顯著極差(Leastsignificantrange)法：把平均數(shù)的差數(shù)看成極差，根據(jù)極差范圍內(nèi)包含的處理數(shù)k的不同而采用不同的檢驗尺度。即不同平均數(shù)間比較采用不同的檢驗尺度，稱為最小顯著極差LSRα,k

。常用的有新復(fù)極差法和q測驗法。第五十頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日新復(fù)極差法

新復(fù)極差法(newmultiplerangemethod)，是D.B.Duncan(1955)提出的，故又稱Duncan法，還稱SSR(shortestsignificantranges)法。q測驗法

q測驗法（復(fù)極差法）是Student-Newman-Keul基于極差的抽樣分布理論提出的，有時又稱SNK測驗或NK測驗。第五十一頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日1、新復(fù)極差測驗法（SSR）第一：計算單個平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤第二：查SSR表，計算最小顯著極差值LSRα,K第三：以各個k值下的LSR為顯著尺度，測驗各平均數(shù)兩極差的顯著性。第五十二頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日試以ＳＳＲ法測驗例5-1五個處理兩兩平均數(shù)間的差異顯著性。由前面的分析可知：MSe=6.73,n=4，故當(dāng)dfe=15時，由SSR值表，查出k=2,3,4,5的SSR0.05和SSR0.01的值，并由LSRα,k＝SSRα,k×計算出相應(yīng)的最小顯著極差LSR于下表。第五十三頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日K2345SSR0.053.013.163.253.31SSR0.014.174.354.464.55

LSR0.053.904.104.224.29LSR0.015.415.645.785.90q0.053.013.674.084.37q0.014.174.835.255.56LSR0.053.904.765.295.67

LSR0.015.416.266.817.21五個施肥處理多重比較LSRα值表(SSR/q法)第五十四頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日多重比較結(jié)果(SSR或q測驗）的表示方法標(biāo)記字母法①將全部平均數(shù)從大到小依次排列；②在最大的平均數(shù)上標(biāo)上字母a；③將該平均數(shù)與以下平均數(shù)相比，凡相差不顯著的，都標(biāo)上字母a，直至某一個與之相差顯著的平均數(shù)，則標(biāo)以字母b；④以標(biāo)有b的平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，與上方各個比它大的平均數(shù)相比，凡不顯著的一律標(biāo)以字母b；第五十五頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日⑤再以標(biāo)有字母b的最大平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，與以下各個未標(biāo)記的平均數(shù)相比，凡不顯著的繼續(xù)標(biāo)以字母b，直至某一個與之相差顯著的平均數(shù)則標(biāo)以字母c。⑥如此重復(fù)進(jìn)行下去，直至最小一個平均數(shù)被標(biāo)記比較完畢為止。

判斷標(biāo)準(zhǔn)：各平均數(shù)間，凡有一個相同標(biāo)記字母的即為差異不顯著，凡具不同標(biāo)記字母的即為差異顯著。第五十六頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日處理平均產(chǎn)量（克/盆）差異顯著性0.050.01④施尿素31.5aaAA③施碳銨28.5ababABAB①施氨水127.0babABAB②施氨水224.5bbBCBC⑤不施氮肥20.0cc

CC五種施肥效果的差異顯著性（SSR/q）推斷：1）施尿素、碳銨、氨水1、氨水2的平均產(chǎn)量顯著高于不施氮肥；2）施尿素的平均產(chǎn)量極顯著高于施氨水2；3）施碳銨、氨水1、氨水2之間的差異不顯著。第五十七頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日2、q測驗法q測驗法與SSR法大致相同，所不同的是計算LSR值時用q值而不用SSR值，即其中，為在F測驗中分母項相應(yīng)自由度下顯著水平為時的q值。與SSR法相比，q測驗的顯著尺度標(biāo)準(zhǔn)更高，因此，由q測驗法推斷的結(jié)果更嚴(yán)格。第五十八頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日多重比較方法的選擇三種多重比較方法的檢驗尺度有如下關(guān)系:一個試驗資料，采用哪一種多重比較方法，主要根據(jù)是否定一個正確的Ho和接受一個不正確的Ho的相對重要性來決定。第五十九頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日

