九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《直角三角形的邊角關(guān)系》復(fù)習(xí)專(zhuān)題5 用銳角三角函數(shù)解航海問(wèn)題 含答案

專(zhuān)五

用角角數(shù)航問(wèn)航海問(wèn)題主要包括求航行的時(shí)間求航行速度判斷是否有觸礁危險(xiǎn)等是考試中的熱點(diǎn)問(wèn)題決航行問(wèn)題的關(guān)鍵是從實(shí)際問(wèn)題中構(gòu)建一個(gè)或兩個(gè)直角三角形，通過(guò)三角函數(shù)直接解決或根據(jù)圖形中的數(shù)量關(guān)系建立方程解決．例1

如圖1，燈塔A圍1000水域內(nèi)有礁石，一艦艇由西向東航行，在處測(cè)得燈塔A在北偏東74°方向線上，這時(shí)，A相距4米，如果不改變航向，此艦艇是否有觸礁的危險(xiǎn)？分析要判斷艦艇是否有觸礁的危險(xiǎn)關(guān)鍵比較點(diǎn)到正東方向的距離與1000的大小此過(guò)點(diǎn)A向正東方向引垂線化直角三角形中的問(wèn)題．解：如圖1，過(guò)點(diǎn)A與正東方向線垂直，垂足為．在Ｒt△AOB中，=4200，∠=90°－．=·sin∠AOB200·sin16°=4200×0.2756因?yàn)?158>1，所以此艦艇按原航向繼續(xù)航行沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)．說(shuō)明本題是一道比較簡(jiǎn)單的航行問(wèn)題不僅要能從實(shí)際問(wèn)題中構(gòu)造出直角三角形，而且還要注意一些解題技巧，如能用乘法的運(yùn)算的，不用除法，能用正弦計(jì)算的，不用余弦．例2

如圖2，某船以每小時(shí)36海里的速度向正東方向航行，在點(diǎn)A測(cè)得某島C在北偏東60°方向上，航行半小時(shí)后到達(dá)點(diǎn)B，測(cè)得該島在北偏東30°方向上，已知該島周?chē)＠飪?nèi)有暗礁．（1）試說(shuō)明點(diǎn)B否在暗礁區(qū)域外？（2）若繼續(xù)向東航行有無(wú)觸礁危險(xiǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．分析：要判斷B是否在暗礁區(qū)域外．則需要計(jì)長(zhǎng)度，看其長(zhǎng)度是否大于16里，>16海里，則在暗礁區(qū)域外；要判斷繼續(xù)向東航行有無(wú)觸礁危險(xiǎn)，則需要計(jì)算船到的最短距離，看是否小16里．若小于1

海里，則有觸礁的危險(xiǎn)．為此，需要構(gòu)造直角三角形解決．解1過(guò)點(diǎn)BBDE，交于點(diǎn)D．因?yàn)锳B=36×0.5=18（里∠=60°，∠DBC，所以∠ACB=30°．又∠CAB=30°，所以=AB．即=AB=18>16．所以點(diǎn)在暗礁區(qū)域外．（2）過(guò)點(diǎn)作CH⊥，垂足為H，在RtCHB中，∠BCH=30°，令BH=，則3x．在RtACH中，∠CAH=30°，所以AH

CHtan

o

3gxx．因?yàn)锳HBH所3x解得x所16．所以船繼續(xù)向東航行有觸礁的危險(xiǎn)．說(shuō)明有無(wú)觸礁問(wèn)題是航海中的熱點(diǎn)也是中考試題中經(jīng)常出現(xiàn)的試題解決此類(lèi)問(wèn)題需要正確理解題意，從實(shí)際問(wèn)題構(gòu)建直角三角形模型．專(zhuān)題訓(xùn)：13船向正東方向航行B處測(cè)得有一燈塔在它的北偏東，距離為72里的處．當(dāng)行至C處測(cè)得燈塔恰好在它正北方向，求此時(shí)它與燈塔的距離AC（計(jì)算結(jié)果精確到0.1海里2．如圖4海上有一燈塔P，在它周?chē)＠锾幱邪到福凰铱洼喴院＠?時(shí)的速度由西向東航行，行至點(diǎn)處測(cè)得P在它的北偏東的方向，繼續(xù)行駛20鐘后到達(dá)處又測(cè)得燈塔在它的北偏東45°方向．客輪不改變2

方向繼續(xù)前進(jìn)有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)？參考答：1．據(jù)題意ABC－，=72．在RtABC中，因?yàn)閟in∠ABC

ACAB

，所以AC=ABABC

海里2．過(guò)P作⊥于C點(diǎn)．據(jù)題意知=9×=3PAB=90°-60°=30°=90°-45°=45°PCB．所以PC=．在RtPAC中