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專(zhuān)五
用角角數(shù)航問(wèn)航海問(wèn)題主要包括求航行的時(shí)間求航行速度判斷是否有觸礁危險(xiǎn)等是考試中的熱點(diǎn)問(wèn)題決航行問(wèn)題的關(guān)鍵是從實(shí)際問(wèn)題中構(gòu)建一個(gè)或兩個(gè)直角三角形,通過(guò)三角函數(shù)直接解決或根據(jù)圖形中的數(shù)量關(guān)系建立方程解決.例1
如圖1,燈塔A圍1000水域內(nèi)有礁石,一艦艇由西向東航行,在處測(cè)得燈塔A在北偏東74°方向線上,這時(shí),A相距4米,如果不改變航向,此艦艇是否有觸礁的危險(xiǎn)?分析要判斷艦艇是否有觸礁的危險(xiǎn)關(guān)鍵比較點(diǎn)到正東方向的距離與1000的大小此過(guò)點(diǎn)A向正東方向引垂線化直角三角形中的問(wèn)題.解:如圖1,過(guò)點(diǎn)A與正東方向線垂直,垂足為.在Rt△AOB中,=4200,∠=90°-.=·sin∠AOB200·sin16°=4200×0.2756因?yàn)?158>1,所以此艦艇按原航向繼續(xù)航行沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn).說(shuō)明本題是一道比較簡(jiǎn)單的航行問(wèn)題不僅要能從實(shí)際問(wèn)題中構(gòu)造出直角三角形,而且還要注意一些解題技巧,如能用乘法的運(yùn)算的,不用除法,能用正弦計(jì)算的,不用余弦.例2
如圖2,某船以每小時(shí)36海里的速度向正東方向航行,在點(diǎn)A測(cè)得某島C在北偏東60°方向上,航行半小時(shí)后到達(dá)點(diǎn)B,測(cè)得該島在北偏東30°方向上,已知該島周?chē)@飪?nèi)有暗礁.(1)試說(shuō)明點(diǎn)B否在暗礁區(qū)域外?(2)若繼續(xù)向東航行有無(wú)觸礁危險(xiǎn)?請(qǐng)說(shuō)明理由.分析:要判斷B是否在暗礁區(qū)域外.則需要計(jì)長(zhǎng)度,看其長(zhǎng)度是否大于16里,>16海里,則在暗礁區(qū)域外;要判斷繼續(xù)向東航行有無(wú)觸礁危險(xiǎn),則需要計(jì)算船到的最短距離,看是否小16里.若小于1
海里,則有觸礁的危險(xiǎn).為此,需要構(gòu)造直角三角形解決.解1過(guò)點(diǎn)BBDE,交于點(diǎn)D.因?yàn)锳B=36×0.5=18(里∠=60°,∠DBC,所以∠ACB=30°.又∠CAB=30°,所以=AB.即=AB=18>16.所以點(diǎn)在暗礁區(qū)域外.(2)過(guò)點(diǎn)作CH⊥,垂足為H,在RtCHB中,∠BCH=30°,令BH=,則3x.在RtACH中,∠CAH=30°,所以AH
CHtan
o
3gxx.因?yàn)锳HBH所3x解得x所16.所以船繼續(xù)向東航行有觸礁的危險(xiǎn).說(shuō)明有無(wú)觸礁問(wèn)題是航海中的熱點(diǎn)也是中考試題中經(jīng)常出現(xiàn)的試題解決此類(lèi)問(wèn)題需要正確理解題意,從實(shí)際問(wèn)題構(gòu)建直角三角形模型.專(zhuān)題訓(xùn):13船向正東方向航行B處測(cè)得有一燈塔在它的北偏東,距離為72里的處.當(dāng)行至C處測(cè)得燈塔恰好在它正北方向,求此時(shí)它與燈塔的距離AC(計(jì)算結(jié)果精確到0.1海里2.如圖4海上有一燈塔P,在它周?chē)@锾幱邪到福凰铱洼喴院@?時(shí)的速度由西向東航行,行至點(diǎn)處測(cè)得P在它的北偏東的方向,繼續(xù)行駛20鐘后到達(dá)處又測(cè)得燈塔在它的北偏東45°方向.客輪不改變2
方向繼續(xù)前進(jìn)有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)?參考答:1.據(jù)題意ABC-,=72.在RtABC中,因?yàn)閟in∠ABC
ACAB
,所以AC=ABABC
海里2.過(guò)P作⊥于C點(diǎn).據(jù)題意知=9×=3PAB=90°-60°=30°=90°-45°=45°PCB.所以PC=.在RtPAC中
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