否定一個正確的H0接受一個不正確的H0q測驗LSD或SSR寧愿冒犯β錯誤的風(fēng)險較大而不愿有較大的犯α錯誤的風(fēng)險寧愿冒犯α錯誤的風(fēng)險較大而不愿有較大的犯β錯誤的風(fēng)險第六十頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日在農(nóng)業(yè)和生物學(xué)研究中，由于試驗工作者通常都寄希望于否定H0，所以LSD和SSR得到較為廣泛的應(yīng)用。如果試驗是幾個處理都與一個對照相比，則可選用LSD法；如果試驗是每兩個處理都要進(jìn)行相互比較，則宜選用SSR法。第六十一頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日方差分析的基本步驟

將原始資料進(jìn)行整理,計算各處理的和與平均數(shù)及全部資料的和與平均數(shù);依據(jù)數(shù)學(xué)模型計算各變異項平方和與自由度;列出方差分析表，進(jìn)行F檢驗如果F檢驗處理間存在顯著差異,則應(yīng)進(jìn)行多重比較;提取結(jié)論.第六十二頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日第二節(jié)單因素完全隨機(jī)設(shè)計試驗資料的方差分析各處理重復(fù)數(shù)相等的方差分析各處理重復(fù)數(shù)不等的方差分析第六十三頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日(一)、各處理重復(fù)數(shù)相等的方差分析有一小麥新品系完全隨機(jī)試驗，小區(qū)產(chǎn)量見表5-13，試檢驗不同小麥品系平均產(chǎn)量的差異是否顯著。第六十四頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日表5-13四個不同小麥品系的小區(qū)產(chǎn)量

品系號觀測值xij(㎏/20m2)xi

平均04-11210141612188213.666704-2810121412167212.000004-31416131610158414.000004-416182016141610016.6667合計

第六十五頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日計算各變異來源的平方和第六十六頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日計算各變異來源的自由度第六十七頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日四個不同小麥品系產(chǎn)量方差分析表變異來源dfSSMSFF0.05F0.01品系間誤差32067.17130.8322.396.533.43*3.104.94總變異23第六十八頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日各處理平均數(shù)的多重比較(SSR)平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤最小顯著極差第六十九頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日SSR值及LSR值dfe秩次距kSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.01

2022.954.023.07834.194933.104.223.23494.403643.184.333.31834.5184第七十頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日

不同小麥品系的平均產(chǎn)量多重比較表(SSR法)品種平均數(shù)-12.0-13.7-14.004-416.74.7**3.02.704-314.02.00.3

04-113.71.7

04-212.0

第七十一頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日結(jié)論小麥品系04-4的平均產(chǎn)量極顯著高于04-2,但與04-3,04-1差異不顯著;四個小麥品系中以04-4產(chǎn)量最高.第七十二頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日二、各處理重復(fù)數(shù)不等的方差分析若k個處理中的觀測值數(shù)目不等，分別為n1,n2,…,nk。自由度的分解第七十三頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日平方和的分解第七十四頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日例5-45個玉米品種的盆栽試驗，調(diào)查穗長(cm)性狀，得資料如表5-17所示。試比較不同品種間穗長有無顯著差異。第七十五頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日表5-175個玉米品種的穗長

品種穗長(cm)xijnixi.B121.519.520.022.018.020.06121.020.2B216.018.517.015.520.016.06103.017.2B319.017.520.018.017.0591.518.3B421.018.519.020.0

478.519.6B515.518.017.016.0

466.516.6合計25460.5第七十六頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日自由度分解第七十七頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日平方和分解第七十八頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日5個玉米品種穗長方差分析表變異來源SSdfMSF值品種間46.50411.635.99**品種內(nèi)(誤差)38.84201.94

總變異85.3424

F0.05(4,20)=2.87,F0.01(4,20)=4.43第七十九頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日多重比較第八十頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日根據(jù)dfe=20，秩次距k=2,3,4,5，從附表6中查出α=0.05與α=0.01的臨界SSR值，乘以=0.625，即得各最小顯著極差，所得結(jié)果列于表5-20。將表5-19中的各個差數(shù)與表5-20中相應(yīng)的最小顯著極差比較，作出推斷。檢驗結(jié)果已標(biāo)記在表5-19中。第八十一頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日表5-20SSR值及LSR值表dfe

