理論力學第三章 剛體力學3

§3.5剛體定點轉動運動學1、運動分析：（1）剛體的定點轉動可以看成是任一瞬時軸的“定”軸轉動。常平架在工程與生活中經常可以遇到此類運動雷達跟蹤天線陀螺儀中的轉子行星齒輪系中動錐齒輪玩具陀螺等（2）自由度S=3（4）本體極面，空間極面空間極面：轉動瞬軸在空間(固定坐標系中)描繪的曲面。本體極面：轉動瞬軸在剛體內(動坐標系中)描繪的曲面。（3）運動學方程潘索定理：本體極面在空間極面上作純滾動2、速度，加速度(1)速度：(2)加速度：(3)剛體作一般運動時，將運動分解為剛體隨基點A的平動＋剛體繞基點A的“定點”轉動，則剛體上任一點P的速度為加速度為3、剛體繞兩相交軸轉動的合成

剛體繞某點O作定點轉動，相當于剛體繞某軸作“定軸”轉動，而該軸又繞另一固定軸轉動，這兩個軸相交于O點。

結論：當剛體繞兩個相交軸轉動時，剛體的瞬時角速度等于它分別繞這兩個軸轉動的角速度的矢量和?！纠?】半徑為R的圓盤以不變的角速度繞水平軸AB轉動，而軸AB又以不變的角速度繞豎直軸CD轉動，求圓盤水平直徑一端M點的速度和加速度。解：建立平面轉動坐標系oxyz0【例10】高為h，頂角為2α的圓錐在一平面上滾動而不滑動，如已知此錐以勻角速度ω繞軸轉動，試求圓錐底面上A點的轉動加速度a1和向軸加速度a2的量值。解:分析1、在圓錐上建立o-xyz坐標系，母線與ox重合，與圓錐一起運動。2、求3、求（轉動加速度）3、求（向軸加速度）【例11】角A剛體的一般運動【例12】§3.6歐拉角

OyxN§3.7轉動慣量一、定點轉動剛體的動量矩設為剛體上任一質點，該質點對定點o的動量矩為整個剛體對同一點o的動量矩為(1)ozxy動坐標系oxyz下面求動量矩的分量表達式其中，物理意義？二、定點轉動剛體的動能三、轉動慣量轉動慣量：描述剛體轉動慣性大小的物理量。1、對定軸轉動慣性的大小用轉動慣量描述，其定義為：回轉半徑即轉動慣量=各質點的質量與該點到轉軸距離平方乘積之和。轉動慣量由剛體的質量分布和轉軸位置決定。剛體對定軸的轉動慣量等效質點對定軸的轉動慣量平行軸定理

敘述：剛體對某一軸線的轉動慣量，等于對通過質心的平行軸的轉動慣量加上剛體的質量與兩軸間垂直距離平方的乘積。常用到的結果：

半徑為R的均質圓盤繞過圓心且垂直圓面的轉動慣量是：

長為的均質細桿繞過中心且與桿垂直的軸線的轉動慣量：其中叫做軸轉動慣量，叫做慣量積2、對定點轉動慣性的大小，由于轉軸的方向不斷變化，要用一個張量才能描述。和oxyzxyzP(dm)注意：若選動坐標系系，慣量系數(shù)均為常數(shù)(2)慣量橢球－用幾何方法求剛體對某瞬時軸的轉動慣量ozxyQQ點的坐標為：代入**得表示為矩陣形式：**橢球面方程中心慣量橢球：剛體的質心(或重心)在O點計算出剛體對該軸的轉動慣量用幾何方法計算剛體對某瞬時軸的轉動慣量如下：若已知橢球面方程，在動系oxyz中描出橢球面，某瞬時軸與橢球面的交點Q到O點的距離即為R，再根據(jù)zoxyQ(3)慣量主軸及其求法(適當選擇坐標系消去慣量積)

慣量主軸：使慣量積為零的坐標系(慣量橢球的三條相互垂直的主軸)則橢球面方程變?yōu)椋哼@里

主慣量－剛體對慣量主軸的轉動慣量注意：1、剛體作定點轉動時，總有三個慣量主軸存在，且互相垂直；

2、過質心的三個慣量主軸叫中心慣量主軸。

慣量主軸坐標系中的若干物理量的簡化表達式慣量張量：動量矩：動能：

慣量主軸的求法(均質剛體)

幾何對稱軸是慣量主軸幾何對稱面的垂線是慣量主軸oxzy舉例：半徑為r，高為h的均勻圓柱體證明：(1)幾何對稱軸是慣量主軸取z軸為對稱軸，z軸為慣量主軸(2)幾何對稱軸的垂線是慣量主軸取對稱面oyz，x軸為慣量主軸若分別取對稱面oxy和對稱面oxz，同理可證得相應的垂線z軸和y軸均為慣量主軸。oxzy說明：(1)若，則為旋轉橢球，則在xy平面內的各軸都是主軸；

(2)若，橢球變?yōu)榍蝮w，所有通過O點的軸都是主軸?！纠?3】均勻長方形薄片的邊長為與，質量為，求此長方形薄片繞其對角線轉動時的轉動慣量。設薄片的厚度為t,密度為(1)其中，(2)將(2)式代入(1)式得xyo解：方法一直接用定積分計算動坐標系oxyz得方法二利用計算xyo得方法三取慣量主軸為坐標軸xyo得結論：取慣量主軸為坐標軸來計算薄片繞對角線轉動時的轉動慣量最簡便。由剛體對定點o的動量矩定理(1)建立剛聯(lián)于剛體的慣量主軸坐標系oxyz(2)(3)其中，(4)§3.8剛體定點轉動動力學將(3),(4)代人(1)得歐拉動力學方程聯(lián)合歐拉運動學方程(5)(6)聯(lián)立方程(5),(6)消去得到關于的二階常微分方程，求解三個微分方程的剛體定點轉動的運動學方程，從而確定剛體的運動規(guī)律。定點轉動剛體的機械能守恒選慣量主軸坐標系作業(yè)-5定點轉動P1773.20；3.22；3.23（選作）1、剛體的各種運動第三章小結運動的特點：1）剛體的質心始終位于同一個平面上。2）剛體內垂直于固定平面的直線上各點具有完全相同運動狀態(tài)。3）剛體內平行于固定平面的各平面有相同的運動特征。

三個自由度兩個平動自由度一個轉動自由度只須研究質心所在平面的運動:質心運動+繞質心轉動12、平面平行運動a.運動學方程

如圖所示，取質心所在的平面為研究對象，任取一點A為基點（一般取質心）。則P點的運動方程為P點運動隨基點A平動繞基點的轉動基點A可以任意取基點A的平動量（）因基點而異；繞基點A的轉動的角量（）都相同。b.剛體上任一點P的速度和加速度

剛體