秩次距(k)SSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.012022.954.021.8442.51333.104.221.9382.63843.184.331.9882.70653.254.402.0312.750第八十二頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日表5-195個玉米品種平均穗長多重比較表(SSR法)品種平均數(shù)α=0.05α=0.01B120.2aAB419.6aABB318.3abABCB217.2bBCB516.6bC第八十三頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日結(jié)論品種B1、B4的穗長顯著長于B2、B5；5個品種中，B2、B5穗長最短；B3的穗長居中。第八十四頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日第三節(jié)兩因素完全隨機(jī)設(shè)計試驗資料的方差分析兩因素試驗按水平組合的方式不同，分為交叉分組和系統(tǒng)分組兩類，對應(yīng)的方差分析方法也不同。第八十五頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日兩因素試驗是多因素試驗的最簡單形式。多因素試驗比單因素試驗具有更多的優(yōu)越性。(1)可研究因素之間的交互作用；(2)試驗精確度更高；(3)所得結(jié)論論據(jù)更充分。

第八十六頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日如某試驗考察品種、密度、施肥量三個因素，每因素取兩水平，則共有23=8種水平組合（即8個處理），若重復(fù)三次，全試驗共有24個小區(qū)，因而每一因素的每一水平重復(fù)了12次，若將24個小區(qū)做三個單因素試驗，則每因素各得8個小區(qū)，每因素的每一水平僅重復(fù)4次。重復(fù)12次的精度當(dāng)然比重復(fù)4次的高。第八十七頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日因素品種A密度B施肥量Ca1a2b1b2b1b2c1c2c1c2c1c2c1c2水平組合第八十八頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日一、兩因素交叉分組資料方差分析

驗考察A、B兩個因素，A因素分a個水平，B因素分b個水平。A因素每個水平與B因素每個水平交叉搭配形成ab個水平組合即ab個處理，A、B在試驗中處于平等地位。完全隨機(jī)設(shè)計時是將試驗單位分成ab個組，每組隨機(jī)接受一種處理，因而試驗數(shù)據(jù)也按兩因素兩方向分組。包括無重復(fù)觀測值和有重復(fù)觀測值兩種類型。第八十九頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日(一)兩因素單個觀察值試驗資料方差分析第九十頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日A因素B因素總和xi.平均B1B2…

BbA1A2┇Aax11x12…

x1bx21x22…

x2b

┇

┇

┇

┇xa1xa2…

xabx1.x2.

┇xa.總和x.j平均x.1x.2…x.bx..兩因素單個觀察值的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第九十一頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日線性模型:第九十二頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日平方和分解第九十三頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日自由度分解第九十四頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日各變異分量的均方第九十五頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日【例5.5】為了研究不同田間管理方法對草莓產(chǎn)量的影響，選擇了6個不同的地塊，每個地塊分成3個小區(qū)，隨機(jī)安排3種田間管理方法，所得結(jié)果見表5-22，試作方差分析。

第九十六頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日表5-22各品系草莓不同管理措施的產(chǎn)量(kg/區(qū))地塊(A)田間管理方法(B)xi.

平均B1B2B3A171737722173.67A290909227290.67A359708020969.67A475808223779.00A565606719264.00A682868525384.33合計x.j4424594831384

平均73.6776.5080.50

76.89第九十七頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日1.計算各項平方和與自由度第九十八頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日第九十九頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日變異來源SSdfMSF值A(chǔ)因素B因素1435.11141.4452287.0270.7217.80**4.39*誤差161.221016.12

總變異1307517

F0.05(5,10)=3.33,F0.01(5,10)=5.64

F0.05(2,10)=4.10,F0.01(2,10)=7.56

2、列出方差分析表第一百頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日3、多重比較(1)不同地塊的草莓平均產(chǎn)量比較，采用q法。在兩因素單獨觀察值試驗情況下，因為A因素每一水平的重復(fù)數(shù)恰為B因素的水平數(shù)。

第一百零一頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日q值及LSR值

dfe

秩次距kq0.05q0.01LSR0.05LSR0.011023.154.487.302310.385533.885.278.994612.216944.335.7710.037813.376054.656.1410.779614.233764.916.4311.382414.9060第一百零二頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日各地塊草莓平均產(chǎn)量多重比較（q法）

地塊平均數(shù)-64.00-69.67-73.67-79.00-84.33A290.6726.67**21.00**17.00**11.67*6.34A684.3320.33**14.66**10.66*5.33A479.0015.00**9.33*5.33A173.679.33*4.00A369.675.67A564.00A2產(chǎn)量極顯著高于A5、A3、A1，顯著高于A4，但與A6差異不顯著。第一百零三頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日（2）不同田間管理方法的草莓平均產(chǎn)量比較

B因素各水平平均數(shù)比較見表5-26。在兩因素單獨觀測值試驗情況下，B因素(本例為田間管理方法)每一水平的重復(fù)數(shù)恰為A因素的水平數(shù)a。B因素各水平間比較方法同A。從略。第一百零四頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日

兩因素或多因素試驗，除了研究每一因素對試驗指標(biāo)的影響外，往往更希望研究因素之間的交互作用。例如，通過對播種期、播種密度、施氮量、施鉀量、施磷量對作物生長發(fā)育的影響有無交互作用的研究，對最終確定有利于作物生產(chǎn)的最佳栽培技術(shù)體系是有重要意義的。第一百零五頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日前面介紹的兩因素單個觀測值試驗只適用于兩個因素間無交互作用的情況。若兩因素間有交互作用，則每個水平組合只設(shè)一個觀察單位是不正確的或不完善的。第一百零六頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日

(1)只有單個觀察值，誤差項均方MSe實際是交互作用和試驗誤差交織在一起，如果因素有互作，則互作效應(yīng)在其中占主要比例。

(2)因此加大了試驗誤差均方值，容易掩蓋試驗因素的真實差異，從而增大接受無效假設(shè)的可能性，即增大犯Ⅱ型錯誤的概率。

(3)因為每個水平組合只有一個觀測值，所以無法估計真正的試驗誤差，因而不可能對因素的交互作用進(jìn)行研究。第一百零七頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日因此，進(jìn)行兩因素或多因素試驗時，一般應(yīng)設(shè)置重復(fù)，以便正確估計試驗誤差，深入研究因素間的交互作用。第一百零八頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日(二)有重復(fù)觀測值交叉分組資料的方差分析對兩因素等多因素有重復(fù)觀測值試驗結(jié)果的分析，能研究因素的簡單效應(yīng)、主效應(yīng)和因素間的交互作用(互作)效應(yīng)。第一百零九頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日

設(shè)A與B兩因素試驗，分別具有a個水平和b個水平，共有ab個水平組合，每個水平組合有n次重復(fù)，則全試驗共有abn個觀測值。這類試驗結(jié)果方差分析的數(shù)據(jù)模式如表5-29所示。第一百一十頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日兩因素有重復(fù)觀察值試驗資料的數(shù)學(xué)模型為：依據(jù)數(shù)學(xué)模型，試驗資料總變異分解如下：第一百一十一頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日

【例5.6】為了研究不同的種植密度和商業(yè)化肥對大麥產(chǎn)量的影響，將種植密度(A)設(shè)置3個水平、施用的商業(yè)化肥(B)設(shè)置5個水平，交叉分組，重復(fù)4次，完全隨機(jī)設(shè)計。產(chǎn)量結(jié)果(kg/小區(qū))列于表5-30，試分析種植密度和施用的商業(yè)化肥對大麥產(chǎn)量的影響。

第一百一十二頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日本例A因素（種植密度）分3個水平，即a=3；B因素（商業(yè)化肥）分5個水平，即b=5；共有ab=3×5=15個水平組合；重復(fù)數(shù)n=4；全試驗共有abn=3×5×4=60個觀測值，試驗結(jié)果列于表5-30，請對該資料進(jìn)行方差分析。第一百一十三頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日1、計算各項平方和與自由度第一百一十四頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日第一百一十五頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日表5-31不同種植密度和商業(yè)化肥試驗資料方差分析表

變異來源SSdfMSF值種植密度(A)315.83332157.9167129.20**商業(yè)化肥(B)207.1667451.791742.38**互作(A×B)50.333386.29175.15**誤差55.0000451.2222總變異628.333359F0.01(2,45)=3.20，F(xiàn)0.01(4,45)=2.58，F(xiàn)0.01(8,45)=2.152、列出方差分析表，進(jìn)行F檢驗第一百一十六頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日3、多重比較

(1)種植密度(A)各水平平均數(shù)間的比較不同種植密度平均數(shù)多重比較表見表5-32。因為A因素各水平的重復(fù)數(shù)為bn，故A因素各水平的標(biāo)準(zhǔn)誤的計算公式為：第一百一十七頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日

(2)商業(yè)化肥(B)各水平平均數(shù)間的比較：不同商業(yè)化肥平均數(shù)多重比較表見表5-34。

因為A因素各水平的重復(fù)數(shù)為an，故B因素各水平的標(biāo)準(zhǔn)誤的計算公式為：第一百一十八頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日

以上所進(jìn)行的兩項多重比較，實際上是A、B兩因素主效應(yīng)的檢驗。結(jié)果表明，種植密度以A3的產(chǎn)量最高；商業(yè)化肥以B4的產(chǎn)量最高。若A、B因素交互作用不顯著，則可選出A3B4為最優(yōu)水平組合；若交互作用顯著，則應(yīng)進(jìn)行水平組合平均數(shù)間的多重比較，以選出最優(yōu)組合，同時可進(jìn)行簡單效應(yīng)的檢驗。

第一百一十九頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日(3)各水平組合平均數(shù)間的比較因為水平組合數(shù)通常較大(本例=3×5=15)，采用LSR法進(jìn)行各水平組合平均數(shù)的比較時，計算量大，且會出現(xiàn)同樣兩水平組合在各水平組合平均數(shù)間的比較和在簡單效應(yīng)檢驗中所用檢驗尺度不同，造成檢驗結(jié)果不同的問題，故一般推薦使用LSD法來進(jìn)行各水平組合平均數(shù)的多重比較和簡單效應(yīng)檢驗。也就是說，用相同的檢驗尺度進(jìn)行各水平組合平均數(shù)間的比較和簡單效應(yīng)檢驗。第一百二十頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日因為水平組合的重復(fù)數(shù)為n，故水平組合平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤計算式為：

第一百二十一頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日由dfe=45，從附表3中查出=0.05、=0.01的臨界t值，乘以，得各LSD值，即

以上述LSD值去檢驗各水平組合平均數(shù)間的差數(shù)，結(jié)果列于表5-36。由于互作存在，最優(yōu)組合(即產(chǎn)量最高的組合)并不是A3B4，而是A3B3。第一百二十二頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日二、二級系統(tǒng)分組資料的方差分析

系統(tǒng)分組資料：如果試驗資料分為個組，每個組內(nèi)又分為m個亞組，每個亞組又再分為若干個小亞組。如此分下去，直至最后一個小亞組具有n個觀察值，這種分組資料稱為系統(tǒng)分組資料。第一百二十三頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日在農(nóng)業(yè)試驗上系統(tǒng)分組資料是常見的。例如土樣分析，隨機(jī)取若干地塊，每地塊取若干個樣點，每一樣點的土樣又作了數(shù)次分析所獲得的資料；又如調(diào)查某種果樹病害，隨機(jī)取若干株，每株取不同部位枝條，每枝條取若干葉片，調(diào)查各葉片病斑數(shù)所獲得的資料都屬于系統(tǒng)分組資料。

第一百二十四頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日在系統(tǒng)分組中，劃分組的因素叫一級因素，劃分亞組的因素叫二級因素……。二級因素的各亞組套在一級因素的每個組下，亞組與組之間是從屬關(guān)系而不是平等關(guān)系，分析側(cè)重于一級因素。

第一百二十五頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日最簡單的系統(tǒng)分組資料是二級系統(tǒng)分組資料。設(shè)一系統(tǒng)分組資料共有a組，每組內(nèi)又分b個亞組，每一亞組內(nèi)有n個觀察值，則該資料共有abn個觀察值。其數(shù)據(jù)模式如表5-37所示。第一百二十六頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日一級因素二級因素觀察值二級因素一級因素ABxi.A1B11x111x112…x11nx1.B12x121x122…x12n………………B1bx1b1x1b2…x1bnA2B21x211x212…x21nx2.B22x221x222…x22n………………B2bx2b1x2b2…x2bn…………………………AaBa1xa11xa12…xa1nxa.Ba2xa21xa22…xa2n………………Babxab1xab2…xabn合計x…第一百二十七頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日一、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與變異來源分解對于表5-37，任一觀察值的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)為：

μ：全部觀察值總體平均數(shù)αi=（μi－μ）組效應(yīng)βij=（μij－μi）亞組效應(yīng)εijl=（xijl-μij）隨機(jī)誤差，相互獨立且服從N（0，σ2）第一百二十八頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日上式表明，任一觀察值的總變異可分解為:①組間變異;②同一組內(nèi)亞組間變異;③同一亞組內(nèi)各觀察值的變異（試驗誤差）.用樣本符號可表示為第一百二十九頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日二、自由度與平方和的分解１.總變異：自由度平方和其中2.組間（A）變異：自由度平方和第一百三十頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日3.同一組內(nèi)亞組間（B）的變異自由度平方和4.同一亞組內(nèi)的變異（誤差）：自由度平方和第一百三十一頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日各項均方如下：A因素的均方A因素內(nèi)B因素的均方誤差均方第一百三十二頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日三、F測驗當(dāng)測驗組間平均數(shù)的差異時，用組內(nèi)亞組間的均方作分母，即當(dāng)測驗組內(nèi)亞組間平均數(shù)的差異時，以誤差均方作分母，即第一百三十三頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日【例5·7】

隨機(jī)選取3株植物，在每一株內(nèi)隨機(jī)選取兩片葉子，用取樣器從每一片葉子上選取同樣面積的兩個樣本，稱取濕重（g），結(jié)果見表5-38。分析不同植株和同一植株上的不同葉片間濕重差異是否顯著。

第一百三十四頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日表5-38葉片濕重植株A

葉片B測定結(jié)果A1

B1112.112.124.212.1049.812.45B1212.812.825.612.80A2

B2114.414.428.814.4058.014.50B2214.714.529.214.60A3

B3123.123.446.523.25103.425.85B3228.128.856.928.45Σ

x…=211.2第一百三十五頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日1.計算各項平方和與自由度

矯正數(shù)

總平方和及其自由度

第一百三十六頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日植株間平方和及其自由度

第一百三十七頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日植株內(nèi)葉片間的平方和及其自由度

第一百三十八頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日誤差（葉片內(nèi)分析樣品間)平方和及其自由度

第一百三十九頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日2.列出方差分析表，進(jìn)行F檢驗表5-38資料的方差分析表，見表5-39。變異來源平方和自由度均方F值植株間A416.70002208.350022.67*植株內(nèi)葉片間B(A)27.570039.1900177.76**誤差C(B)0.310060.0517

總變異444.580011

F0.05(2,3)=9.55，F(xiàn)0.01(2,3)=30.82，F(xiàn)0.01(3,6)=9.78第一百四十頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日3.三株植株平均濕重的多重比較（SSR法）

因為對一級因素（植株）進(jìn)行F檢驗時是以植株內(nèi)葉片間均方作為分母，植株的重復(fù)數(shù)為bn，所以植株的標(biāo)準(zhǔn)誤為：

第一百四十一頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日由dfB(A)=3，k=2,3，查附表6，得SSR0.05和SSR0.01值并與相乘，求出相應(yīng)的LSR0.05和LSR0.01的值，得:LSR0.05,2

=6.82，

LSR0.01,2=12.52LSR0.05,3=6.82，

LSR0.01,3=12.88

三株植株葉片平均濕重的差異顯著性(SSR測驗)檢驗結(jié)果見表5-40。第一百四十二頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日表5-40植株葉片平均濕重多重比較表(SSR法)植株平均-12.45-14.50A325.8513.40**11.35*A214.502.05*

A112.45

結(jié)果表明，植株A3葉片平均濕重極顯著高于A1，顯著高于A2，A2又顯著高于A1。第一百四十三頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日第四節(jié)方差分析的數(shù)學(xué)模型與期望均方

一、數(shù)學(xué)模型

二、期望均方三、方差分量的估計第一百四十四頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日指試驗資料的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，即每一觀察值的線性組成部分。方差分析的數(shù)學(xué)模型也叫線性可加模型，它是方差分析各變異來源分解的依據(jù)。所謂線性可加模型是指每一觀察值可以劃分成若干個線性組成部分，效應(yīng)之間是“和”的關(guān)系，且是一次方，故通常稱為“線性可加模型”，簡稱線性模型。一、數(shù)學(xué)模型第一百四十五頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日設(shè)在一平均數(shù)為μ、方差為σ2的正態(tài)總體中隨機(jī)抽取容量為n的一組樣本。由于隨機(jī)誤差的存在，每一個xi都和總體平均數(shù)μ有差別，這個差量就是隨機(jī)誤差εi。因而每一個觀察值的線性可加模型：第一百四十六頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日如果將上述總體分成k個組，使每組成為該總體的一個亞總體，分別給予不同的處理，處理效應(yīng)為αi，則各個亞總體的平均數(shù)為μi=(μ+αi)。從每個亞總體隨機(jī)抽取容量為n的一個樣本，共得k個樣本，任一觀察值xij（I=1,2,..,k;j=1,2,…,n)所具有的線性模型為：第一百四十七頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日對于方差分析線性模型中的處理效應(yīng)（或），由于試驗?zāi)康牟煌胁煌慕忉專瑥亩a(chǎn)生了方差分析的兩種數(shù)學(xué)模型：固定模型(fixedmodel)和隨機(jī)模型(randommodel)。與之對應(yīng)的是固定效應(yīng)和隨機(jī)效應(yīng)。形式區(qū)別：

固定效應(yīng)用κα表示隨機(jī)效應(yīng)用σα表示第一百四十八頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日固定模型：指試驗的各個處理都抽自特定的處理總體，因而處理效應(yīng)是固定不變的，試驗的目的就是研究各個處理效應(yīng)，所作的推斷也僅限于供試處理的范圍之內(nèi)。重復(fù)試驗時，各處理是固定不變的。第一百四十九頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日特點抽樣方式是固定有標(biāo)準(zhǔn)的；試驗的目的是估計各個處理的效應(yīng)；H0:μ1=μ2=…=μk

HA:μ1≠μ2≠…≠μk；推斷僅限于供試處理范圍內(nèi)；

F測驗后，要進(jìn)行均數(shù)的多重比較。

一般的肥料試驗、農(nóng)藥試驗、密度試驗、品比試驗等都屬于固定模型。第一百五十頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日隨機(jī)模型：指試驗中的各個處理皆抽自同一總體的一組隨機(jī)樣本，因而處理效應(yīng)是隨機(jī)的，試驗?zāi)康牟辉谟谘芯抗┰囂幚肀旧淼男?yīng)，而在于研究處理效應(yīng)的變異程度，所以推斷也不是關(guān)于某些供試處理本身，而是關(guān)于抽出這些處理的整個總體。重復(fù)試驗時，處理可以發(fā)生變化。第一百五十一頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日特點各處理的抽樣方式是隨機(jī)的，沒有標(biāo)準(zhǔn)；試驗?zāi)康氖枪烙嫺魈幚硭诟罂傮w的變異程度；所作假設(shè)為；推斷是關(guān)于k個處理所在更大總體的變異情況；F測驗后，不進(jìn)行均數(shù)的多重比較，而需估計方差σ2α。

隨機(jī)模型在遺傳、育種和生態(tài)試驗方面，有較廣泛的應(yīng)用。第一百五十二頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日按上述方差分析的線性模型分類看，在單因素試驗時，有固定模型(fixedmodel)和隨機(jī)模型(randommodel)之分；在多因素試驗時，則有固定模型、隨機(jī)模型和混合模型(mixedmodel)之分。第一百五十三頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日例如，為研究中國早稻產(chǎn)量變異情況，從大量早稻品種中隨機(jī)抽取部分品種為代表進(jìn)行試驗，從試驗結(jié)果推斷中國早稻產(chǎn)量變異情況，這就屬于隨機(jī)模型。進(jìn)行多年、多點品種區(qū)域試驗，品種效應(yīng)、地點效應(yīng)是固定的，而年份效應(yīng)是隨機(jī)的。這種試驗資料的數(shù)學(xué)模型就是混合模型。第一百五十四頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日二、期望均方由于模型不同，方差分析中各項期望均方的組成也有所不同，因而F檢驗時分母項均方的選擇也有所不同。

F檢驗分母項均方的選擇是分子的期望均方組成分量比分母多一個分量，而且其余分量相同。如：第一百五十五頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日1.單因素完全隨機(jī)設(shè)計試驗資料方差分析的期望均方重復(fù)數(shù)相等時第一百五十六頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日1.單因素完全隨機(jī)設(shè)計試驗資料方差分析的期望均方重復(fù)數(shù)不等時第一百五十七頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日2、交叉分組試驗資料方差分析的期望均方單個觀測值時第一百五十八頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日2、交叉分組試驗資料方差分析的期望均方有重復(fù)觀測值時第一百五十九頁，共一百七十七頁，2022年，8月28日